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2023-2024 学年八年级数学上学期期末模拟考试
全 解 全 析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版八上全部。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求.全部选对的得3分，选错得0分）
1．在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义即可判断．
【解答】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一
条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对
称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
2．下列运算中，正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．x2+x2＝x4 B．（﹣x3y）2＝﹣x6y2
C．x6÷x2＝x3 D．4x2•3x＝12x3
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则、单项式乘单
项式乘法法则解决此题．
【解答】解：A．根据合并同类项法则，x2+x2＝2x2，那么A错误，故A不符合题意．
B．根据积的乘方与幂的乘方，（﹣x3y）2＝x6y2，那么B错误，故B不符合题意．
C．根据同底数幂的除法法则，x6÷x2＝x4，那么C错误，故C不符合题意．
D．根据单项式乘单项式的乘法法则，4x2•3x＝12x3，那么D正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法、单项式乘单
项式，熟练掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、同底数幂的除法法则、单项式乘
单项式法则是解决本题的关键．
3．如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明
△ABC≌△DEF（ ）
A．BE＝CF B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、BE＝CF可以求出BC＝EF，然后利用“SAS”证明△ABC≌△DEF，故
本选项错误；
B、∠A＝∠D可以利用“ASA”证明△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、AC＝DF符合“SSA”，不能证明△ABC≌△DEF，故本选项正确．
D、由AC∥DF可得∠F＝∠ACB，然后利用“AAS”证明△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法
是解题的关键．
4．华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记
数法表示为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣9 D．0.7×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字
前面的0的个数所决定．
【解答】解：数0.00 000 0007用科学记数法表示为7×10﹣9．
故选： B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n
为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．如图，六边形ABCDEF的每个内角相等，若∠1＝58°，则∠2的度数为（ ）
A．58° B．59° C．60° D．61°
【分析】先根据多边形内角和定理，再联系题目即可得到答案．
【解答】解：∵六边形ABCDEF的每个内角相等，
∴∠B＝∠C＝∠CDE＝120°，
∴∠CDA＝360°﹣58°﹣120°﹣120°＝62°，
∴∠2＝∠CDE﹣∠CDA＝58°，
故选：A．
【点评】本题考查了多边形内角和定理，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点
E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（ ）
A．10 B．16 C．8 D．5
【分析】先根据角平分线的性质定理证得 AD＝DE，根据△ABC与△CDE的周长分别为
13和3证得AB＝BE＝5．
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
{BD=BD
，
AD=ED
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，
∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3，
∴AB+BE＝10，
∴AB＝BE＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距
离相等是解题的关键．
7．若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为（ ）
A．±5 B．5 C．±4 D．4
【分析】根据a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，可以得到（a+b）2＝25，然后即可得到a+b
的值．
【解答】解：∵a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，
∴（a2+ab）+（b2+ab）＝（16+m）+（9﹣m），
∴（a+b）2＝25，
∴a+b＝±5，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．
8．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，
两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住
她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在
