1_小数除法计算19大考点汇总(1)_小学全网线上同款资料_k92_数学

五年级数学上册常考易错计算题典型例题 ★★小数除法的 19 大考点★★ 【考点一】除数是整数的小数除法 列竖式计算。 9.6÷4＝ 25.2÷6＝ 34.5÷15＝ 列竖式计算。 3.88÷4＝ 2.688÷48＝ 26.52÷16＝ 列竖式计算。 24÷15＝ 85.2÷12＝ 72÷15＝ 列竖式计算。 47.2÷4＝ 56.5 ÷5＝ 38.4÷6＝【考点二】除数是小数的小数除法 列竖式计算。（第③题要验算） 8.1÷4.5＝ 98.4÷4.8＝ 34.2÷0.76＝ 列竖式计算。 3.64÷5.2＝ 42.36÷0.6＝ 22.08÷2.3＝ 列竖式计算。 6.25÷25＝ 8.5÷3.4＝ 0.552÷0.16＝ 列竖式计算。 0.6÷0.08＝ 18.2÷0.65＝ 97.2÷8.1＝【考点三】小数除法估算（商的近似数） 列竖式计算。（得数保留两位小数） 4.68÷3.4≈ 11.9÷7.2≈ 列竖式计算。 1.55÷3.9≈ （保留两位小数） 14.6÷3.4≈ （保留整数） 列竖式计算。 0.138÷0.12＝ （保留一位小数） 11.9÷0.72≈ （保留一位小数） 列竖式计算。（得数保留一位小数） 48÷2.3≈ 1.55÷3.8≈ 7.09÷0.52≈【考点四】商与被除数的大小关系 【典型例题】 在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.4÷0.3( )2.4 90÷3.6( )9÷0.36 6.4÷4( )6.4 3.6÷0.4( )3.6 5.4÷0.6( )54 7.5÷0.5( )75÷5 【对应练习 1】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 62.7÷1.4( )62.7 32.5÷1( )32.5 18.4÷1.6( )18.4 26÷0.5( )26 71.8÷0.43( )71.8 50÷0.8( )50 【对应练习 2】 在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.59÷0.91( )3.59 6.3÷2.1( )63÷21 5.7×2( )5.7÷0.5 2.74×0.1( )2.74×10 57.3÷65.7( )57.3 23.1÷1.01( )23.1 【对应练习 3】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 10.65÷0.22( )10.65 39×10( )4.39÷0.1 4.7×0.97( )4.7 1÷0.125( )0.125×1 0.98÷9.8( )0.98 8.5×1.25( )8.5 【考点五】小数除法与商的变化规律。 【典型例题 1】商的变化规律其一。 根据 32.5÷26=1.25，写出下面各题的得数。3.25÷26＝( ) 325÷260＝( ) 【对应练习 1】 不计算，根据 4.85÷2.5＝1.94 写出下面各式的得数。 194×25＝( ) 48.5÷25＝( ) 0.485÷0.194＝( ) 19.4×0.25＝( ) 【对应练习 2】 已知 2546÷38＝67，请你直接写出下列各式的得数。 25.46÷38＝( ) 2.546÷0.38＝( ) 254.6÷3.8＝( ) 0.38×0.67＝( ) 【对应练习 3】 如果 912÷24＝38，那么请你直接写出下面算式结果：912÷2.4＝( )， 912÷0.24＝( )，0.912÷0.24＝( )。 【典型例题 2】商的变化规律其二。 1 两个数相除，商是 0.48，如果被除数不变，除数缩小到原来的 ，那么所 100 得的商是( )。 【对应练习 1】 一个算式的商是 20.2，如果被除数不变，除数扩大到原来的 100 倍，这时 商是( )；如果除数不变，被除数扩大到原来的 100 倍，这时商是 ( )。 【对应练习 2】 88.4÷1.7 的商是( )，如果被除数不变，除数扩大到原来的 10 倍， 商是( )。 【对应练习 3】 两个数相除的商是 74.6，如果被除数缩小到原来的十分之一，除数不变， 则商是( )。【考点六】小数除法与商不变的性质 【典型例题】 两个数的商是 3.6，如果除数扩大到原来的 100 倍，要使商不变，被除数应 该( )。 【对应练习 1】 计算 0.387÷0.45 时，把除数看成整数 45，要使商不变，被除数应变成 ( )。 【对应练习 2】 两个数相除，被除数扩大到原来的 6 倍，要使商不变，除数应( )。 【对应练习 3】 1 两个数相除的商是 2.5，要使商不变，被除数缩小到原来的 ，除数 100 ( )。 【考点七】小数除法与单位换算 【典型例题】 在横线里填上合适的数。 36 分＝( )时 ( )千克＝80 克 6 公顷＝( )平方米 【对应练习 1】 在括号里填上合适的数。 15 分钟＝( )小时 50 厘米＝( )米 320 千克＝( )吨 420 平方分米＝( )平方米 【对应练习 2】 填上合适的数。 8000 平方米＝( )公顷 0.56 米＝( )厘米 2050 克＝( )千克 36 分＝( )时【对应练习 3】 在括号里填上合适的数。 265 厘米＝( )分米＝( )米 5 吨 750 千克＝( )吨 2.05 千克＝( )千克( )克 13000000 平方米＝( )公顷＝( )平方千米 【考点八】小数除法竖式的意义 【典型例题】 小明列竖式计算“5.36÷1.3”的商，如图所示，当商为 4.1 时，余数为“3”， 这里的“3”表示( )。 A．3 个一 B．3 个十分之一 C．3 个百分之一 D．3 个千分之一 【对应练习 1】 用竖式计算“15.4÷4”的过程如图，箭头所指“20”表示的意义是( )。 A．20 个一 B．20 个 0.1 C．20 个 0.01 D．2 个 10 【对应练习 2】 如图除法竖式箭头指向的“3”表示的是( )。A．3 个一 B．3 个十分之一 C．3 个百分之一 D．3 个千分之一 【对应练习 3】 如图竖式中，“15”表示的是( )。 A．15 个十 B．15 个一 C．15 个十分之一 D．15 个百分之一 【考点九】小数的分类 【典型例题】 在 8.5454，3.1415926…，8.5454…，8.4545， . .中，有限小数有( )， 0.74 无限小数有( )，循环小数有( )。 【对应练习 1】 在 0.4343、3.2126、3.88…、0.35656…、0.19 中，有限小数有( )， 无限小数有( )，循环小数有( )。 【对应练习 2】 在 0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中，有限小数有( )， 无限小数有( )，循环小数有( )。 【对应练习 3】 在 0.23、5.1666…、3.888、3.14159…、  、这些数中，有限小数是 7.045 ( )，无限小数是( )，循环小数是( )。【考点十】循环小数的表示方法 【典型例题】 在 4.421421…、4.04213…、4.421 中，循环小数是( )，它的循环 节是( )，用循环小数的简便形式记作( )。 【对应练习 1】 5.7373…用简便方法表示为( )，保留两位小数约是( )。 【对应练习 2】 的商用循环小数的简便记法表示是( )，精确到百分位是 3  22 ( )。 【对应练习 3】 算式 5÷9 的商，用循环小数的简便形式可以写作( )，把这商精确 到千分位约是( )。 【考点十一】循环小数的大小比较 【典型例题】 在   、5.211、5.21、  中，最大的数是( )，最小的数是( )。 5.21 5.2 【对应练习 1】 在 6.565， 6.565 ，6.5， 6.5 ， 6.56这五个数中，最大的数是( )，最小 的数是( )。 【对应练习 2】 在 8.273、  、   、8.27 四个小数中，最大的是( )，最小的是 8.27 8.27 ( )。 【对应练习 3】 在  ，   ，   ，   四个数中，最大的数是( )，最小的数是 3.38 3.38 3.308 3.308 ( )。【考点十二】循环小数与周期问题其一：求数 【典型例题】 7.12585858…的小数点后面第 100 位数字是( )。 【对应练习 1】 28÷11 的商是( )，小数点后面第 2020 位上的数字是( )。 【对应练习 2】 把 3÷7 的商用循环小数简便记法表示是( )，小数点后面第 99 位是 ( )。 【对应练习 3】 14.1÷11 的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )， 同时小数点后面第 2022 位上的数字是( )。 【考点十三】循环小数与周期问题其二：求和 【典型例题】 1÷27 的商的小数点后面 100 个数字和是多少？ 【对应练习 1】 循环小数  的小数部分前 500 个数字之和是多少？ 