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初中数学
2025年⼴东省⼴州市番禺区中考⼀
模数学试卷
新东⽅教育科技集团2025年⼴东省⼴州市番禺区中考⼀
模数学试卷
⼀、单选题
单选题
实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所⽰，下列结论中正确的是（ ）
A. b>−1
B. |b|>2
C. a+b>0
D. ab>0
答案
C
解析
本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得−2<b<−1，2<a<3，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选
项进⾏判断即可．
解：A、由数轴可知−2<b<−1，故本选项不符合题意；
B、由数轴可知−2<b<−1，由绝对值的意义知1<|b|<2，故本选项不符合题意；
C、由数轴可知2<a<3，而−2<b<−1，则|a|>|b|，故a+b>0，故本选项符合题意；
D、由数轴可知2<a<3，而−2<b<−1，因此ab<0，故本选项不符合题意．
故选：C．
单选题
4⽉24⽇是中国航天⽇．1970年的这⼀天，我国⾃⾏设计、制造的第⼀颗⼈造地球卫星“东⽅红⼀
号”成功发射，标志着中国从此进⼊了太空时代．它的运⾏轨道，距地球最近点439000⽶．将
439000⽤科学记数法表⽰应为（ ）
A. 0.439×106
B. 4.39×106
C. 4.39×105
D. 439×103
答案
C
/ 解析
本题考查了绝对值⼤于1的科学记数法的表⽰，解题的关键在于确定a，n的值．
根据绝对值⼤于1的数，⽤科学记数法表⽰为a×10n，其中1≤a<10，n的值为整数位数少
1．
解：439000⼤于1，⽤科学记数法表⽰为a×10n，其中4.39，n=5，
∴439000⽤科学记数法表⽰为4.39×105，
故选：C．
单选题
如图，AB//CD，∠1=65∘，则∠2的度数是（ ）
A. 105∘
B. 115∘
C. 125∘
D. 135∘
答案
B
解析
本题主要考查了平⾏线的性质，根据平⾏线的性质得∠3=∠1=65∘，由邻补⻆性质得
∠2+∠3=180∘，然后求解即可，熟练掌握两直线平⾏，同位⻆相等是解题的关键．
解：如图，
∵AB//CD，
∴∠3=∠1=65∘，
∵∠2+∠3=180∘，
∴∠2=115∘，
故选：B．
/ 单选题
下列运算正确的是（ ）
A. 2m+n=2mn
B. m6÷m2=m3
C. (−mn) 2 =−m2n2
D. m2⋅ m3=m5
答案
D
解析
本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘⽅与积的乘⽅，根据合并同类项
的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘⽅与积的乘⽅法则对各选项进⾏逐⼀计算即
可．
解：A、2m和n不是同类项，不能合并，故此选项不合题意；
B、m6÷m2=m4，故此选项不合题意；
C、(−mn) 2 =m2n2，故此选项不合题意；
D、m2⋅m3=m5，故此选项符合题意．
故选：D．
单选题
在“五·四”⽂艺晚会节⽬评选中，某班选送的节⽬得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这
组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数是95
B. ⽅差是3
C. 众数是95
D. 平均数是94
答案
B
解析
此题考查了平均数，中位数，众数，⽅差的定义及计算，根据各定义及计算公式分别判断，
正确掌握各定义及计算⽅法是解题的关键
解：将数据从小到⼤排列为91，92，94，95，95，95，96，共7个数据,居中的⼀个数据是95，
∴中位数是95，故A选项正确；
这组数据中出现次数最多的数据是95，故众数是95，故C选项正确；
1
这组数据的平均数是 (91+92+94+95+95+95+96)=94，故D选项正确；
7
这组数据的⽅差为
/ 1 20
(91−94) 2 +(92−94) 2 +(94−94) 2 +(95−94) 2 ×3+(96−94) 2 = ，故B选项错误；
7[ ] 7
故选：B
单选题
下列函数中，y值随x值的增⼤而减小的是（ ）．
A. y=(x−1) 2 −1
B. 1
y=−
x
C. y=2x+1
D. y=−2x+1
答案
D
解析
本题考查了⼀次函数，反⽐例函数以及⼆次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系
数的关系是解题的关键．
解：A、y=(x−1) 2 −1，对称轴为直线x=1，当x>1时，y的值随x值的增⼤而增⼤，当
x<1时，y的值随x值的增⼤而减小，故本选项不符合题意；
