文档内容
初中函数知识点总结
一次函数
一、函数
、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量。
1
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 和 ，并且对于 的每一个确定的值，
2 x y x
都有唯一确定的值与其对应， 那么我们就把 称为自变量，把 称为因变量， 是 的函数 。
y x y y x
判断 是否为 的函数，只要看 取值确定的时候， 是否有唯一确定的值与之对应
* Y X X Y
、定义域： 一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
3
、确定函数定义域的方法：
4
（ ）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
1
（ ）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
2
（ ）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
3
（ ）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
4
（ ）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5
、函数的解析式： 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式
5
、函数的图像
6
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那
么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
、描点法画函数图形的一般步骤
7
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中
数值对应的各点）；
1第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
、函数的表示方法
8
列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间
的对应规律。
解析式法：简单明了， 能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系， 但有
些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
二、平面直角坐标系
、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。其中水平的
1
数轴叫做横轴（或 轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（ 轴），取向上为正方向；
x y
两轴的交点 叫做原点。在平面内，原点的右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。
O
、坐标平面内被 轴、 轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第一象限、第二象限、
2 x y
第三象限、第四象限
注意： 轴、 轴原点不属于任何象限。
x y
、平面直角坐标系中的点分别向 轴、 轴作垂线段，在 轴上垂足所显示的数称为该点的横
3 x y x
坐标，在 轴上垂足所显示的数称为该点的纵坐标。点的坐标反映的是一个点在平面内的位置。
y
写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括号括起来。
如 （ ， ）横坐标为 ，纵坐标为 。
P 3 2 3 2
特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。
所以点的坐标是一对有顺序的实数，称为有序实数对。
、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。
4
、坐标的特征
5
2（ ）在第一象限内的点 横坐标是正数 纵坐标是正数；在第二象限内的点 横坐标是负数 纵坐
1 , , , ,
标是正数；在第三象限内的点 横坐标是负数 纵坐标是负数；在第四象限内的点 横坐标是正数
, , , ,
纵坐标是负数；
（ ） 轴上点的纵坐标等于零； 轴上点的横坐标等于零。
2 x y
、对称点的坐标特征
6
（ ）关于 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；
1 x
（ ）关于 轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；
2 y
（ ）关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反。
3
（ ）第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；
4
（ ）第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数。
5
、点到两坐标轴的距离
7
点 （ ， ）到 轴的距离为 ，点 （ ， ）到 轴的距离为 。
A a b x |b| A a b y |a|
三、一次函数
、一次函数的定义
1
y kx
b
k b k 0
一般地，形如 （ ， 是常数，且 ）的函数，叫做一次函数，其中 x 是自变
y kx
b 0
量。当 时，一次函数 ，又叫做正比例函数。
y kx b
（ 1 ）一次函数的解析式的形式是 ，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是
否能化成以上形式．
b
0 k 0 y kx
（ 2 ）当 ， 时， 仍是一次函数．
b 0 k 0
（ 3 ）当 ， 时，它不是一次函数．
（ ）正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
4
、正比例函数及性质
2
一般地，形如 是常数， ≠ 的函数叫做正比例函数，其中 叫做比例系数。
y=kx(k k 0) k
注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零 ) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零
3当 时，直线 经过一、三象限，从左向右上升，即随 的增大 也增大；当 时，
k>0 y=kx x y k<0 ?
直线 经过二、四象限，从左向右下降，即随 增大 反而减小．
y=kx x y
（ ）解析式： （ 是常数， ≠ ）
1 y=kx k k 0
（ ）必过点：（ ， ）、（ ， ）
2 0 0 1 k
（ 3 ）走向： k>0 时，图像经过一、三象限； k<0 时， ? 图像经过二、四象限
（ ）增减性： ， 随 的增大而增大； ， 随 增大而减小
4 k>0 y x k<0 y x
（ ）倾斜度： 越大，越接近 轴； 越小，越接近 轴
5 |k| y |k| x
、一次函数及性质
3
一般地，形如 ＋ 是常数， ≠ ，那么 叫做 的一次函数 当 时， ＋
y=kx b(k,b k 0) y x . b=0 y=kx b
即 ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数
y=kx .
