2025年广东省广州市荔湾区中考一模数学试卷-解析版_初中近3年全区全科一模真题_2025年广州初三一模各区全科真题卷（73份）_数学2025年广州中考一模

2025 年广东省广州市荔湾区中考一模数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．）
1．（3分）下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1
( )
A． B．
C． D．
2．（3分）正六边形的内角和为 ( )
A． 1 8 0  B． 3 6 0  C．720 D． 1 4 4 0 
3．（3分）截至2025年1月31日（上线21天）， D e e p S e e k 日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过
豆包的日活跃用户数，稳居我国 A I 应用活跃度榜首．将2215万用科学记数法表示应为 ( )
A． 2 .2 1 5  1 0 4 B． 2 .2 1 5  1 0 5 C．2.215106 D． 2 .2 1 5  1 0 7
4．（3分）如图，直线 a / / b ，点 B 在直线 a 上，且 A B ⊥ B C ．若  1 = 4 0  ，那么  2 等于 ( )
A． 4 5  B． 5 0  C．55 D． 6 0 
5．（3 分）在数轴上，点A，B在原点 O 的两侧，分别表示数 a 和 3，将点A向左平移 1 个单位长度，得
到点C．若CO=BO，则 a 的值为( )
A． − 4 B． − 3 C． − 2 D．1
6．（3分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按
时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是( )
1000 1000 1000 1000
A． − =2 B． − =2
x x+30 x+30 x1000 1000
C． − =2 D．
x x−30
2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
1
x
0
−
0 0
3 0
−
1 0 0
x
0
= 2
7．（3 分）如图， A B 是 O 的直径， A C 是 O 的切线， O C 交 O 于点 D ，连接 B D ，若  B = 3 2  ，则
 C 等于( )
A． 6 4  B． 3 6  C．32 D． 2 6 
8．（3分）如果 m + n = 1
2m+n 1
，那么代数式( + )(n2 −m2)的值为( )
m2 −mn m
A． − 3 B． − 1 C．1 D．3
9．（3分）在平面直角坐标系 x O y 中，抛物线 y = m ( x − 3 ) 2 + k 与 x 轴交于 ( a , 0 ) ， ( b , 0 ) 两点，其中 a  b ．将
此抛物线向上平移，与x轴交于 ( c , 0 ) ， ( d , 0 ) 两点，其中 c  d ，下面结论正确的是 ( )
A．当 m  0 时，a+b=c+d， b − a  d − c
B．当m0时， a + b  c + d ， b − a = d − c
C．当m0时， a + b = c + d ， b − a  d − c
D．当m0时，a+bc+d， b − a  d − c
10．（3分）如图，等边△ A B C 的边长为3，点 D 在边 A C 上， A D =
1
2
，线段 P Q 在边BA上运动， P Q =
1
2
，
有下列结论：①CP与 Q D 可能相等；②△ A Q D 与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为
3 1
1 6
3
；
④四边形 P C D Q 周长的最小值为 3 +
3
2
9
．其中，正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）当x= 时， 2x−6的值最小．12．（3分）分解因式：
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3
m x 2 − 9 m = ．
13．（3分）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A C = 3 ， B C = 4 ，把它沿斜边 A B 所在直线旋转一周，所得几何体
的侧面积是 ．（结果保留 ) 
14．（3分）在平面直角坐标系 x O y 中，点 A ( a ， b ) ( a  0 ， b  0 ) 在双曲线 y =
k
1x 上，点A关于x轴的对称
k
点B在双曲线y= 2 ，则
x
k
1
+ k
2
的值为 ．
15．（3 分）如图，在矩形 A B C D 中， A B = 1 2 ， A D = 8 ， E 是 A B 边的中点，F是射线 B C 上的动点，将
△ E B F 沿 E F 所在直线折叠得到△ E B F ，连接 B D ，则 B D 的最小值是 ．
16．（3 分）生活中常用的十进制是用0~9 这十个数字来表示数，满十进一，例： 1 2 = 1  1 0 + 2 ，
2 1 2 = 2  1 0 2 + 1  1 0 + 2 ．计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0 ~ 9 和字母 A ~ F 共
16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
0 1 2
十进制
 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
0 1 2  8 9
十六进制