1
B、k=−1<0，y=− 在每⼀象限内，y随x的增⼤而增⼤，故本选项不符合题意；
x
C、k=2>0，y=2x+1，y随x的增⼤而增⼤，故本选项不符合题意；
D、k=−2<0，y=−2x+1，，y的值随x值的增⼤而减小，故本选项符合题意；
故选：D．
单选题
若关于x的⼀元⼆次⽅程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）．
A. −4
B. 1
4
C. 1
−
4
D. 1
±
4
答案
B
解析
此题考查利⽤⼀元⼆次⽅程的根的情况求参数，⼀元⼆次⽅程的根有三种情况：有两个不等
的实数根时Δ>0；当⼀元⼆次⽅程有两个相等的实数根时，Δ=0；当⽅程没有实数根时，
Δ<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．利⽤⽅程有两个相等的实数根，得到Δ=0
/ ，建⽴关于m的⽅程，解答即可．
解：∵⼀元⼆次⽅程x2+x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴Δ=12−4m=0，
1
解得m= ．
4
故选：B．
单选题
如图，△ABC内接于⊙O,∠C =46∘，连接OA，则∠OAB=（ ）
A. 44∘
B. 45∘
C. 54∘
D. 67∘
答案
A
解析
连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．
连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
1
∴∠OAB=∠OBA= ×88°=44°，
2
/ 故选：A．
本题主要考查了圆周⻆定理，根据圆周⻆定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．
单选题
在数学课外实践活动中，某小组测量⼀栋楼房CD的⾼度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰⻆
为30∘，再往楼的⽅向前进50⽶⾄B处，测得仰⻆为60∘，那么这栋楼的⾼度为（⼈的⾝⾼忽略不计）
（ ）
A. 25√3⽶
B. 25⽶
C. 25√2⽶
D. 50⽶
答案
A
解析
此题考查了解直⻆三⻆形的应⽤-仰⻆俯⻆问题，要求学⽣能借助仰⻆构造直⻆三⻆形并解直
⻆三⻆形．
设DC =x⽶，在Rt△ACD中，利⽤锐⻆三⻆函数定义表⽰出AC，在Rt△BCD中，利⽤锐
⻆三⻆函数定义表⽰出BC，再由AC−BC =AB=50列出关于x的⽅程，求出⽅程的解得到
x的值即可．
解：设DC =x⽶，
在Rt△ACD中，∠A=30∘，
DC x √3
tanA= ，即tan30∘= = ，
AC AC 3
整理得：AC =√3x⽶，
在Rt△BCD中，∠DBC =60∘，
DC x
tan∠DBC = ，即tan60∘= =√3，
BC BC
√3
整理得：BC = x⽶，
3
∵AB=50⽶，
√3
∴AC−BC =50，即√3x− x=50，
3
解得：x=25√3，
侧这栋楼的⾼度为25√3⽶．
故选：A．
/ 单选题
机器狗是⼀种模拟真实⽝只形态和部分⾏为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量
m(kg)的反⽐例函数．已知⼀款机器狗（如图所⽰）载重后总质量m=30kg时，它的最快移动速
度v=6m/s；当其载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=（ ）m/s
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
答案
D
解析
本题考查了反⽐例函数的应⽤，利⽤待定系数法求出反⽐例函数解析式，后再将m=60kg代
⼊计算即可，待定系数法求反⽐例函数解析式是解题的关键．
k
解：设反⽐例函数解析式为v= ，
m
∵机器狗载重后总质量m=30kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴k=30×6=180，
180
∴反⽐例函数解析式为v= ，
m
180
当m=60kg时，v= =3(m/s)．
60
故选：D．
⼆、填空题
填空题
若√x−9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
答案
x≥9
解析
根据⼆次根式有意义的条件，即可求解．
解：根据题意得x−9≥0，
/ 解得：x≥9．
故答案为：x≥9
本题主要考查了⼆次根式有意义的条件，熟练掌握⼆次根式的被开⽅数为⾮负数是解题的关
键．
填空题
2 3
⽅程 = 的解为 ．
x−3 x
答案
x=9
解析
本题考查解分式⽅程，先去分⺟化为整式⽅程，进而解整式⽅程即可求得⽅程的解．熟练掌
握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
