湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题Word版含解析_2025年11月高一试卷_251103湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高一上学期10月月考（全）

2025—2026 学年度上学期 2025 级 10 月月考数学试卷 命题人：郭松 审题人：冷劲松 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．） 1. 命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】存在量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由题意有“ ， ”的否定是“ ， ”， 故选：D. 2. 满足 ⫋ 的集合A的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是 ，共3个. 故选：B. 3. 以下函数中，在 上单调递减且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】A选项，根据解析式直接得到函数在 上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为 偶函数，D选项，函数不满足在 单调递减. 【详解】A选项， 在R上单调递减，且 ， 故 是奇函数，满足要求，A正确； B选项， 定义域为R，且 ，故 为偶函数，B错误； C选项， 定义域为R，且 ， 故 为偶函数，C错误； D选项， 在 上单调递增，D错误. 故选：A 4. 已知函数 在区间 上的值域为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析 的函数值，结合图象确定出值域为 时 的范围. 【详解】因为 ，且 ， 令 ，解得 或 ，作出 图象如下图所示，由图象可知，当 时，若 的值域为 ，则 ， 故选：C. 5. 设正数x，y满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由 ，可将 化为 ，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因 ，则 . 当且仅当 ，即 时取等号. 故选：A 6. 已 知 函 数 ， 若 对 于 ， 且 ， 都 有 ，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性的定义推出 在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设 ，由 ，可得： ，则函数 ，在R上单调递增， 则 ，解得 ， 即实数a的取值范围为 ． 故选：B． 7. 函数 .若 ，使得 ，则实数 的取 值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的值域.由题可得 在 上的值域，以及 在 上的值域，要使 ，有 ，则 在 上的值域为 在 上的值域的子集， 利用集合间的基本关系确定参数的范围即可. 【详解】由题可得，要使 ，有 ， 则 在 上的值域为 在 上的值域的子集， 在 上单调递减，∴函数 在 上的值域为 ， 为开口向上的二次函数，其对称轴为 ，当 ，即 时， 在 上单调递增， 在 上的值域为 ， ∴ ，解得 ，无解； 当 ，即 时， 在 上单调递减， 在 上的值域为 ， ∴ ，解得 ，无解； 当 ，即 时， 在 上的值域为 ， ∴ ，解得 ，∴ . 综上， 的取值范围为 . 故选：A. 8. 已知函数 ， ，若存在实数 、 、 ，使得 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对勾函数的单调性可得出 ，由 作差可得出 ，再结合已知 条 件 得 出 ， 化 简 代 数 式 ， 利 用 基 本 不 等 式 可 求 得的最小值. 【详解】因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 由题意可知 ， 由 可得 ， 即 ， 因为 ，则 ，故 ， 因为 ，则 ， 所以， ， 因为 ，函数 、 在 上单调递减， 故函数 在 上单调递减，当 时， ， 所以， ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立，因此， 的最小值为 . 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把 构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不 是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分．） 9. 关于 的不等式 （ ）的解集可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式 中，当 时， ，解得 ，A可能； 当 时，不等式化为 ，解得 ， 当 时，不等式化为 ，若 ，则 ；B可能； 若 ，则 或 ；若 ，则 或 ， C不可能，D可能. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ）A. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 B. 函数 在定义域内是减函数 C. 函数 的值域为 D. 定义在 上的函数 满足 ，则 【答案】AD 【解析】 【分析】求出抽象函数定义域判断A；由单调性判断B；求出函数值域判断C；利用方程组法求出解析式 判断D. 【详解】对于A，在函数 中， ，则 ，因此函数 的定义域为 ， A正确； 对于B，函数 的定义域为 ， 在定义域内不单调，B错误； 对于C，函数 的定义域为R， ，则 ，C错误； 对于D，由 ，得 ，联立解得 ，D错误. 故选：AD 11. 若存在函数 ， 使得函数 满足 ，则称 是“ 变 量函数”.已知函数 ， ， ，若 是“ 变量 函数”，则下列说法正确的是（ ） A. B.C. 的最小值为 D. 若 恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，令 可判断A；根据一元二次不等式恒成立的条件可判断BD，利用配 方法可判断C. 【详解】由题意可知 在 上恒成立，令 得 ， 即 ，故A正确； 由 可得 ，代入不等式组中整理得 ， 所以 ，故B错误； 由 可得 ，所以 ，所以 的最小值为 ，故C正确； 若 恒成立，即 恒成立， 所以有 ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知 ，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法直接进行求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 已知 ， ， ，则 的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】由 ， ， 得 ，则 ，根据基本不等式即可得出 ，从而求出 的最小值. 【详解】由 ，可得 ， 则 ， 当且仅当 ，即 ， 时等号成立． 因此， 的最小值为5． 故答案为：5． 14. 已知函数 ，记 ， ，若 ，则实 数 的取值范围是______. 【答案】 或 【解析】 【分析】由 时， 的两个根为 ， （设 ，得到参数间的关系，由两个集合相等得出 ，进而得 ，即可验证，当 时，根据判别式即可求解. 