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第 3 讲 圆周运动的描述 圆锥摆模型
目标要求 1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系.2.掌握匀速圆周运动由周期性
引起的多解问题的分析方法.3.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的
分析方法，掌握圆锥摆模型．
考点一 描述圆周运动的物理量
基础回扣
1．描述圆周运动的物理量
定义、意义 公式、单位
①描述圆周运动的物体运动
快慢的物理量 ①v＝(定义式)＝(与周期的关系)
线速度(v)
②是矢量，方向和半径垂 ②单位：m/s
直，和圆周相切
①描述物体绕圆心转动快慢 ①ω＝(定义式)＝(与周期的关系)
角速度(ω) 的物理量 ②单位：rad/s
②是矢量，但不研究其方向 ③ω与v的关系：v＝ωr
①周期是物体沿圆周运动一
①T＝＝(与频率的关系)
周期(T) 周所用的时间，周期的倒数
②T的单位：s
转速(n) 为频率
n的单位：r/s、r/min
频率(f) ②转速是单位时间内物体转
f的单位：Hz
过的圈数
①描述线速度方向变化快慢
向心加 ①a＝＝ ω 2 r ＝r＝ωv
n
的物理量
速度(a
n
) ②单位：m/s2
②方向指向圆心
2．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周
运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
技巧点拨
1．对a＝＝ω2r的理解
n在v一定时，a 与r成反比；在ω一定时，a 与r成正比．
n n
2．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相
等，即v ＝v .
A B
图1
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图2甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮
边缘线速度大小相等，即v ＝v .
A B
图2
(3)同轴转动：如图3甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ω ＝ω ，由v＝ωr
A B
知v与r成正比．
图3
描述圆周运动物理量的关系
例1 A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是
4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为4∶3
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为2∶1
D．向心加速度大小之比为1∶2
答案 A
解析 时间相同，路程之比即线速度大小之比，A项正确；运动方向改变的角度之比即对应
扫过的圆心角之比，由于时间相同，角速度大小之比为3∶2，B项错误；路程比除以角度
比得半径之比，为8∶9，C项错误；由向心加速度a ＝知线速度平方比除以半径比即向心
n
加速度大小之比，为2∶1，D项错误．圆周运动的多解问题
例2 (2020·湖南长沙市雅礼中学高三月考)如图4所示，M是水平放置的半径足够大的圆
盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向．在圆
心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，从t＝0时刻开始该容器从O点正
上方随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v.已知容器在t＝0时刻滴下
第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水，求：(重力加速度为g)
图4
(1)每一滴水经多长时间落到盘面上；
(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度ω应为多大；
(3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x.
答案 (1) (2)nπ(n＝1,2,3，…) (3)5v
解析 (1)水滴在竖直方向上做自由落体运动，有h＝gt2，解得t＝.
(2)分析题意可知，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为nπ(n＝1,2,3，…)，
由ωt＝nπ得
ω＝＝nπ(n＝1,2,3，…)．
(3)第二滴水落在圆盘上时到O点的距离为：
x＝v·2t＝2v，
2
第三滴水落在圆盘上时到O点的距离为：
x＝v·3t＝3v，
3
当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，则：
x＝x＋x＝5v.
