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2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“ 是增函数”的否定是（ ）
A． 是减函数
B． 是减函数
C． 不是增函数
D． 不是增函数
3．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．若 ，则下列错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的大致图象为（ ）A． B．
C． D．
6．在 中， ，则“ ”是“ 为锐角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量 （单位： ）与管道半径
（单位： ）的四次方成正比．若气体在半径为 的管道中，流量为 ，气体在半径为
的管道中，流量大于 且小于 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 的定义域为 ， ，且 ，设 ， ，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．“存在一个素数不是奇数”是存在量词命题
B． 是奇函数
C． 等价于
D．集合 是12与30的公约数 的真子集的个数为15
10．已知矩形 的周长为 ，则（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为 D．矩形 面积的最大值为
11．已知 是定义在 上的偶函数， ，当 时， ，则（ ）
A． B． ，
C． D．
三、填空题
12．苏轼的《望江南·超然台作》全词如下：
春未老，风细柳斜斜．
试上超然台上看，半壕春水一城花．
烟雨暗千家．
寒食后，酒醒却咨嗟．
休对故人思故国，且将新火试新茶．
诗酒趁年华．若定义该词的第 行的字数（标点符号不计入字数）为 ，则 ．
13．若关于 的不等式 的解集为 ，则 ．
14．已知函数 为定义在 上的单调函数，则 的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知集合 ， ．
(1)当 时，求 ， ；
(2)若 ，求 的取值范围．
16．已知幂函数 ．
(1)求 的解析式；
(2)求方程 的解集；
(3)判断函数 在 上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
17．如图，在一块锐角三角形空地 中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知
，设 ，矩形 的面积为 ．(1)求 ；
(2)求内接矩形花园面积的最大值．
18．已知函数 ．
(1)若 ， ，求 的值域．
(2)设集合 ， ．
①证明：当 时，存在唯一的 ，使得 ．
②证明：当 时，存在唯一的 ，使得 ．
19．已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在 上的最小值；
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)讨论关于 的不等式 的解集．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A B B D A AD ACD
题号 11
答案 BC
1．C
根据元素与集合的关系逐项判断即可.
【详解】对于A选项，若 ，则 ，可得 ，所以 ，A错；
对于B选项， ，B错；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，D错.
故选：C.
2．D
应用特称量词命题的否定判断求解.
【详解】 是增函数”的否定是 不是增函数.
故选：D.
3．B
根据函数 的定义域，可得出函数 的自变量 所满足的不等式，即可解得函数 的定义域.
【详解】因为函数 的定义域为 ，
对于函数 ，有 或 ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 .
故选：B.
4．A
利用特殊值法可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BCD选项.
【详解】因为 ，对于A，不妨取 ， 满足前提，则 ，A错；
对于B，因为 ，所以 ，B对；
对于C，由已知得 ，C对；
对于D，由不等式的性质可得 ， ，故 ，D对.
故选：A.
5．B
分析函数 的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
所以函数 为奇函数，排除AD选项；
令 可得 或 ，
所以方程 在 上的零点有且只有三个，排除C选项.
故选：B.
6．B
根据 为锐角三角形求出 的范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】在 中， ，
若 为锐角三角形，则 ，解得 ，
因为 ，
所以“ ”是“ 为锐角三角形”的必要不充分条件，
故选：B.
7．D
设 ，当 ， 时，求出 的值，再由 可求出 的取值范围.
【详解】根据题意，设 ，由题意可得 ，解得 ，故 ，当 时， ，解得 ，
故选：D.
8．A
变形得出 ，令 ，则 ，利用赋值法可求出 、 、 的
值，即可得出这三个数的大小关系.
【详解】对任意的 、 ，在等式 两边同时除以 可得
，
令 ，则 ，
令 ，可得 ，解得 ，
令 可得 ，所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 ，
令 ，则 ，令 ， ，可得 ，
即 ，故 ，
所以 ， ， ，故 ，
故选：A.
9．AD
根据存在量词命题的定义，可判定A正确；根据函数定义域不关于原点对称，可判定B错误；当
时，解得 ，可判定C错误；求得集合 ，结合真子集个数的计算公式，可
判定D正确.
【详解】对于A，根据存在量词命题的定义，可得“存在一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以A正
确；
对于B，由 满足 ，可得 ，则函数的定义域不关于原点对称，
所以函数 为非奇非偶函数，所以B错误；
对于C，当 时，解得 ，即当 时， ，
所以不等式 与 不等价，所以C错误；
对于D，由 是 和 的公约数，可得 ，即集合 ，
可得集合中真子集的个数为 个，所以D正确.
故选：AD.
