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甘肃省多校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷
一、单选题
1．已知命题 ：“ ， ”，则命题 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．已知集合 ， ，则 的子集个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
3．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
4．已知集合 ，集合 ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．若关于 的不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程 的两个实数根的平方和为 ，则 （ ）
A．2 B．8 C．10 D．2或108．已知 ，且 ，当 取最小值时， 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知集合 ，则下列说法正确的是（ ）
A． ，都有 B． ，使得 C． D．
10．已知 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．下列说法中正确的为（ ）
A．已知 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件
B．若 ，则 的最小值为2
C．若正实数 满足 ，则 的最小值为6
D．若 ，且 ，则 的最大值为7
三、填空题
12．已知 ， ，则 的取值范围为 ．
13．集合 ， ，若 ，则由实数 组成的集合为14．用 表示非空集合 中的元素的个数，定义 ，若 ，
，若 ，则 的所有可能取值构成集合 ，则 .
四、解答题
15．已知全集 ,集合 ,集合 为小于6的质数 .
(1)求 ;
(2)求 .
16．已知集合 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
17．已知 ， ，且 .
(1)求 的最小值；
(2)求 的最小值.
18．已知集合 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的取值范围；
(3)若 ，且“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围．
19．如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，
且B在EG上．若 米． 米，设 米（ ）．(1)要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；
(2)当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D A C A D ACD BD
题号 11
答案 ACD
1．D
根据存在量词命题否定的基本形式即可得出结论.
【详解】易知“ ， ”的否定为“ ， ”
故选：D
2．B
利用交集的定义求出 ，再结合集合子集个数的结论即可求解．
【详解】因为 ， ，所以 ，所以 的子集个数
为 ．
故选：B．
3．B
化分式不等式为一元二次不等式求解即得.
【详解】不等式 化为： ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：B
4．D
题中阴影部分表示的集合为 ，再根据交集，并集个补集的运算即可得解.
【详解】解： ，
阴影部分表示的集合为 或 ．
故选：D．
5．A
由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】因为 ，当且仅当 时取等，所以 ，所以“ ”能推出“ ”，
取 ，满足 ，但 ，
“ ”不能推出“ ”,
故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
6．C
结合题意可知 ，解出不等式即可得到答案．
【详解】因为不等式 对 恒成立，所以 ，解得 ．
故选：C．
7．A
利用根与系数的关系直接求解.
【详解】设 ， 是 的两个实数根，则 ， ，
故 ，解得 或 ．
当 时， 符合题意；
当 时， ，不符合题意；
综上， ．
故选：A．
8．D
利用基本不等式得到 时， 取最小值，此时消元得到 ，配方得到最大值；
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以
，
当 时， 取得最大值，最大值为 .
故选：D.
9．ACD
根据题意，由全称量词命题与存在量词命题的性质可判断A与B选项；由集合的交集与并集运算可判断C
与D选项.
【详解】对A与B：因为 ，所以 ，都有 ，故A正确，B错误；
对C：因为 ，所以 ，所以 ，故C正确；
对D：因为 ，所以 ，所以 ，故D正确．
故选：ACD
10．BD
根据不等式的性质，结合反例即可求解.
【详解】对于A，当 时，满足 ，但 ，故A错误；
对于B,，若 ，则 ，故 ，B正确；
对于C，若 ，满足 ，但 ，故C错误；
对于D， 若 ，又 ，则 ，D正确.
故选：BD
11．ACD
对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时 无解，可判断；对于C，将 转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设 ，解
出 ，将 使用 的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断.
【详解】对于A选项， 中， 中 ，所以 ，
不能推出 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故A正确；
对于B选项， ，当且仅当 时取“=”，但此时 无解，故B错误；
对于C选项，因为 ，所以
则 ，
当且仅当 时，即 时，取“=”，故C正确；
对于D选项，设 ，则 ，
则 ，
其中 ，
当且仅当 时，等号成立，故 ，故D正确.
故选：ACD.
12．
根据不等式性质求得式子的取值范围.【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 的取值范围为 ．
故答案为： .
13． .
由集合的包含关系可得 或 或 ，再求出对应的a值，即可得结果.
【详解】 集合 ， ，且 ，
或 或 ，
．则实数 组成的集合为 .
故答案为： .
14．5
由新定义可知， 或 ，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解.
【详解】 中， ，所以方程有两个不同的实数根，
即 ，
若 ，则 或 ，
当 时，方程 ，只有实数根 ，所以 且
，得 ；
当 时，方程 ，时，方程 有 个不等的实数根，分别为 和 ，
0不是方程 的实数根，
若 是方程 的实数根，则 ，
若 ，则方程整理为 ，方程的实数根，分别为 ， 和 ， ，
满足条件，
若 ，则方程整理为 ，方程的实数根，分别为 ， 和 ， ，
满足条件，
若 不是方程 的实数根，
所以方程 有 个相等的实数根，即 ，得 ，
当 时， ，满足条件，
当 时， ，满足条件，
所以 ， .
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）分别求出集合A,B再求并集即可
（2）求出A的补集再与集合B求交集即可
【详解】（1）由 得 或
所以
又 ,所以（2） ,所以
所以
16．(1)
(2)
（1）先求出集合 ，再由并集的定义求解即可；
（2）先求出 ，分 和 ，由子集的定义列出不等式组，解方程即可得出答案
【详解】（1）由 可得： ，
由 可得： 或 ，
所以 或 ，
.
（2） ，因为 ,
① ，则 ，解得： ，
② ，则 或 ，解得： .
故实数 的取值范围为： ．
17．(1)64
(2)18
（1）由 可得 ，进而利用基本不等式求解；
（2）由 ，可得 ，进而利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】（1）因为 ， ，由 可得 .
根据基本不等式有： .因此 ，令 （ ），
则不等式变为 ，即 ，因式分解得 .
因为 ，所以 ，即 ，进而 .
当且仅当 且 时取等号，解得 ， .
所以 的最小值为 .
（2）由 ，两边同时除以 （ ， ，故 ），得 .
再根据基本不等式有： ，
当且仅当 且 时取等号，解得 ， .
的最小值为 .
18．(1) 或 ；
(2)
(3) ．
（1）先应用分式不等式计算得出集合B，再应用交集定义求解；
（2）分 是否是空集分别列式计算求参；
（3）根据充分不必要条件定义得出 是 的真子集，结合（2）即可求解.
【详解】（1）由题意知 或 ，若 ，则 ，
所以 或 ；
（2）当 ，即 时， ，此时 ，符合题意；
当 ，即 时，
因为 ，所以 ，
解得 ，
综上， 的取值范围是 ；
（3） ，又“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 是 的真子集，
因为 ，由（2）知 ，所以 ，
解得 ，所以 的取值范围是 ．
19．(1)
(2)当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
解得 或 ，即x的取值范围是 ；
（2）由（1）知当且仅当 时等号成立．
