文档内容
邢台市 2025—2026 学年高一（上）第三次月考
数学
注意事项：
1.答题前、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一、二章占20%，第三、四章占40%，第五
章第1节至第5节占40%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 与 角的终边相同的最小正角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据终边相同的角的性质进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以 角 的终边相同的最小正角是 ，
故选：A
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定直接得出结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意知，命题“ ”的否定为“ ”.
故选：B
3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据 求解 ，再结合充分和必要条件的定义判断.
【详解】当 时，有 ，故“ ”是“ ”的充分条件；
因为 ，所以 ，故 不一定推出 ，所以“ ”是“ ”的充分
不必要条件.
故选：B.
4. 已知 ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质判断得解.
【详解】依题意， ，因此 ，所以 .
故选：D
5. 已知集合 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解集合 的具体范围，再根据集合的包含关系，分析 中元素与集合 的约束条件，得出
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学科网（北京）股份有限公司的取值范围.
【详解】集合 ：由 ，得 ，即 ，
因 ，故 中所有元素 均需满足 ，
的最小元素为 ，因此需 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
6. 若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用同角公式及二倍角公式化简即得.
【详解】由 ，得 ，即 ，
因此 ，而 ，
则 ，所以 .
故选：D
7. 汽水放入冰箱后，其温度x(单位：℃)与时间t(单位：h)的函数关系式为 ，其中 均为常
数.已知汽水刚放入冰箱时的温度为 ，经过 ah后汽水的温度为 ，再经过a h后汽水的温度为（
）
A. 11℃ B. 12 ℃ C. 13℃ D. 14℃
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】由汽水刚放入冰箱时的温度为 ，得到当 时， ，将其代入 解出 ，
由经过 ah后汽水的温度为 得到当 时， ，将其代入 得到 ，由再经过
a h后汽水的温度得到 ，将其代入 求出 的值.
【详解】 汽水刚放入冰箱时的温度为 ， 当 时， ，
， ，
， ，
经过 ah后汽水的温度为 ， 当 时， ，
， ， ，
再经过a h后汽水的温度为 .
故选：C.
8. 已知函数 在区间 上恰有2个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 的零点情况，结合正弦函数的图象与性质求解即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】令 ，则 ，所以 ， ，
即 ， .
当 时，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
要使 ， 恰有2个零点，则要求 ， ，
所以 ，解得 .
当 时，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；
要使 ， 恰有2个零点，
所以 ，解得 .
综上， 的取值范围是 ．
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 是奇函数 B. 函数 的最小正周期为
C. 的图象关于点 中心对称 D. 在 上的值域为
【答案】BCD
【解析】
的
【分析】先化简 ，然后根据三角函数 奇偶性、周期性、对称性以及值域等知识对选项进行分析，
从而确定正确答案.
【详解】函数 ，
所以 是偶函数，A选项错误.
的最小正周期是 ，B选项正确.
余弦函数 的对称中心是 ，
令 ，则 的一个对称中心为 ，C选项正确.
若 ，则 ，D选项正确.
故选：BCD
10. 已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）
A. B. 的值域为
C. 是偶函数 D. 是增函数
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定的函数等式可得 ，再结合 求出函数解析式，然后利用二次函数
性质逐项判断得解.
【详解】由 ，得 ，令函数 ，
则 ， 为常函数，令 ，则 ， ，
因此 ， 的值域为 是偶函数，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，ABC正确，D错误.
故选：ABC
11. 已知 ，且 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性，可判断A的正误；根据指数的运算性质及指数函数的
单调性，可判断B的正误；
根据m的范围及二次函数的性质，可判断C的正误；令 ，根据基本不等式，可得t的范围，
利用换元法，
将所求变形，根据t的范围，即可判断D的正误.
【详解】选项A： 由题意
因为 ， ， ，所以 ，
当 时， 在 上单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 ，故A正确；
选项B： ，
因为 ，所以 ，
因为 在R是单调递增，
所以 ，即 ，故B正确；
选项C： ，为开口向上的抛物线，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以当 时， 有最小值 ，故C正确；
选项D：令 ，则 ，
所以 ，
又 ，
当且仅当 时取等号，因为 ，所以不能取等号，则 ，
则 ，故D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 的定义域为______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】结合式子结构求定义域即可.
【详解】由题可知 ，
解得 且 ，
即定义域为 .
故答案为：
13. 如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被
动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______.
【答案】
【解析】
【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果.
【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为 ，
由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即 ，即 ，
故答案为： .
