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2025-2026学年浙江省宁波市三锋联盟高一（上）期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题题目要求的。
1．命题“ x R，x2﹣5x+2＞0”的否定是（ ）
A． x R，x2﹣5x+2≤0 B． x R，x2﹣5x+2＜0
∃ ∈
C． x R，x2﹣5x+2≤0 D． x R，x2﹣5x+2＜0
∃ ∈ ∃ ∈
2．已知集合S＝{x Z||x|≤2}，T＝{y|y≥﹣2}，则下列正确的是（ ）
∀ ∈ ∀ ∈
1
A． ∈S ∈ B．S∩T＝S C．{﹣1} T D．SUT＝S
2
∈
3．已知a，b为正实数，则√a3×b−2可化简为（ ）
a−1×b4
A．b3 B．a2 C．a2b3 D． 1
a2 b3 a2b3
b b+c
4．已知命题p：a＞b＞c＞0，命题q： ＜ ，则p是q的（ ）
a a+c
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1
5．函数f(x)= 的单调递增区间是（ ）
x2−4x+3
A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，1），（1，2）
C．（﹣∞，1），（2，3） D．（2，3），（3，+∞）
1 2 y
6．已知实数x＞0，y＞0，满足 + =1，则x+ 的最小值为（ ）
x y 2
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知函数 {mx+2，x≤1，若存在实数x ≠x ，使得f（x ）＝f（x ）成立，则实数m
f(x)= 1 2 1 2
3x ，x＞1
的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0] B．[0，+∞）
第1页（共9页）C．R D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）
8．设函数f（x）的定义域为R，g（x）＝（2x﹣1）f（x），h（x）＝f（x）+3x．若g（x）
为奇函数，h（x）为偶函数，则f（x）的最大值为（ ）
3 1 5
A． B． C． D．1
8 2 8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分。
（多选）9．下列说法正确的是（ ）
A．若a＞1，则 1 1 1
a2＞a3＞( ) a
3
B．解析式f（x）＝x2+6x+9和g（m）＝（m+3）2表示的是同一个函数
1
C．函数f(x)= +2的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
x
1 1 3 3
D．已知不等式3x2+bx+c＜0的解集为{x|− ＜x＜ }，则b= ，c=−
2 4 4 8
1
（多选）10．已知函数f(x)=( ) |x−2|+2，则以下结论正确的是（ ）
2
A．f（x）图象有对称轴 B．f（x）是偶函数
C．f（x）有最大值3 D．f（x）有最小值2
（多选）11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），且当x [0，2]时f
（x）＝﹣x2+2x，则下列选项正确的有（ ）
∈
3
A．f(5.5)=−
4
B．f（2025）＝1
C．对 x R，都有f（x+4）＝﹣f（x）
D．若方程f（x）＝k在区间[4，9]上有且仅有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围
∀ ∈
是（﹣1，0]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数 {2x+1，x≤3，则f（f（2））＝ ．
f(x)=
2−x ，x＞3
13．已知f（x）＝|x|•x满足f（kx2+1）≥f（kx）恒成立，则k的取值范围是 ．
第2页（共9页）6 6 2 3
14．若实数x，y＞0，且x+ + y+ =10，则 − 的最大值是 ．
x y y x
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）幂函数 1− 1 m在第一象限的大致图象如图所示．
f(x)=(m2−2m+1)x 4
（1）求f（x）的解析式，并写出其值域；
1 1
（2）若f(a)+f( )=6(a＞0)，求f(a2 )+f( )的值．
a a2
x−3
16．（15分）已知集合A＝{x|x2+2ax﹣3a2≤0且a＞0}，集合B={x| ＞0}．
x−1
（1）若a＝1，N为自然数集，写出A∩N的所有子集；
（2）若“x B”是“x A”的充分不必要条件，求a的取值范围．
R
17．（15分）∈已∁知函数f(x ∈ )=
(x+1) 2
，x∈[1，2]．
x