2 3
1．(传动装置中各物理量的关系)如图5所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比
为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是( )图5
A．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1
B．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4
C．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4
D．大齿轮和小齿轮轮缘的向心加速度大小之比为4∶1
答案 B
解析 小齿轮和后轮是同轴转动装置，角速度大小相等，即 ω ＝ω ，大齿轮与小齿轮是皮
2 3
带传动装置，线速度大小相等，即v ＝v ，根据v＝ωr，得出＝＝，＝＝＝，向心加速度a
1 2
＝，则＝＝，故A、C、D错误，B正确．
2．(圆周运动的多解问题)(2020·广东肇庆中学月考)如图6所示为一个半径为5 m的圆盘，正
绕其圆心做匀速转动，当圆盘边缘上的一点A处在如图所示位置的时候，在其圆心正上方
20 m的高度有一个小球正在向边缘的A点以一定的速度水平抛出，取g＝10 m/s2，要使得小
球正好落在A点，则( )
图6
A．小球平抛的初速度一定是2.5 m/s
B．小球平抛的初速度可能是2.5 m/s
C．圆盘转动的角速度一定是π rad/s
D．圆盘转动的角速度可能是π rad/s
答案 A
解析 根据h＝gt2可得t＝＝2 s，则小球平抛的初速度v ＝＝2.5 m/s，A正确，B错误；根
0
据ωt＝2nπ(n＝1、2、3、…)，解得圆盘转动的角速度ω＝＝nπ(n＝1、2、3、…)，圆盘转动
的加速度为a＝ω2r＝n2π2r＝5n2π2(n＝1、2、3、…)，C、D错误．
考点二 圆周运动的动力学问题
基础回扣
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
(2)大小
F＝m＝ mrω 2 ＝mr＝mωv.
n(3)方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
(4)来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
2．离心运动和近心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心
力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
(2)受力特点(如图7)
图7
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动．
②当0mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需
要的向心力．
技巧点拨
1．匀速圆周运动的实例分析
运动模型 向心力的来源图示
飞机水平转弯
圆锥摆模型
火车转弯
圆锥摆
圆锥摆模型
飞车走壁汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
2．圆周运动动力学问题的分析思路
例3 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图8，某公路急转弯处是一圆弧，
当汽车行驶的速率为v 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
0
图8
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于v，车辆便会向内侧滑动
0
C．车速虽然高于v，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
0
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v 的值变小
0
答案 AC
解析 路面应建成外高内低，此时重力和支持力的合力指向内侧，可以提供圆周运动的向心
力，A正确；车速低于v，所需的向心力减小，此时可以产生指向外侧的摩擦力，减小提供
0
的力，车辆不会向内侧滑动，B错误；当车速为v 时，静摩擦力为零，靠重力和支持力的合
0
力提供向心力，速度高于v 时，摩擦力指向内侧，只要速度不超过最高限度，车辆不会向
0
外侧滑动，C正确；当路面结冰时，与未结冰时相比，由于支持力和重力不变，故v 不变，
0
D错误．
例4 (多选)如图9所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运
动，下列说法正确的是( )
图9
A．A、B球受到的支持力之比为∶3
B．A、B球的向心力之比为∶1
C．A、B球运动的角速度之比为3∶1
D．A、B球运动的线速度之比为1∶1
答案 CD
解析 设小球受到的支持力为F ，向心力为F，则有F sin θ＝mg，F ∶F ＝∶1，选项A
N N NA NB
错误；F＝，F∶F ＝3∶1，选项B错误；小球运动轨道高度相同，则半径 R＝htan θ，
A B
R ∶R ＝1∶3，由F＝mω2R得ω ∶ω ＝3∶1，选项C正确；由v＝ωR得v ∶v ＝1∶1，选
A B A B A B
项D正确．
3.(圆周运动的动力学问题)(2020·海南海口一中高三月考)如图10所示，内壁光滑的竖直圆桶，
绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴
着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )
图10
A．绳的张力可能为零
B．桶对物块的弹力不可能为零
C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变