0.2358978 【对应练习 2】 6÷7 的商是循环小数，那么商的小数点后的第 2019 位上的数字是几？小数部分前 2019 位上的所有数字之和是多少？ 【对应练习 3】 5÷11 的商是一个循环小数，小数点后的第 199 位数字是几？小数点后前 50 位上的数字的和是多少？ 【考点十四】循环小数与周期问题其三：求最值 【典型例题】 在循环小数 中，小数部分前 60 位上的数字和是 240，这个循环小数最大 0 .a b c 是( )。（用循环小数的简便形式写）。 【对应练习 1】 循环小数 5.abcabc…中，已知 a、b、c 代表不同的数字，且小数部分的前 96 位数字的和是 160，这个循环小数最小是( )。 【对应练习 2】 一个循环小数 0.abab…（a，b 都是非 0 自然数），这个数的小数部分前 10 位上的数字和是 50，这个循环小数最大是( )，最小是( )。 【对应练习 3】 循环小数 . .中，小数前 90 位上的数字的和是 180，这个循环小数最大是 0.A BC 多少？最小是多少？【考点十五】小数除法混合运算 脱式计算。 37÷（2.63＋4.77） （4.1＋0.35）÷0.5 0.49÷0.07×0.2 1.6×0.4÷0.04 3.09×3.9÷2.6 60.8－36÷7.5 3.072÷6.4＋49.7 16.12÷3.1×2.4 3.72÷1.24×1.9 4.05÷0.5＋10.75 6.8×0.75÷0.5 13.75÷0.125–2.75 42÷(5.25÷0.25) 1.53+23.4÷7.2【考点十六】小数除法简便计算 【典型例题】 简便计算。 52.34÷2.5÷4 7.35÷（7.35×0.25） 【对应练习 1】 简便计算。 7.2÷1.25÷0.8 0.72÷0.5÷0.9 0.75×18÷0.15 【对应练习 2】 简便计算。 （8.1＋0.72）÷0.9 9.48÷0.25÷0.8 【对应练习 3】 简便计算。 7.45÷0.25÷0.8 7.45÷0.7＋6.55÷0.7【考点十七】小数除法算式规律 【典型例题】 找规律，直接写出得数。 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝( ) 8÷11＝( ) 【对应练习 1】 运用规律直接写得数。 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87 88.884÷9＝9.876 88.8885÷9 ＝( ) 【对应练习 2】 用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A ＝0.3636…，那么 10÷A＝( )。 【对应练习 3】 观察算式，运用规律直接填出得数。 1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝( ) 【考点十八】小数除法算式谜 【典型例题】 在 里填上合适的数字。【对应练习 1】 把下面竖式补充完整。 【对应练习 2】 如图，表示的是一道小数除法题的竖式计算过程，已知这道题的商等于 . . ， 7.145 那么竖式中的 A＝( )。 【对应练习 3】 填一填。【考点十九】小数除法的错解问题（将错就错） 【典型例题 1】符号错看。 明明在计算某数除以 1.6 时，错把除号看成乘号，算得结果是 5.12，正确 的商是( )。 【对应练习】 小燕在计算一个数除以 2.45 时，把 2.45 错看成 24.5 了，结果得 3.6，这 道题的正确结果是( )。 【典型例题 2】数字错看。 丹丹在计算一个数除以 2.6 时，把除号误看成乘号，得到的结果是 3.38， 正确的结果应该是( )。 【对应练习】 在计算一道除法算式时，乐乐把除数 0.28 看成 2.8，结果是 2.5，正确的商 是( )。 【典型例题 3】小数点错看。 小明在计算 30.6 除以一个数时，由于将商的小数点向右点错了一位，结果 得到了 204。这个除法算式的除数是( )。 【对应练习】 财务室会计结账时发现账款少了 23.04 元，经仔细核对发现是把一笔钱款的 小数点错点到左边一位，原来这笔钱款应该是( )元。【考点一】除数是整数的小数除法。 【方法点拨】 1.计算法则。 按照整数除法的计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果被除数的整数部分比除数 小，不够商 1，要在商的个位上写 0，然后点上小数点，再继续除；如果除到被除数的末尾仍有余数 时，就在余数的后面添0再继续除。 2.计算口诀。 小数除法不难算，小数点对齐是关键； 整数部分不够除，商“0”再点小数点； 末位如果有余数，后面添“0”继续算。 【典型例题】 列竖式计算。 9.6÷4＝ 25.2÷6＝ 34.5÷15＝ 【答案】2.4；4.2；2.3 【分析】根据除数是整数的小数除法的运算法则，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除， 商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。 据此计算即可。 【详解】9.6÷4＝2.4 25.2÷6＝4.2 34.5÷15＝2.3 【对应练习 1】 列竖式计算。 3.88÷4＝ 2.688÷48＝ 26.52÷16＝ 【答案】0.97；0.056；1.6575 【分析】根据除数是整数的小数除法计算法则进行竖式计算，注意商的小数点要与被除数的小数点对 齐。 【详解】3.88÷4＝0.97 2.688÷48＝0.056 26.52÷16＝1.6575【对应练习 2】 列竖式计算。 24÷15＝ 85.2÷12＝ 72÷15＝ 【答案】1.6；7.1；4.8 【分析】根据除数是整数的小数除法的运算法则，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除， 商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除， 据此计算即可。 【详解】24÷15＝1.6 85.2÷12＝7.1 72÷15＝4.8 1. 6 7. 1 4. 8 1 5 2 4 1 2 8 5. 2 1 5 7 2 1 5 8 4 6 0 9 0 1 2 1 2 0 9 0 1 2 1 2 0 0 0 0 【对应练习 3】 列竖式计算。 47.2÷4＝ 56.5÷5＝ 38.4÷6＝ 【答案】11.8；11.3；6.4 【分析】小数除以整数，按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果有余数， 要添“0”继续除。 【详解】47.2÷4＝11.8 56.5÷5＝11.3 38.4÷6＝6.41 1. 8 1 1. 3 4 4 7. 2 5 5 6. 5 6. 4 4 5 6 3 8. 4 7 6 3 6 4 5 2 4 3 2 1 5 2 4 3 2 1 5 0 0 0 【考点二】除数是小数的小数除法。 【方法点拨】 先把除数转化成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位，位数不够时， 在被除数的末尾用0补足，然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【典型例题】 列竖式计算。（第③题要验算） ①8.1÷4.5＝ ②98.4÷4.8＝ ③34.2÷0.76＝ 【答案】①1.8；②20.5；③45 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数 的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 根据商×除数＝被除数，进行验算。 【详解】①8.1÷4.5＝1.8 ②98.4÷4.8＝20.5 ③34.2÷0.76＝45 验算： 【对应练习 1】 列竖式计算。 3.64÷5.2＝ 42.36÷0.6＝ 22.08÷2.3＝ 【答案】0.7；70.6；9.6 【分析】除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位， 那么被除数的小数点也要向右移动几位，然后按照除数是整数的小数除法的计算法则计算即可。 【详解】3.64÷5.2＝0.7 42.36÷0.6＝70.6 22.08÷2.3＝9.6【对应练习 2】 列竖式计算。 6.25÷25＝ 8.5÷3.4＝ 0.552÷0.16＝ 【答案】0.25；2.5；3.45 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；被 除数的数用完时，在被除数的末尾添”0”继续除。 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数 的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法 进行计算。 