（1）判断f（x）在[1，2]上的单调性并用定义加以证明；
（2）设g（x）＝[f（x）]2﹣2tf（x）+2，x [1，2]，是否存在实数t使g（x）的最小值为
0．若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由．
∈
1 k
18．（17分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x （﹣∞，0]时，f(x)= + ．
4x 9x
∈
（1）求k的值，并写出当x （0，+∞）时f（x）的解析式；
（2）当x＞0时，求不等式f（x）＞22x﹣1的解集；
∈
（3）若不等式 m 1 9x 对任意 1 都成立，求m的取值范围．
f(x)≤ − + x∈[−1，− ]
4x 9x−1 16x 2
19．（17分）已知函数 （其中a为实数），定义域为D．
f(x)=|x−a|+√−x2+2x+3
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）若对任意x D，不等式f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围；
∈
第3页（共9页）（3）若存在x D，使得方程f（x）＝a有解，求实数a的取值范围．
∈
第4页（共9页）2025-2026学年浙江省宁波市三锋联盟高一（上）期中数学试题参考答案
一、选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A B B D A
二、多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 ABD AC ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
1
12．
32
13．[0，4]
14．0
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）根据幂函数的定义知，m2﹣2m+1＝1，解得m＝0或m＝2；
当m＝0时，f（x）＝x，是一条直线，不符合题意；
当m＝2时，f（x） 1，满足题意；
=x2
所以f（x） 1，其值域是[0，+∞）；
=x2
1 1 1
（2）若f（a）+f（ ）＝6（a＞0），则 − 6，
a
a2+a 2=
1 1 1
所以f（a2）+f（
a2
）＝a+a﹣1
=(a2+a
−
2) 2−
2＝36﹣2＝34．
16．解：（1）当a＝1时，A＝{x|x2+2x﹣3≤0}＝{x|﹣3≤x≤1}．
因N为自然数集，故A∩N＝{0，1}，其所有子集为 、{0}、{1}、{0，1}．
x−3
（2）B={x| ＞0}={x|x＜1或x＞3}，故 B＝∅[1，3]．
R
x−1
∁
A＝{x|x2+2ax﹣3a2≤0}＝{x|﹣3a≤x≤a}（a＞0）．
{−3a≤1
由“x B”是“x A”的充分不必要条件，得[1，3] [﹣3a，a]，故 a≥3 ，
R
a＞0
∈∁ ∈ ⊂
解得a≥3，即实数a的取值范围为[3，+∞）．
第5页（共9页）17．解：（1）单调递增，证明如下：
(x+1) 2 1
因为f（x）= =x+ +2，
x x
设1≤x ＜x ≤2，
1 2
则 f（x ）﹣f（x ）＝x 1 x 1 （x ﹣x ） x −x （x ﹣x ）（1 1 ）＝（x ﹣
1 2 1+ − 2− = 1 2 + 2 1= 1 2 − 1
x x x x x x
1 2 1 2 1 2
x ） x x −1，
2 × 1 2
x x
1 2
因为1≤x ＜x ≤2，
1 2
所以x ﹣x ＜0，x x ＞1，x x ﹣1＞0，
1 2 1 2 1 2
所以（x ﹣x ） x x −1 0，
1 2 × 1 2 ＜
x x
1 2
即f（x ）﹣f（x ）＜0，f（x ）＜f（x ），
1 2 1 2
所以函数y＝f（x）在[1，2]上单调递增；
（2）设m＝f（x），x [1，2]，
又因为函数y＝f（x）在[1，2]上单调递增，
∈
9
所以m [4， ]，
2
∈
9
则g（x）＝h（m）＝m2﹣2tm+2，m [4， ]，
2
∈
因为h（m）的开口向上，对称轴为m＝t，
9 9
当t＞ 时，函数h（m）在[4， ]上单调递减，
2 2
9 89
此时h（m） ＝h（ ） = −9t，
min
2 4
89 89 9
令 −9t＝0，解得t= ＜ ，故舍去；
4 36 2
9
当4≤t≤ 时，此时h（m） ＝h（t） ＝2﹣t2，
min
2
令2﹣t2＝0，解得t=±√2，
第6页（共9页）9
不满足4≤t≤ ，故舍去；
2
9
当t＜4时，函数h（m）在[4， ]上单调递增，
2
此时h（m） ＝h（4）＝ 18﹣8t，
min
9
令18﹣8t＝0，解得t= ＜4，满足题意；
4
9
综上，存在，当t= 时，g（x）的最小值为0．
4
18．解：（1）∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，