D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大
答案 C
解析 当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，故A、D错误，C正确；当绳的水平分力提供向心力的时候，
桶对物块的弹力恰好为零，故B错误．
4.(圆锥摆模型)如图11所示，长度不同的两根轻绳L 与L ，一端分别连接质量为m 和m 的
1 2 1 2
两个小球，另一端悬于天花板上的同一点O，两小球质量之比m∶m ＝1∶2，两小球在同
1 2
一水平面内做匀速圆周运动，绳L 、L 与竖直方向的夹角分别为30°与60°，下列说法中正
1 2
确的是( )
图11
A．绳L、L 的拉力大小之比为1∶3
1 2
B．小球m、m 运动的向心力大小之比为1∶6
1 2
C．小球m、m 运动的向心加速度大小之比为1∶6
1 2
D．小球m、m 运动的线速度大小之比为1∶2
1 2
答案 B
解析 小球运动的轨迹圆在水平面内，运动形式为匀速圆周运动，在指向轨迹圆圆心方向列
向心力表达式方程，在竖直方向列平衡方程，可得拉力大小F ＝，F ＝，则＝，A选项错
T1 T2
误；向心力大小F＝mgtan 30°，F＝mgtan 60°，则＝，B选项正确；a＝，a＝，则＝，C
1 1 2 2 1 2
选项错误；由a＝，因连接两小球的悬点距两小球运动平面的距离相等可知，＝＝，D选项
错误．
5．(火车转弯)(多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图12所示，当火车以
规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为 v，重力加
速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
图12
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
答案 ABD
解析 火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二
定律有：mgtan θ＝m，解得：r＝，故A正确；根据牛顿第二定律有：mgtan θ＝m，解得：
v＝，可知火车规定的行驶速度与火车质量无关，故 B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D
正确．
物体所受合力不指向圆心，合力产生两个效果：
(1)沿半径方向的分力提供向心力，产生向心加速度a，改变速度的方向；
n
(2)沿切线方向的分力，产生切向加速度a，改变速度的大小，当a与v同向时，速度增大，
t t
做加速圆周运动，反之，则做减速圆周运动．
例5 水平转盘上距转轴1.2 m处放置一个10 kg的物体(可视为质点)，物体与转盘间的动
摩擦因数为0.13.当转盘转动后，可使物体以0.5 m/s2的切向加速度做加速圆周运动，经过多
少时间物体和转盘发生相对滑动？(滑动摩擦力等于最大静摩擦力)
答案 2.4 s
解析 物体做加速圆周运动，所以静摩擦力不指向圆心，(如图)把静摩擦力分解，
可知F ＝ma
f1
F ＝m2
f2
当物体恰好滑动时：(μmg)2＝F 2＋F 2
f1 f2
联立以上三式，解得v＝1.2 m/s
物体沿圆周做加速运动，所以t＝＝2.4 s.
课时精练
1．(多选)关于匀速圆周运动的说法，正确的是( )
A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度
B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度
C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动
D．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动
答案 BD
解析 速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在
改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以
匀速圆周运动是变加速曲线运动，故B、D正确，A、C错误．2.(2019·山西六校联考)如图1所示，小物块A与圆盘保持相对静止，随圆盘一起做匀速圆周
运动，则下列关于小物块A受力情况的说法中正确的是( )
图1
A．受重力、支持力和向心力
B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C．受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
D．受重力、支持力、指向圆心的摩擦力和指向圆心的向心力
答案 B
3.(多选)(八省联考·重庆·8)如图2所示，一轻绳穿过水平桌面上的小圆孔，上端拴物体M，
下端拴物体N.若物体M在桌面上做半径为r的匀速圆周运动时，角速度为ω，线速度大小
为v，物体N处于静止状态，则(不计摩擦)( )
图2
A．M所需向心力大小等于N所受重力的大小
B．M所需向心力大小大于N所受重力的大小
C．v2与r成正比
D．ω2与r成正比
答案 AC
解析 N物体静止不动，绳子拉力与N物体重力相等，M物体做匀速圆周运动，绳子拉力完
全提供向心力，即T＝m g＝F ，所以M所需向心力大小等于N所受重力的大小，A正确，
N 向
B错误；根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F ＝m g＝m，则v2与r成正比，C正确；
向 N
根据向心加速度公式和牛顿第二定律得F ＝m g＝mω2r，则ω2与r成反比，D错误．
向 N
4.(多选)(2020·辽宁丹东市质检)在如图 3 所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为
2∶3∶6，当齿轮转动的时候，关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点，( )