【详解】6.25÷25＝0.25 8.5÷3.4＝2.5 0.552÷0.16＝3.45 【对应练习 3】 列竖式计算。 0.60.08 18.20.65 97.28.1 【答案】7.5；28；12 【分析】根据除数小数除法的计算法则，把除数转化为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的 小数点向右移动几位，被除数的额位数不够时，在末尾补0，列竖式计算即可； 【详解】0.6÷0.08＝7.5 18.2÷0.65＝28 7. 5 2 8 0. 6 0. 0 1 8. 2 0 0.08 0.65 5 6 1 3 0 4 0 5 2 0 4 0 5 2 0 0 097.2÷8.1＝12 1 2 9 7. 2 8.1 8 1 1 6 2 1 6 2 0 【考点三】小数除法估算（商的近似数）。 【方法点拨】 1.先看保留几位小数，就除到比需要保留的小数位数多一位，然后用“四舍五入”法取商的近似数。 2.精确到个位、十分位、百分位、千分位和精确到 1、0.1 、0.01、0.001的含义是一样的，分别是保 留整数，一位小数，两位小数，三位小数。 【典型例题】 列竖式计算。（得数保留两位小数） 4.68÷3.4≈ 11.9÷7.2≈ 解析：1.38；1.65 【对应练习 1】 列竖式计算。 1.55÷3.9≈ （保留两位小数） 14.6÷3.4≈ （保留整数） 解析：0.40； 4 【对应练习 2】 列竖式计算。 0.138÷0.12＝ （保留一位小数） 11.9÷0.72≈ （保留一位小数） 解析：1.1；16.5 【对应练习 3】 列竖式计算。（得数保留一位小数） 48÷2.3≈ 1.55÷3.8≈ 7.09÷0.52≈ 解析：20.9；0.4；13.6 【考点四】商与被除数的大小关系。 【方法点拨】 1.一个数（0除外）除以大于1的数， 商小于被除数。 2.一个数（0除外）除以小于1的数（0除外）， 商大于被除数。 3.一个数（0除外）除以1，商等于被除数。【典型例题】 在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 2.4÷0.3( )2.4 90÷3.6( )9÷0.36 6.4÷4( )6.4 3.6÷0.4( )3.6 5.4÷0.6( )54 7.5÷0.5( )75÷5 【答案】 ＞ ＝ ＜ ＞ ＜ ＝ 【分析】根据商和除数的关系，当除数小于1时，所得的商比被除数大；当除数等于1时，所得的商 等于被除数；当除数大于1时，所得的商比被除数小。 根据商不变的性质，除数和被除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。 据此可判断除法算式和商，或算式和算式的大小。 【详解】2.4÷0.3（＞）2.4 9÷0.36＝（9×10）÷（0.36×10）＝90÷3.6 所以90÷3.6（＝）9÷0.36 6.4÷4（＜）6.4 3.6÷0.4（＞）3.6 5.4÷0.6＝9 9（＜）54 所以5.4÷0.6（＜）54 7.5÷0.5＝（7.5×10）÷（0.5×10）＝75÷5 所以7.5÷0.5（＝）75÷5 【点睛】掌握商和除数关系及商不变的性质是解答本题的关键。 【对应练习 1】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 62.7÷1.4( )62.7 32.5÷1( )32.5 18.4÷1.6( )18.4 26÷0.5( )26 71.8÷0.43( )71.8 50÷0.8( )50 【答案】 ＜ ＝ ＜ ＞ ＞ ＞ 【分析】一个数（0除外）除以1，商等于这个数； 一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数； 一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；据此解答。 【详解】1.4＞1，因此62.7÷1.4＜62.7； 1＝1，因此32.5÷1＝32.5； 1.6＞1，因此18.4÷1.6＜18.4；0.5＜1，因此26÷0.5＞26； 0.43＜1，因此71.8÷0.43＞71.8； 0.8＜1，因此50÷0.8＞50 【点睛】此题考查了不用计算判断商与被除数之间大小关系的方法。 【对应练习 2】 在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.59÷0.91( )3.59 6.3÷2.1( )63÷21 5.7×2( )5.7÷0.5 2.74×0.1( )2.74×10 57.3÷65.7( )57.3 23.1÷1.01( )23.1 【答案】 ＞ ＝ ＝ ＜ ＜ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于 这个数；一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0 除外），商大于这个数；被除数和除数扩大几倍或缩小到原来的几分之一（0除外），商不变。据此 解答。 【详解】3.59÷0.91＞3.59 6.3÷2.1＝63÷21 因为5.7÷0.5 ＝5.7×1÷0.5 ＝5.7×（1÷0.5） ＝5.7×2 所以5.7×2＝5.7÷0.5 因为2.74×0.1＜2.74 2.74×10＞2.74 所以2.74×0.1＜2.74×10 57.3÷65.7＜57.3 23.1÷1.01＜23.1 【点睛】此题主要考查了判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法。 【对应练习 3】 在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 10.65÷0.22( )10.65 39×10( )4.39÷0.1 4.7×0.97( )4.7 1÷0.125( )0.125×1 0.98÷9.8( )0.98 8.5×1.25( )8.5 【答案】 ＞ ＞ ＜ ＞ ＜ ＞ 【分析】一个数（0除外），除以小于1的数，商比原数大；除以大于1的数，商比原数小；乘小于1的数，积比原数小；乘大于1的数，积比原数大；乘10等于这个数除以0.1，乘的数越大，积越大， 据此填空。 【详解】0.22＜1，10.65÷0.22＞10.65 39＞4.39，39×10＞4.39÷0.1 0.97＜1，4.7×0.97＜4.7 0.125＜1，1÷0.125＞0.125×1 9.8＞1，0.98÷9.8＜0.98 8.5＞1，8.5×1.25＞8.5 【点睛】关键是掌握小数乘除法的计算方法。 【考点五】小数除法与商的变化规律。 【方法点拨】 1.两数相除，除数不变，被除数扩大或缩小几倍，商也随着扩大或缩小几倍。 2.两数相除，被除数不变，除数扩大几倍，商就缩小几倍。 3.两数相除，被除数不变，除数缩小几倍，商就扩大几倍。 【典型例题 1】商的变化规律其一。 根据32.5261.25，写出下面各题的得数。 3.2526( ) 325260( ) 【答案】 0.125 1.25 【分析】商的变化规律： （1）除数不变，被除数扩大为原来的几倍，商也扩大为原来的几倍；除数不变，被除数缩小为原来 的几分之一，商也缩小为原来的几分之一。 （2）被除数不变，除数扩大为原来的几倍，商反而缩小为原来的几分之一；被除数不变，除数缩小 为原来的几分之一，商反而扩大为原来的几倍。 （3）被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变。 【详解】根据32.5261.25，可得： 3.25260.125 3252601.25 【点睛】关键是掌握并灵活运用商的变化规律。 【对应练习 1】 不计算，根据4.85÷2.5＝1.94写出下面各式的得数。 194×25＝( ) 48.5÷25＝( ) 0.485÷0.194＝( ) 19.4×0.25＝( ) 【答案】 4850 1.94 2.5 4.85 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；据此解答即可。 【详解】由分析可得：194×25＝4850 48.5÷25＝1.94 0.485÷0.194＝2.519.4×0.25＝4.85 【点睛】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。 【对应练习 2】 已知2546÷38＝67，请你直接写出下列各式的得数。 25.46÷38＝( ) 2.546÷0.38＝( ) 254.6÷3.8＝( ) 0.38×0.67＝( ) 【答案】 0.67 6.7 67 0.2546 【分析】第一小题中，被除数较题干中除法的被除数除以100，商也是除以100得到；第二小题中， 被除数较题干中除法的被除数除以1000，除数除以100，则商要除以10得到；第三小题中，被除数 较题干中除法的被除数除以10，除数除以10，则商不变；第四小题中，两个乘数较题干中的数除以 100，则积要除以10000得到。 