1 k 1 k
∵x （﹣∞，0]时，f(x)= + ，∴f(0)= + =0，∴k＝﹣1；
4x 9x 40 90
∈
设x （0，+∞），则﹣x （﹣∞，0），
1 k 1 k
∵x ∈（﹣∞，0]时，f(x)∈= + ，∴f(−x)= + ，
4x 9x 4−x 9−x
∈
1 k
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴−f(x)= + ，∴f（x）＝﹣4x+9x，
4−x 9−x
∴当x （0，+∞）时f（x）的解析式为f（x）＝﹣4x+9x；
（2）∵x＞0，f（x）＝﹣4x+9x，
∈
4x
∵f（x）＞22x﹣1，∴﹣4x+9x＞22x﹣1，∴−4x+9x ＞ ，
2
3 9x 4x
∴9x ＞ ×4x，∴ ＞ ，∴32x﹣1＞22x﹣1，
2 3 2
∵x＞0，∴22x﹣1＞0，∴32x−1 ，∴ 3 ，
＞1 ( ) 2x−1 ＞1
22x−1 2
3 3 1 1
∴( ) 2x−1 ＞( ) 0，∴2x﹣1＞0，∴x＞ ，∴不等式f（x）＞22x﹣1的解集为{x|x＞ }；
2 2 2 2
（3）（3）∵当x （﹣∞，0]时， 1 1 ，又 m 1 9x ，
f(x)= − f(x)≤ − +
4x 9x 4x 9x−1 16x
∈
∴ 1 1 m 1 9x ，
− ≤ − +
4x 9x 4x 9x−1 16x
第7页（共9页）∴ 1 1 1 9x ，
m≥4x×( − + − )
4x 9x 9x−1 16x
1 1 9 9x ，
m≥4x×( − + − )
4x 9x 9x 16x
1 8 9x ，
m≥4x×( + − )
4x 9x 16x
4 9
m≥1+8×( ) x−( ) x，
9 4
设 t=( 4 ) x ，∵ x∈[−1，− 1 ] ， ( 4 ) − 1 2≤( 4 ) x≤( 4 ) −1 ，
9 2 9 9 9
3 4 9 3 9 1
∴ ≤( ) x≤ ， ≤t≤ ，m≥1+8t− ，
2 9 4 2 4 t
∵ m 1 9x 对任意 1 都成立，
f(x)≤ − + x∈[−1，− ]
4x 9x−1 16x 2
1 3 9 1 3 9
∴m≥1+8t− 对任意t∈[ ， ]都成立，∴m≥(1+8t− ) 对任意t∈[ ， ]都成立，
t 2 4 t max 2 4
1 1 3 9
设a=1+8t− ，a=1+8t− 在t∈[ ， ]上是增函数，
t t 2 4
9 1 9 4 167
∴t= 时，a=1+8t− 取最大值，且最大值为a=1+8× − = ，
4 t 4 9 9
167 167
∴m≥ ，∴m的取值范围为{m|m≥ }．
9 9
19．解：（1）由﹣x2+2x+3≥0，解得﹣1≤x≤3，
∴函数f（x）的定义域D：[﹣1，3]；
（2）若对任意x D，不等式f（x）≥2恒成立，则f（﹣1）≥2，f（3）≥2成立，
∴|a+1|≥2，|3﹣a|≥2，解得a≥5或a≤﹣3，或a＝1；
∈
当a≥5时，f（x）≥2可化为 ，
a−x+√−x2+2x+3≥2
即 ，∵x+2≤5， ，∴a≥5成立；
a≥x+2−√−x2+2x+3 √−x2+2x+3≥0
当a≤﹣3时，f（x）≥2可化为 ，
x−a+√−x2+2x+3≥2
第8页（共9页）即 ，∵x﹣2≥﹣3， ，
x−2+√−x2+2x+3≥a √−x2+2x+3≥0
∴x﹣2 3，∴a≤﹣3成立；
+√−x2+2x+3≥−
当a＝1时，﹣1≤x≤1时，（1+x）2﹣（﹣x2+2x+3）＝2（x2﹣1），2（x2﹣1）≤0，
∴（1+x）2﹣（﹣x2+2x+3）≤0，∴ ，∴ ，
1+x≤√−x2+2x+3 2≤√−x2+2x+3−x+1
∴ ，∴﹣1≤x≤1时，f（x）≥2．
2≤√−x2+2x+3+|1−x|
同理当1≤x≤3时，f（x）≥2；故a＝1时，f（x）≥2．
故实数a的取值范围是：{a|a≥5或a≤﹣3或a＝1}．
（3）若存在x D，使得方程f（x）＝a有解，即 ，显然a≥0，
|x−a|+√−x2+2x+3=a
∈
1±√7
当x≤a时，上式化为√−x2+2x+3=x，两边平方化简得2x2﹣2x﹣3＝0，解得x= ，
2
1+√7 1+√7
又a≥0.x= ，a≥ ；
2 2
当x＞a时，上式化为 ，
√−x2+2x+3=2a−x
a＜x≤2a时，两边平方得﹣x2+2x+3＝（2a﹣x）2，整理得2x2﹣（2+4a）x+4a2﹣3＝0，
解得 1+2a±√−4a2+4a+7，
x =
1，2 2
{a＜x ≤2a {a＜x ≤2a
1 2
设x ＜x ，则 或 ，
1 2 x ≤3 x ≤3
1 2
0＜a＜3 0＜a＜3
{
1+2a−√−4a2+4a+7
{
1+2a+√−4a2+4a+7
a＜ ≤2a a＜ ≤2a
2 2
代入得 或 ，
1+2a−√−4a2+4a+7 1+2a+√−4a2+4a+7
≤3 ≤3
2 2
0＜a＜3 0＜a＜3
3 1+2√2
解得 ≤a≤ ．
2 2
3
综上：a的取值范围是{a|a≥ }．
2
第9页（共9页）
