2020年高考数学试卷（上海）（春考）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·Word版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2020 年上海市春季高考数学试卷 2020.01 一. 填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1~6 题每题 4 分，第 7~12 题每题 5 分） 1. 集合 A {1,3}， B {1, 2,a}，若 A  B ，则a  1 2. 不等式  3 的解集为 x 3. 函数 y  tan 2x 的最小正周期为 4. 已知复数 z 满足 z 2z  6i ，则 z 的实部 为 5. 已知3sin 2x  2sin x， x(0,) ，则 x  1 6. 若函数y  a3 x  为偶函数，则a  3x 7. 已知直线l : x  ay 1，l : ax  y 1，若l ∥l ，则l 与 l 的距离为 1 2 1 2 1 2 8. 已知二项式(2x  x)5 ，则展开式中 x3 的系数为  9. 三角形 ABC 中，D 是 BC 中点， AB  2 ， BC  3， AC  4 ，则 AD   AB  10. 已知 A {3,2,1, 0,1, 2, 3}，a 、b A，则| a |  | b|的情况 种 有  11. 已知 A 、 A 、 A 、 A 、 A 五个点，满足 A A  A A  0（n 1, 2,3 1 2 3 4 5 n n1 n1 n2  ），   | A A | | A A |  n 1（n 1, 2,3 ），则| A A | 的最小值为 n n1 n1 n2 1 5   12. 已知 f (x)  x 1 ，其反函数为f 1(x) ，若 f 1(x) a  f (x a) 有实数根，则a 的 取值范围为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 3n  5n 13. 计算：lim （ ） 3 n  n1 5n15 3 A. 3 B. C. D. 5 3 5 14. “   ”是“sin 2 cos2 1”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 x2 15. 已知椭圆  y2 1，作垂直于 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点，作垂直于 y 轴的垂线 2 交椭圆于 C、D 两点，且 AB  CD ，两垂线相交于点 P，则点 P 的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 圆 D. 抛物线 第1页 | 共4页a a 16. 数列{a } 各项均为实数，对任意n N* 满足a  a ，且行列式 n n  1  c 为定 n n3 n a a n2 n3 值，则下列选项中不可能的是（ ） A. a 1，c 1 B. a  2，c  2 C. a  1，c  4 D. a  2，c  0 1 1 1 1 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 已知四棱锥 P  ABCD ，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PD⊥平面 ABCD. （1）若 PC  5 ，求四棱锥 P  ABCD 的体积； （2）若直线 AD 与 BP 的夹角为 60°，求 PD 的长. 18. 已知各项均为正数的数列{a } ，其前 n 项和为S ，a 1. n n 1 （1）若数列{a } 为等差数列，S  70，求数列{a } 的通项公式； n 10 n 1 （2）若数列{a } 为等比数列，a  ，求满足S 100a 时 n 的最小值. n 4 8 n n 19. 有一条长为 120 米的步行道OA， A 是垃圾投放点 ，若以 O 为原点，OA 为 x 轴正 1 半 2 t 轴建立直角坐标系，设点 B(x,0) ，现要建设另一座垃圾投放点 (t,0) ，函数 f (x) 表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离. （1）若t  60，求 f (10) 、 f (80) 、 f (95) 的值，并写出 f (x) 的函数解析式； 60 60 60 60 （2）若可以通过 f (x) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利. t 问：垃圾投放点 建在何处才能比建在中点时更加便利？ 2 第2页 | 共4页20. 已知抛物线y 2  x 上的动点M(x , y ) ，过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、Q 两点， 0 0 交直线 x  t 于 A、B 两点. （1）若点 M 纵坐标为 2 ，求 M 与焦点的距离； （2）若t  1， P(1,1) ，Q(1,1) ，求证： y  y 为常数； A B （3）是否存在t ，使得 y  y 1 且 y  y 为常数？若存在，求出 t 的所有可能值，若 A B P Q 不 存在，请说明理由. 21. 已知非空集合 A  R ，函数 y  f (x) 的定义域为 D ，若对任意t  A 且 xD ，不 等式 f (x)  f (xt) 恒成立，则称函数 f (x) 具有 A 性质. （1）当 A {1}，判断 f (x)  x、 g(x)  2x 是否具有 A 性质； 1 （2）当 A  (0,1) ， f (x)  x ， x[a,) ，若 f (x) 具有 A 性质，求a 的取值范围； x （3）当 A {2,m}，mZ ，若 D 为整数集且具有 A 性质的函数均为常值函数，求所 有 符合条件的m 的值. 第3页 | 共4页参考答案 一. 填空题 1  1. 3 2. (0, ) 3. 4. 2 3 2 1 5. arccos 6. 1 7. 2 8. 10 3 19 6 3 9. 10. 18 11. 12. [ ,) 4 3 4 二. 选择题 13. D 14. A 15. B 16. B 三. 解答题 17.（1）12；（2）3 2 4 1 1 18.（1）a  n ，nN* ；（2）a  ，即2n 101，n 的最小值为 7 n 3 3 n 2n1 19.（1） f (10)  | 6010 |  50， f (80)  | 60 80 |  20， f (95)  |12095|  25 . 60 60 60 | 60  x | x  90 f (x)   ；（2）20  t  60 60 | 120  x | x  90 p 9 20.（1）MF  x   ；（2） y  y  1；（3）存在t M 2 4 A B 1 21.（1） f (x)  x 具有 A 性质； g(x)  2x 不具有 A 性质； （2）a[1,) ；（3）m 为奇数 第4页 | 共4页