数学答案及评分标准_2024-2026高三（6-6月题库）_2026年04月高三试卷_260405山东省2026年普通高中学业水平4月调研_山东省2026届普通高中学业水平4月调研数学试卷（含答案）

山东省 2026 年普通高中学业水平 4 月调研 数学答案及评分标准 一、选择题（每小题5分，共40分） 1-8： CAAD DCBC 二、选择题 （每小题6分，共18分） 9．ACD 10．ABC 11．AD 三、填空题（每小题5分，共15分） 2 5π 4 12．3 13． 14． n 12 9 四、解答题（共77分） 15．（13分）解：（1）由数列a 是等差数列及a a a 9，得a 3，----------------1分 n 1 2 3 2 由数列b 是等比数列及bbb 27，得b 3．---------------------------------------------------2分 n 1 2 3 2 设数列a 的公差为d，数列b 的公比为q， n n  9  32d 3q d 3 d  则有 解得 或 2（舍）， 3q2 3q18 q3  q2 所以a 和b 的通项公式为a 3n3，b 3n1．---------------------------------------------6分 n n n n 3n3,n为奇数 （2）由（1），得c  ， n  3n1,n为偶数 所以S (c c c )(c c c )------------------------------------------------------7分 2n 1 3 2n1 2 4 2n [06(6n6)](3133 32n1) (06n6)n 3(19n)   -------------------------------------------------------------------------------11分 2 19 3 3 3n2 3n 9n  ．------------------------------------------------------------------------------------13分 8 8 16．（15分） 证明：（1）取AB的中点O，连接EO，AB，OC． 1 因为E为AA 中点，O为AB中点，所以EO//AB． 1 1 在三棱柱ABCABC 中，AB AA 2，则四边形ABBA是菱形， 1 1 1 1 1 1 得AB  AB，则AB EO，----------------------------------------------------------------------------2分 1 1 1 又AB CE，EOCEE，EO，CE平面EOC，所以AB 平面EOC．-----------3分 1 1 又因为OC平面EOC，所以OC AB ．-----------------------------------------------------------4分 1 因为ABC是等边三角形，O为AB中点，所以OC AB．-------------------------------------5分 又因为ABAB  A，AB，AB 平面AABB ， 1 1 1 1 {#{QQABIYKgpgi4kJTACAgqQ0FcCQsYsAOhLCgsQVAQKAZCCANABAA=}#}所以OC平面AABB ．-----------------------------------------------------------------------------------6分 1 1 又因为OC面ABC，所以平面AABB 平面ABC．------------------------------------------- 7分 1 1 解：（2）连接AO． 1 π 因为AAB ，AB AA，所以△AAB是等边三角形，所以AO AB． 1 3 1 1 1 又平面AABB 平面ABC，平面AABB 平面ABC AB，AO平面AABB ， 1 1 1 1 1 1 1 所以AO平面ABC．-------------------------------------------------------------------------------------8分 1 由OC,OB平面ABC，得AOOC,AOOB，又OC AB， 1 1 如图，以O为原点，以OC、OB、OA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz． 1 -------------------------------------------------------------------------------9分 则O0,0,0，C  3,0,0  ， A  0,0, 3  ，C  C    B  B  ，C  3,1, 3  ， 1 1 1 1   设APAC (01),则P( 3,, 3)，----------------------------------------------------------11分 1 1 1  CP( 3(1),, 3)， 易知平面ABC的一个法向量n0,0,1， 设直线CP与平面AABB 所成角为，则 1 1   CPn 3 sin cosCP,n    ,---------------------------------------------------- 12分 CP  n 42 66 3 2 5 3 3 3 3 令  ，解得 ，此时AP AC  ，所以线段AP ． ----15分 42 66 5 4 1 4 1 1 2 1 2 17．（15分） 解：（1）可分为两种情况： 1 消费者第一轮游戏反面朝上，其概率为 ；----------------------------------------------------------2分 2 1 C2 1 消费者第二轮，且摸出2个球均为白球，其概率为  4  ，------------------------------- 4分 2 C2 5 6 1 1 7 故当n4时，消费者参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为 p   ．------------- 6分 2 5 10 （2）由题意可得X 的可能取值有10，20，30，----------------------------------------------------7分 1 1 C2 1 n(n1) n2n1 且PX 10   n    ， 2 2 C2 2 2(n2)(n1) (n2)(n1) n2 1 C1C2 2n PX 20  2 n  ， 2 C2 (n2)(n1) n2 {#{QQABIYKgpgi4kJTACAgqQ0FcCQsYsAOhLCgsQVAQKAZCCANABAA=}#}1 C2 1 PX 30  2  ，----------------------------------------------------------------10分 2 C2 (n2)(n1) n2 则EX10PX 1020PX 2030PX 30， 10n2 50n40 化简可得E(X) ，---------------------------------------------------------------------13分 (n2)(n1) 由题意可得E(X)12，即n2 7n80，即n1或n8， 又n≥2，nN*，所以n的最小值为9．