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学科网（北京）股份有限公司
龙岩市2026 年高中毕业班三月教学质量检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
A
D
C
D
B
B
A
A
二、多项选择题：本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分．
题号
9
10
11
选项
AC
BCD
ACD
三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．5
13．2
e
14．10
49
8．解析：由
(
1)
( )
f x
f x ，得
(
2)
(
1)
( )
f x
f x
f x
，周期为2
（但最小正周期不能判定，例如常函数的最小正周期不为2），B 错误；
由于周期为2，所以
)
(
)
2
(
x
f
x
f
，
)
(
))
(
2
(
)
2
(
x
f
x
f
x
f
，
又
)
2
(
)
2
(
x
f
x
f
，得
)
(
)
(
x
f
x
f
，所以
)
(x
f
是偶函数，A 正确；
由
)
2
(
)
2
(
x
f
x
f
只能推出对称轴为
2
x
，无中心对称的推导依据，C 错误；
令
)
3
(
)
(
x
f
x
g
，由
)
(x
f
是偶函数且
2
T
，
),
(
)1
(
)
3
(
)
3
(
)
(
x
g
x
f
x
f
x
f
x
g
D 错误
11．解析：对于A：
2
2
cos
AG AP
AG
AP
GAP
AP
AF
，A 正确.
对于B：若l 的倾斜角为
4
，则l 的方程为
1
y
x
=
+
,
联立
2
1
4
y
x
x
y
ì =
+
ïïíï
=
ïî
，
2
4
4
0
x
x
-
-
=
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所以
2=
4
4
4
8
A
B
A
B
AB
y
y
x
x
=
+
+
+
+
=
+
=
，B 错误.
对于C：由已知得
0,1
F
，
:
1
m y ，
设
2
1
1
(
,
)
4
x
A x
，
2
2
2
(
,
)
4
x
B x
，则
1
(
, 1)
P x
.
由
2
1
:
4
C y
x
，得
1
'
2
y
x
，
故C 在A 处切线方程为：
2
1
1
1
1
(
)
4
2
x
y
x x
x
，
得
2
1
(0,
)
4
x
Q
，所以
2
1
(0 1,
)
4
QF
x
，
2
1
(0 1,
)
4
PA
x
，得QF
PA
，
又AF
PA
，所以四边形AFQP 为菱形. C 正确．
D：由选项C 知
AFG
APG ，
所以
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
4
(4
)
2
=
= 1
4
2
8
AFGP
APG
x
x
x
S
S
AP PG
x
x
x
，
设
2
2
(
4)
( )
8
x
f x
x
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2(
4) 2
(
4)
(
4)(3
4)
( )
(
0)
8
8
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
，
2
2
2
( )
0
,
( )
0
3
3
3
f
x
x
f
x
x
或
2
3
x
，
所以
( )
f x 在
2
(0,
)
3
上单调递减，在
2
(
,
)
3
上单调递增，
则当
2
3
x
时，
( )
f x 取得最小值为16 3
9
，D 正确．
14．解析：
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，
每次摸球的情况有
1
2
3
3
3
3
7
C
C
C
种.
先后两次摸球共有7 7
49
种情况.
两次得分5分的情况有：
第一次1分，第二次4 分，共有
1
1
2
2
4
C
C
种，
第一次2 分，第二次3 分，共有1 种；
第一次4 分，第二次1 分，共有4 种；
第一次3分，第二次2 分，共有1 种；
所以
10
49
P
.
四、解答题：本大题共5 小题，共77 分．
15．（13 分）
解：（1）设事件
:
A 抽取的是本地会员，
3
5
P A
，
事件
:
A 抽取的是外地会员，
2
5
P A
，
事件
:
B 会员对商品质量满意，
2
3
P B A
,
3
4
P B A
，
所以
3
2
2
3
7
5
3
5
4
10
P B
P A P B A
P A P B A
.
.....................................................................................................5 分
（2）由题可知，单次抽取会员满意的概率
7
10
p
，不满意的概率为
3
1
10
p
,
.........................................................6 分
X 的所有可能取值为0,1,2
............................................................... 7 分
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，
则
7
(2,
)
10
X
B
,
2
3
9
(
0)
10
100
P X
，....................................................................8 分
1
2
7
3
21
(
1)
10 10
50
P X
C
，...............................................................9 分
2
7
49
(
2)
10
100
P X
，
................................................................... 10 分
X
0
1
2
p
9
100
21
50
49
100
.....................................11 分
所以
9
21
49
7
(
)
0
1
2
100
50
100
5
E X
（或
7
7
(
)
2 10
5
E X
np
）.
