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绝密★启用前
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1) B．(-2，1)
C．(-3，-1) D．(3，+∞)
2．设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
uuur uuur uuur uuur uuur
3．已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则AB×BC=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业
取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器
的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格
朗日L 点的轨道运行．L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M ，
2 2 １
月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力
２ 2
定律，r满足方程：
M M M
1 + 2 =(R+r) 1 .
(R+r)2 r2 R3
r 3a3+3a4 +a5
设a= ，由于a的值很小，因此在近似计算中 »3a3，则r的近似值
R (1+a)2
为
M M
A． 2R B． 2 R
M 2M
1 1
第1页 | 共5页3M M
C．3 2R D．3 2 R
M 3M
1 1
5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评
分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，
不变的数字特征是
A．中位数 B．平均数
C．方差 D．极差
6．若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
x2 y2
8．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点，则p=
3p p
A．2 B．3
C．4 D．8
p p p
9．下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
2 4 2
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
p
10．已知α∈(0， )，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
2
1 5
A． B．
5 5
3 2 5
C． D．
3 5
x2 y2
11．设F为双曲线C： - =1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的
a2 b2
圆与圆x2 + y2 =a2交于P，Q两点.若 PQ = OF ，则C的离心率为
A． 2 B． 3
第2页 | 共5页C．2 D． 5
12．设函数 f(x)的定义域为R，满足 f(x+1)=2 f(x)，且当xÎ(0,1]时，
8
f(x)= x(x-1).若对任意xÎ(-¥,m]，都有 f(x)³- ，则m的取值范围是
9
æ 9ù æ 7ù
A．ç -¥,
ú
B．ç -¥,
ú
è 4û è 3û
æ 5ù æ 8ù
C．ç -¥,
ú
D．ç -¥,
ú
è 2û è 3û
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点
率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁
列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.
14．已知 f(x)是奇函数，且当x<0时， f(x)=-eax.若 f(ln2)=8，则a=__________.
π
15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B= ，则△ABC的面
3
积为__________.
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面
体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2
是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方
体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2
分，第二空3分.）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题
，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
第3页 | 共5页如图，长方体ABCD–A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
1 1 1 1 1 1
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
（2）若AE=A E，求二面角B–EC–C 的正弦值.
1 1
18．（12分）
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多
得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得
分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10
平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
19．（12分）
已知数列{a }和{b }满足a =1，b =0，4a =3a -b +4 ，4b =3b -a -4.
n n 1 1 n+1 n n n+1 n n
（1）证明：{a +b }是等比数列，{a –b }是等差数列；
n n n n
（2）求{a }和{b }的通项公式.
n n
20．（12分）
x+1
已知函数 f x=lnx- .
x-1
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x 是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x ，ln
0 0
x )处的切线也是曲线y =ex的切线.
0
21．（12分）
1
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为
2
曲线C.
第4页 | 共5页（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结Q
E并延长交C于点G.
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，O为极点，点M(r,q)(r >0)在曲线C:r=4sinq上，直线l过点
0 0 0
A(4,0)且与OM 垂直，垂足为P.
p
（1）当q= 时，求r及l的极坐标方程；
0 3 0
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知 f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
（1）当a =1时，求不等式 f(x)<0的解集；
（2）若xÎ(-¥,1]时， f(x)<0，求a的取值范围.
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