【详解】25.46÷38＝0.67；2.546÷0.38＝6.7； 254.6÷3.8＝67；0.38×0.67＝0.2546 【点睛】本题主要考查的是小数乘、除法运算，解题的关键是熟练掌握小数乘、除法中商的变化规律、 积的变化规律，进而得出答案。 【对应练习 3】 如果912÷24＝38，那么请你直接写出下面算式结果：912÷2.4＝( )，912÷0.24＝( )， 0.912÷0.24＝( )。 【答案】 380 3800 3.8 【分析】商的变化规律： （1）除数不变，被除数扩大到原来的几倍，商也扩大到原来的几倍；除数不变，被除数缩小为原来 的几分之一，商也缩小为原来的几分之一。 （2）被除数不变，除数扩大到原来的几倍，商反而缩小为原来的几分之一；被除数不变，除数缩小 为原来的几分之一，商反而扩大到原来的几倍。 （3）被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变。 1 【详解】912÷2.4与912÷24相比，被除数不变，除数缩小到原来的 ，则商扩大到原来的10倍，38×10 10 ＝380，则912÷2.4＝380； 1 912÷0.24与912÷24相比，被除数不变，除数缩小到原来的 ，则商扩大到原来的100倍，38×100 100 ＝3800，则912÷0.24＝3800； 1 1 1 0.912÷0.24与912÷24相比，被除数缩小到原来的 ，除数缩小到原来的 ，则商缩小到原来的 ， 1000 100 10 38÷10＝3.8，则0.912÷0.24＝3.8。 【点睛】熟练掌握并运用商的变化规律是解题的关键。【典型例题 2】商的变化规律其二。 1 两个数相除，商是0.48，如果被除数不变，除数缩小到原来的 ，那么所得的商是( )。 100 【答案】48 【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时扩大相同的倍数或缩小到原来的几分之几（0除外）， 1 商不变；由此可知：如果被除数不变，除数到原来的 ，则商扩大100倍，据此解答即可。 100 1 【详解】两个数相除的商是0.48，如果被除数不变，除数缩小到原来的 ，那么商是48。 100 【点睛】解答此题应明确：只有被除数和除数同时扩大相同的倍数或缩小到原来的几分之几（0除外）， 商才不变。 【对应练习 1】 一个算式的商是20.2，如果被除数不变，除数扩大到原来的100倍，这时商是( )；如果除数 不变，被除数扩大到原来的100倍，这时商是( )。 【答案】 0.202 2020 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大几倍或缩小到原来的几分之几（0除外），商不变； 据此解答即可。 【详解】根据商不变的性质可知，一个算式的商是20.2，如果被除数不变，除数扩大到原来的100 倍，这时商是0.202；如果除数不变，被除数扩大到原来的100倍，这时商是2020。 【点睛】此题考查了利用商的变化规律在解决实际问题中的灵活应用。 【对应练习 2】 88.4÷1.7的商是( )，如果被除数不变，除数扩大到原来的10倍，商是( )。 【答案】 52 5.2 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数 的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 根据商的变化规律，被除数不变，除数扩大到原来的几倍，商就缩小到原来的几分之一。 【详解】88.4÷1.7＝52 5 2 1.7 8 8. 4 8 5 3 4 3 4 0 52÷10＝5.2 【点睛】关键是掌握小数除法的计算方法，掌握商的变化规律。 【对应练习 3】两个数相除的商是74.6，如果被除数缩小到原来的十分之一，除数不变，则商是( )。 【答案】7.46 【分析】在除法算式中，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变； 除数不变，被除数乘或除以几，商就乘或除以相同的数（0除外）； 被除数不变，除数乘或除以几，商反而除以或乘几（0除外）； 据此解答即可。 【详解】根据商的变化规律可知， 如果被除数缩小到原来的十分之一，除数不变，则商也会缩小到原来的十分之一， 即74.6÷10＝7.46 商是7.46。 【点睛】此题考查了商的变化规律的灵活运用，灵活运用规律是解答本题的关键。 【考点六】小数除法与商不变的性质。 【方法点拨】 两数相除，被除数与除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，但余数跟着被除数变。 【典型例题】 两个数的商是3.6，如果除数扩大到原来的100倍，要使商不变，被除数应该( )。 【答案】也扩大到原来的100倍 【分析】根据商不变的性质，直接填空即可。 【详解】根据商不变性质可知：两个数相除，商是3.6，除数扩大到原来的100倍，要使商不变，被 除数也应扩大到原来的100倍。 【点睛】此题考查了商不变的性质，应明确：只有被除数与除数扩大相同的倍数（0除外），商的大 小才不变。 【对应练习 1】 计算0.387÷0.45时，把除数看成整数45，要使商不变，被除数应变成( )。 【答案】38.7 【分析】计算0.387÷0.45时，除数0.45看成45时扩大到原来的100倍，由商的变化规律可知，被除 数0.387的同时扩大到原来的100倍，商不变。 【详解】计算0.387÷0.45时，把除数看成整数45，要使商不变，被除数应变成（ 38.7 ）。 【点睛】掌握商的变化规律是解答题目的关键。 【对应练习 2】 两个数相除，被除数扩大到原来的6倍，要使商不变，除数应( )。 【答案】扩大到原来的6倍【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此分析。 【详解】两个数相除，被除数扩大到原来的6倍，要使商不变，除数应扩大到原来的6倍。 【点睛】关键是掌握商不变的性质。 【对应练习 3】 1 两个数相除的商是2.5，要使商不变，被除数缩小到原来的 ，除数( )。 100 1 【答案】缩小到原来的 100 【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，据此解答。 1 1 【详解】两个数相除的商是2.5，要使商不变，被除数缩小到原来的 ，除数缩小到原来的 。 100 100 【点睛】除数是小数的除法主要依据就是商不变的性质，要学会灵活运用。 【考点七】小数除法与单位换算。 【方法点拨】 1.高级单位换算成低级单位，乘以进率；低级单位换算成高级单位，除以进率。 2.六种常用单位进率表。 【典型例题】 在横线里填上合适的数。 36分＝( )时 ( )千克＝80克 6公顷＝( )平方米 【答案】 0.6 0.08 60000【分析】1时＝60分，1千克＝1000克；1公顷＝10000平方米；高级单位换算成低级单位，乘进率； 低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【详解】36分＝36÷60＝0.6时 80克＝80÷1000＝0.08千克 0.08千克＝80克 6公顷＝6×10000＝60000平方米 【对应练习 1】 在括号里填上合适的数。 15分钟＝( )小时 50厘米＝( )米 320千克＝( )吨 420平方分米＝( )平方米 【答案】 0.25 0.5 0.32 4.2 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1小时＝60分钟，用15÷60即可；根据1米＝100 厘米， 用50÷100即可；根据1吨＝1000千克，用320÷1000即可；根据1平方米＝100平方分米，用420÷100 即可。 【详解】15分钟＝15÷60小时＝0.25小时 50厘米＝50÷100米＝0.5米 320千克＝320÷1000吨＝0.32吨 420平方分米＝420÷100平方米＝4.2平方米 【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。 【对应练习 2】 填上合适的数。 8000平方米＝( )公顷 0.56米＝( )厘米 2050克＝( )千克 36分＝( )时 【答案】 0.8 56 2.05 0.6 【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1公顷＝10000平方米，用8000÷10000即可；高级单 位换低级单位乘进率，根据1米＝100厘米，用0.56×100即可；根据1千克＝1000克，用2050÷1000 即可；根据1时＝60分，用36÷60即可。 【详解】8000平方米＝8000÷10000公顷＝0.8公顷 0.56米＝0.56×100厘米＝56厘米 2050克＝2050÷1000千克＝2.05千克 36分＝36÷60时＝0.6时 【对应练习 3】 在括号里填上合适的数。