文档内容
2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 n
m
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = - x
n
D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
10.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
π π π 5π
A. sin(x+ ） B. sin( -2x) C. cos(2x+ ） D. cos( -2x)
3 3 6 6
11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
1 1
A. a2 +b2 ³ B. 2a-b >
2 2
C. log a+log b³-2 D. a + b £ 2
2 2
第2页 | 共26页12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,
L
,n，且
n n
P(X =i)= p
i
>0(i=1,2,
L
,n),åp
i
=1，定义X的信息熵H(X)=-åp
i
log
2
p
i
.（ ）
i=1 i=1
A 若n=1，则H(X)=0
.
B. 若n=2，则H(X)随着 p 的增大而增大
1
1
C. 若 p i = n (i=1,2, L ,n)，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2, L ,m，且P(Y = j)= p j + p 2m+1-j (j=1,2, L ,m)，则H(X)≤H(Y)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.斜率为 3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 AB =________．
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a }，则{a }的前n项和为________．
n n
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心
，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，t
3
an∠ODC= ，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1
5
cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
16.已知直四棱柱ABCD–
A B C D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以D 为球心， 5为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1 1 1 1 1 1
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在①ac= 3，②csinA=3，③c= 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三
角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
p
问题：是否存在 ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA= 3sinB，C = ，_______
V
6
_?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8．
n 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
第3页 | 共26页（2）求aa -a a +¼+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的
PM2.5和SO 浓度（单位：μg/m3），得下表：
2
SO
2 [0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
（2）根据所给数据，完成下面的2´2列联表：
SO
2 [0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关？
2
n(ad-bc)2
附：K2 = ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2 ³k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6 . 635 10.828
20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
第4页 | 共26页（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
x2 y2 1
21.已知椭圆C： + =1(a >b>0)过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
a2 b2 2
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
22.已知函数 f(x)=aex-1-lnx+lna．
（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
答案解析：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|20，当xÎ(-2,0) (2,+¥)时， f(x)<0，
U
所以由xf(x-1)³0可得：
ìx<0 ìx>0
í 或í 或x=0
î-2£ x-1£0或x-1³2 î0£ x-1£2或x-1£-2
解得-1≤x≤0或1£ x£3，
所以满足xf(x-1)³0的x的取值范围是[-1,0]È[1,3]，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.已知曲线C:mx2 +ny2 =1.（ ）
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 n
m
C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = - x
n
第9页 | 共26页D. 若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】
【分析】
结合选项进行逐项分析求解，m>n>0时表示椭圆，m=n>0时表示圆，mn<0时表示双曲线，
m=0,n>0时表示两条直线.
x2 y2
+ =1
【详解】对于A，若m>n>0，则mx2 +ny2 =1可化为 1 1 ，
m n
1 1
因为m>n>0，所以 < ，
m n
即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
1
对于B，若m=n>0，则mx2 +ny2 =1可化为x2 + y2 = ，
n
n
此时曲线C表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
n
x2 y2
+ =1
对于C，若mn<0，则mx2 +ny2 =1可化为 1 1 ，
m n
此时曲线C表示双曲线，
m
由mx2 +ny2 =0可得y = - x，故C正确；
n
1
对于D，若m=0,n>0，则mx2 +ny2 =1可化为y2 = ，
n
n
y = ，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；
n
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
10.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
第10页 | 共26页π π π 5π
A. sin(x+ ） B. sin( -2x) C. cos(2x+ ） D. cos( -2x)
3 3 6 6
【答案】BC
【解析】
【分析】
首先利用周期确定w的值，然后确定 j 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.
T 2 p p 2p 2p
【详解】由函数图像可知： = p- = ，则w= = =2，所以不选A,
2 3 6 2 T p
2 p
p+ 5p 3p
当 3 6 5p时，y =-1\2´ +j= +2kpkÎZ，
x= = 12 2
2 12
2
解得：j=2kp+ pkÎZ，
3
即函数的解析式为：
æ 2 ö æ p pö æ pö æp ö
y =sin ç 2x+ p+2kp ÷ =sin ç 2x+ + ÷ =cos ç 2x+ ÷ =sin ç -2x ÷.