.........................................................................13 分
16．（15 分）
解：（1）
( )
f x
3
1
sin2
cos2
2
2
x
x
)
6
2
sin(
x
，
.................................................................................3 分
令
π
π
π
2 π
2
2 π,
2
6
2
k
x
k
k
Z ，
得
π
π
π
π,
3
6
k
x
k
k
Z ，
所以函数
f x 的单调递增区间为
π
π
[
π
π]
3
6
Z
k
k
k
，
，
. .......... 6 分
（2）因为
1
( )
sin(2
)
6
2
f A
A
，
学科网（北京）股份有限公司
又A 为
ABC
△
的内角，所以
5
2
6
6
A
,所以
3
A
.
.............8 分
设角, ,
A B C 所对边分别为a ，b ，c ，
因为sin
2sin
,
B
C
由正弦定理得
2
b
c
.①.......................................9 分
因为三角形的面积为3 ，所以1
sin
3
2 bc
A
.②............................11 分
由①②得：
2 2
2
b
c
，
...................................................................... 13 分
由余弦定理得
2
2
2
2
cos
6
BC
b
c
bc
A
，所以
6
BC
.
....15 分
17．（15 分）
解：法一：（1）在正四棱台
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
中，
1
1
2
B
A
AB
，E 是BC 的中点，
则
EC
AD
D
A
//
//
1
1
,且
AD
EC
D
A
2
1
1
1
，
所以四边形
CE
D
A
1
1
是平行四边形.
.....................................................2 分
C
D
E
A
1
1
//
,又
D
D
CC
E
A
1
1
1
平面
,
D
D
CC
C
D
1
1
1
平面
,
D
D
CC
E
A
1
1
1
// 平面
......................................................................... 5 分
（2）延长
1
1
1
1
,
,
,
DD
CC
BB
AA
交于P ，连接PE 交
1
1C
B
于F ．
由正四棱锥性质，可知直线EF 即为直线EP ，
连接AC 交BD 于O ，
连接
1
1C
A
交
1
1D
B
于
1
O ，
因为
2
2
2
1
1
B
A
AB
，
所以
1
,2
1
1
A
O
OA
．
由外接球的表面积为
16 ，
得其半径
2
R
.
....................................................................................6 分
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设棱台的高为
1
OO
h
，球心在直线
1
OO 上.
记球心到点O 的距离为d ，则球心到点
1
O 的距离为
|
|
d
h
.
根据下底面顶点A和上底面顶点
1
A 到球心的距离均为
2
R
，
得到方程组：
.
)
(
,
2
2
2
1
1
2
2
2
R
d
h
A
O
R
d
OA
代入
2
OA
，
1
1
1
A
O
，
2
R
，得：
.4
)
(
1
,4
4
2
2
d
h
d
解得
3
,0
h
d
.
.....................................8 分
因此球心与点O 重合，棱台高
3
1
OO
.
在
O
O
A
1
1
Rt
中，
3
1
OO
.
由棱锥相似关系可得
3
2
OP
.
以O 为原点，分别以
OP
OE，
为y 轴，z 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
xyz
O
.
则
(
2, 2,0),
(
2,
2,0),
(0, 2,0), (0,0,2 3)
C
D
E
P
，
所以
(0,
2,2 3),
(0,2 2,0),
( 2,
2,2 3)
EP
DC
CP
．
设平面
D
D
CC
1
1
的法向量为
( , , )
x y z
n
，
则
2 2
0
2
2
2 3
0
DC
y
CP
x
y
z
n
n
，取
(
6,0,1)
n
．...............................11 分
设直线EF 与平面
D
D
CC
1
1
所成角为．
则
|
|
2 3
6
sin
| cos
,
|
7
|
||
|
7
14
EP
EP
EP
n
n
n
，...................................14 分
所以直线EF 与平面
D
D
CC
1
1
所成角的正弦值为
6
7 ．........................ 15 分
法二：
（1）连结AC 交BD 于O ，连结
1
1C
A
交
1
1D
B
于
1
O ，以O 原点，
1
,
,
OO
OB
OA
分别为
z
y
x
,
,
轴建立如图空间直角坐标系.
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2
2
2
1
1
B
A
AB
，
1
,2
1
1
A
O
OA
,由正四棱台外接球的表面积为
16
得其半径为2
.....................................................................1 分
即O 为正四棱台
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD
外接球的球心.