解：去分⺟，得2x=3(x−3)，
去括号，得2x=3x−9，
移项、合并同类项，得−x=−9，
化系数为1，得x=9，
经检验，x=9是原分式⽅程的解，
故答案为：x=9．
填空题
分解因式：x3−16x= ．
答案
x(x+4)(x−4)
解析
原式 =x(x2−16)
=x(x+4)(x−4)
填空题
如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的⼀部分，图②是其⼏何⽰意图．通过测量得到扇形
AOB的圆⼼⻆为90∘，AC =BD=0.5m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的⾯积为
m2．
/ 答案
π 1
−
(4 8)
解析
本题主要考查了扇形⾯积的计算，熟知扇形的⾯积公式是解题的关键．⽤扇形的⾯积减去
△COD的⾯积即可解决问题．
解：∵AC =BD=0.5m，点C，D分别为OA，OB的中点，
∴OA=OB=1m，OC =OD=AC =BD=0.5m，
1 1 1 1 90×π×12 π
∴S
△OCD
=
2
×
2
×
2
=
8
(m2)，S
扇形AOB
=
360
=
4
(m2)，
π 1
∴花窗的⾯积为 − m2
(4 8)
π 1
故答案为： − ．
(4 8)
填空题
定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如，4⊗3=(4+2×3)×(4−3)，则函数y=(x+1)⊗2
的对称轴为直线 ．
答案
x=−2
解析
本题考查⼆次函数对称轴，根据新定义，得到⼆次函数关系式，进而利⽤⼆次函数的性质，
求对称轴．
解：∵a⊗b=(a+2b)(a−b)，
∴y=(x+1)⊗2
=(x+1+2×2)(x+1−2)
=(x+5)(x−1)
=x2+4x−5
=(x+2) 2 −9，
即y=(x+2) 2 −9，
∴对称轴为直线x=−2，
故答案为：x=−2．
填空题
⽤两个全等且边⻓为4的等边三⻆形ABC和等边三⻆形ACD拼成菱形ABCD，把⼀个含60∘⻆的三
⻆尺与这个菱形叠合，使三⻆尺的60∘⻆的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三⻆尺
绕点A按逆时针⽅向旋转，在转动过程中，当△AEC的⾯积是2√3时，CF的⻓为 ．
/ 答案
2或 6
解析
本题主要考查等边三⻆形的性质，勾股定理，三⻆形全等的判定和性质等知识．利⽤数形结
合的思想是解题关键．过点A作AG⊥BC，根据等边三⻆形的性质可求出AG=2√3，结合
S =2√3可求出CE =2．⼜易证△BAE ≌△CAF(ASA)，即得出BE =CF，从而即可
△AEC
得解．
①当点E在线段BC上时，如图，过点A作AG⊥BC，
∵△ABC为等边三⻆形，
1
∴CG= BC =2，
2
∴AG=√AC2−CG2=√42−22=2√3，
1 1
∵S
△AEC
= CE⋅AG=2√3，即S
△AEC
= CE×2√3=2√3，
2 2
∴CE =2，
∴BE =BC−CE =2．
∵三⻆尺60∘⻆的顶点与点A重合，
∴∠BAC =∠EAF，
∴∠BAC−∠EAC =∠EAF −∠EAC，即∠BAE =∠CAF．
⼜∵两个全等且边⻓为4的等边三⻆形ABC和等边三⻆形ACD拼成菱形ABCD，
∴∠B=∠ACF =60∘，AB=AC，
∴△BAE ≌△CAF(ASA)，
∴BE =CF =2；
②当点E在线段BC的延⻓线上时，如图：
/ 由①可知CG=2，
1
∴S
△AEC
= CE×2√3=2√3，
2
∴CE =2．
∵∠BAC =∠EAF，
∴∠BAC+∠EAC =∠EAF +∠EAC，即∠BAE =∠CAF．
⼜∵∠B=∠ACF =60∘，AB=AC，
∴△BAE ≌△CAF(ASA)，
∴CF =BE =BC+CE =4+2=6．
∴CF的⻓为2或6，
故答案为：2或6．
三、解答题
解答题
5x−3≥2x①
解不等式组：⎧2x−1 x ．
⎨ < ②
⎩ 3 2
答案
1≤x<2
解析
本题考查解⼀元⼀次不等式组，先分别解不等式组中的⼀元⼀次不等式，再由“同⼤取⼤、同
小取小、⼤小小⼤中间找、⼤⼤小小⽆解”求不等式组的解集即可得到答案，熟练掌握⼀元⼀
次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键．
5x−3≥2x①
解：⎧2x−1 x
⎨ < ②
⎩ 3 2
由①得x≥1；
由②得x<2；
∴不等式组的解集为：1≤x<2．
解答题
已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．
/ 答案
10x2−2x−4，-2
解析
先按照整式的混合运算化简代数式，注意利⽤平⽅差公式进⾏简便运算，再把5x2−x−1=0
变形后，整体代⼊求值即可．
解：原式=9x2−4+x2−2x
=10x2−2x−4.