注：一次函数一般形式 不为零 ① 不为零 ② 指数为 ③ 取任意实数
y=kx+b (k ) k x 1 b
b
的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线，我们称它为直线
一次函数 0 b - 0
y=kx+b
k
它可以看作由直线 平移 个单位长度得到。（当 时，向上平移；当 时，
y=kx+b, y=kx |b| b>0 b<0
向下平移）
b
（ ）必过点：（ ， ）和（ ， ）
（ ）解析式： 、 是常数， 2 0 b - 0
1 y=kx+b(k b k 0)
k
（ ）走向： ，图象经过第一、三象限； ，图象经过第二、四象限
3 k>0 k<0
，图象经过第一、二象限； ，图象经过第三、四象限
b>0 b<0
k 0 k 0
直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限
b 0 b 0
k 0 k 0
直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限
b 0 b 0
（ ）增减性： ， 随 的增大而增大； ， 随 增大而减小。
4 k>0 y x k<0 y x
（ ）倾斜度： 越大，图象越接近于 轴； 越小，图象越接近于 轴。
5 |k| y |k| x
（ ）图像的平移 ： 当 时，将直线 的图象向上平移 个单位；
6 b>0 y=kx b
4当 时，将直线 的图象向下平移 个单位。
b<0 y=kx b
一次
k kx b k 0
函数
k ，b k 0 k 0
符号 b 0
b 0 b 0 b 0 b 0 b 0
y y y y y y
图象
O O
O
O x O x O x x x x
性质 随 的增大而增大 随 的增大而减小
y x y x
、一次函数 ＋ 的图象的画法
4 y=kx b .
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，
所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可 一般情况下：是先选取它与两坐
.
标轴的交点：（ ， ）， 。即横坐标或纵坐标为 的点。
0 b 0
b>0 b<0 b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升， 随 的增大而增大
y x
k<0 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
5图象从左到右下降， 随 的增大而减小
y x
、正比例函数与一次函数之间的关系
5
一次函数 y=kx ＋ b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度而得
到（当 时，向上平移；当 时，向下平移）
b>0 b<0
“正比例函数”与“成正比例”的区别：
正比例函数一定是 这种形式，而成正比例则意义要广泛得多，它反映了两个量之间的
y=kx
固定正比例关系，如 a+3 与 b-2 成正比例，则可表示为： a+3=k （ b-2 ）（ k ≠ 0 ）
、正比例函数和一次函数及性质
6
正比例函数 一次函数
6
概 念 一般地，形如 是常数， 一般地，形如 ＋ 是常数， ≠
y=kx(k y=kx b(k,b k
≠ 的函数叫做正比例函数， ，那么 叫做 的一次函数 当 时，
k 0) 0) y x . b=0
其中 叫做比例系数 是 ，所以说正比例函数是一种特殊
k y=kx
的一次函数
.
自变量
为全体实数
X
范围
图 象 一条直线
b
（ ， ）和（ ， ）
必过点 （ ， ）、（ ， ） 0 b - 0
0 0 1 k
k
走 向 时，直线经过一、三象限； ＞ ， ＞ 直线经过第一、二、三象限
k>0 k 0 b 0,
时，直线经过二、四象限 ＞ ， ＜ 直线经过第一、三、四象限
k<0 k 0 b 0＜ ， ＞ 直线经过第一、二、四象限
k 0 b 0
＜ ， ＜ 直线经过第二、三、四象限
k 0 b 0
增减性 ， 随 的增大而增大；（从左向右上升）
k>0 y x
， 随 的增大而减小。（从左向右下降）
k<0 y x
倾斜度 越大，越接近 轴； 越小，越接近 轴
|k| y |k| x
图像的 时，将直线 的图象向上平移
b>0 y=kx b
个单位；
时，将直线 的图象向下平移
b<0 y=kx b
平 移
个单位。
6 、直线 y k 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系
（ 1 ）两直线平行 k 1 k 2 且b 1 b 2 （ 2 ）两直线相交 k 1 k 2
（ 3 ）两直线重合 k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 4 ）两直线垂直 k 1 k 2 1
、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
7
（ ）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
1
（ ）将 、 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未
2 x y
知数的方程；
（ ）解方程得出未知系数的值；
3
7（ ）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。
4
反比例函数
一、反比例函数
、函数的定义
1
y k
一般地，形如
（ 为常数， ≠ ）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面
k k 0
x
来理解：
（ ） 是自变量， 是 的反比例函数；
1 x y x
（ ）自变量 的取值范围是 ≠ 的一切实数，函数值的取值范围是 ≠
2 x x 0 y 0.