C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．1m B．1.4m C．1.6m D．1.8m
【分析】由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△COE≌△OBD，
由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案．
【解答】解：由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOD＝∠BOD+∠OBD＝90°．
∴∠COE＝∠OBD，
在△COE和△OBD中，
{∠COE=∠OBD
∠CEO=∠ODB，
OC=OB
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD，OE＝BD，
∵BD、CE分别为1.4m和1.8m，
∴DE＝OD﹣OE＝CE﹣BD＝1.8﹣1.4＝0.4（m），
∵AD＝1m，
∴AE＝AD+DE＝1.4（m），
答：爸爸是在距离地面1.4m的地方接住小丽的．
故选： B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形的性质，证明△COE≌△OBD是解
题的关键．
2ax+3 3
9．关于x的方程 = 的解为x＝1，则a＝（ ）
a−x 4
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据方程的解的定义，把 x＝1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程
学科网（北京）股份有限公司转化为含有a的新方程，解此新方程可以求得a的值．
2a+3 3
【解答】解：把x＝1代入原方程得， =
a−1 4
去分母得，8a+12＝3a﹣3．
解得a＝﹣3．
故选：D．
【点评】解题关键是要掌握方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解．
10．如图，已知∠AOB＝120°，点D是∠AOB的平分线上的一个定点，点E，F分别在射
线OA和射线OB上，且∠EDF＝60°．下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形
DEOF 的面积是一个定值；③当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，
DF也平行于OA．其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】过点D作DM⊥OB于点M，DN⊥OA于点N，如图所示：根据角平分线的性质
得到DM＝DN，求得∠MDN＝60°，根据全等三角形的判定和性质得到DE＝DF，根据等
边三角形的判定定理得到△DEF是等边三角形；故①正确；根据全等三角形 到现在得到
＝S ，求得S +S ＝S +S ，即S ＝S ，
△DEM △DFN △DEM 四边形DEON 四边形DEON △DFN 四边形DEOF 四边形DMON
推出四边形DEOF的面积是一个定值，故②正确；根据垂线段最短，得到DE的值最小，
当DE最小时，△DEF的周长最小，于是得到当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最
小，故③正确，根据平行线的性质得到∠D＝∠DFB＝60°，求得∠DFB≠∠AOB，得到
DF一定与OA不平行，故④错误．
【解答】解：过点D作DM⊥OB于点M，DN⊥OA于点N，如图所示：
∵点D是∠AOB的平分线上的一点，
∴DM＝DN，
∵∠AOB＝120°，∠DNO＝∠DMO＝90°，
学科网（北京）股份有限公司∴∠MDN＝60°，
∵∠EDF＝60°，
∴∠EDN＝∠FDM，
∴△DEN≌△DFM（ASA），
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形；故①正确；
∵S ＝S ，
△DEM △DFN
∴S +S ＝S +S ，
△DEM 四边形DEON 四边形DEON △DFN
即S ＝S ，
四边形DEOF 四边形DMON
∵点D是∠AOB的平分线上的一个定点，
∴四边形DMON的面积是一个定值，
∴四边形DEOF的面积是一个定值，故②正确；
∵DE⊥OA，
∴点E与N重合，
∵垂线段最短，
∴DE的值最小，
当DE最小时，△DEF的周长最小，
∴当DE⊥OA时，DE最小，△DEF的周长最小，故③正确，
∵DE∥OB，∠D＝∠DFB＝60°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DFB≠∠AOB，
∴DF一定与OA不平行，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形 的判定和性质，平行线的判定
和性质，全等三角形的判定和性质，正确地最小辅助线是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案填在答题卡相应题号
学科网（北京）股份有限公司的横线上）.
x+1
11．要使分式 有意义，则x应满足的条件是 ．
x−2
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：依题意得：x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12．因式分解：2⇔x3﹣4x2+2x＝ ．
【分析】先提取公因式2x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：2x3﹣4x2+2x
＝2x（x2﹣2x+1）
＝2x（x﹣1）2．
故答案为2x（x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取
公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B
恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝ ．
【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED，
∵∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
∴∠CED＝65°，
∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°，
学科网（北京）股份有限公司故答案为：70°．
【点评】此题考查直角三角形的性质，关键是根据折叠的性质得出∠BCD＝∠ECD＝
45°，∠B＝∠CED．
14．如图，在△ABC中，AC＝BC，以点A为圆心，AB长为半径作弧交BC于点D，交
1
AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 CD的长为半径作弧，两弧相交于F，G两
2
点．作直线FG，若直线FG经过点E，则∠AEG的度数为 °．
【分析】连接AD、DE，如图，设∠C＝ ，利用基本作图得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C
α
1
＝ ，所以∠AED＝2 ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝90°− ，接
2
α α α
1
着利用AB＝AD得到∠ADB＝∠B＝90°− ，则根据∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°求出
2
α α
＝36°，然后利用三角形外角性质计算∠AEG的度数．
【解答】解：连接AD、DE，如图，设∠C＝ ，
由作法得EF垂直平分CD， α
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝ ，
∴∠AED＝∠EDCα+∠C＝2 ，
∵CA＝CB， α
1 1
∴∠B= （180°﹣∠C）＝90°− ，
2 2
α
∵AB＝AD，
1
∴∠ADB＝∠B＝90°− ，
2
α
学科网（北京）股份有限公司∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，
1
∴90°− +2 + ＝180°，
2
α α α
解得 ＝36°，
∴∠AαEG＝90°+∠C＝90°+36°＝126°．
故答案为126．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，
结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分
线的性质和等腰三角形的性质．
15．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值为 ．
【分析】由于x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，然后根据完全平方公式即可
得到关于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，
∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，
∴m＝5或﹣3．
故答案为：﹣3或5．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用；其中两数的平方和，再加上或减去它们积
的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
16．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为
．
【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定
理即可求出它的底角的度数．
【解答】解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
学科网（北京）股份有限公司②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．
故答案为：63°或27°．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题
的关键是熟练掌握三角形内角和定理．
2x−m x
17．已知关于x的方程 −1= 的解为正数，则m的取值范围是 ．
x−3 3−x
【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，
解不等式即可得答案．
【解答】解：去分母，得2x﹣m﹣（x﹣3）＝﹣x，
m−3
解得：x= ，
2
2x−m x
∵关于x的方程 −1= 的解为正数，
x−3 3−x
m−3
∴x= ＞0且x≠3，
2
∴m＞3且m≠9；
故答案为：m＞3且m≠9．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，解出分式方程，根据解为正数列出不等式是解题
关键．
18．如图，在△ABC中，以BC为底边在△ABC外作等腰△BCP，作∠BPC的平分线分别
交AB，BC于点F，E．若BC＝12，AC＝5，△ABC的周长为30，点M是直线PF上的一
学科网（北京）股份有限公司个动点，则△MAC周长的最小值为 ．
【分析】根据点 B与点 C 关于 PE对称，即可得出 CF＝BF，当点M与点 F重合时，
MC+MA＝MB+MA＝AB，此时△MAC的周长最小，根据AC与BC的长即可得到△ACM周
长的最小值．
【解答】解：∵△PBC是以BC为底边的等腰三角形，PE平分∠BPC，
∴PE垂直平分BC，
∴点B与点C关于PE对称，
∴CF＝BF，
如图所示，当点M与点F重合时，MC+MA＝MB+MA＝AB，
此时△MAC的周长最小，
∵AC＝5，BC＝12，△ABC的周长为30，
∴AB＝13，
∴△MAC周长的最小值为AB+AC＝13+5＝18，
故答案为：18．
【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性
质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，请认真读题，冷静思考，请把解题过程写在
答题卡相应题号的位置）
学科网（北京）股份有限公司19．（每小题4分，共8分）计算：
2 2m+2
（1）（a+2b）2﹣a（a+4b）； （2）( +1)÷ ．
m−1 m2−2m+1
【分析】（1）根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类
项即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