A B C D E F 10 11 
将十六进制数 1 A 6 转换为十进制数为 ，十六进制下 A  B = ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
17．（4分）计算：|1− 3|−(4−)0 +2sin60+( )−1．
318．（4分）解不等式组：
4 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
 4
x
( x
+
6
−
1
1
1
)
−

1
x

+
x
2
．
19．（6分）关于 x 的方程 x 2 − 2 x + 2 m − 1 = 0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根．
20．（6分）如图，在菱形 A B C D 中，对角线 A C 与 B D 相交于点 O ，点 E ， F 分别在AB， A D 上， B E = D F ，
连接 E F ，并延长 E F 交 C D 的延长线于点 G ．
（1）求证： A C ⊥ E F ；
1
（2）若BD=4，tanG= ，求菱形
2
A B C D 的面积．
21．（8分）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，5，8．现
规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再
任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．
（1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数；
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于5且小于8的概率．
22．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．若点O是△ABC的外心，圆O
为△ABC的外接圆，ABC的平分线交圆O于点D，连接AD，CD．（1）尺规作图：作出圆O及角平分线
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 5
B D （保留作图痕迹，不写作法）．请证明： A D = C D ；
（2）过点 D 作 D E ⊥ B A ，垂足为 E ，作 D F ⊥ B C ，垂足为F ，延长 D F 交圆 O 于点 M ，连接CM ．若
A D = C M ，求直线 D E 与圆O的公共点个数．
23．（10分）如图，已知 A ( 9 , 0 ) ， B ( 0 , 3 ) 是平面直角坐标系中两点，连接 A B ，点 P 在线段AB上，AB=3BP．
（1）反比例函数 y =
k
x
的图象交 A B 于P， D 两点，求k的值及 D 点坐标；
（2）在（1）的条件下，点N为x轴正半轴上一动点，连接 D N ，将线段DN 绕点N逆时针旋转 9 0  ，点
D 的对应点 M 恰好落在此反比例函数图象上，求点 M 的坐标．
24．（12分）在矩形 A B C D 中， A B = 3 ， A D = 4 ，点 E 是射线 A B 上异于 A ， B 两点的一个动点，连接 C E ，
过点 B 作 B F ⊥ C E 于点 G ，交射线DA于点 F ．
（1）如图，点 E 在线段 A B 上，
①求证：△ A B F ∽ △BCE；
②连接DG，设四边形CDGB的面积为S，在点E运动的过程中，均有 k S 成立，求 k 的最小值．
（2）在点E运动的过程中，是否存在使D，F，G，C四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出
A E 相应的长；若不存在，请说明理由．25．（12分）抛物线
6 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
y = a x 2 − 2 a x + c 与 x 轴分别交于点 A ， B （点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点 C ，连
接 B C ，点 (
1
2
, −
3
4
a − 3 ) 在抛物线上．
（1）求c的值；
（2）已知点 D 与C关于原点 O 对称，作射线 B D 交抛物线于点 E ，若 B D = D E ，求抛物线表达式；
（3）若 a  0 ，过点 C 作直线 l ⊥ y 轴，线段MN在 l 上运动， M N = 1 （点 M 在点N左侧，点 M 与点 C 不
重合），过点M作 M P ⊥ x 轴交抛物线于点 P ，过点 N 作 N Q ⊥ x 轴交抛物线于点 Q ，当 S
P M N
+ 4 S
Q M N
= 2 a
时，求点 M 的坐标．2025 年广东省广州市荔湾区中考一模数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D． B C A D A A B
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．）
1．（3分）下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 7
B
【考点】轴对称图形
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解： A 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D 、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选： B ．
2．（3分）正六边形的内角和为 ( )