图3
A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．以上三个选项只有一个是正确的
答案 AC
解析 题图中三个齿轮边缘线速度大小相等，则A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v
＝ωr可知，线速度一定时，角速度与半径成反比，则 A点和B点角速度之比为3∶1，故
A、C正确，B、D错误．
5.(2018·浙江11月选考·9)如图4所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路
面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断
正确的是( )
图4
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
答案 D
解析 汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，向心力是由摩擦力提供的，A错误；汽
车转弯的速度为20 m/s时，根据F＝m，得所需的向心力为1.0×104 N，没有超过最大静摩
n
擦力，所以汽车不会发生侧滑，B、C错误；汽车安全转弯时的最大向心加速度为a ＝＝7.0
m
m/s2，D正确．
6.未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想
在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图5所示．当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，
宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力．为达
到上述目的，下列说法正确的是( )
图5
A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大
B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小
C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大
D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小答案 B
解析 根据向心力的公式ma ＝mω2r，要想使宇航员在旋转舱内受到侧壁的弹力等于站在地
n
球表面受到地面的支持力，旋转舱的向心加速度 a 应等于重力加速度，旋转舱的半径越大，
n
转动的角速度应该越小，选项A错误，B正确；旋转舱的角速度与宇航员的质量无关，选项
C、D错误．
7.如图6所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋
转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确
的是( )
图6
A．A的速率比B大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
答案 D
解析 A、B绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ω ＝ω ，但r β，则( )
图11
A．A的质量一定小于B的质量
B．A、B受到的摩擦力可能同时为零
C．若A不受摩擦力，则B受沿容器壁向上的摩擦力
D．若ω增大，A、B受到的摩擦力可能都增大
答案 D
解析 当B受到的摩擦力恰为零时，受力分析如图；根据牛顿第二定律得：mgtan β＝
mω 2Rsin β，解得：ω ＝，同理可得：ω ＝，物块转动角速度与物块的质量无关，所以无法
B B A
判断物块质量的大小，故A错误；由于α>β，所以ω >ω ，即A、B受到的摩擦力不可能同
A B
时为零，故B错误；若A不受摩擦力，此时转台的角速度为ω＝ω >ω ，则B物块有向上的
A B
运动趋势，所以此时B受沿容器壁向下的摩擦力，故C错误；如果转台的角速度ω>ω ，A
A
和B受沿容器壁向下的摩擦力，如果ω增大，A、B受到的摩擦力都增大，故D正确．
13.如图12所示，质量为m＝1.2 kg的小球P(可以看成质点)，用两根轻绳OP和O′P在P
点拴结后再分别系于竖直轴上相距0.3 m的O、O′两点上，绳OP长0.5 m，绳O′P长0.4
m.图12
(1)今在小球上施加一方向与水平方向成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起．当绳O′P刚
伸直时，拉力F的大小是多少？(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2)
(2)如果撤去拉力F，使轴加速转动，求两绳绷紧时的最小角速度；
(3)如果撤去拉力F，使轴匀速转动，设绳O′P对球的作用力为F′，系统与轴一起转动的
角速度为ω，请写出F′与角速度ω的关系式并且作F′－ω2的图像．
答案 (1)10 N (2) rad/s (3)见解析
解析 (1)绳O′P刚拉直时，设OP绳拉力为F ，此时O′P绳子拉力为零，小球受力如图
T1
甲所示．根据几何关系可得：sin α＝，所以有：α＝37°，根据共点力的平衡条件可得：
Fcos θ＝F cos α，Fsin θ＋F sin α＝mg，联立解得F＝10 N；
T1 T1
(2)如果撤去力F，使轴加速转动，角速度最小对应的是O′P绳的拉力为零，合力提供向心
力，故：F ＝mgtan 53°＝mω2r ，解得：ω＝ rad/s；
合 O′P
(3)当角速度大于 rad/s时，绳子O′P有拉力，球受重力、两个拉力，合力提供向心力．如
图乙所示，竖直方向：F ′sin 37°＝mg，水平方向：F′＋F ′cos 37°＝mω2r ，联立解
T1 T1 O′P
得：F′＝0.48ω2－16，作F′－ω2的图像，如图丙所示．