265厘米＝( )分米＝( )米 5吨750千克＝( )吨 2.05千克＝( )千克( )克 13000000平方米＝( )公顷＝( )平方千米 【答案】 26.5 2.65 5.75 2 50 1300 13 【分析】根据进率：1米＝10分米＝100厘米，1吨＝1000千克，1千克＝1000克，1平方千米＝100 公顷，1公顷＝10000平方米；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换， 除以进率；据此解答。 【详解】（1）265÷10＝26.5（分米） 265÷100＝2.65（米） 265厘米＝26.5分米＝2.65米 （2）750÷1000＝0.75（吨） 5＋0.75＝5.75（吨） 5吨750千克＝5.75吨 （3）2.05千克＝2千克＋0.05千克 0.05×1000＝50（克） 2.05千克＝2千克50克 （4）13000000÷10000＝1300（公顷） 1300÷100＝13（平方千米） 13000000平方米＝1300公顷＝13平方千米 【考点八】小数除法竖式的意义。 【方法点拨】 解决小数除法竖式的关系问题，关键是熟悉除法各部分之间的关系，理解用进一法保留近似数的现实 意义。 【典型例题】 小明列竖式计算“5.36÷1.3”的商，如图所示，当商为4.1时，余数为“3”，这里的“3”表示( )。 A．3个一 B．3个十分之一 C．3个百分之一 D．3个千分之一【答案】C 【分析】直接找到余数为“3”的数字3所在的计数单位是百分之一，可得这里的“3”表示3个百分之一， 据此解答。 【详解】由分析可得： 余数为“3”，这里的“3”表示3个百分之一。 故答案为：C 【对应练习 1】 用竖式计算“15.4÷4”的过程如图，箭头所指“20”表示的意义是( )。 A．20个一 B．20个0.1 C．20个0.01 D．2个10 【答案】C 【分析】根据小数除法的计算法则可知，20的“2”对应的是十分位，所以表示20个百分之一，也就 是20个0.01，据此解答。 【详解】由分析可得：用竖式计算“15.4÷4”的过程如图，箭头所指“20”表示的意义是20个0.01。 故答案为：C 【对应练习 2】 如图除法竖式箭头指向的“3”表示的是( )。 A．3个一 B．3个十分之一 C．3个百分之一 D．3个千分之一 【答案】C 【分析】观察算式可知，“3”在百分位上，表示3个0.01；即3个百分之一，据此解答。 【详解】根据分析可知，如图除法竖式箭头指向的“3”表示的是3个百分之一。 故答案为：C【对应练习 3】 如图竖式中，“15”表示的是( )。 A．15个十 B．15个一 C．15个十分之一 D．15个百分之一 【答案】C 【分析】根据小数除法竖式计算的方法，商十分位上的3表示3个十分之一，与5相乘所得的积是 15个十分之一，所以15表示15个十分之一；据此解答。 【详解】竖式中，“15”表示的是15个十分之一。 故答案为：C 【考点九】小数的分类。 【方法点拨】 1.有限小数。 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。 2.无限小数。 小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数，其中无限小数可以分为无限不循环小数和循环小数两 种。 3.循环小数。 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小 数。 【典型例题】 在8.5454，3.1415926…，8.5454…，8.4545， . .中，有限小数有( )，无限小数有( )， 0.74 循环小数有( )。 【答案】 8.5454、8.4545 3.1415926…、8.5454…、 . . 8.5454…、 . . 0.74 0.74 【分析】有限小数是指小数部分的位数有限的小数。 无限小数是指小数部分的位数无限的小数。 循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。 【详解】由分析得：8.5454、8.4545的小数的位数是有限，所以它们是有限小数； 3.1415926…、8.5454…、 . .的小数的位数是无限，所以它们是无限小数； 0.74 3.1415926…是一个无限不循环小数，8.5454…是一个无限循环小数，其小数部分不断重复54， . .是 0.74 一个无限循环小数，其小数部分不断重复74。 因此在8.5454，3.1415926…，8.5454…，8.4545， . .中，有限小数有8.5454、8.4545，无限小数有 0.74 3.1415926…、8.5454…、 . .，循环小数有8.5454…、 . .。 0.74 0.74 【对应练习 1】 在0.4343、3.2126、3.88…、0.35656…、0.19中，有限小数有( )，无限小数有( )，循 环小数有( )。 【答案】 0.4343、3.2126、0.19 3.88…、0.35656… 3.88…、0.35656… 【分析】小数部分的位数是有限的小数是有限小数；小数部分的位数是无限的小数是无限小数；一个 数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 【详解】在0.4343、3.2126、3.88…、0.35656…、0.19中，有限小数有：0.4343、3.2126、0.19；无限 小数有：3.88…、0.35656…；循环小数有：3.88…、0.35656…。 【对应练习 2】 在0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中，有限小数有( )，无限小数有( )，循环 小数有( )。 【答案】 5.1243 0.999…、2.9657…、62.0505… 0.999…、62.0505… 【分析】有限小数：小数部分的位数是有限的小数。 无限小数：小数部分的位数是无限的小数。 循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出，这样的小数叫 做循环小数。 【详解】0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中， 有限小数有：5.1243； 无限小数有：0.999…、2.9657…、62.0505…； 循环小数有：0.999…、62.0505…。 在0.999…、5.1243、2.9657…、62.0505…中，有限小数有5.1243，无限小数有0.999…、2.9657…、 62.0505…，循环小数有0.999…、62.0505…。 【对应练习 3】 在0.23、5.1666…、3.888、3.14159…、  、这些数中，有限小数是( )，无限小数是( )， 7.045 循环小数是( )。【答案】 0.23、3.888 5.1666…、3.14159…、   5.1666…、   7.045 7.045 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的，可数的；而无限小 数的小数点后面的小数是无限的，不可数的； 一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数， 据此解答。 【详解】0.23、5.1666…、3.888、3.14159…、  、这些数中； 7.045 有限小数：0.23，3.888； 无限小数：5.1666…，3.14159…，  ； 7.045 循环小数：5.1666…，  。 7.045 在0.23、5.1666…、3.888、3.14159…、这些数中，有限小数是0.23，3.888，无限小数是5.1666…， 3.14159…，  ，循环小数是5.1666…、  。 7.045 7.045 【考点十】循环小数的表示方法。 【方法点拨】 1.方法一。 用省略号表示，要写出两个完整的循环节，后面标上省略号。 例如：0.3636……；1.587587…… 2.方法二。 只写出一组循环节，然后在循环节的第一个数字和最后一个数上面点上圆点，循环点最多只点两个。 【典型例题】 在4.421421…、4.04213…、4.421中，循环小数是( )，它的循环节是( )，用循环小数 的简便形式记作( )。 【答案】 4.421421… 421   4.421 【分析】循环小数的意义：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次不断重复出现的无限 小数叫循环小数；循环节：不断重复出现的数字就是循环节；循环小数的简便写法：写出第一个循环 节，在循环节的首位和末位的上面各记一个小圆点，据此解答即可。 【详解】4.421421…、4.04213…、4.421中，4.421421…是循环小数； 4.421421…循环节是421； 4.421421…＝   4.421 在4.421421…、4.04213…、4.421中循环小数是4.421421…，它的循环节是421，用循环小数的简便形式记作  。 4.421 【对应练习 1】 5.7373…用简便方法表示为( )，保留两位小数约是( )。 