【详解】当 时，所以 ，解得 或 ， 设 的两个根为 ， （设 ， ， ， ， 由 ，得 ， 由于 ，则 ， 故 ，此时 ， ,符合题意， 当 时， ，解得 ，此时 ， 此时对 ，故 对任意的 恒成立， 故 ,满足 ， 综上可知 或 故答案为： 或 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知 ， 或 ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分 和 两种情况讨论求解即可；（2）由题意得 ，从而可求出 的取值范围． 【小问1详解】 ①当 时， ，∴ ，∴ ． ②当 时，要使 ，必须满足 ，解得 ． 综上所述， 的取值范围是 ． 【小问2详解】 ∵ ， ， 或 ， ∴ ，解得 ， 故所求 的取值范围为 ． 16. 已知函数 的图象过点 ，且满足 ． 的 （1）求函数 解析式： （2）求函数 在 上 的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得 的值，即可求得函数 的解析式； （2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：函数 满足 ，则函数的图象关于 对称， 可得 ，解得 ，即 ， 又由函数 的图象过点 ，可得 ，解得 ， 所以函数 的解析式为 . 【小问2详解】 解：由（1）知 ，可得其图象开口向上，对称轴为 ， 当 时，可得 在区间 上单调递增，所以 ； 当 时，可得 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 ； 当 时，可得 在 上单调递减，所以 ， 所以函数 在 上的最小值 .17. 函数 的定义域为 ，对 ， ，都有 ；且当 时， ．已知 ． （1）求 ， ； （2）判断并证明 的单调性； （3）解不等式： ． 【答案】（1） ； （2） 在 上单调递增，证明见解析 （3） 或 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求 ， 的值； （2）根据函数单调性的定义即可判断 的单调性并证明； （ 3 ） 结 合 函 数 单 调 性 将 不 等 式 进 行 转 化 ， 即 ，可解不等式. 【小问1详解】 令 ，则 ， ， 令 ，则 ， 又 ， ； 【小问2详解】 任取 ，且 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 所以 在 上单调递增． 【小问3详解】 由 ， 即 ， 也就是 ， 即 ，因为 在 上是增函数， 所以 ， 可得不等式解集为 或 . 【点睛】关键点点睛：由 ，即 ，也就是 ，即 ，再结合函数单调性即可解不等式. 18. 已知函数 ．（1）若 的解集为 ，求 ， 的值； （2）若 ，求不等式 的解集； （3）在（1）的条件下，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不等式解集得到方程 的两根为1，2，代入后得到方程组，求出 答案； （2）变形为 ，分 ， ， ， 和 五种情况，得到不等式的 解集； （3）只需 ，换元后，由基本不等式求出函数最小值，进而得到 ， 求出答案. 【小问1详解】 因为关于 的不等式 的解集为 ， 所以关于 的方程 的两根为1，2， 所以 解得 【小问2详解】 因为 ，所以 ． ①当 时，不等式为 ，解集为 ；②当 时，不等式可化为 ，解集为 或 ； ③当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ； ④当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ； ⑤当 时， ，不等式可化为 ，解集为 ， 综上，当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 ； 当 时，解集为 ；当 时，解集为 ； 当 时，解集为 . 【小问3详解】 由（1）知不等式 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 只需 ． 因为 ，且 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ， ，故实数 的取值范围为 ． 19. 给定函数 ，若实数 使得 ，则称 为函数 的不动点，若实数 使得 ，则称 为函数 的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数 的不动点： （2）设 ， ，且 恰好有两个稳定点 和 . （i）求实数 的取值范围， （ii） ， ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）不动点为－2和3 （2）（i） ；（ii） 【解析】 【分析】（1）令 ，求出 或 ，得到答案； （2）（i） ，变形得到 ，此方程恰好有两个不同的实数 解，分 和 两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出 的取值范围； （ii）法一：在（i）知， 的两个稳定点为 和1，分 和 两种情况，换元，再 根据对称轴分为 ， ， 和 四种情况，求出每种情况下的值域， 得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知， 的两个稳定点为 和1，取 ，得 ， 解得 ，所以 ， ，结合（i）知， ，故 ，有 ， 换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数 的取值范围为 .【小问1详解】 令 ，得 ，整理得 ，解得 或 ， 经检验知均满足要求，故函数 的不动点为－2和3. 【小问2详解】 （i）令 ，得 ， 即 ，得 ， 所以有 ，此方程恰好有两个不同 实的数解. ①当 ，即 时，方程化为 ， 仅有一个实数解 ，不满足题意； ②当 时，要么方程 无实数解， 要么方程 仅有一个实数解为1或者 . 故 或 或 ， 解得 或 . 综上，当 恰好有两个稳定点时，实数 的取值范围为 . （ii）法一：由（i）知， 的两个稳定点为 和1， 当 时， ，故 ， ， 于是 ， . 此时函数 的对称轴 ，令 .①当 时， ， 在单调递减，在 单调递增， ， ，故 ， 而 ，故 在 单调递减，在 单调递增， 注意到 ，故 ， 所以当 时 的值域为 ， 即 的值域为 .于是由题意得 ，无解. ②当 时， 在 单调递增， 当 时， ， ， 即 的值域为 ，不满足题意，舍去. 当 时， ，故 ， ， 于是 ， ，此时函数 的对称轴 ， 令 . ③当 时， ， 在 单调递增， 当 时， ， ，即 的值域为 ，于是有 ，解得 ； ④当 时， ， 在 单调递减，在 单调递增， ， ，故 ， 而 ，故 在 单调递减，在 单调递增， 注意到 ，故 ， 所以当 时 的值域为 ， 即 的值域为 .于是由题意得 ，解得 . 综上，实数 的取值范围为 . 法二：由（i）知， 的两个稳定点为 和1， 因为 ， ，故取 ，得 ， 解得 ，所以 ， ， 因为 ，解得 ， 由（i）知， ，故 ， 故有 ， . 当 时， ，令 ，当 时，因 ， ，故 . 而 ，故 在 单调递减，在 单调递增， 注意到 ，故 ， 所以当 时 的值域为 ， 即 的值域为 . 于是由题意得 ，解得 . 所以实数 的取值范围为 . 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使 用书上的概念.