10．ACD
由矩形的性质可得 ， ，结合矩形的周长可判断A选项；利用勾股定理结合重要不等式可判断B选项；将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；利用基本不
等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为四边形 为矩形，则 ， ，
因为该矩形的周长为 ，故 ，A对；
对于B选项，由勾股定理可得 ，
由重要不等式可得 ，
所以 ，
则 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 ，故 ，
故 的最小值为 ，B错；
对于C选项，因为
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 ，C对；
对于D选项，四边形 的面积为 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故矩形 面积的最大值为 ，D对.
故选：ACD.11．BC
在等式 中令 可求出 的值，可判断A选项；由偶函数的性质可得出
，结合题干等式可判断C选项；推导出函数 是周期为 的函数，求出函数 在
上的值域，可判断B选项；利用函数的周期性求出 的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，对任意的 ， ，当 时， ，
所以 ，
在等式 中，令 ，可得 ，故 ，A错；
对于C选项，因为函数 是定义在 上的偶函数，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，C对；
对于B选项，对任意的 ， ，
所以 ，即函数 是周期为 的函数，
要求函数 的值域，只需求函数 在 上的值域即可，
当 时， ，
则 ，
当 时， ，
故当 时， ，
则当 时， ， ，
故当 时，函数 的值域为 ，故 ， ，B对；对于D选项，因为 ，则 ，
故 ，D错.
故选：BC.
12．
结合函数的定义由内到外可计算出 的值.
【详解】由题意可得 ，则 .
故答案为： .
13．
分析可知，关于 的方程 的两根分别为 、 ，结合韦达定理可得出 、 的值，即可得解.
【详解】由题意可知关于 的方程 的两根分别为 、 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，故 .
故答案为： .
14．
分析可知，函数 在 上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数 的不等式组，即可解得实
数 的取值范围.
【详解】因为函数 在 上为减函数，且函数 为定义在 上的单调函数，
故函数 在 上为减函数，
所以 在 上为减函数，则 ，函数 在 上为减函数，则 ，解得 ，
且有 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
15．(1) ， 或
(2)
（1）当 时，写出集合 ，并求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 ，利用并集和补集的定
义可求得集合 ；
（2）分 、 两种情况讨论，根据 ，可得出关于实数 的不等式，综合可得出实数
的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
又因为 ，故 ，
，则 或 .
（2）因为 ，当 时，则 ，解得 ；
当 时， ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
16．(1)
(2)(3) 在 上为减函数，证明见解析
（1）根据幂函数的定义可得出关于 的等式，解出 的值，即可得出函数 的解析式；
（2）根据函数 的定义域和单调性结合 可得出关于 的等式与不等式，即可得出原方
程的解集；
（3）化简函数 的解析式，任取 、 且 ，作差 ，变形后判断
的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论.
【详解】（1）因为函数 为幂函数，则 ，解得 ，故 .
（2）因为函数 的定义域为 ，且该函数在 上为增函数，
由 可得 ，解得 ，
故方程 的解集为 .
（3）函数 在 上单调递减，证明如下：
任取 、 且 ，
，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，
故函数 在 上为减函数.17．(1)
(2)
（1）设 ，根据矩形的性质可证明 ，根据相似三角形的性质得出边长，进而得出
矩形的面积；
（2）将 配方，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）设 ，取 中点 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
矩形 面积 ；
（2）
故当 的长度是 厘米时，矩形花园 的面积最大，最大面积为 平方米．
18．(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析.（1）当 ， 时， ，利用基本不等式可求得函数 的值域；
（2）①当 时，求出集合 、 ，根据 可求得实数 的值，即可证得结论成立；
②假设存在实数 ，使得 ，不妨设 ，则 ，则 ，可求出实
数 的值，然后求出集合 、 ，即可证得结论成立.
【详解】（1）若 ， ，则 ，该函数的定义域为 ，
当 时， ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立；
当 时， ，由基本不等式可得
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
综上所述，当 ， 时，函数 的值域为 .
（2）①当 时， ，则 ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以 ， ，
若 ，则 ，解得 ，
所以，当 时，存在唯一的 且 ，使得 ；
②当 时， ，
若 ，不妨设 ，则 ，则 ，则 ，
即 ，解得 ，此时 ，则 ，令 ，可得 ，解得 ，
此时 ，
故当 时，存在唯一的 且 ，使得 .
19．(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）当 时， ，该函数的图象开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，即当 时，函数 在 上单调递减，
此时 ；
当 时，即当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
此时 ；
当 时，函数 在 上单调递增，此时 .
综上所述， .
（2）当 时， ，令 ， ，因为内层函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
外层函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 可得 ，由 可得 或 ，
由复合函数法可知，函数 的单调递减区间为 、 ，
单调递增区间为 、 .
（3）不等式 即为 ，
当 时，不等式即为 ，
因为 ，即 ，解原不等式可得 ；
当 时，不等式即为 ，
因为 ，
（i）当 时， ，解原不等式可得 或 ；
（ii）当 时，原不等式即为 ，解得 ；
（iii）当 时， ，解原不等式可得 或 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 或 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