【答案】   5.74 5.73 【分析】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环 节只有一个数字的只记一个圆点）“·”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 保留两位小数看千分位，小于5直接舍去，大于或等于5向前一位进一。 【详解】5.7373…＝   、5.7373…≈5.74 5.73 5.7373…用简便方法表示为   ，保留两位小数约是5.74。 5.73 【对应练习 2】 3  22的商用循环小数的简便记法表示是( )，精确到百分位是( )。 【答案】   0.14 0.136 【分析】先算出3÷22的商，再找出循环小数的循环节，如果循环节是一位数或两位数即在一位数或 两位数上面点上一点，如果循环节是三位数或以上的，就在首位和末位上点上一点即可；根据四舍五 入法则，精确到百分位，就要看到千分位，如果大于、等于5就进一位，如果小于5就舍去。 【详解】3÷22＝   0.136 所以3  22的商用循环小数的简便记法表示是   ，精确到百分位是0.14。 0.136 【对应练习 3】 算式5÷9的商，用循环小数的简便形式可以写作( )，把这商精确到千分位约是( )。 【答案】 0.5 0.556 【分析】一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节，写循环 小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点；精确到千分 位，就看万分位上的数字，大于或等于5则向前一位进1，小于5则直接舍去。据此解答。 【详解】5÷9＝0.555…＝  0.5  的万分位数字是5，则向前一位进1，保留近似数约是0.556。 0.5 即，算式5÷9的商，用循环小数的简便形式可以写作  ，把这商精确到千分位约是0.556。 0.5 【考点十一】循环小数的大小比较。 【方法点拨】 循环小数比大小，先展开循环节，再从高位依次比较。【典型例题】 在   、5.211、5.21、  中，最大的数是( )，最小的数是( )。 5.21 5.2 【答案】  5.21 5.2 【分析】把   的循环节展开后是5.2121…；把  的循环节展开后是5.2222…；再从个位向十分位、 5.21 5.2 百分位…逐位比较四个小数的大小，据此解答。 【详解】5.2121…、5.211、5.21、5.2222…，四个小数的个位和十分位都相同，根据百分位数字可知 5.2222…大于另外三个小数（5.2121…、5.211、5.21），再根据千分位数字可知这三个小数中 5.21千 分位数字是0，所以5.21最小。 在   、5.211、5.21、  中，最大的数是  ，最小的数是5.21。 5.21 5.2 5.2 【对应练习 1】 在6.565， 6.565，6.5， 6.5，6.56 这五个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 6.56 6.5 【分析】小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时， 看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止。据此 可解答。 【详解】因为 6.565＝6.565565⋯ ， 6.5 ＝6.55⋯ ，6.56 ＝6.5656⋯ ，6.5656⋯ ＞6.565565⋯ ＞6.565＞6.55⋯ ＞6.5，即6.56 ＞ 6.565＞6.565＞ 6.5＞6.5，则这五个数中，最大的数是6.56 ，最小的数是6.5。 【对应练习 2】 在8.273、  、   、8.27四个小数中，最大的是( )，最小的是( )。 8.27 8.27 【答案】  8.27 8.27 【分析】一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循 环小数；一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数 时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点； 小数的大小比较必须先比较整数部分，若整数部分不同，整数部分按照整数比较大小的方法来比较， 若整数部分相同，先比较小数部分的十分位，若十分位上的数字相同，再比较百分位，依此类推。 【详解】  ＞8.273＞   ＞8.27 8.27 8.27 在8.273、  、   、8.27四个小数中，最大的是  ，最小的是8.27。 8.27 8.27 8.27 【对应练习 3】 在  ，   ，   ，   四个数中，最大的数是( )，最小的数是( )。 3.38 3.38 3.308 3.308【答案】    3.38 3.308 【分析】小数的大小比较，先比较两个数的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同时， 看它们的小数部分，从高位比起，相同数位上的数大的那个数就大，依次类推，直到比出为止。先根 据循环节写出这个循环小数，再据此解答。 【详解】因为  ＝3.388⋯ ，   ＝3.3838⋯ ，   ＝3.30808⋯ ，   ＝3.308308⋯ ； 3.38 3.38 3.308 3.308 3.388⋯ ＞3.3838⋯ ＞3.308308⋯ ＞3.30808⋯ ，即  ＞   ＞   ＞   ，所以这四个数中最大的数 3.38 3.38 3.308 3.308 是  ，最小的数是   。 3.38 3.308 【考点十二】循环小数与周期问题其一：求数。 【方法点拨】 解决周期问题的关键是找到一个周期，循环小数中的周期问题，一个周期就是循环小数的循环节，求 第多少位上的数是多少，即用该数字除以循环节的位数，如果有余数，那么余数是多少，该位置上相 对应的数就是多少。 【典型例题】 7.12585858…的小数点后面第100位数字是( )。 【答案】8 【分析】7.12585858…是一个循环小数，循环节是58，要求小数点后面第100个数字是几，因为小数 点的1、2不在循环节里，所以用1002除以2，余数是几，就在2个数字的一个循环中数到几，即可 得解。 【详解】（100－2）÷2 ＝98÷2 ＝49 所以7.12585858…的小数点后面第100位数字是8。 【点睛】此题考查了学生对循环小数的认识。 【对应练习 1】 28÷11的商是( )，小数点后面第2020 位上的数字是( )。 【答案】   4 2.54 【分析】根据小数除法的计算方法，求出28÷11的商；再根据循环小数的表示方法，在循环节的首位 和末尾数字上点上小黑点即可；用2020除以循环节的位数，若没有余数，则第2020位上的数就是循 环节的最后一个数字，若有余数，余数是几第2020位上的数就从循环节的左边数出几位即可。 【详解】28÷11＝   2.542020÷2＝1010 则28÷11的商是   ，小数点后面第2020位上的数字是4。 2.54 【点睛】本题考查小数除法，明确循环小数的表示方法是解题的关键。 【对应练习 2】 把3÷7的商用循环小数简便记法表示是( )，小数点后面第99位是( )。 【答案】   8 0.428571 【分析】（1）循环小数的简便写法：写循环小数，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位 和末位数字上面各记一个圆点。先用竖式计算3÷7＝0.428571428571…，0.428571428571…的循环节 是428571，所以0.428571428571…简记为  。 0.428571 （2）循环节428571由6个数字组成，把一个循环节看作一个周期，则一个周期有6个数字，要想知 道商的小数点后面第99位上的数字是几，就要看99里面有几个这样的周期，再根据余数来确定。如 果周期正好是整数且没有余数，那么第99位上的数字就是循环节的最后一个数字1；如果有余数， 余数是几，所求数字就是循环节中从前往后数的第几个数字。 【详解】3÷7＝0.428571428571…＝   0.428571 99÷6＝16（个）……3（个） 循环节428571的第3位是8。 所以把3÷7的商用循环小数简便记法表示是  ，小数点后面第99位是8。 0.428571 【点睛】此题考查了循环小数的简便记法及根据周期问题的解题规律求循环小数指定数位上的数字。 【对应练习 3】 14.1÷11的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )，同时小数点后面第 2022位上的数字是( )。 