文档内容
高一数学测评
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知某扇形的半径为 ，弧长为 ，若该扇形的圆心角为 （ ），则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】 扇形的半径为 ，弧长为 ，扇形的圆心角为 ，
， ， ，则选项A正确.
2. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由余弦的差角公式，得：.
3. 函数 的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】依题意可知函数定义域为 ，
所以函数 ，
即 的值域为 .
4. 已知函数 的图象如图所示，则 的图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A【详解】由 与 图象关于y轴对称，得 的图象为A选项.
5. 若集合 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由 ，则 ，
解得 ，即 ，
由 ，则 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上可得： 的取值范围为 .
6. 已知函数 （ ），则“ 的最小正周期不小于4”是“ 在 上
单调递增”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 （ ）的最小正周期为 ，
充分性分析：
的最小正周期不小于4， ，
， ，， ， ，
， ， ，
在 上单调递增，故充分性成立；
必要性分析：
， ， ，
在 上单调递增，
必须是 的子集，
，
， ， ，故必要性成立.
即“ 的最小正周期不小于4”是“ 在 上单调递增”的充要条件.
7. 若幂函数 的图象经过点 ，则函数 的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】根据题意，设 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 ，由 可得 ，
作出函数 与 的图象如图所示：
由图可知，函数 与 有且只有三个交点，
故函数 的零点个数为 .
8. 若 ， ，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
，
因为 单调递增，且 ，
所以 在 上有零点 ，
则当 时， ， ，且当 时等号能同时成立，所以 有最小值 ，
因为 ， ，
所以只需 ，解得 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设集合 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【详解】对于选项 A： ， ，
故 成立，故 A正确；
对于选项 B： ， ，
不成立，故 B错误；
对于选项 C：
， ，
故 不成立，故C错误；
对于选项 D：
， ，
成立，故D正确
10. 已知函数 ， ， ，则（ ）A.
B. 与 的图象都关于直线 对称
C. 将 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象
D. 将 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到 的图象
【答案】BC
【详解】因为 ，
对于A选项， ， ，
所以 ，A错；
对于B选项，因为 ， ，
所以函数 的图象关于直线 对称，函数 的图象也关于直线 对称，B对；
对于C选项，将 的图象向左平移 个单位长度，
可得到函数 的图象，即为函数 的图象，C对；
对于D选项，将 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
可得到函数 的图象，而不是函数 的图象，D错.
11. 若函数 的定义域为 ， 且 ， ，则（ ）A. B. ，
C. 是偶函数 D. 当 时，
【答案】BCD
【详解】对于A，令 ，得 ，故A错误；
对于B， 令 ，得 ，
因 为，所以 ，即 ，
所以当 时， 成立，
故 ， ，故B正确；
对于C，令 ，得 ，
即 ，所以 ，
故函数 是定义在 上的奇函数，
令 ，
因为 ，
所以函数 是偶函数，即 是偶函数，故C正确；
对于D，令 ，得 ，
当 时，有 ，
当 时，有 ，
由C可知，函数 是定义在 上的奇函数，所以当 时，有 ，
所以 ，
当 时，由A可知，
， ，即 ，
此时 成立，
当 时，
，
同理，当 时， 成立，
所以当 时， 成立，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 ，则 的最小值为_________，此时 _________.
【答案】 ①. ②.
【详解】由 ，得 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .13. 已知 为定义在 上的奇函数， 在 上单调递增，且 ， ，则不等
式 的解集为_________.
【答案】
【详解】由函数 为定义在 上的奇函数， 在 上单调递增函数，
则函数 在 上也是单调递增函数，且 ，
当 时，因为 ，不等式 ，即为 ，可得
当 时，因为 ，满足 ；
当 时，因为 ，可得 ，
则不等式 ，即为 ，可得 ，
综上可得，不等式 的解集为 .
14. 若函数 的图象关于点 （ ）对称，则 的最大值为_________.
【答案】
【详解】函数 ，
由 ，得 ，解得 ，
因此函数 图象的对称中心为 ，
依题意， ， ，而 ，则当 时， ，
所以 的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）若 ， ， ，化简 ；
（2）若锐角 满足 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）7
【详解】（1） ；
（2）由 ，得 ，
解得 或 ，
因为 为锐角，所以 ，
所以 .
16. 已知函数 （ ）.
（1）证明： 的图象过定点.
（2）若 ，函数 ，求 的最值.
【答案】（1）证明见解析
（2）最大值 ，无最小值
【小问1详解】当 时，有 ，
故 的图象过定点 ；
【小问2详解】
若 ，则 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递增
所以 在 上单调递增，
又 ，
则 ，
故 有最大值 ，无最小值.
17. 为监测风力发电机叶片的运行状态，在其中一片叶片的尖端安装一个传感器（可视为点P），在稳定
运行阶段，叶片可视作在匀速转动.如图，点P在时刻t（单位：秒）距离地面的高度y（单位：米）满足
（ ， ， ），已知叶片长40米，旋转中心O距离地面80米，
每片叶片转一圈需要12秒，点P的起始位置在最低点处.
（1）求A， ， ，b；
（2）在叶片转动的一圈内，试问有多长时间点P距离地面的高度不低于100米？
【答案】（1） ；
（2）4s【小问1详解】
根据意义可知 ，即 ，解得 ；
因为每片叶片转一圈需要12秒，即周期为 s，，所以 ；
由点P的起始位置在最低点处，即可知 时， ，
即 ，可得 ，又 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）可知 ；
令 ，可得 ，即 ，
因此可得
由题意可得 ，所以 ，
因此 或 ，
解得 ，所以 ；
即在叶片转动的一圈内，有4s时间点P距离地面的高度不低于100米.
18. 已知函数 .
（1）求 在 上的值域；（2）求 在 上的单调递减区间；
（3）若 ， （ ）是 在 上的两个零点，求 的值.
【答案】（1） .
（2）
（3）
【小问1详解】
化简得 ，
当 时， ，
当 时， ， 取得最小值 ， ，
当 时， ， 取得最大值 ， ，
故 在 上的值域为 .
【小问2详解】
令 ，解得 ，
当 时， ，满足 ，
故 在 上的单调递减区间 .【小问3详解】
令 ，则 ，
， ， ，
，
设 ，则 且 ，
，
则 ，
又 ，
且 ，又 ， ，
， ，
.
19. 已知 且 ，函数 .
（1）若 ，当 时， 恒成立，求a的取值范围；（2）当 时，若 在 上有最大值，求m的取值范围；
（3）当 ， 时，若存在 ，使得对任意的 及任意的 ，都有
，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
解：由 时，可得 ，即
当 时， 恒成立，即函数 在 上单调递减函数，
令 ，解得 ，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
【小问2详解】
解：当 时，函数 ，
当 时，即 时， ，此时 单调递减；
当 且 时，即 时， ，此时 单调递增；
当 时，函数 单调递增，所以 在 单调递减，在 上单调递增，在 单调递增，
且 ，令 ，可得 ，
画出函数 的图像，如图所示，
要使得 在上有最大值，结合图像，则满足 ，
所以实数 的取值范围为 .
【小问3详解】
解：当 ， 时， ，且
当 时，函数 单调递增；当 时，函数 单调递增；
因为 ，可得
对任意 ，可得 的最大值为 ，
对任意 ，可得 的最大值为 ，
存在 使得 恒成立，
等价于 对于某个 成立，
即 在 ， 上有解，
因为函数 为单调增函数，只需 时成立，即 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 .