è 3 ø è 6 2ø è 6 ø è 3 ø
æ pö 5p
而cos
ç
2x+
÷
=-cos( -2x)
è 6 ø 6
故选：BC.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求
待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
2p
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x ，则令
0
T
ωx ＋φ＝0(或ωx ＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若
对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
1 1
A. a2 +b2 ³ B. 2a-b >
2 2
C. log a+log b³-2 D. a + b £ 2
2 2
第11页 | 共26页【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
2
【详解】对于A，a2 +b2 =a2 +1-a2 =2a2 -2a+1=2 æ
ç
a- 1ö
÷
+ 1 ³ 1 ，
è 2ø 2 2
1
当且仅当a=b= 时，等号成立，故A正确；
2
1
对于B，a-b=2a-1>-1，所以2a-b >2-1 = ，故B正确；
2
2
æa+bö 1
对于C，log a+log b=log ab£log
ç ÷
=log =-2，
2 2 2 2 è 2 ø 2 4
1
当且仅当a=b= 时，等号成立，故C不正确；
2
2
对于D，因为 a + b =1+2 ab £1+a+b=2，
1
所以 a + b £ 2 ，当且仅当a=b= 时，等号成立，故D正确；
2
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,
L
,n，且
n n
P(X =i)= p
i
>0(i=1,2,
L
,n),åp
i
=1，定义X的信息熵H(X)=-åp
i
log
2
p
i
.（ ）
i=1 i=1
A 若n=1，则H(X)=0
.
B. 若n=2，则H(X)随着 p 的增大而增大
1
1
C. 若 p i = n (i=1,2, L ,n)，则H(X)随着n的增大而增大
D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2, L ,m，且P(Y = j)= p j + p 2m+1-j (j=1,2, L ,m)，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A选项，求得HX
，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项
，计算出HX ，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出HX,HY
，利
用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.
【详解】对于A选项，若n=1，则i =1,p =1，所以HX=-1´log 1=0，所以A选项正确.
1 2
第12页 | 共26页对于B选项，若n = 2，则i =1,2， p =1- p ，
2 1
所以HX=-é ë p 1 ×log 2 p 1 +1- p 1 ×log 2 1- p 1 ù û，
1 æ1 1 3 3ö
当 p = 时，HX=- ç ×log + ×log ÷，
1 4 è4 2 4 4 2 4ø
3 æ3 3 1 1ö
当p = 时，HX=- ç ×log + ×log ÷，
1 4 è4 2 4 4 2 4ø
两者相等，所以B选项错误.
1
对于C选项，若 p
i
=
n
i =1,2,
L
,n，则
æ1 1ö 1
HX=-
ç
×log
÷
´n=-log =log n，
èn 2 nø 2 n 2
则HX 随着n的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若n=2m，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,
L
,m，且PY = j= p
j
+ p
2m+1-j
（
j =1,2,
L
,m）.
2m 2m 1
HX=-å p ×log p =å p ×log
i 2 i i 2 p
i=1 i=1 i
1 1 1 1
= p 1 ×log 2 p + p 2 ×log 2 p + L + p 2m-1 ×log 2 p + p 2m ×log 2 p .
1 2 2m-1 2m
1 1 1
HY= p + p ×log +p + p ×log + +p + p ×log
1 2m 2 p + p 2 2m-1 2 p + p L m m+1 2 p + p
1 2m 2 2m-1 m m+1
1 1 1 1
= p 1 ×log 2 p + p + p 2 ×log 2 p + p + L + p 2m-1 ×log 2 p + p + p 2m ×log 2 p + p 由于
1 2m 2 2m-1 2 2m-1 1 2m
1 1 1 1
p i >0i =1,2, L ,2m ，所以 p > p + p ，所以log 2 p >log 2 p + p ，
i i 2m+1-i i i 2m+1-i
1 1
所以 p ×log > p ×log ，
i 2 p i 2 p + p
i i 2m+1-i
所以HX> HY
，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数
运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第13页 | 共26页13.斜率为 3的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 AB =________．
16
【答案】
3
【解析】
【分析】
先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并整理得到
关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为y2 =4x，∴抛物线的焦点F坐标为F(1,0)，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 3，∴直线AB的方程为：y = 3(x-1)
代入抛物线方程消去y并化简得3x2 -10x+3=0，
1
解法一：解得x = ,x =3
1 3 2
1 16
所以| AB|= 1+k2 |x -x |= 1+3×|3- |=
1 2 3 3
解法二：D=100-36=64>0
10
设A(x ,y ),B(x ,y )，则x +x = ,
1 1 2 2 1 2 3
过A,B分别作准线x=-1的垂线，设垂足分别为C,D如图所示.