A．180 B．360 C．720 D．1440
【答案】C【考点】多边形内角与外角
【分析】根据多边形的内角和公式：
8 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
( n − 2 )  1 8 0  计算即可．
【解答】解： ( 6 − 2 )  1 8 0  = 7 2 0  ，
故选：C．
3．（3分）截至2025年1月31日（上线21天）， D e e p S e e k 日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过
豆包的日活跃用户数，稳居我国 A I 应用活跃度榜首．将2215万用科学记数法表示应为 ( )
A．2.215104 B．2.215105 C．2.215106 D．2.215107
【答案】 D ．
【考点】科学记数法—表示较大的数
【分析】科学记数法的表示形式为 a  1 0 n 的形式，其中 1 | a | 1 0 ，n为整数．确定 n 的值时，要看把原数
变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 10时， n 是正数；
当原数的绝对值  1 时， n 是负数．
【解答】解：2215万 = 2 2 1 5 0 0 0 0 = 2 .2 1 5  1 0 7 ．
故选： D ．
4．（3分）如图，直线 a / / b ，点 B 在直线 a 上，且 A B ⊥ B C ．若  1 = 4 0  ，那么  2 等于 ( )
A． 4 5  B． 5 0  C．55 D． 6 0 
【答案】 B
【考点】平行线的性质；垂线
【分析】由平行线的性质推出  B A C =  1 = 4 0  ，由直角三角形的性质求出  A C B = 5 0  ，由对顶角的性质
得到  2 =  A C B = 5 0  ．
【解答】解： a//b，
BAC=1=40，
AB⊥BC，
ABC=90，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 9
  A C B = 9 0  −  B A C = 5 0  ，
  2 =  A C B = 5 0  ．
故选： B ．
5．（3 分）在数轴上，点A，B在原点 O 的两侧，分别表示数 a 和 3，将点A向左平移 1 个单位长度，得
到点C．若CO=BO，则a的值为 ( )
A． − 4 B． − 3 C． − 2 D．1
【答案】 C
【考点】数轴
【分析】先用含a的式子表示出点C，根据CO=BO列出方程，求解即可．
【解答】解：由题意知： A 点表示的数为 a ， B 点表示的数为3，C点表示的数为 a − 1 ，
因为CO=BO，
所以 | a − 1 |= 3 ，
解得 a = − 2 或4，
a  0 ，
 a = − 2 ．
故选： C ．
6．（3分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按
时完成任务．设原计划每天施工 x 米，所列方程正确的是( )
A．
1 0 0
x
0
−
1
x
0
+
0 0
3 0
= 2
1000 1000
B． − =2
x+30 x
1000 1000 1000 1000
C． − =2 D． − =2
x x−30 x−30 x
【答案】 A
【考点】由实际问题抽象出分式方程
【分析】设原计划每天施工 x 米，则实际每天施工(x+30)米，根据：原计划所用时间 − 实际所用时间 = 2 ，
列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+30)米，1000 1000
根据题意，可列方程： − =2，
x x+30
故选：
10 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
A ．
7．（3 分）如图， A B 是 O 的直径， A C 是 O 的切线， O C 交 O 于点 D ，连接 B D ，若  B = 3 2  ，则
C等于( )
A． 6 4  B． 3 6  C．32 D． 2 6 
【答案】D
【考点】圆周角定理；切线的性质
【分析】利用圆的切线的性质定理得到  B A C = 9 0  ，利用圆周角定理得到AOC=64，再利用直角三角
形的两个锐角互余的性质解答即可．
【解答】解： A B 是 O 的直径， A C 是 O 的切线，
 O A ⊥ A C ，
  B A C = 9 0  ，
AOC=2B=64，
C=90−AOC=26．
故选：D．
8．（3分）如果 m + n = 1 ，那么代数式 (
m
2 m2
−
+
m
n
n
+
1
m
)  ( n 2 − m 2 ) 的值为( )
A． − 3 B． − 1 C．1 D．3
【答案】 A
【考点】分式的化简求值
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m+n=1代入进行计算即可．
【解答】解： m+n=1，
2m+n 1
( + )(n2 −m2)
m2 −mn m初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 11
=
m
2 m
( m
+
−
n
n )
 ( n − m ) ( n + m ) +
1
m
 ( n − m ) ( n + m )
= −
2 m
m
+ n
+
n −
m
m
=
− 2 m − n
m
+ n − m
=
− 3
m
m
=−3．
故选： A ．
9．（3分）在平面直角坐标系 x O y 中，抛物线 y = m ( x − 3 ) 2 + k 与 x 轴交于 ( a , 0 ) ， ( b , 0 ) 两点，其中 a  b ．将