【答案】  1.28 8 1.281 【分析】先根据小数除法的计算方法，求出 14.1÷11的商；再根据循环小数的表示方法，在循环小数 的循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可；商精确到百分位，看千分位上的数字是否满5，然后 运用“四舍五入”法求得近似数即可；确定循环节的个数，即一个周期，确定周期后，用2022除以周 期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n， 那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量减掉不是循环的个数后， 再继续计算。 【详解】14.1÷11＝  ≈1.28 1.281的循环节是81 1.281 （2022－1）÷2 ＝2021÷2 ＝1010⋯ ⋯ 1 则14.1÷11的商用循环小数表示是 ，精确到百分位约是 1.28，同时小数点后面第2022位上的数 1.281 字是8。 【考点十三】循环小数与周期问题其二：求和。 【方法点拨】 周期问题的求和问题，先计算每组循环节的数字之和，再加上循环节前面的数字和余下数字的和。 【典型例题】 1÷27的商的小数点后面100个数字和是多少？ 【答案】330 【分析】根据除数是整数的小数除法计算法则算出1÷27的商是循环小数0.037037037…，循环节是 037，每3个数字一循环，先求出商的小数点后面第100个数字是几，用100÷3＝33（组）……1（个）， 即100里面有33组循环节，余数是1，表示小数点后面第100个数字是循环节里的第1个数字0； 求商的小数点后面100个数字和，用一个循环的数字之和（0＋3＋7）乘33，再加上第100个数字 0， 即可求解。 【详解】1÷27＝0.037037037… 100÷3＝33（组）……1（个） 33×（0＋3＋7）＋0 ＝33×10＋0 ＝330＋0 ＝330 答：这100个数字之和是330。 【对应练习 1】 循环小数  的小数部分前500个数字之和是多少？ 0.2358978 【答案】3325 【分析】首先明确循环节是 358978，非循环部分是 2。500减去非循环位，500−1＝499，然后再除循 环节位数，499÷6≈83组⋯ ⋯ 1个（余数1为循环节的第一位3），循环部分之和为：（3＋5＋8＋9＋ 7＋8）×83＝3320，循环至500个数字后，最后循环到数字3，最后将循环节数字的和与非循环位2 和循环位3相加可得结果。【详解】500减非循环部分的数位等于499，499除循环节的长度6可得循环的次数和余下的数字个 数，499÷6≈83组⋯ ⋯ 1个，说明循环部分循环了83组余1位（余数1为循环节的第一位3），循环 部分数字和为： （3＋5＋8＋9＋7＋8）×83 （3＋5＋8＋9＋7＋8）×83 ＝（8＋8＋9＋7＋8）×83 ＝（16＋9＋7＋8）×83 ＝（25＋7＋8）×83 ＝（32＋8）×83 ＝40×83 ＝3320 前500 个数字之和为 2＋3＋3320＝3325。 答：前500个数字之和是3325。 【对应练习 2】 6÷7的商是循环小数，那么商的小数点后的第2019位上的数字是几？小数部分前2019位上的所有数 字之和是多少？ 【答案】7，9092 【详解】6÷7＝0.857142 2019÷6＝336……3 第2019位上的数字是7 (8＋5＋7＋1＋4＋2)×336＋8＋5＋7＝9092 答：第2019位上的数字是5小时．小数部分前2019位上的所有数字之和是9092。 【对应练习 3】 5÷11的商是一个循环小数，小数点后的第199位数字是几？小数点后前 50位上的数字的和是多少？ 【答案】4；225 【分析】通过计算可得 511＝0.4  5  ，其循环节为45，是2位数字。199÷2＝99……1说明经过了 99 个完整的循环节，余数是1，所以第199位数字是循环节的第一个数字。一个循环节45的和是4＋5 ＝9，前50位包含（50÷2）个完整的循环节，所以数字之和为（4＋5）×（50÷2），据此解答。 【详解】   511＝0.45 199÷2＝99……1 （4＋5）×（50÷2） ＝9×25＝225 答：第199位上的数字是4，小数点后前50位上的数字的和是225。 【考点十四】循环小数与周期问题其三：求最值。 【方法点拨】 此类型题，首先利用总和和循环节求出一个循环节的和，然后根据循环小数的大小关键取决于高位的 数字大小，来选择最大值与最小值。 【典型例题】 在循环小数 0 .a b c 中，小数部分前60位上的数字和是240，这个循环小数最大是( )。（用循 环小数的简便形式写）。 【答案】 0 .9 3 0 【分析】因这个循环小数的循环节是三位小数，小数部分前60位中就有60÷3＝20（个）这样的循环 节，这些循环节的数字的和是240，所以每个循环节的和就是240÷20＝12，因a、b、c 为3个不同的 自然数，再把12分成三个不同的自然数进行解答。 【详解】循环节的个数是： 60÷3＝20（个） 每个循环节上数字的和是：240÷20＝12 把12写成最大的自然数和的形式是：12＝9＋3＋0 所以这个循环小数的循环节最大是930，这个循环小数最大是 0 .9 3 0 。 【点睛】本题的关键是根据除法的意义，列式求出每个循环节的和是多少，再把这个数分解成 3个不 同的自然数的和，来确定这三个自然数是多少。 【对应练习 1】 循环小数5.abcabc…中，已知a、b、c 代表不同的数字，且小数部分的前96位数字的和是160，这个 循环小数最小是( )。 【答案】5.014/5.014… 【分析】循环小数5.abcabc…的循环节为abc，小数部分的前96位，循环节有96÷3＝32个，每个循 环节的数字和是160÷32＝5；要使组成的数最小，应当用较小的数占较高的数位，据此解答。 【详解】循环节的数量：96÷3＝32 每个循环节的数字和：160÷32＝5 即a＋b＋c＝5，所以a、b、c均小于5 要使组成的数最小，应当用较小的数占较高的数位，所以十分位最小数字为0，百分位最小数字为 1。 千分位为：5－1－0＝4 所以这个循环小数最小是 . . 。 5.014【对应练习 2】 一个循环小数0.abab…（a，b都是非0自然数），这个数的小数部分前10位上的数字和是50，这个 循环小数最大是( )，最小是( )。 【答案】 0.919191… 0.191919… 【分析】这个数小数部分前10位上的数字和是50，即5（A＋B）＝50，则A＋B＝10，据此解答。 【详解】由题意可知： 5（A＋B）＝50 A＋B＝10 所以这个循环小数最大是0.919191…，最小是0.191919…。 【点睛】解答此题的关键是：先根据题意，求出A＋B 的和，然后根据要使循环小数最大，十分位应 最大，为9，百分位为1；反之，要使循环小数最大，十分位应最小，为1，百分位为9。 【对应练习 3】 循环小数 0.A . BC .中，小数前90位上的数字的和是180，这个循环小数最大是多少？最小是多少？ 【答案】 . . ； . . 0.510 0.015 【分析】由题可知，每个循环节包含3个数字，小数前90位上的数字包含90÷3＝30个循环节，用 180÷30＝6求出1个循环节的和是6；想让循环小数最大则A 最大是5，B是1，C 是0；想让这个循 环小数最小，则A是0，B 是1，C是5。 【详解】180÷（90÷3） ＝180÷30 ＝6 A＋B＋C＝6 ABC 最小是：015 ABC 最大是：510 则这个循环小数最大是： . . 0.510 最小是： . . 0.015 答：这个循环小数最大是 . . ，最小是 . . 。 0.510 0.015 【点睛】根据小数部分前90位数字之和求出循环节中三个数字的和，理解这个循环小数的大小取决 于小数部分的高位数字是解答题目的关键。 【考点十五】小数除法混合运算。 【方法点拨】小数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的顺序完全相同，一个算式里，如果只含有同一级运算， 要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；如果有括号，要先 算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 【典型例题】 脱式计算。 37÷（2.63＋4.77） （4.1＋0.35）÷0.5 0.49÷0.07×0.2 1.6×0.4÷0.04 【答案】5；8.9；1.4；16 【分析】（1）先算括号里的加法，再算括号外的除法。 （2）先算括号里的加法，再算括号外的除法。 （3）先算除法再算乘法。 （4）先算乘法再算除法。 【详解】（1）37÷（2.63＋4.77） ＝37÷7.4 ＝5 （2）（4.1＋0.35）÷0.5 ＝4.45÷0.5 ＝8.9 （3）0.49÷0.07×0.2 ＝7×0.2 ＝1.4 （4）1.6×0.4÷0.04 ＝0.64÷0.04 ＝16 【对应练习 1】 脱式计算。 3.09×3.9÷2.6 60.8－36÷7.5 3.072÷6.4＋49.7 【答案】4.635；56；50.18 【分析】第一题按照从左到右的顺序计算； 第二题先计算除法，再计算减法； 第二题先计算除法，再计算加法。 