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高一数学组
高一数学试题答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分）
1. A 2. D 3. B 4. C 5. D 6. D 7. B 8. C
二、选择题（共 3 小题，每小题 6 分）
9. ABD 10. AD 11. BC
三、填空题（共 3 题，每小题 5 分 ）
3√ 3
12.
2
13. 6
14. (−3,3]
四、解答题（共 5 题，共77 分 ）
15. （本题13分）
12 sinα 5
(1)cosα=−√ 1−sin2α=− ；tanα= =− ．
13 cosα 12
{ sinα 3 {sinα= 3 , {sinα=− 3 ,
= , 5 或 5
(2) cosα 4 ⇒
4 4
sin2α+cos2α=1 cosα= cosα=− ,
5 5
3
{sinα=− ,
因为 是第三象限角，所以 5
α
4
cosα=− .
5
16.（本题15分）
√ 10
解：(1)由sinα+cosα=− ，
5
√ 10 2
两边平方得1+2sinαcosα=(− ) 2= ，
5 5
3
则sinαcosα=− ；
10
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1 1 cosα−sinα
(2) − = ，
sinα cosα sinαcosα
6 16
由(cosα−sinα) 2=1−2sinαcosα=1+ = ，
10 10
4
得cosα−sinα=± ，
√ 10
π
∵ <α<π， ∴sinα>0，cosα<0，
2
2√ 10
则cosα−sinα=− ，
5
2√ 10
−
1 1 cosα−sinα 5 4√ 10
即： − = = = ．
sinα cosα sinαcosα 3 3
−
10
17.（本题15分）
2π
解：(1)f(x)的最小正周期为T= =π；
2
π π π
(2)依题意得，2x+ =2kπ+ ，k∈Z，解得x=kπ+ ，k∈Z．
3 2 12
π
所以函数f(x)取最大值时自变量x的集合为{x|x=kπ+ ,k∈Z}．
12
18.（本题17分）
2π
解：(1)f(x)的最小正周期为 =π，
2
π π
因为y=sinx的单调递增区间为[− +2kπ, +2kπ]，k∈Z，
2 2
π π π
令2x+ ∈[− +2kπ, +2kπ]，k∈Z，
12 2 2
7π 5π
得2x∈[− +2kπ, +2kπ]，k∈Z，
12 12
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7π 5π
所以x∈[− +kπ, +kπ]，k∈Z，
24 24
7π 5π
故f(x)的单调递增区间为[− +kπ, +kπ]，k∈Z；
24 24
π 7π π 7π
(2)因为x∈[ , ]，所以2x∈[ , ]，
8 12 4 6
π π 5π
所以2x+ ∈[ , ]，
12 3 4
π √ 2
所以sin(2x+ )∈[− ,1]，
12 2
π 7π √ 2
故当x∈[ , ]时，f(x)的值域为[− ,1]．
8 12 2
19.（本题17分）
x−3
解：(1)由 >0，得x<−3或x>3．
x+3
∴f(x)的定义域为(−∞,−3)∪(3,+∞);
x−3 6
(2)设t(x)= =1− ，
x+3 x+3
6
因函数y= 在(3,+∞)上单调递减，则t(x)在(3,+∞)上为增函数，
x+3
1
又a= ，∴f(x)在(3,+∞)上为减函数，
2
又函数g(x)=f(x)−b在(3,+∞)有且只有一个零点，
即f(x)=b在(3,+∞)上有且只有一个解，
∵函数f(x)在(3,+∞)上的值域为(0,+∞)，
∴b的范围是(0,+∞).
(3)假设存在这样的实数 a，使得当 f(x)的定义域为[m,n]时，值域为
[1+log n,1+log m]，
a a
由m0
{9a2−18a+1>0
则 3a−1
>3 ⇒ 9a<1
−2a
a>0
ℎ(3)=18a>0
3−2√ 2
解得0