∵5x2−x−1=0，
∴5x2−x=1，
∴10x2−2x=2，
∴原式=2−4=−2．
本题考查的是整式化简求值，掌握利⽤平⽅差公式进⾏简便运算，整体代⼊求值是解题的关
键．
解答题
如图，在由边⻓为1的小正⽅形组成的⽹格中建⽴平⾯直⻆坐标系xoy，格点A，B，C，D的坐标
分别为(7,8)，(2,8)，(10,4)，(5,4)．
(1) 尺规作图：作∠BAC的⻆平分线AM（不写作法，保留作图痕迹），点D在射线AM上吗？
(2) 以点D为旋转中⼼，将△ABC旋转180∘得到△A B C ，画出△A B C ，写出点A 的坐标．
1 1 1 1 1 1 1
答案
(1) 作图⻅解析，点 D在射线 AM上
(2) 作图⻅解析，点 A 的坐标 (3,0)
1
解析
(1) 解：如图所⽰，AM即为所求，
/ 由勾股定理可知，AB=CD=AC =BD=5，即四边形ABDC是菱形，
∴AD平分∠ABC，
∴点D在射线AM上；
(2) 如图所⽰，△A B C 即为所求，点A 的坐标(3,0)．
1 1 1 1
解答题
为防治污染，保护和改善⽣态环境，⾃2023年7⽉1⽇起，我国全⾯实施汽⻋国六排放标准6b阶段
（以下简称“标准”）.对某型号汽⻋，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质
排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽⻋的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过⼀
次技术改进，该汽⻋的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排
放量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽⻋的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
答案
符合，理由⻅详解
解析
本题考查了列⼀元⼀次⽅程解应⽤题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设技术改进后该汽⻋的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为(40−x)mg/km，根据
汽⻋的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km建⽴⽅程求解即可．
解：设技术改进后该汽⻋的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为(40−x)mg/km，
x 40−x
由题意得： + =92，
1−50% 1−75%
解得：x=34，
/ ∵34<35，
∴这次技术改进后该汽⻋的A类物质排放量符合“标准”．
解答题
在⼀只不透明的布袋中，装有质地、⼤小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲
⼄两⼈玩摸球游戏，规则为：两⼈同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，
则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则⼄胜．
(1) 请⽤画树状图或列表的⽅法，求甲获胜的概率．
(2) 这个游戏规则对甲⼄双⽅公平吗？请说明理由．
答案
2
(1)
3
(2) 这个游戏规则对甲⼄双⽅不公平，理由⻅解析
解析
(1) 解：画树状图如下：
由树状图可知，⼀共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8
种，
8 2
∴甲获胜的概率为 = ；
12 3
(2) 解：这个游戏规则对甲⼄双⽅不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
4 1
∴⼄获胜的概率为 = ，
12 3
1 2
∵ < ，
3 3
∴甲获胜的概率⼤于⼄获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲⼄双⽅不公平．
解答题