【解答】解：（1）（a+2b）2﹣a（a+4b）
＝a2+4ab+4b2﹣a2﹣4ab
＝4b2；
2 2m+2
（2）( +1)÷
m−1 m2−2m+1
2+m−1 (m−1) 2
= •
m−1 2(m+1)
m+1 (m−1) 2
= •
m−1 2(m+1)
m−1
= ．
2
【点评】本题考查分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关
键．
20．（每小题4分，共8分）解下列分式方程：
1 1−x x 2x−1
（1） = −3； （2） − =1．
x−2 2−x x−1 x2−1
【分析】（1）先把分式方程两边同时乘以（2﹣x），转化成整式方程，求出整式方程的
解，再进行检验即可；
（2）先把分式方程两边同时乘以（x2﹣1），转化成整式方程，求出整式方程的解，再进
行检验即可．
1 1−x
【解答】解：（1） = −3
x−2 2−x
﹣1＝1﹣x﹣3（2﹣x），
﹣1＝1﹣x﹣6+3x，
﹣2x＝﹣4，
x＝2，
学科网（北京）股份有限公司当x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是原方程的增根，此方程无解；
x 2x−1
（2） − =1
x−1 x2−1
x（x+1）﹣（2x﹣1）＝x2﹣1，
x2+x﹣2x+1＝x2﹣1，
﹣x＝﹣2，
x＝2
当x＝2，x﹣1≠0，x2﹣1≠0，
∴x＝2是方程的解．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握转化思想，把分式方程转化为整式方程求解是关键．
a2−4 a a2+2a
21．（满分 6 分）先化简，再求值：( − )÷ ，且 a 的值满足
a2−4a+4 a−2 a−2
a2+2a﹣8＝0．
【分析】根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，整体代入计算即可．
(a+2)(a−2) a a−2
【解答】解：原式＝[ − ]•
(a−2) 2 a−2 a(a+2)
a+2 a a−2
＝（ − ）•
a−2 a−2 a(a+2)
2 a−2
= •
a−2 a(a+2)
2
=
，
a2+2a
∵a2+2a﹣8＝0，
∴a2+2a＝8，
2 1
∴原式= = ．
8 4
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
22．（满分6分）如图，点E在△ABC边AC上，AE＝BC，BC∥AD，∠CED＝∠BAD．
（1）求证：△ABC≌△DEA；
（2）若∠ACB＝30°，求∠BCD的度数．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE＝∠BCA，进而利用三角形外角性质得出
∠ADE＝∠CAB，利用AAS证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵BC∥AD，
∴∠DAE＝∠BCA，
∵∠CED＝∠DAE+∠ADE，∠BAD＝∠DAE+∠CAB，
∵∠CED＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠CAB，
在△ABC与△DEA中，
{∠DAE=∠BCA
∠ADE=∠CAB，
AE=BC
∴△ABC≌△DEA（AAS），
（2）解：∵△ABC≌△DEA，
∴∠ACB＝∠DAE＝30°，AD＝AC，
180°−30°
∴∠ACD= =75°，
2
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝75°+30°＝105°．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据AAS证明三角形全等解答．
23．（满分8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0）， C
（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，以及与△ABC关于y轴对称的△DEF；
（2）△ABC的面积是 ；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）先利用关于y轴对称的点的坐标特征得到D、E、F的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
1
（3）设P点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到 ×|t﹣2|×1＝4，然后求出t得到
2
P点坐标．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△DEF为所作；
1 1 1
（2）△ABC的面积＝4×3− ×2×1− ×2×3− ×2×4＝4；
2 2 2
故答案为4；
（3）设P点坐标为（t，0），
∵△ABP的面积为4，
1
∴ ×|t﹣2|×1＝4，
2
解得t＝﹣6或10，
∴P点坐标为（﹣6，0）或（10，0）．
学科网（北京）股份有限公司【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图
形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了三角形面积公式．
24．（满分8分）为顺利通过“文明城市”验收，我市拟对城区部分排水骨道公用设施全
面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程，现有甲、乙两个工程队有
意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此
项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成．
（1）甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，请你设
计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．
【分析】（1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5x天．
再根据“甲、乙两队合作完成工程需要12天”，列出分式方程，解方程即可；
