文档内容
2025—2026 学年度上学期 2025 级
期中考试数学试卷
命题人：冷劲松 审题人：郭松
考试时间：2025年11月13日
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．集 ，则 的子集的个数为（
）
A．2 B． 5 C．6 D．8
2．“ ”是“ ”的( )
A． 充分不必要条件 B． 充要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条
件
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．命题 ：，使得 , 成立．若 是假命题，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的值域为 ，那么实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
7．定义在 上的奇函数 ，且 ，且对任意不等的正实数 都有
，则不等式 的解集为( )
A． B．
C． D．
8．已知函数 ．若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列四个命题是真命题的是（ ）
A．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
B． 函数f（x）满足 ，则
C． 函数 的值域为
D．若二次函数 ，实数 ，则
10．已知 均为正实数，且 ，则（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为5C． 的最小值为
D．若 ，则 的最小值为
11．已知 为定义在 上的奇函数，且 ，当 ， ，
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 在区间 最多有三个解
C． 的最小值为 D． 在区间 最多有五个解
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12．已知幂函数 在 上单调递减，若
，则实数 的取值范围为________.
13．函数 的单调递减区间为__________．
14．已知函数 ，若对任意的 ，都有
成立，则实数 的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）（1）已知 ，求 的值；
（2）计算：
；
（3）已知 ，求 的值．
16．（15分）已知定义在 上的函数 ，对任意的 ，恒有
，且 时， ．
（1）求 的值；
（2）判断 在 上的单调性并证明；（3）解不等式： ．
17．（15分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的
净化剂，空气中释放的浓度 （单位：毫克/立方米 随着时间 （单位：天）变化的关系
如下：当 时， ；当 时， ．若多次喷洒，
则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实
验知，当空气中净化剂的浓度不低于 （毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作
用．
（1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？
（2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒 个单位的净化剂，要使
接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值． 精确到 ，参考数据： 取
18．（17分）已知函数 是定义域 上的奇函数，且 ，
且
（1）求函数 的解析式；
（2）若方程 在 上有两个不同的实数根，求实数 的取值范围；
（3）令 ，若对 , 恒
成立，求实数 的取值范围．
19．（17分）函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数。有同学发现可以将其推广为如下结论：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数．
（1）求函数 图象的对称中心；
（2）若定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称图形，且当 时，
．
（ⅰ）求函数 的解析式；
（ⅱ）若函数 满足：当定义域为 时值域也是 ，则称区间 为函数
的“保值”区间，若函数 在 上存在保值区间，求实数
的取值范围．
高一年级期中考试数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B C A B A AD ACD
题号 11
ABC
答案
12． 13． 14．
8．【详解】当 时，由 ，
若 时， ，即 ，故 ；
若 时， ，即 ，故 ；此时 ；
当 时，由 ，
所以 或 ，即 或 （舍），
若 时， ，即 ，显然无解；若 时， ，即 ，故 ；
此时 ；综上，实数 的取值范围是 ．
故选：A
10 ． D 选 项 【 详 解 】 因 为 ， ， 所 以
，当且仅当
时等号成立．又因为 ，由不等式的性质可得
．
又因为 ，当且仅当 时等号成
立．当且仅当 时等号成立综上， 的最
小值为 ，
．11．【详解】由 ，令 ，则 ，则 关于
对称，又 为定义在 上的奇函数， ， ， 关于原
点对称，
，故 ，即 ，函
数 周期为4．对于A， ，A对；
对C， ， ， ，由 关于 对称且关于原点对称，
故 ， ，又 周期为4，故 的最小值为 ，C对；对BD， ， 且单调递减， 关于 对称，则
且单调递增， ， 关于原点对称，
由 可得 ①， 设解为 ，且 ，则
，由 得 或 ，
（1）当 时， ，①式可解得 ，即 在区间 无解，又
过 ， ，结合 的单调性及对称性可得， 在区间 有
三个解为 、0、1；
（2）当 时， ， ，则
，又 时代入方程组得 ，故 ，
即 在区间 有1个解，又 ， ，结合 的单
调性及对称性可得 在区间 少于三个解；
（3）当 时，①式可解得 ，即 在区间 无解，又
，结合 的单调性及对称性可得 在区间 少于三个解；（4）当 时，
，则
，又 ，
即 在区间 无解，又 ，结合 的单调性及对称性可得
在区间 少于三个解；
（5）当 时，由 的中心对称性可得 在区间 最多三个解；故B对
D错．故选：ABC
14．【详解】设 ，
，
令 ，则 ，因为 ，所以， ，当且仅当
时等号成立， ， ，函数 在 上单调递减，则 ，
所以， 时， ， ，
由于对任意的 ， ， ，都有 成立，所以， ，解得 ， 的取值范围为
15．【详解】（1） ，又 ，
（2）
；
（ 3 ） 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，所以 ．
16．【小问1详解】
令 ，则 ，故 ；
【小问2详解】在 上 为减函数，理由如下：设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 在 上为减函数；
【小问3详解】 ，，则 ，
在 上为减函数， ，解得 ，
所以，不等式的解集为 ．
17．【小问1详解】因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度 可表示为：当 时，
，当 时， ，
则当 时，由 ，解得 ，所以得 ，
当 时，由 ，解得 ，所以得 ，
综合得 ，故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．
【小问2详解】设从第一次喷洒起，经 天，浓度
，
因为 ，而 ，所以 ，故 ，
当且仅当 时， 有最小值为 ，
令 ，解得 ，所以a的最小值为
18．【小问1详解】 又 是奇函数，
则 ， ， ，又 ，
，解得 ， ， ，
当 时， ，舍去；当 时， ， ，经检验 是奇函数， ．
【小问2详解】方程 在 上有两个不同的实数根，即方程
在 上有两个不相等的实数根，当 时， ，不合题意，舍去；
当 时，则 ，解得 ， 实数 的取值范围是 ．
【小问3详解】由题意知 ，
令 ，因为函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，∴
∵函数 的对称轴为 ，∴函数 在 上单调递增．
当 时， ；当 时， ；
即 ，
又∵对 都有 恒成立，∴ ，
即 ，解得 ，又∵ ，
∴ 的取值范围是 ．
19．(1)设函数 图象关于点 成中心对称图形，则函数
为奇函数， ，则有
，
， 则 ，
，
函数 图象的对称中心是 ．（2）（ⅰ）因为定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称图形，所以
为 奇 函 数 ， 所 以 ， ， 即
，
当 时， ，所以
所以 ．
（ⅱ） ，
①当 时， 在 上单调递增，
当 时，则 ，即方程 在 上有两个不相
等的根，即 在 上有两个不相等的根，
令 ，但
所以 在 上不可能有两个不相等的根；
②当 时， 在 上单调递增，
当 时，则
即方程 在 上有两个不相等的根，即 在 上有两个不相等的根，令 ，则 ，解得 ；
③当 时，易知 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，此时
，即 ，
，则易知 在 上单调递减，
， ，
又 时 ，
当且仅当 ，即 时取等号， ，此时无解．
综上可知：t的取值范围是 ．
