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初中数学
2025年⼴东省⼴州市番禺区中考⼀
模数学试卷
新东⽅教育科技集团2025年⼴东省⼴州市番禺区中考⼀
模数学试卷
⼀、单选题
单选题
实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所⽰，下列结论中正确的是（ ）
A. b>−1
B. |b|>2
C. a+b>0
D. ab>0
答案
C
解析
本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
由数轴可得−2|b|，故a+b>0，故本选项符合题意；
D、由数轴可知21时，y的值随x值的增⼤而增⼤，当
x<1时，y的值随x值的增⼤而减小，故本选项不符合题意；
1
B、k=−1<0，y=− 在每⼀象限内，y随x的增⼤而增⼤，故本选项不符合题意；
x
C、k=2>0，y=2x+1，y随x的增⼤而增⼤，故本选项不符合题意；
D、k=−2<0，y=−2x+1，，y的值随x值的增⼤而减小，故本选项符合题意；
故选：D．
单选题
若关于x的⼀元⼆次⽅程x2+x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）．
A. −4
B. 1
4
C. 1
−
4
D. 1
±
4
答案
B
解析
此题考查利⽤⼀元⼆次⽅程的根的情况求参数，⼀元⼆次⽅程的根有三种情况：有两个不等
的实数根时Δ>0；当⼀元⼆次⽅程有两个相等的实数根时，Δ=0；当⽅程没有实数根时，
Δ<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．利⽤⽅程有两个相等的实数根，得到Δ=0
/ ，建⽴关于m的⽅程，解答即可．
解：∵⼀元⼆次⽅程x2+x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，
∴Δ=12−4m=0，
1
解得m= ．
4
故选：B．
单选题
如图，△ABC内接于⊙O,∠C =46∘，连接OA，则∠OAB=（ ）
A. 44∘
B. 45∘
C. 54∘
D. 67∘
答案
A
解析
连接OB，由2∠C=∠AOB，求出∠AOB，再根据OA=OB即可求出∠OAB．
连接OB，如图，
∵∠C=46°，
∴∠AOB=2∠C=92°，
∴∠OAB+∠OBA=180°-92°=88°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
1
∴∠OAB=∠OBA= ×88°=44°，
2
/ 故选：A．
本题主要考查了圆周⻆定理，根据圆周⻆定理的出∠AOB=2∠C=92°是解答本题的关键．
单选题
在数学课外实践活动中，某小组测量⼀栋楼房CD的⾼度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰⻆
为30∘，再往楼的⽅向前进50⽶⾄B处，测得仰⻆为60∘，那么这栋楼的⾼度为（⼈的⾝⾼忽略不计）
（ ）
A. 25√3⽶
B. 25⽶
C. 25√2⽶
D. 50⽶
答案
A
解析
此题考查了解直⻆三⻆形的应⽤-仰⻆俯⻆问题，要求学⽣能借助仰⻆构造直⻆三⻆形并解直
⻆三⻆形．
设DC =x⽶，在Rt△ACD中，利⽤锐⻆三⻆函数定义表⽰出AC，在Rt△BCD中，利⽤锐
⻆三⻆函数定义表⽰出BC，再由AC−BC =AB=50列出关于x的⽅程，求出⽅程的解得到
x的值即可．
解：设DC =x⽶，
在Rt△ACD中，∠A=30∘，
DC x √3
tanA= ，即tan30∘= = ，
AC AC 3
整理得：AC =√3x⽶，
在Rt△BCD中，∠DBC =60∘，
DC x
tan∠DBC = ，即tan60∘= =√3，
BC BC
√3
整理得：BC = x⽶，
3
∵AB=50⽶，
√3
∴AC−BC =50，即√3x− x=50，
3
解得：x=25√3，
侧这栋楼的⾼度为25√3⽶．
故选：A．
/ 单选题
机器狗是⼀种模拟真实⽝只形态和部分⾏为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量
m(kg)的反⽐例函数．已知⼀款机器狗（如图所⽰）载重后总质量m=30kg时，它的最快移动速
度v=6m/s；当其载重后总质量m=60kg时，它的最快移动速度v=（ ）m/s
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
答案
D
解析