【详解】3.09×3.9÷2.6 ＝12.051÷2.6 ＝4.635；60.8－36÷7.5 ＝60.8－4.8 ＝56； 3.072÷6.4＋49.7 ＝0.48＋49.7 ＝50.18 【对应练习 2】 脱式计算。 16.12÷3.1×2.4 3.72÷1.24×1.9 4.05÷0.5＋10.75 【答案】12.48；5.7；18.85 【分析】同级运算，从左往右算，异级运算，先乘除后加减。 16.12÷3.1×2.4，从左往右计算； 3.72÷1.24×1.9，从左往右算； 4.05÷0.5＋10.75，先算除法，再算加法。 【详解】16.12÷3.1×2.4 ＝5.2×2.4 ＝12.48 3.72÷1.24×1.9 ＝3×1.9 ＝5.7 4.05÷0.5＋10.75 ＝8.1＋10.75 ＝18.85 【对应练习 3】 脱式计算。 6.8×0.75÷0.5 13.75÷0.125–2.75 42÷(5.25÷0.25) 1.53+23.4÷7.2 解析：10.2；107.25；2；4.78 【考点十六】小数除法简便计算。 【方法点拨】 除法运算性质。 a×b÷c=a÷c×b；a÷b÷c=a÷(b×c)； a÷(b÷c)=a÷b×c； (a+b)÷c=a÷c+b÷c； (a-b)÷c=a÷c-b÷c。 【典型例题】 简便计算。 52.34÷2.5÷4 7.35÷（7.35×0.25） 解析： 52.34÷2.5÷4 ＝52.34÷（2.5×4） ＝52.34÷10 ＝5.234 7.35÷（7.35×0.25） ＝7.35÷7.35÷0.25 ＝1÷0.25 ＝4 【对应练习 1】 简便计算。 7.2÷1.25÷0.8 0.72÷0.5÷0.9 0.75×18÷0.15 解析： 7.2÷1.25÷0.8 7.21.250.8 7.21 7.2 0.72÷0.5÷0.9 0.720.90.5 0.80.5 1.6 0.75×18÷0.15 0.750.1518 518 90【对应练习 2】 简便计算。 （8.1＋0.72）÷0.9 9.48÷0.25÷0.8 解析： （8.1＋0.72）÷0.9 ＝8.1÷0.9＋0.72÷0.9 ＝9＋0.8 ＝9.8 9.48÷0.25÷0.8 ＝9.48÷（0.25×0.8） ＝9.48÷0.2 ＝47.4 【对应练习 3】 简便计算。 7.45÷0.25÷0.8 7.45÷0.7＋6.55÷0.7 解析： 7.45÷0.25÷0.8 ＝7.45÷（0.25×0.8） ＝7.45÷0.2 ＝37.25 7.45÷0.7＋6.55÷0.7 ＝（7.45＋6.55）÷0.7 ＝14÷0.7 ＝20 【考点十七】小数除法算式规律。 【方法点拨】 观察算式，联系算式的特点，找出规律。 【典型例题】 找规律，直接写出得数。 1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727…5÷11＝( ) 8÷11＝( ) 【答案】 0.4545… 0.7272… 【分析】观察算式可知，除数都是11，被除数依次是1、2、3……，商依次是0.0909…、0.1818…、 0.2727…，商的小数部分是两个数字的循环，两位数字之和是9，且小数的第一位数字比除数小1； 据此规律往下写出得数。 【详解】1÷11＝0.0909… 2÷11＝0.1818… 3÷11＝0.2727… 5÷11＝0.4545… 8÷11＝0.7272… 【点睛】本题是找规律的题型，从已知的数据中找到规律，并按规律解题。 【对应练习 1】 运用规律直接写得数。 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87 88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝( ) 【答案】9.8765 【分析】除法运算中，除数不变，被除数增加，商增大。从题中可以看出，从左到右，除数都是9； 被除数的整数部分都是两位，被除数的末位依次是2、3、4……，按次序递增1，其余数字均为8， 末位是几，被除数中就有几个8；商的整数部分都是9，商的末位依次是8、7、6……，按次序递减1， 被除数的末位数字与商的末位数字之和为10。 【详解】由分析可得， 88.2÷9＝9.8 88.83÷9＝9.87 88.884÷9＝9.876 88.8885÷9＝9.8765 【点睛】本题主要考查“式”的规律，解答此题的关键是通过前面的算式找到规律。 【对应练习 2】 用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…，那么10÷A＝ ( )。 【答案】0.4545… 【分析】观察算式发现每个算式的结果都是循环小数，并且每个循环小数的循环节都是9的倍数。1×9 ＝9，对应的第一个商的循环节是09；2×9＝18，对应的第二个商的循环节是18；3×9＝27，对应的 第三个商的循环节是27。那么可以推出，第五个商的循环节是5×9＝45。据此填空。 【详解】用规律计算：2÷A＝0.0909…，4÷A＝0.1818…，6÷A＝0.2727…，8÷A＝0.3636…，那么10÷A ＝0.4545…。 【点睛】本题考查了算式的规律，有一定观察总结能力是解题的关键。【对应练习 3】 观察算式，运用规律直接填出得数。 1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝( ) 【答案】1234.5 【分析】观察题目的算式可知，每个结果都是一位小数，且每个结果的数字都是由 1开始的连续的自 然数组成，按从小到大排列，数字的个数＝被除数中数字1的个数＋1，据此写出第四个算式的结果。 【详解】1.08÷0.9＝1.2 11.07÷0.9＝12.3 111.06÷0.9＝123.4 1111.05÷0.9＝1234.5 【点睛】解答本题的关键是总结出算式结果的规律，然后利用规律解答。 【考点十八】小数除法算式谜。 【方法点拨】 掌握小数竖式除法的计算方法是解答小数除法算式谜的关键。 【典型例题】 在 里填上合适的数字。 解析：【对应练习 1】 把下面竖式补充完整。 解析： 【对应练习 2】 . . 如图，表示的是一道小数除法题的竖式计算过程，已知这道题的商等于7.145，那么竖式中的A＝ ( )。解析：5 【对应练习 3】 填一填。 解析： 【考点十九】小数除法的错解问题（将错就错）。 【方法点拨】 解决错解问题，将错就错，先利用除法中各量之间的关系，求出正确的被除数或除数，再求出正确的 商。 【典型例题 1】符号错看。 明明在计算某数除以1.6时，错把除号看成乘号，算得结果是5.12，正确的商是( )。 【答案】2 【分析】根据一个因数＝积÷另一个因数，用5.12÷1.6即可求出某数，再用某数除以1.6，即可求出正 确的商。 【详解】5.12÷1.6＝3.2 3.2÷1.6＝2正确的商是2。 【对应练习】 小燕在计算一个数除以2.45时，把2.45错看成24.5了，结果得3.6，这道题的正确结果是( )。 【答案】36 【分析】在商的变化规律中，被除数不变，除数乘几（0除外），商反而除以相同的数；被除数不变， 除数除以几（0除外），商反而乘相同的数。题中把除数2.45错看成24.5，也就是除数乘了10，那 么商会除以10。要求出正确的商，把错误的商乘10即可。 【详解】通过分析可得： 3.6×10＝36，则这道题的正确结果是36。 【典型例题 2】数字错看。 丹丹在计算一个数除以2.6时，把除号误看成乘号，得到的结果是3.38，正确的结果应该是( )。 【答案】0.5 【分析】根据积÷一个因数＝另一个因数，即用3.38除以2.6即可求出这个数，再用这个数除以2.6 即可求解。 【详解】3.38÷2.6＝1.3 1.3÷2.6＝0.5 则正确的结果应该是0.5。 【对应练习】 在计算一道除法算式时，乐乐把除数0.28看成2.8，结果是2.5，正确的商是( )。 【答案】25 【分析】根据被除数＝除数×商，用错误的除数2.8乘错误的商2.5，即可求出被除数，再用被除数除 以正确的除数即可。 【详解】2.8×2.5÷0.28 ＝7÷0.28 ＝25 在计算一道除法算式时，乐乐把除数0.28看成2.8，结果是2.5，正确的商是25。 【点睛】本题可根据除法各部分之间的关系进行解答。 【典型例题 3】小数点错看。 小明在计算30.6除以一个数时，由于将商的小数点向右点错了一位，结果得到了204。这个除法算式 的除数是( )。 解析： 204÷10＝20.4， 30.6÷20.4＝1.5答：这个除法算式的除数是1.5。 【对应练习】 财务室会计结账时发现账款少了23.04元，经仔细核对发现是把一笔钱款的小数点错点到左边一位， 原来这笔钱款应该是( )元。 【答案】25.6 1 【分析】小数点向左移动一位，缩小到原数的 ，根据差倍问题的解题思路，用差÷倍数差，求出一 10 倍数，将一倍数的小数点再向右移动一位即可。 【详解】23.04÷（10－1） ＝23.04÷9 ＝2.56 2.56的小数点向右移动一位是25.6，原来这笔钱款应该是25.6元。 【点睛】关键是理解小数点位置的移动引起小数的大小变化，差倍问题的关键是用对应数据÷对应倍 数，先求出一倍数。