如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂⾜为E，连接BD
并延⻓，交AM于点P．
/ (1) 求证：∠CAB=∠APB；
(2) 若⊙O的半径r=5,AC =8，求线段PD的⻓．
答案
(1) ⻅解析
(2) 32
3
解析
(1) 证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM =90∘．
∵CD⊥AB
∴∠CEA=90∘，
∴AM//CD．
∴∠CDB=∠APB．
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠APB．
(2) 解：如图，连接AD．
∵AB为直径，
∴
∠ADB=90∘，
∴∠CDB+∠ADC =90∘，
∵∠CAB+∠C =90∘，
∠CDB=∠CAB
∴∠ADC =∠C．
/ ∴AD=AC =8．
∵AB=2r=10，
∴BD=√AB2−AD2=6．
∵∠BAP =∠BDA=90∘，
∠ABD=∠PBA，
∴△ADB∽△PAB．
AB BD
∴ = ．
PB AB
AB2 100 50
∴PB= = = ．
BD 6 3
50 32
∴DP = −6= ．
3 3
解答题
如图，△ABC中，AC =BC，∠ACB=90∘，其中A(−2,0)，C(6,0)．
(1) 直接写出线段AB的中点D的坐标；
k
(2)
反⽐例函数y= (k≠0,x>0)的图象过点D，与BC交于点E，求k的值；
x
(3) 点P为（2）中反⽐例函数图象上⼀动点(点P在D，E之间运动，不与D，E重合)，过点P作
PM//AB，交y轴于点M，过点P作PN//x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN⾯积的最⼤
值，并求出此时点P的坐标．
答案
(1) D(2,4)
(2) k=8
(3) 9 8
S 最⼤值是 ，此时 P 3,
△PMN
2 ( 3)
解析
(1) 解：∵A(−2,0)，C(6,0)，
∴AC =8．
⼜∵AC =BC，
∴BC =8．
∵∠ACB=90∘，
∴点B(6,8)．
/ −2+6 0+8
⼜∵线段AB的中点是点D， =2, =4，
2 2
∴D(2,4)；
k
(2)
解：将D(2,4)代⼊y= ，得k=8．
x
(3) 解：延⻓NP交y轴于点Q，交AB于点L．
∵AC =BC，∠BCA=90∘，
∴∠BAC =45∘．
∵PN//x轴，
∴∠BLN =∠BAC =45∘，∠NQM =90∘．
∵PM//AB，
∴∠MPL=∠BLP =45∘，
∴∠QMP =∠QPM =45∘，
∴QM =QP．
8
设点P的坐标为 t, ，(2<t<6)，则PQ=t，PN =6−t．
( t )
∴MQ=PQ=t．
1 1 1 9
∴S
△PMN
= ⋅PN ⋅MQ= ⋅(6−t)⋅t=− (t−3) 2 + ．
2 2 2 2
9 8
∴当t=3时，S △PMN有最⼤值 ，此时P 3, ．
2 ( 3)
解答题
在平⾯直⻆坐标系中，将函数y=−x2+2mx−m−1（m为常数）的图象记为G，点P的坐标为
(2m,m2−m−2)．
(1) 当点(1,0)在图象G上时，试解答以下问题：
①求函数G的解析式；
②将抛物线在x≥1的那部分函数图象沿直线x=1翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合
记为图象F，若函数y=n与图象F⾄少有三个交点，求n的取值范围；
(2) 当m>0时，将点P向左平移2个单位⻓度得到点Q，连结PQ，以PQ为边向上⽅作矩形
PQMN，使PN =1．当图象G与矩形PQMN只有两个公共点时，求m的取值范围．
答案
(1) ① y=−x2+4x−3；② 0≤n<1
(2) 2≤m<3
/ 解析
(1) 解：①将(1,0)代⼊y=−x2+2mx−m−1，得−12+2m−m−1=0，
解得m=2，
∴函数G的解析式为y=−x2+4x−3；
②y=−x2+4x−3=−(x−2) 2 +1，
当y=0时，−(x−2) 2 +1=0，解得x=1或x=3，
将抛物线在x≥1的那部分函数图象沿直线x=1翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部
分合记为图象F，如图，