本题考查了反⽐例函数的应⽤，利⽤待定系数法求出反⽐例函数解析式，后再将m=60kg代
⼊计算即可，待定系数法求反⽐例函数解析式是解题的关键．
k
解：设反⽐例函数解析式为v= ，
m
∵机器狗载重后总质量m=30kg时，它的最快移动速度v=6m/s，
∴k=30×6=180，
180
∴反⽐例函数解析式为v= ，
m
180
当m=60kg时，v= =3(m/s)．
60
故选：D．
⼆、填空题
填空题
若√x−9在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
答案
x≥9
解析
根据⼆次根式有意义的条件，即可求解．
解：根据题意得x−9≥0，
/ 解得：x≥9．
故答案为：x≥9
本题主要考查了⼆次根式有意义的条件，熟练掌握⼆次根式的被开⽅数为⾮负数是解题的关
键．
填空题
2 3
⽅程 = 的解为 ．
x−3 x
答案
x=9
解析
本题考查解分式⽅程，先去分⺟化为整式⽅程，进而解整式⽅程即可求得⽅程的解．熟练掌
握分式的解法步骤是解答的关键，注意结果要检验．
解：去分⺟，得2x=3(x−3)，
去括号，得2x=3x−9，
移项、合并同类项，得−x=−9，
化系数为1，得x=9，
经检验，x=9是原分式⽅程的解，
故答案为：x=9．
填空题
分解因式：x3−16x= ．
答案
x(x+4)(x−4)
解析
原式 =x(x2−16)
=x(x+4)(x−4)
填空题
如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的⼀部分，图②是其⼏何⽰意图．通过测量得到扇形
AOB的圆⼼⻆为90∘，AC =BD=0.5m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的⾯积为
m2．
/ 答案
π 1
−
(4 8)
解析
本题主要考查了扇形⾯积的计算，熟知扇形的⾯积公式是解题的关键．⽤扇形的⾯积减去
△COD的⾯积即可解决问题．
解：∵AC =BD=0.5m，点C，D分别为OA，OB的中点，
∴OA=OB=1m，OC =OD=AC =BD=0.5m，
1 1 1 1 90×π×12 π
∴S
△OCD
=
2
×
2
×
2
=
8
(m2)，S
扇形AOB
=
360
=
4
(m2)，
π 1
∴花窗的⾯积为 − m2
(4 8)
π 1
故答案为： − ．
(4 8)
填空题
定义运算：a⊗b=(a+2b)(a−b)，例如，4⊗3=(4+2×3)×(4−3)，则函数y=(x+1)⊗2
的对称轴为直线 ．
答案
x=−2
解析
本题考查⼆次函数对称轴，根据新定义，得到⼆次函数关系式，进而利⽤⼆次函数的性质，
求对称轴．
解：∵a⊗b=(a+2b)(a−b)，
∴y=(x+1)⊗2
=(x+1+2×2)(x+1−2)
=(x+5)(x−1)
=x2+4x−5
=(x+2) 2 −9，
即y=(x+2) 2 −9，
∴对称轴为直线x=−2，
故答案为：x=−2．
填空题
⽤两个全等且边⻓为4的等边三⻆形ABC和等边三⻆形ACD拼成菱形ABCD，把⼀个含60∘⻆的三
⻆尺与这个菱形叠合，使三⻆尺的60∘⻆的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三⻆尺
绕点A按逆时针⽅向旋转，在转动过程中，当△AEC的⾯积是2√3时，CF的⻓为 ．
/ 答案
2或 6
解析
本题主要考查等边三⻆形的性质，勾股定理，三⻆形全等的判定和性质等知识．利⽤数形结
合的思想是解题关键．过点A作AG⊥BC，根据等边三⻆形的性质可求出AG=2√3，结合
S =2√3可求出CE =2．⼜易证△BAE ≌△CAF(ASA)，即得出BE =CF，从而即可
△AEC
得解．
①当点E在线段BC上时，如图，过点A作AG⊥BC，
∵△ABC为等边三⻆形，
1
∴CG= BC =2，
2
∴AG=√AC2−CG2=√42−22=2√3，
1 1
∵S
△AEC
= CE⋅AG=2√3，即S
△AEC
= CE×2√3=2√3，
2 2
∴CE =2，
∴BE =BC−CE =2．
∵三⻆尺60∘⻆的顶点与点A重合，
∴∠BAC =∠EAF，
∴∠BAC−∠EAC =∠EAF −∠EAC，即∠BAE =∠CAF．
⼜∵两个全等且边⻓为4的等边三⻆形ABC和等边三⻆形ACD拼成菱形ABCD，
∴∠B=∠ACF =60∘，AB=AC，
∴△BAE ≌△CAF(ASA)，
∴BE =CF =2；
②当点E在线段BC的延⻓线上时，如图：
/ 由①可知CG=2，
1
∴S
△AEC
= CE×2√3=2√3，
2