16
| AB|=| AF |+|BF |=| AC|+|BD|= x +1+x +1 = x +x +2=
1 2 1 2 3
16
故答案为：
3
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
14.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{a }，则{a }的前n项和为________．
n n
【答案】3n2 -2n
【解析】
【分析】
第14页 | 共26页首先判断出数列
2n-1
与
3n-2
项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差
，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列
2n-1
是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列
3n-2
是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列
a
是以1为首项，以6为公差的等差数列，
n
n(n-1)
所以 a 的前n项和为n×1+ ×6=3n2 -2n，
n 2
故答案为：3n2 -2n.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等
差数列求和公式，属于简单题目.
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心
，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，t
3
an∠ODC= ，BH∥DG，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1
5
cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
5
【答案】4+ p
2
【解析】
【分析】
3
利用tanÐODC = 求出圆弧AB所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积，求出直角
5
△OAH 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设OB=OA=r，由题意AM = AN =7，EF =12，所以NF =5，
因为AP=5,所以ÐAGP=45°，
因为 BH //DG，所以ÐAHO=45°，
因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA^ AG，
即△OAH 为等腰直角三角形；
2 2
在直角△OQD中，OQ=5- r，DQ=7- r，
2 2
第15页 | 共26页OQ 3 3 2 5 2
因为tanÐODC = = ，所以21- r =25- r，
DQ 5 2 2
解得r =2 2；
1
等腰直角△OAH 的面积为S = ´2 2´2 2 =4；
1 2
1 3p 2
扇形AOB的面积S = ´ ´ 2 2 =3p，
2 2 4
1 5p
所以阴影部分的面积为S +S - p=4+ .
1 2 2 2
5p
故答案为：4+ .
2
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，
体现了五育并举的育人方针.
16.已知直四棱柱ABCD–
A B C D 的棱长均为2，∠BAD=60°．以D 为球心， 5为半径的球面与侧面BCC B 的交线长为________．
1 1 1 1 1 1 1
2
【答案】 p.
2
【解析】
【分析】
根据已知条件易得DE = 3，DE ^侧面BCCB，可得侧面BCCB与球面的交线上的点到E的距离
1 1 1 1 1 1
为 2 ，可得侧面BCCB与球面的交线是扇形EFG 的弧FG，再根据弧长公式可求得结果.
1 1
【详解】如图：
第16页 | 共26页取BC 的中点为E，BB 的中点为F ，CC 的中点为G，
1 1 1 1
因为ÐBAD=60°，直四棱柱ABCD-ABC D 的棱长均为2，所以△DBC 为等边三角形，所以DE
1 1 1 1 1 1 1 1
= 3，DE ^ BC ，
1 1 1
又四棱柱ABCD-ABC D 为直四棱柱，所以BB ^平面ABC D ，所以BB ^ BC ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
因为BB
1I
B
1
C
1
= B
1
，所以D
1
E ^侧面B
1
C
1
CB，
设P为侧面BCCB与球面的交线上的点，则DE ^ EP，
1 1 1
因为球的半径为 5，DE = 3，所以|EP|= |DP|2 -|DE|2 = 5-3 = 2，
1 1 1
所以侧面BCCB与球面的交线上的点到E的距离为 2 ，
1 1
因为|EF |=|EG|= 2，所以侧面BCCB与球面的交线是扇形EFG 的弧FG，
1 1
p p
因为ÐBEF =ÐC EG = ，所以ÐFEG = ，
1 1 4 2
p 2
所以根据弧长公式可得FG = ´ 2 = p.
2 2
2
故答案为： p.
2
【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征，考查了直线与平面垂直的判定，考查了立体几何中的轨迹问题，
考查了扇形中的弧长公式，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在①ac= 3，②csinA=3，③c= 3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三
角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
p
问题：是否存在 ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA= 3sinB，C = ，_______
V
6
_?
第17页 | 共26页注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a,b的比例关系，根据比例关系，设出长度长
度，由余弦定理得到c的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.
解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA的值，得到角A,B,C的值，然后根据选择的条
件进行分析判断和求解.