（2）根据（1）中的结果可知，符合要求的施工方案有三种，方案一：甲工程队单独完成；
方案二：乙工程队单独完成；方案三：甲、乙两队合作完成．分别计算出所需的工程费用，
再比较即可．
【解答】解：（1）设甲工程队单独完成该工程需 x天，则乙工程队单独完成该工程需
1.5x天，
12 12
根据题意得： + =1，
x 1.5x
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×20＝30，
答：甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天；
（2）∵甲、乙两工程队均能在规定的一个月内单独完成，
∴有如下三种方案：
方案一：甲工程队单独完成．所需费用为：4×20＝80（万元）；
方案二：乙工程队单独完成．所需费用为：3×30＝90（万元）；
方案三：甲乙两队合作完成．所需费用为：（4+3）×12＝84（万元）．
∵90＞84＞80，
∴选择甲工程队承包该项工程，既能按时完工，又能使工程费用最少．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（满分10分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成
学科网（北京）股份有限公司四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．
（1）观察如图2填空：正方形ABCD的边长为 ，阴影部分的小正方形的边长为
；
（2）观察图2，试猜想式子（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并证明你的结
论；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
①已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，求a+b的值；
2 2
②已知a＞0，a− =1，求a+ 的值．
a a
【分析】（1）根据图形，正方ABCD的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方
形的边长等于小长方形两边的差；
（2）阴影部分的面积可以直接用边长的平方求解，也可用大正方形的面积减去四个小长
方形是面积，由此解答即可；
2
（3）先利用（2）中的结论求(a+ ) 2 的值，然后求解即可．
a
【解答】（1）解：正方ABCD的边长为m+n，阴影部分的正方形的边长为m﹣n；
故答案为：m+n，m﹣n；
（2）解：（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn，
理由如下：（m+n）2＝m2+2mn+n2
＝m2﹣2mn+n2+4mn
＝（m﹣n）2+4mn；
（3）①由（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
∵a﹣b＝5，ab＝﹣6，
∴（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1，
∴a+b＝±1；
2 2 2 2 2
②由（2）(a+ ) 2=(a− ) +4a⋅ =(a− ) 2+8，
a a a a
学科网（北京）股份有限公司2
∵a− =1，
a
2
∴(a+ ) 2=12+8=9，
a
2
∴a+ =±3，
a
又a＞0，
2
∴a+ ＞0，
a
2
∴a+ =3．
a
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进
行求解是解决本题的关键．
26．（满分12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（0，a）、B（b，0）且a、b满
{a+2b=−2
足 ．
a−2b=6
（1）求证：∠OAB＝∠OBA；
（2）若BC⊥AC，求∠ACO的度数；
（3）如图2，若D是AO的中点，DE∥BO，F在线段AB的延长线上，∠EOF＝45°，连
接EF，试探究OE和EF的关系．
【分析】（1）解方程组求出a、b即可解决问题；
（2）如图 1 中，过点 O 作 OK⊥OC 交 AC 于点 K，设 OB 交 AC 于 J．证明
△AOK≌△BOC（ASA），则可得出结论．
（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交
HG 于 I，利用已知条件证明△HFG≌△BFO（SAS），得到 GH＝OB＝OA，再证明
学科网（北京）股份有限公司△EIG≌△EDO（AAS）得到EG＝EO，进而FE＝EO且FE⊥EO（三线合一）．
{a+2b=−2
【解答】（1）证明：∵a、b满足 ，
a−2b=6
{ a=2
∴ ，
b=−2
∴A（0，2），B（﹣2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴∠OBA＝∠OAB＝45°，
（2）解：如图1中，过点O作OK⊥OC交AC于点K，设OB交AC于J．
∵AC⊥BC，
∴∠AOJ＝∠BCI＝90°，
∵∠AJO＝∠BJC，
∴∠CBO＝∠KAO，
∵∠AOB＝∠COK＝90°，
∴∠AOK＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴△AOK≌△BOC（ASA），
∴OK＝OC，
∴∠ACO＝∠OKC＝45°．
（3）过点F作FG⊥OF交OE的延长线于G，过点F作FH⊥FB交x轴于H，延长DE交
HG于I，
学科网（北京）股份有限公司∵∠EOF＝45°，∠HBF＝∠ABO＝45°，
∴△OFG、△HFB为等腰直角三角形，
∵∠HFG+∠GFB＝90°，∠BFO+∠GFB＝90°，
∴∠HFG＝∠BFO，
∵FG＝FO．FH＝FB，
∴△HFG≌△BFO（SAS），
∴GH＝OB＝OA，
又∵∠GHF＝∠OBF＝135°，
∴∠GHO＝90°，
∴HI＝OD＝IG，
∴△EIG≌△EDO（AAS），
∴EG＝EO，
∴FE＝EO，FE⊥EO．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定
和性质、解二元一次方程组等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
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