（ ）比例系数 ≠ 是反比例函数定义的一个重要组成部分；
3 k 0
（ ）反比例函数有三种表达式：
4
y k
①
（ ≠ ）
k 0
x
1
y kx
② （ k≠0 ）
③ x y k （定值）（ k ≠ 0 ）
y k x k
（ ） 函数（ ≠ ）与
5 k 0 （ ≠ ）是等价的，所以当 是 的反比例函数时， 也
k 0 y x x
x y
y k
时，
是 的反比例函数。（ 为常数， ≠ ）是反比例函数的一部分，当 k=0 就不是
y k k 0
x
k
y
反比例函数了，由于反比例函数 x （ ≠ ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应
k 0
值，就可以求出 的值，从而确定反比例函数的表达式。
k
8、用待定系数法求反比例函数的解析式
2
由于反比例函数（ ≠ ）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出 的值，
k 0 k
从而确定反比例函数的表达式。
、反比例函数的图像及画法
3
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四
象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量 ≠ ，函数值 ≠ ，所以它
x 0 y 0
的图像与 轴、 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
x y
反比例的画法分三个步骤：（ ）列表；（ ）描点；（ ）连线。再作反比例函数的图像时应注
1 2 3
意以下几点：
①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
、反比例函数的性质
4
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
k
反比例函数 y （ ≠ ）
k 0
x
的符号 ＞ ＜
k k 0 k 0
图像
9① 的取值范围是 ≠ ， 的取值 ① 的取值范围是 ≠ ， 的取
x x 0 y x x 0 y
范围是 ≠ 值范围是 ≠
y 0 y 0
性质
②当 时，函数图像的两个分支分 ②当 时，函数图像的两个分
k>0 k<0
别在一、三象限，在每个象限内， 支分别在二、四象限，在每个象
y
随着 的增大而减小 限内， 随着 的增大而增大
x y x
注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”否则，笼统地说， 当 时，
k>0 y
随 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。
x
反比例函数图像的位置和函数的增减性， 是有反比例函数系数 的符号决定的。 反过来，由反比
k
k
y
例函数图像（双曲线）的位置和函数的增减性，也可以推断出
k 的符号。如 在第一、三
x
象限，则可知 ＞ 。
k 0
☆反比例函数（ ≠ ）中比例系数 的绝对值的几何意义。
k 0 k
如图所示，过双曲线上任一点 （ ， ）分别作 轴、 轴的 垂
P x y x y
线， 、 分别为足，则
E F
矩形
k xy x y PF PE S OEPF
y k k
☆反比例函数
（ ≠ ）中， 越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线 y 越靠
k 0 k
x x
近坐标原点。
☆双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线
y=x
和直线 － 。
y= x
二次函数
一、二次函数
、函数概念
1
（ 1 ）二次函数的概念：一般地，形如 y ax 2 bx c（ a,b,c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二
10次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ≠ ，而 可以为零。二次函数
a 0 b,c
的定义域是全体实数。
（ 2 ）二次函数 y ax 2 bx c 的结构特征：
① 等号左边是因变量，右边是关于自变量的二次式， 的最高次数是 。
x 2
② 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项。
a,b,c a b c
、二次函数的基本形式
2
（ 1 ）二次函数基本形式： y ax 2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（ 2 ） y ax 2 c 的性质：上加下减。
（ 3 ） y a( x h) 2 的性质：左加右减。
11（ 4 ） y a( x h) 2 k 的性质：
、二次函数图象的平移
3
（ ）平移步骤：
1
方法一：
① 将抛物线解析式转化成顶点式 y a( x h) 2 k ，确定其顶点坐标 (h,k) ；
② 保持抛物线 y ax 2 的形状不变，将其顶点平移到 (h,k) 处，具体平移方法如下：
（ ）平移规律
2
12在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．
h k
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
① y ax 2 bx c 沿 轴 平 移 : 向 上 （ 下 ） 平 移 m 个 单 位 ， y ax 2 bx c 变 成
y ax 2 bx c m （或者 y ax 2 bx c - m ）
② y ax 2 bx c 沿 轴 平移 ： 向左 （右 ）平 移 m 个 单 位 ， y ax 2 bx c 变 成
y a(x m) 2 b(x m) c （或者 y a( x - m) 2 b(x - m) c）
2 2
、二次函数 y ( ) 与 y ax bx c 的比较
ax h k
4
a x h k
从解析式上看， y ( ) 2 与 y ax 2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配
方可以得到前者，
5 、二次函数 y ax 2 bx c 的性质
、二次函数解析式的表示方法
6
① 一般式： 2 （ 是常数， ≠ ）；
y=ax +bx+c a,b,c a 0
② 顶点式： 2 （ 是常数， ≠ ）；
y=a(x-h) +k a,h,k a 0
13③ 两根式： （ ≠ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）
y=a(x-x )(x-x ) a 0 x x x .
