文档内容
模块六 立体几何与空间向量
（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知直线 和平面 ，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水， ，图1中水面高度恰好为棱台高度
的 ，图2中水面高度为棱台高度的 ，若图1和图2中纯净水的体积分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，
液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内， ，若A，B，C，D
四点共面，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知圆锥 的轴截面 是边长为2的正三角形．若 为圆锥侧面上的动点，点 平面 ，
，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四棱柱 中，四边形 为平行四边形， 分别在线段 上，且
在 上且平面 平面 ，则 （ ）A． B． C． D．
7．已知正方体 的棱长为2，点 为棱 的中点，则平面 截该正方体的内切球所
得截面面积为（ ）
A． B． C．π D．
8．已知正方体 ，E，F，G分别为棱AB， ， 的中点，若平面EFG截该正方体的
截面面积为 ，点P为平面EFG上动点，则使 的点P轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
A B C D
9．在四棱柱 中， ， ， 为底面 1 1 1 1
的中心，则（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，已知正方体 的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．B． 平面
C．直线 与平面 所成的角为
D．点 与平面 的距离为
11．已知圆台 上、下底面半径分别为1，4，半径为 的球 内切于圆台，则（ ）
A．
B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为
C．过 的截面与底面所成角为60°时， 到截面距离为
D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知正四棱台上底面边长为 ，下底面边长为 ，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积
为 .
13．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为 ，已知 ．为了将
容器中的水倒出，以 为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面
距离桌面的高度为 ．14．棱长为1的正方体 中，点 在棱 上运动，点 在侧面 上运动，满足
平面 ，则线段 的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图，在棱长为2的正方体 中， 、 分别是 、 的中点， 是 的中点.
(1)判断 、 、 、 四点是否共面（结论不要求证明）；
(2)证明： 平面 ；
(3)求异面直线 与 所成角的余弦值.16．（15分）
如图，四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ，且 ，
点 在线段 上， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．（15分）
如图，在平行六面体 中， ， 且 ，设 与
的交于点 .
(1)证明: 平面 ；(2)若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．（17分）
在空间直角坐标系 中，点 分别在 轴上.
(1)证明： 是锐角三角形；
(2)已知 .
①求 面积的最大值；
②设二面角 的大小分别为 ，证明：
.
19．（17分）
如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜
截圆柱”．图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”， 是底面圆 的直径， ，椭圆所在平
面垂直于平面 ，且与底面所成的二面角的大小为 ．在图一中， 是椭圆上的动点，点 在底面
上的投影为点 ．在图二中，椭圆上的点 在底面上的投影分别为点 ，且点 均在直径
的同一侧．(1)当 时，求 的长度．
(2)（i）在图二中，当 时，若点 ， ， ， 将半圆均分成7等份，求
；
（ii）证明： ．