2
1
OA
，在
O
O
A
Rt
1
1
中，
3
2
1
1
2
1
1
O
A
OA
OO
,
................. 3 分
则
)
0,0,2
(
A
,
)
3
,0,1(
1A
,
)0,2,0(
B
,
)
0,0,2
(
C
,
)
3
,0,1
(
1
C
,
)
0,2
,0
(
D
,
)
0,1,1
(
E
,
)
3
,1,2
(
1
E
A
,
)
3
,0,1(
1
CC
,
)
0,2
,2
(
CD
设平面
D
D
CC
1
1
的法向量
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
n
则
0
2
2
0
3
0
0
0
0
1
y
x
CD
z
x
CC
n
n
，取
)1
,3
,3
(
n
0
3
3
3
2
1
n
E
A
,
又
D
D
CC
E
A
1
1
1
平面
,
D
D
CC
E
A
1
1
1
// 平面
............................5 分
（2）设
)
(
C
B
F
B
1
0
1
1
1
,则
)
3
,
1,
(
F
)
,
,
(
AF
3
1
2
,又
)
,
,
(
AA
3
0
1
1
,
0
1
3 ,,
AE
设平面
E
AA1
的法向量
)
,
,
(
1
1
1
1
z
y
x
n
则
0
3
0
3
0
0
1
0
0
1
1
y
x
AE
z
x
AA
n
n
，取
)
3
,9,3
(
1
n
则由
0
6
12
n
AF
得
2
1
，即
)
3
,
2
1
,
2
1
(
F
，..........................10 分
（未证明直接猜
的中点
是
1
1C
B
F
，直接扣2 分）
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)
3
,
2
1
,
2
1
(
EF
，设直线EF 与平面
D
D
CC
1
1
所成角为，由（1）得平面
D
D
CC
1
1
的法向量
)1
,3
,3
(
n
，则
7
6
7
2
7
3
sin
n
n
EF
EF
，
所以直线EF 与平面
D
D
CC
1
1
所成角的正弦值为
7
6 .
...................15 分
法三：（1）同法二
（2）延长
1
1
1
1
,
,
,
DD
CC
BB
AA
交于点P ，连结PE 交
1
1C
B
于H ,
1
AA
P
,而
E
AA
AA
1
1
平面
,
E
AA
P
1
平面
E
AA
E
1
平面
,
E
AA
PE
1
平面
,则点H 即为平面
E
AA1
与
1
1C
B
的交点F .
1
1
2
C
B
BC
,
的中点
是
1
1C
B
F
.
)
3
,
2
1
,
2
1
(
F
............................. 10 分
（未证明直接猜
的中点
是
1
1C
B
F
，直接扣2 分）
1
1
( ,
, 3)
2
2
EF
，设直线EF 与平面
D
D
CC
1
1
所成角为，
由（1）得平面
D
D
CC
1
1
的法向量
)1
,3
,3
(
n
，
则
3
6
sin
7
7
7
2
EF
EF
n
n
，
所以直线EF 与平面
D
D
CC
1
1
所成角的正弦值为
7
6 .
.......................15 分
18．（17 分）
解：（1）由已知得，2
4
a
，
2
a
,
原点O 到直线
2
y
x
的距离为
0
0
2
1
2
b
，
所以E 的方程为
2
2
1
4
x
y
....................................................................4 分
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（2）（i）当过点
2,1
P
的直线斜率不存在时，
直线与椭圆E 只有1 个交点，舍去，
设直线l 的方程为
1
2
y
k x
，
设
1
1
2
2
,
,
C x y
D x
y
､
，
由
2
2
1
2
1
4
y
k x
x
y
，
消去y 整理得
2
2
2
2
1
4
16
8
16
16
0
k
x
k
k x
k
k
，
所以
2
2
2
2
Δ
16
8
4 1
4
16
16
0
k
k
k
k
k
，解得
0
k
，
2
2
1
2
1
2
2
2
16
8
16
16
,
1
4
1
4
k
k
k
k
x
x
x x
k
k
，.......................................... 8 分
直线BC 的方程为
1
1
1
1
y
y
x
x
，令
0
y
，得
1
1
1
1
1
2
M
x
x
x
y
k x
，
同理可得
2
2
2
2
1
2
N
x
x
x
y
k x
........................................................9 分
1
2
1
2
2
2
M
N
x
x
x
x
k x
k x
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
4
x
x
x
x
x x
x
x
k x
x
k x x
x
x
.......................10 分
又因为
2
2
1
2
1
2
2
2
2
16
16
16
8
16
2
2
2
2
1
4
1
4
1
4
k
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
2
2
1
2
1
2
2
2
2
16
16
16
8
4
2
4
2
4
1
4
1
4
1
4
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