【详解】解法一：
a
由sinA= 3sinB可得： = 3，
b
不妨设a = 3m,b=mm>0，
3
则：c2 =a2 +b2 -2abcosC =3m2 +m2 -2´ 3m´m´ =m2，即c=m.
2
选择条件①的解析：
据此可得：ac= 3m´m= 3m2 = 3，\m=1，此时c=m=1.
选择条件②的解析：
b2 +c2 -a2 m2 +m2 -3m2 1
据此可得：cosA= = =- ，
2bc 2m2 2
æ 1ö 2 3 3
则：sin A= 1- - = ，此时：csin A=m´ =3，则：c=m=2 3.
ç ÷
è 2ø 2 2
选择条件③的解析：
c m
可得 = =1，c =b，
b m
与条件c= 3b矛盾，则问题中的三角形不存在.
p
解法二：∵sinA= 3sinB,C = ,B=p-A+C ,
6
æ pö
∴sinA= 3sinA+C= 3sin ç A+ ÷,
è 6 ø
3 1
sinA= 3sinA+C= 3sinA· + 3cosA· ，
2 2
2p p
∴sinA=- 3cosA,∴tanA=- 3,∴A= ,∴B=C = ,
3 6
若选①，ac= 3,∵a= 3b= 3c,∴ 3c2 = 3,∴c=1;
第18页 | 共26页3c
若选②，csinA=3,则 =3,c=2 3;
2
若选③,与条件c= 3b矛盾.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的
一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式
的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
18.已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8．
n 2 4 3
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）求aa -a a +¼+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1
8 22n+3
【答案】（1）a =2n；（2） -(-1)n
n
5 5
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得数列
-1n-1
a a
的通项公式，然后结合等比数列前n项和公式求解其前n项和即可.
n n+1
ìa +a =aq+aq3 =20
【详解】(1) 设等比数列 a 的公比为q(q>1)，则í 2 4 1 1 ，
n a =aq2 =8
î
3 1
整理可得：2q2 -5q+2=0，
Q
q>1,q=2,a
1
=2，
数列的通项公式为：a =2×2n-1 =2n.
n
(2)由于：-1n-1 a a =-1n-1 ´2n´2n+1 =-1n-1 22n+1，故：
n n+1
aa -a a +¼+(-1)n-1a a
1 2 2 3 n n+1
=23 -25 +27 -29 +¼+(-1)n-1×22n+1
23é
1-
-22nù
êë úû 8 22n+3
= = -(-1)n .
1- -22 5 5
【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数
列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的
PM2.5和SO 浓度（单位：μg/m3），得下表：
2
第19页 | 共26页SO
2 [0,50] (50,150] (150,475]
PM2.5
[0,35] 32 18 4
(35,75] 6 8 12
(75,115] 3 7 10
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150”的概率；
2
（2）根据所给数据，完成下面的2´2列联表：
SO
2 [0,150] (150,475]
PM2.5
[0,75]
(75,115]
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关？
2
n(ad-bc)2
附：K2 = ，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2 ³k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6 . 635 10.828
【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.
【解析】
【分析】
（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据可得2´2列联表；
（3）计算出K2，结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150的天数
2
有32+6+18+8=64天，
第20页 | 共26页64
所以该市一天中，空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO 浓度不超过150的概率为 =0.64；
2 100
（2）由所给数据，可得2´2列联表为：
SO
2 0,150 150,475 合计
PM2.5
0,75
64 16 80
75,115
10 10 20
合计 74 26 100
（3）根据2´2列联表中的数据可得
n(ad -bc)2 100´(64´10-16´10)2 3600
K2 = = = »7.4844>6.635，
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 80´20´74´26 481
因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 浓度有关.
2
【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，考查了完善2´2列联表，考查了独立性检验，属于中档题.
20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
6
【答案】（1）证明见解析；（2） .
3
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理证得AD^平面PDC，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得
AD//l，从而得到l ^平面PDC；
（2）根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点Q(m,0,1)，之后求得平面
uuur r uuur
QCD的法向量以及向量PB的坐标，求得cos的最大值，即为直线PB与平面QCD所成角的
正弦值的最大值.