∴CE =2．
∵∠BAC =∠EAF，
∴∠BAC+∠EAC =∠EAF +∠EAC，即∠BAE =∠CAF．
⼜∵∠B=∠ACF =60∘，AB=AC，
∴△BAE ≌△CAF(ASA)，
∴CF =BE =BC+CE =4+2=6．
∴CF的⻓为2或6，
故答案为：2或6．
三、解答题
解答题
5x−3≥2x①
解不等式组：⎧2x−1 x ．
⎨ < ②
⎩ 3 2
答案
1≤x<2
解析
本题考查解⼀元⼀次不等式组，先分别解不等式组中的⼀元⼀次不等式，再由“同⼤取⼤、同
小取小、⼤小小⼤中间找、⼤⼤小小⽆解”求不等式组的解集即可得到答案，熟练掌握⼀元⼀
次不等式组解集的求法步骤是解决问题的关键．
5x−3≥2x①
解：⎧2x−1 x
⎨ < ②
⎩ 3 2
由①得x≥1；
由②得x<2；
∴不等式组的解集为：1≤x<2．
解答题
已知5x2−x−1=0，求代数式(3x+2)(3x−2)+x(x−2)的值．
/ 答案
10x2−2x−4，-2
解析
先按照整式的混合运算化简代数式，注意利⽤平⽅差公式进⾏简便运算，再把5x2−x−1=0
变形后，整体代⼊求值即可．
解：原式=9x2−4+x2−2x
=10x2−2x−4.
∵5x2−x−1=0，
∴5x2−x=1，
∴10x2−2x=2，
∴原式=2−4=−2．
本题考查的是整式化简求值，掌握利⽤平⽅差公式进⾏简便运算，整体代⼊求值是解题的关
键．
解答题
如图，在由边⻓为1的小正⽅形组成的⽹格中建⽴平⾯直⻆坐标系xoy，格点A，B，C，D的坐标
分别为(7,8)，(2,8)，(10,4)，(5,4)．
(1) 尺规作图：作∠BAC的⻆平分线AM（不写作法，保留作图痕迹），点D在射线AM上吗？
(2) 以点D为旋转中⼼，将△ABC旋转180∘得到△A B C ，画出△A B C ，写出点A 的坐标．
1 1 1 1 1 1 1
答案
(1) 作图⻅解析，点 D在射线 AM上
(2) 作图⻅解析，点 A 的坐标 (3,0)
1
解析
(1) 解：如图所⽰，AM即为所求，
/ 由勾股定理可知，AB=CD=AC =BD=5，即四边形ABDC是菱形，
∴AD平分∠ABC，
∴点D在射线AM上；
(2) 如图所⽰，△A B C 即为所求，点A 的坐标(3,0)．
1 1 1 1
解答题
为防治污染，保护和改善⽣态环境，⾃2023年7⽉1⽇起，我国全⾯实施汽⻋国六排放标准6b阶段
（以下简称“标准”）.对某型号汽⻋，“标准”要求A类物质排放量不超过35mg/km，A，B两类物质
排放量之和不超过50mg/km.已知该型号某汽⻋的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km.经过⼀
次技术改进，该汽⻋的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排
放量之和为40mg/km，判断这次技术改进后该汽⻋的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
答案
符合，理由⻅详解
解析
本题考查了列⼀元⼀次⽅程解应⽤题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．
设技术改进后该汽⻋的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为(40−x)mg/km，根据
汽⻋的A，B两类物质排放量之和原为92mg/km建⽴⽅程求解即可．
解：设技术改进后该汽⻋的A类物质排放量为xmg/km，则B类物质排放量为(40−x)mg/km，
x 40−x
由题意得： + =92，
1−50% 1−75%
解得：x=34，
/ ∵34<35，
∴这次技术改进后该汽⻋的A类物质排放量符合“标准”．
解答题
在⼀只不透明的布袋中，装有质地、⼤小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲
⼄两⼈玩摸球游戏，规则为：两⼈同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，
则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则⼄胜．
(1) 请⽤画树状图或列表的⽅法，求甲获胜的概率．
(2) 这个游戏规则对甲⼄双⽅公平吗？请说明理由．
答案
2
(1)
3
(2) 这个游戏规则对甲⼄双⽅不公平，理由⻅解析
解析
(1) 解：画树状图如下：