-----------------------------------------------------------15分 18．（17分） 3 解：（1）因为 f 10，切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ， 2 所以切线与y轴交点的坐标为0,3．----------------------------------------------------------------2分 2a 所以切线斜率k 3， fxlnx 1，f13， x 所以a的值为1或2．--------------------------------------------------------------------------------------4分 2a 2ax （2）由题意得 fxlnx 1， f(x) ． x x2 ①a≥0， f(x)0， f(x)在  0, 单调递减， f( 2a)0， f(2a1)0 存在x ( 2a,2a1)，使得 f(x )0， 0 0 所以 f  x  在（0,x）单调递增，在(x ,)单调递减，即 f(x)不单调．--------------------6分 0 0 ②a0，x(0,2a)， f(x)0， f(x)在(0,2a)单调递增， x(2a,)， f(x)0， f(x)在(2a,)单调递减， 1 f(2a)ln(2a)2，令 f(2a)0，即a ， 2e2 此时存在x (0,2a)，x (2a,)，使得 f(x )0， f(x )0， 1 2 1 2 x0， f(x)；x， f(x)， 所以 f(x)在(0,x )单调递减，在(x ,x )单调递增，在(x ,)单调递减， 1 1 2 2 即 f(x)不单调．---------------------------------------------------------------------------------------------9分  1  综上所述a的取值范围为 ,．--------------------------------------------------------------10分  2e2  （3）由（2）知当a 0时， f(x)在  0, 单调递减， f( 2a)0， f(2a1)0， 存在x ( 2a,2a1)，使得 f(x )0，2ax x lnx ， 0 0 0 0 0 所以 f  x  在（0,x）单调递增，在(x ,)单调递减， 0 0 f x  f x 2ax lnx ，-----------------------------------------------------------------------11分 max 0 0 0 所以b2ax lnx ，即b6a2ax lnx 6a， 0 0 0 0 b6a x lnx 2 3x lnx 3x ，----------------------------------------------------------------------13分 0 0 0 0 0 令hxxlnx2 3xlnx3x 因为hxlnx2 lnx6lnx3lnx2 {#{QQABIYKgpgi4kJTACAgqQ0FcCQsYsAOhLCgsQVAQKAZCCANABAA=}#} 1   1  当x0, 时，hx单调递增，当x ,e3 时，hx单调递减，  e2 e2  当x  e3,  时，hx单调递增， x0， f(x)0，----------------------------------- 16分 所以hx h  e3 3e3， min 所以b6a的最小值为3e3．---------------------------------------------------------------------------17分 19．（17分） 解：（1）由题意得a1， OA 1，则当l与x轴垂直时，不妨设M2,y ， 1 1 3 由S  OA y  ，得 y 3，----------------------------------------------------------------------1分 1 2 1 2 1 将M2,3代入方程x2  y2 1，解得b2 3， b2 y2 所以双曲线E的方程为x2  1．--------------------------------------------------------------------3分 3 （2） 设Mx,y ，Nx ,y ，P0,y ， 1 1 2 2 0   由PM MQ与Q2,0，得x,y  y 2x,y ， 1 1 0 1 1 2 y  2 y  即x  ，y  0 ，所以M , 0 ，---------------------------------------------------5分 1 1 1 1 1 1  2 y   2  2 1 y  2 将M , 0 代入E的方程得：     0  1， 1 1 1 31 整理得：92 6 y2 30①，-----------------------------------------------------------------------7分 0   同理由PN NQ可得92 6 y2 30②．-----------------------------------------------------8分 0 由①②知，，是方程9x2 6x y2 30的两个不等实根． 0 2 由韦达定理知 ，所以为定值．------------------------------------------------------10分 3 2 2 1 1 1 （3）又 S S mS ，即   AQ  y y  1 y m 1 y ， 9 1 2 9 2 1 2 2 1 2 2 2 整理得： y y y m y ，--------------------------------------------------------------------11分 3 1 2 1 2 2 又y y 0，不妨设 y 0 y ，则 y y y my ， 1 2 2 1 3 1 2 1 2 2 2  y 2 2 y 整理得m   1 ，又 ，故m  1 ，-----------------------------------13分 3 3  y 3 3 y 2 2 y y y 1 而由（i）知y  0 ，y  0 ，故 1  ， 1 1 2 1 y 1 2 5    代入得 2 1 2 3 ，-------------------------------------------------------------15分 m    3 1 3 1 8  令1t  t3,4  ，得， 2 (t1) 3 t  8 ， m  3t 3 3t t {#{QQABIYKgpgi4kJTACAgqQ0FcCQsYsAOhLCgsQVAQKAZCCANABAA=}#}3 8 5 由双勾函数yt 在3,4上单调递增，得m ,  ， t 9 3 8 5 所以m的取值范围为m ,  ．---------------------------------------------------------------------17分 9 3 {#{QQABIYKgpgi4kJTACAgqQ0FcCQsYsAOhLCgsQVAQKAZCCANABAA=}#}