【详解】（1）证明：
在正方形ABCD中，AD//BC，
第21页 | 共26页因为ADË平面PBC ，BC Ì平面PBC ，
所以AD//平面PBC ，
又因为ADÌ平面PAD，平面PAD 平面PBC =l，
I
所以AD//l，
因为在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，所以AD^ DC,\l ^ DC,
且PD^平面ABCD，所以AD^ PD,\l ^ PD,
因为CD PD= D
I
所以l ^平面PDC；
（2）如图建立空间直角坐标系D-xyz，
因为PD= AD=1，则有D(0,0,0),C(0,1,0),A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0)，
uuur uuur uuur
设Q(m,0,1)，则有DC =(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=(1,1,-1)，
r
设平面QCD的法向量为n=(x,y,z)，
uuuv
ìDC×nv =0 ìy =0
则íuuuv ，即í ，
îDQ×nv =0 îmx+z =0
r
令x=1，则z =-m，所以平面QCD的一个法向量为n=(1,0,-m)，则
r uuur
r uuur n×PB 1+0+m
cos= =
r uuur
n PB 3× m2 +1
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与
r uur
|1+m| 3 1+2m+m2
平面所成角的正弦值等于|cos|= = ×
3× m2 +1 3 m2 +1
3 2m 3 2|m| 3 6
= × 1+ £ × 1+ £ × 1+1= ，当且仅当m=1时取等号，
3 m2 +1 3 m2 +1 3 3
第22页 | 共26页6
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为 .
3
【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定
和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值，属于中档题目.
x2 y2 1
21.已知椭圆C： + =1(a >b>0)过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
a2 b2 2
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
x2 y2
【答案】（1） + =1；（2）12.
16 12
【解析】
【分析】
(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定
点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
1
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：y-3= (x-2)，即x-2y =-4.
2
当y=0时，解得x=-4，所以a=4，
x2 y2 4 9
椭圆C: + =1a >b>0过点M(2，3)，可得 + =1，
a2 b2 16 b2
解得b2=12.
x2 y2
所以C的方程： + =1.
16 12
(2)设与直线AM平行的直线方程为：x-2y =m，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大
值.
第23页 | 共26页x2 y2
联立直线方程x-2y =m与椭圆方程 + =1，
16 12
可得：3m+2y2 +4y2 =48，
化简可得：16y2 +12my+3m2 -48=0，
所以D=144m2 -4´16 3m2 -48 =0，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：x-2y =8，
直线AM方程为：x-2y =-4，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
8+4 12 5
利用平行线之间的距离公式可得：d = = ，
1+4 5
由两点之间距离公式可得| AM |= (2+4)2 +32 =3 5 .
1 12 5
所以△AMN的面积的最大值： ´3 5´ =18.
2 5
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题．
22.已知函数 f(x)=aex-1-lnx+lna．
（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f（x）≥1，求a的取值范围．
2
【答案】（1） （2）[1,+¥)
e-1
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点
坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数 f x 得导函数 f’x 的单调递增，当a=1时由 f’1=0得
1
f x = f 1=1,符合题意；当a>1时，可证 f¢( )f¢(1)<0，从而 f 'x 存在零点x >0，使得
min a 0
1
f¢(x )=aex 0 -1- =0，得到 f (x) ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式
0 x min
0
可以证得
x³1恒成立；当00
.
x
1
设g(x)= f¢(x),则g¢(x)=aex-1+ >0,
x2
∴g(x)在(0,+¥)上单调递增，即 f¢(x)在(0,+¥)上单调递增，
当a=1时， f¢(1)=0,∴ f x = f 1=1,∴f x³1成立.
min
1 1 1 1 -1
当a>1时， <1 ， -1 ，\ f¢( )f¢(1)=a(ea -1)(a-1)<0,
∴ea <1
a a
1
∴存在唯一x >0，使得 f¢(x )=aex 0 -1- =0，且当xÎ(0,x )时 f¢(x)<0，当xÎ(x ,+¥)时
0 0 x 0 0
0
1
f¢(x)>0，\aex 0 -1 = ，\lna+x -1=-lnx ，
x 0 0
0
因此 f(x) = f(x )=aex 0 -1-lnx +lna
min 0 0
1 1
= +lna+ x -1+lna ³2lna-1+2 ×x =2lna+1>1,
x 0 x 0
0 0
∴f x>1,∴f x³1恒成立；
当00,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减，
∴hx =h1=0,
max
lna³0，即a³1，∴a的取值范围是[1,+∞).
【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思
想和等价转化思想，属较难试题.
第26页 | 共26页