1 2 1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交
点式，只有抛物线与 轴有交点，即 2 ≥ 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次
x b -4ac 0
函数解析式的这三种形式可以互化。
、二次函数的图象与各项系数之间的关系
7
（ ）二次项系数
1 a
二次函数 y=ax 2 +bx+c 中， a 作为二次项系数，显然 a≠0 ．
① 当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；
② 当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大。
总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向，▏ ▏的大小决定开口的
a a a
大小．
（ ）一次项系数
2 b
在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴。
a b
总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置。
a b
14（ ）常数项
3
① 当 ＞ 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正；
c 0 y x y
② 当 c=0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ；
③ 当 ＜ 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负．
c 0 y x y
总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置。
c y
总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。
a,b,c
、二次函数解析式的确定：
8
根据已知条件确定二次函数解析式， 通常利用待定系数法． 用待定系数法求二次函数的解析式必
须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
① 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
② 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
③ 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
④ 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
、二次函数的图像对称
9
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
（ ）关于 轴对称
1 x
y=ax 2 +bx+c 关于轴对称后，得到的解析式是 y=-ax 2- bx-c ；
y=a(x-h) 2 +k 关于轴对称后，得到的解析式是 y=-a(x-h) 2 -k ；
（ ）关于 轴对称
2 y
152 关于轴对称后，得到的解析式是 2 ；
y=ax +bx+c y=ax -bx+c
2 关于轴对称后，得到的解析式是 2 ；
y=a(x-h) +k y=a(x+h) +k
（ ）关于原点对称
3
2 关于原点对称后，得到的解析式是 2 ；
y=ax +bx+c y=-ax +bx-c
y=a(x-h) 2 +k 关于原点对称后，得到的解析式是 y=-a(x-h) 2 -k ；
（ ）关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 °）
4 180
y=ax 2 +bx+c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y=-ax 2 -bx+c-b 2 ／2a ；
2 关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ．
y=a(x-h) +k y=-a(x-h) +k
（ ）关于点 ）对称
5 (m,n
2 关于点 ）对称后，得到的解析式是 2
y=a(x-h) +k ( m,n y=-a(x+h-2m) +2n-k
根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化， 因此 ▏ ▏永远不
a
变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习
惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线
的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。
、二次函数与一元二次方程：
10
（ ）二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）：
1 x
一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 是二次函数 y=ax 2 +bx+c 当函数值 y=0 时的特殊情况 .
图象与 轴的交点个数：
x
② 当△ 时，图象与轴只有一个交点；
=0
③ 当△＜ 时，图象与轴没有交点。
0
16当 ＞ 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ＞ ；
a 0 x x y 0
当 ＜ 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 ＜ 。
a 0 x x y 0
（ ）抛物线 2 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ；
2 y=ax +bx+c y (0,c)
（ ）二次函数常用解题方法总结：
3
① 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
x
② 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
③ 根据图象的位置判断二次函数 y ax 2 bx c 中 a,b,c 的符号，或由二次函数中 a,b,c 的符
号判断图象的位置，要数形结合；
④ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知
与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
.
⑤ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax 2 ≠ 本身就是所含字母 的二
+bx+c(a 0) x
次函数；下面以 ＞ 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
a 0
17锐角三角函数
一、锐角三角函数
、锐角三角函数的定义
1
、锐角三角函数的概念
2
锐角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠ 的锐角三角函数。
A A
、一些特殊角的三角函数值
3
18、各锐角三角函数之间的关系
4
192021