14. 已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】将原函数整理成分段函数，分析分段的单调性，根据函数单调性求解集.
【详解】由题知 时， ，则 在 上单调递增， 时，
，则 在 上单调递减；
①当 ，即 时，可知 ，
因为自变量 时 ， 在 上单调递减，
则 ，原不等式无解；
②当 时，即 时，可知 ，
因为自变量 时 ， 在 上单调递增，
因此 ，即原不等式恒成立，其解集为 ；
③当 且 时，即 时，
由 可得 ，解得 ，故 ，
综上所述，关于 的不等式 的解集为 ，
故答案为： .
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 ， 均为正数， .
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值；
（3）求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解；
（2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解；
（3）由重要不等式结合（1）即可计算求解.
【小问1详解】
因为 ， 均为正数， ，
所以 即 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 的最小值为 ；
【小问2详解】
由题可得 ，当且仅当 即
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学科网（北京）股份有限公司时等号成立，
所以 的最小值为 ；
【小问3详解】
由（1）可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值 .
16. （1）已知 .
①求 的值；
②求 的值.
（2）求 的值.
【答案】（1）① ② （2）
【解析】
【分析】（1）①利用两角和的正切公式直接求解；
②变形有 ，分子分母同时除以 ，化弦为切，即可求解；
（2）先化切为弦，再利用倍角公式，辅助角公式即可求解.
【详解】（1）① .
②
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学科网（北京）股份有限公司（2）
17. 已知函数
（1）若 ，求 的值；
（2）若 有且仅有1个零点，求 的取值范围；
（3）若 ，求 ， 的值.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）由函数值即可直接计算得解；
（2）由函数结构特征结合题意将题设转化为函数 在 上有且仅有1
个零点，再由二次函数性质即可求解；
（3）分 三种情况结合等式分析计算即可求解.
【小问1详解】
由题可得 ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
因为 有且仅有1个零点，所以 ，且函数 在 上无零点，在 上有且仅有1个
零点，
所以函数 在 上有且仅有1个零点，
又函数 在 上单调递减，
所以 即 ，
所以满足题意的 的取值范围为 ；
【小问3详解】
当 时， ，
所以由 得 ，整理得
，
则 ；
当 时， ，满足 ；
当 时， ，
所以由 得 ，整理得
，
则 ；
综上，若 ，则 ， .
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 的单调递减区间；
（3）若关于 的方程 在 上有两个不同的实根 ， ，且 ，求 的取值
范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简 .
（2）利用结论直接解不等式组得出函数的单调递减区间.
（3）结合三角函数的对称性，讨论 的取值范围，得出 的取值范围.
【小问1详解】
，
所以最小正周期 .
【小问2详解】
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
所以单调递减区间为 .
【小问3详解】
已知 ，则 .
令 ，则 ，函数可记为 .
则 在 有两个不同解 ， ，其中 ， .
此时 ，则 ，即 ，所以 ， ，
.
所以 ，
又因为 ，且 ，可得 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
19. 已知函数
（1）若 在 上单调，求k的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 的最小值为 ，求k 的值；
（3）若 ，求k 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据 在 上单调转化为函数 在 上单调，再结合二次函数
的性质可得所求值的范围；
的
（2）直接将函数 最小值转化为 的最小问题，通过讨论 的符号，结合偶函数和二
次函数的性质求出 的最小值，建立关于 的方程求解.
（3）将不等式转化为 ，进而转化为 在
上成立，分 和 两段讨论可得所求值的范围.
【小问1详解】
令 ，因为 是单调递增函数，
所以要使 在 上单调，就等价于函数 在 上单调，
即 在 上单调，所以 ，得 .
故k的取值范围为 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 的最小值为 ，而 是增函数，所以 的最小值等价于 的最小值，
，所以 .
又因为 ，所以 是偶函数.
①若 时，函数 的对称轴 ，所以函数 在 上单调递增，函数
，
再由偶函数 的图象关于y轴对称，可得函数 在R上 ，与 不符合；
②若 时，函数 的对称轴 ，所以函数 在 上单调递减，在
上单调递增，
所以 ，再由偶函数的图象关于y轴对称，可得函数 在R上 ，
故令 ，解得 或 （舍去）.
故k 的值 .
【小问3详解】
因为 是增函数，所以 等价于 ，
即 ， .
当 时，由 得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 .
当 时，由 得 ，
即 ，由 ，故 ，所以 ，即 .
综上所述，要使 ，k 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司