k
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所以
16
4=2
4
M
N
A
k
x
x
x
k
所以M ，A，N 的横坐标成等差数列；.............................................. 12 分
（ii）由（i）知A 为
,
M N 的中点，得
2
MN
AN
所以
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
ABD
BMD
AN
y
AN
S
S
MN
MN
y
所以ABD 与BMD 的面积之比为1
2
.……………17 分
19．（17 分）
解:（1）函数
x
b
x
x
f
ln
)
(
2
的定义域为
)
,0
( ，
x
b
x
x
f
2
)
(
，................1 分
当
0
b
时，
0
)
(
x
f
恒成立，函数
)
(x
f
在
)
,0
( 上单调递增；
当
0
b
时，令
0
)
(
x
f
，解得
2
2b
x
，
当
2
2
0
b
x
时，
0
)
(
x
f
，函数
)
(x
f
在
)
2
2
0
b
，
（
上单调递减，
当
2
2b
x
时，
0
)
(
x
f
，函数
)
(x
f
在
)
,
2
2
b
（
上单调递增.
综上所述：当
0
b
时，函数
)
(x
f
的单调增区间是
)
,0
( ；
当
0
b
时，函数
)
(x
f
的单调减区间是
)
2
2
0
b
，
（
，单调增区间是
)
,
2
2
b
（
；
.....................................................................................................................4 分
（2）由
x
b
x
x
f
ln
)
(
2
得
x
b
x
x
f
2
)
(
，因为
2
3
1
2x
x
x
，
2
1
3
1
3
1
3
2
1
2
3
1
3
2
ln
)
(
ln
x
x
x
x
x
b
x
x
x
x
x
x
b
kAC
，
2
2
2
x
b
x
kB
，
学科网（北京）股份有限公司
所以
)
2
ln
(
)
1
ln
(
2
2
ln
1
3
1
3
1
3
2
1
3
1
3
2
2
2
1
3
1
3
x
x
x
x
x
x
b
x
x
x
x
x
b
x
x
b
x
x
x
x
x
b
k
k
B
AC
3
3
3
1
3
1
3
1
3
1
1
1
3
1
3
1
2(
1)
2(
(ln
)
(ln
)
)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b
b
x
x
x
x
................................ 8 分
不妨设
1
3
0
x
x ，令
3
1
x
t
x ，则
1
t
，令
2
1
ln
1
t
g t
t
t
，
所以
2
2
2
1
1
4
0
1
1
t
g t
t
t
t t
，
所以
g t 在
1,内单调递增，
1
0
g t
g
，即
2
1
ln
0
1
t
t
t
，
因为
0
b
，
3
1
0
x
x
，所以
0
B
AC
k
k
，所以
B
AC
k
k
.
.................10 分
（3）当
1
b 时，
x
x
x
f
ln
)
(
2
，
1
2
1
ln
1
2
1
ln
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
，
设
1
2
1
ln
)
(
x
x
x
g
，
2
2
1
2
)
(
x
x
x
g
，
当
1
x
时，
0
)
(
x
g
，则
)
(x
g
在
)
,1( 内单调递增，
所以
2
3
)1(
)
(
g
x
g
，所以
2
3
2
5
,
2
3
1
a
an
符合题意.
...............11 分
构造函数
1
1
ln ,
1
2
h x
x
x
x
x
，求导得
2
2
2
1
1
1
1
0
2
2
2
x
h x
x
x
x
，
所以
h x 在
1,
内单调递增，则
1
0
h x
h
，
所以当
1
x 时，1
1
ln
2 x
x
x
.
........................................................13 分
所以
1
1
ln
2
2
n
n
n
a
a
a
，即
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
ln
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
，
所以
2
2
1
n
n
a
a
，即
2
)
2
2
1
n
n
a
a
（
，得
)
2
(
2
1
2
1
n
n
a
a
学科网（北京）股份有限公司
所以
n
n
n
n
n
a
a
a
a
2
1
)
2
(
2
1
)
2
(
2
1
)
2
(
2
1
2
1
1
2
2
1
即
2
2
1
n
n
a
，..........................................................................................15 分
所以
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
S
n
n
n
n
n
.....................................................................................................17 分