由轴对称可知，图象最⾼点的函数值为1，此时x=0或2，
∴直线y=1与图象F有两个交点，直线y=0与图象F有三个交点；
∵函数y=n与图象F⾄少有三个交点，
∴0≤n<1；
(2) ∵点P的坐标为(2m,m2−m−2)，将点P向左平移2个单位⻓度得到点Q，连结PQ，以PQ
为边向上⽅作矩形PQMN，使PN =1，m>0
∴N(2m,m2−m−1)，M(2m−2,m2−m−1)，Q(2m−2,m2−m−2)，
∵y=−x2+2mx−m−1=−(x−m) 2 +m2−m−1，
∴则图象G的顶点坐标T(m,m2−m−1)在直线MN上，
当T在线段MN上时，2m−2<m<2m，即0<m<2，此时，图象G与矩形PQMN有三
个公共点，不符合题意；
当T在M重合时，2m−2=m，即m=2，此时，图象G与矩形PQMN有两个公共点，符
合题意；
/ 2m−2>m
当T在点M左侧，且点Q在图象G下⽅时，
{−(2m−2−m) 2 +m2−m−1>m2−m−2
，即2<m<3，此时，图象G与矩形PQMN有两个公共点，符合题意；
当T在点M左侧，且点Q在图象G上及下⽅时，
−(2m−2−m) 2 +m2−m−1≤m2−m−2，即m≥3，此时，图象G与矩形PQMN最多
只有⼀个公共点，不符合题意；
综上，图象G与矩形PQMN有两个公共点，m的取值范围为2≤m<3．
解答题
如图，现有正⽅形纸⽚ABCD，点E，F分别在边AB，BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕
MN，点B，C分别落在正⽅形所在平⾯内的点B′，C′处，然后还原．
/ (1) 若点N在边CD上，且∠BEF =α，求∠C′NM的⼤小（⽤含α的式⼦表⽰）；
(2) 再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正⽅形所
在平⾯内的点D′处，然后还原．若EB=2AE，点D′在线段B′C′上，且四边形EFGH是正⽅形，
MN与GH的交点为Q，EF与HB′的交点为P，连接PQ．小明同学猜想：△HPQ的⾯积是
△HAE的2倍，他的猜想是否正确？如正确，请给予证明；若不正确，请求出两三⻆形⾯积的⽐
S
△HAE
．
S
△HPQ
答案
(1) ∠C′NM =90∘−α
(2)
小明同学的猜想不正确，两三⻆形⾯积的⽐
S △HAE
=
8
S 15
△HPQ
解析
(1) 解：连接CC′，由题意得∠C′NM =∠4，MN⊥CC′，
∵MN⊥EF，
∴CC′//FE，
∴∠1=∠2，
∵四边形ABCD是正⽅形，
∴∠ABC =∠BCD=90∘，
∴∠3+∠4=∠3+∠2=90∘，∠1+∠BEF =90∘，
∴∠2=∠4，∠1=90∘−α，
∴∠4=90∘−α
∴∠C′NM =90∘−α；
(2) ∵EB=2AE，设AE =a，
∴BE =2a，AB=CD=BC =CD=3a，
/ ∵四边形ABCD是正⽅形，四边形EFGH是正⽅形，
∴∠A=∠B=∠C =∠D=90∘，HE =FE =HG，∠HEF =90∘，
∴∠5+∠6=∠7+∠6=90∘，
∴∠5=∠7，
∴△AEH ≌△BFE，
同理可证：△AEH ≌△BFE ≌△DHG≌△CGF，
∴AE =CG=DH =a，DG=BE =AH =2a，
在Rt△HDG中，由勾股定理得HG=√DH2+DG2=√5a，
由折叠可知：∠NC′B′=∠NCB=90∘，∠8=∠9，∠D=∠GD′H =90∘，NC =NC′，
GD=GD′=2a，
∴NC′//GD′，
∴∠NKG=∠9，
∴∠8=∠NKG，
∴NG=NK，
∴NC−NG=NC′−NK，
即KC′=GC =a，
∵NC′//GD′，
∴△HC′K ∽△HD′G，
HK C′K 1
∴ = = ，
HG D′G 2
1
∴HK = HG，
2
∴HK =KG，
由题意得MN⊥HG，而NG=NK，
∴QK =QG，
3 3√5
∴QH = HG= a，
4 4
1 1 3√5 15
∴△HPQ的⾯积为 QH⋅HE = ×√5a× a= a2，
2 2 4 8
1 1
△HAE的⾯积为 AE⋅AH = ×2a⋅a=a2，
2 2
S a2 8
△HAE
∴ = = ．
S 15 15
△HPQ a2
8
S 8
△HAE
综上，小明同学的猜想不正确，两三⻆形⾯积的⽐ = ．
S 15
△HPQ
/ 