由树状图可知，⼀共有12种等可能性的结果数，其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8
种，
8 2
∴甲获胜的概率为 = ；
12 3
(2) 解：这个游戏规则对甲⼄双⽅不公平，理由如下：
由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种，
4 1
∴⼄获胜的概率为 = ，
12 3
1 2
∵ < ，
3 3
∴甲获胜的概率⼤于⼄获胜的概率，
∴这个游戏规则对甲⼄双⽅不公平．
解答题
如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂⾜为E，连接BD
并延⻓，交AM于点P．
/ (1) 求证：∠CAB=∠APB；
(2) 若⊙O的半径r=5,AC =8，求线段PD的⻓．
答案
(1) ⻅解析
(2) 32
3
解析
(1) 证明：∵AM是⊙O的切线，
∴∠BAM =90∘．
∵CD⊥AB
∴∠CEA=90∘，
∴AM//CD．
∴∠CDB=∠APB．
∵∠CAB=∠CDB，
∴∠CAB=∠APB．
(2) 解：如图，连接AD．
∵AB为直径，
∴
∠ADB=90∘，
∴∠CDB+∠ADC =90∘，
∵∠CAB+∠C =90∘，
∠CDB=∠CAB
∴∠ADC =∠C．
/ ∴AD=AC =8．
∵AB=2r=10，
∴BD=√AB2−AD2=6．
∵∠BAP =∠BDA=90∘，
∠ABD=∠PBA，
∴△ADB∽△PAB．
AB BD
∴ = ．
PB AB
AB2 100 50
∴PB= = = ．
BD 6 3
50 32
∴DP = −6= ．
3 3
解答题
如图，△ABC中，AC =BC，∠ACB=90∘，其中A(−2,0)，C(6,0)．
(1) 直接写出线段AB的中点D的坐标；
k
(2)
反⽐例函数y= (k≠0,x>0)的图象过点D，与BC交于点E，求k的值；
x
(3) 点P为（2）中反⽐例函数图象上⼀动点(点P在D，E之间运动，不与D，E重合)，过点P作
PM//AB，交y轴于点M，过点P作PN//x轴，交BC于点N，连接MN，求△PMN⾯积的最⼤
值，并求出此时点P的坐标．
答案
(1) D(2,4)
(2) k=8
(3) 9 8
S 最⼤值是 ，此时 P 3,
△PMN
2 ( 3)
解析
(1) 解：∵A(−2,0)，C(6,0)，
∴AC =8．
⼜∵AC =BC，
∴BC =8．
∵∠ACB=90∘，
∴点B(6,8)．
/ −2+6 0+8
⼜∵线段AB的中点是点D， =2, =4，
2 2
∴D(2,4)；
k
(2)
解：将D(2,4)代⼊y= ，得k=8．
x
(3) 解：延⻓NP交y轴于点Q，交AB于点L．
∵AC =BC，∠BCA=90∘，
∴∠BAC =45∘．
∵PN//x轴，
∴∠BLN =∠BAC =45∘，∠NQM =90∘．
∵PM//AB，
∴∠MPL=∠BLP =45∘，
∴∠QMP =∠QPM =45∘，
∴QM =QP．
8
设点P的坐标为 t, ，(20时，将点P向左平移2个单位⻓度得到点Q，连结PQ，以PQ为边向上⽅作矩形
PQMN，使PN =1．当图象G与矩形PQMN只有两个公共点时，求m的取值范围．
答案
(1) ① y=−x2+4x−3；② 0≤n<1
(2) 2≤m<3
/ 解析
(1) 解：①将(1,0)代⼊y=−x2+2mx−m−1，得−12+2m−m−1=0，
解得m=2，
∴函数G的解析式为y=−x2+4x−3；
②y=−x2+4x−3=−(x−2) 2 +1，
当y=0时，−(x−2) 2 +1=0，解得x=1或x=3，
将抛物线在x≥1的那部分函数图象沿直线x=1翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部
分合记为图象F，如图，
由轴对称可知，图象最⾼点的函数值为1，此时x=0或2，
∴直线y=1与图象F有两个交点，直线y=0与图象F有三个交点；
∵函数y=n与图象F⾄少有三个交点，
∴0≤n<1；
(2) ∵点P的坐标为(2m,m2−m−2)，将点P向左平移2个单位⻓度得到点Q，连结PQ，以PQ
为边向上⽅作矩形PQMN，使PN =1，m>0
∴N(2m,m2−m−1)，M(2m−2,m2−m−1)，Q(2m−2,m2−m−2)，
∵y=−x2+2mx−m−1=−(x−m) 2 +m2−m−1，
∴则图象G的顶点坐标T(m,m2−m−1)在直线MN上，
当T在线段MN上时，2m−2m
当T在点M左侧，且点Q在图象G下⽅时，
{−(2m−2−m) 2 +m2−m−1>m2−m−2
，即2