此抛物线向上平移，与x轴交于 ( c , 0 ) ， ( d , 0 ) 两点，其中 c  d ，下面结论正确的是 ( )
A．当 m  0 时，a+b=c+d， b − a  d − c
B．当m0时， a + b  c + d ， b − a = d − c
C．当m0时， a + b = c + d ， b − a  d − c
D．当 m  0 时，a+bc+d， b − a  d − c
【答案】 A
【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换
【分析】分 m  0 和 m  0 两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可．
【解答】解：当 m  0 时，如图所示：
抛物线的对称轴为直线 x = 3 ，
a+b=c+d =6，且b−ad−c；
当m0时，如图所示：抛物线的对称轴为直线
12 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
x = 3 ，
 a + b = c + d = 6 ，且 b − a  d − c ．
故选： A ．
10．（3分）如图，等边△ A B C 的边长为3，点 D 在边 A C 上， A D =
1
2
，线段 P Q 在边 B A 上运动， P Q =
1
2
，
有下列结论：① C P 与 Q D 可能相等；②△ A Q D 与△ B C P 可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为
3 1
1 6
3
；
④四边形 P C D Q 周长的最小值为 3 +
3
2
9
．其中，正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【考点】基本不等式；轴对称 − 最短路线问题；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角
形的判定与性质
【分析】①根据三角形三边之间的关系得 AQ+ADQD，进而得AP QD，同理得BP+PCBC，即
BP+PCAB，进而得PC AP，由此得CP与QD不可能相等．②假设△AQD与△BCP 相似，设AQ=x，
利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出 x 的值，再与 x 的取值范围进行比较，即可判断相似是否成
立；③过 P 作 P E ⊥ B C 于 E ，过D作 D F ⊥ A B 于F，过 C 点作CG⊥AB于 G 点，利用函数求四边形面积
3 3
的最大值．设 AQ=x，可表示出PE= (2.5−x)，DF = ，可用函数表示出S ，S ，再根据
2 4 PBC ADQ
S =S −S −S ，依据O x 2.5，即可得到四边形面积的最大值；④作D点关于直线AB
四边形PCDQ ABC PBC ADQ的对称点
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 13
D
1
，作 D
1
D
2
/ / A B ，且 D
1
D
2
=
1
2
，连接 C D
2
交 A B 于P点，将 P 点沿射线 P A 平移
1
2
得 Q 点，连
接 D Q 、 D Q 、 A D
1
则可得四边形 D
1
D
2
P Q 是平行四边形．进而可得则四边形 P C D Q 的周长
= C D + P Q + Q D + P C = 3 + C D
2
，此时四边形PCDQ的周长最小，计算出  D
2
A C = 9 0  ，根据勾股定理即
可求出CD 的值，进而可得四边形PCDQ周长的最小值，即可得解．
2
【解答】解：①在△AQD中，AQ+ADQD，
A D = P Q =
1
2
，
 A Q + P Q  Q D ，
即 A P  Q D ，
当 Q 点与 A 点重合时 A P = Q D =
1
2
，
AP QD．
在△BCP中，BP+PCBC，
B C = A B ，
BP+PCAB，
 B P + P C  A P + B P ，
 P C  A P ，
当P点与B点重合时PC=AP=3，
PC AP．
综上，当Q点与A点重合时， P C  A P Q D ；
当P点与B点重合时，PC APQD；
当P、Q不与A、B重合时，PCAPQD；
 C P 与 Q D 不可能相等，故①错误．
②设AQ=x，
P Q =
1
2
，AB=3，
1
BP=3− −x=2.5−x，
20 x 2.5．
假设△
14 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
A Q D 与△ B C P 相似，
A=B，

A
B
D
P
=
A
B
Q
C
，
1
2 x
 = ，
2.5−x 3
整理得， 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 ，
解得：x =1，x =1.5，
1 2
0 x 2.5，
 x = 1 或1.5都符合题意，
△ A Q D 与△ B C P 可能相似，故②正确．
③如图，过 P 作PE⊥BC于 E ，过 D 作 D F ⊥ A B 于 F ，过 C 点作 C G ⊥ A B 于 G 点．
设 A Q = x ，则 B P = 3 −
1
2
− x = 2 .5 − x ，
0 x 2.5，
 B = 6 0  ，
3
PE=PBsin60= (2.5−x)，
2
1 1 3 3 3
S = BCPE= 3 (2.5−x)= (2.5−x)，
PBC 2 2 2 4
A=60， A D =
1
2
，
1 3 3
DF =ADsin60=  = ，
2 2 4
1 1 3 3
S = AQDF = x = x，
ADQ 2 2 4 8△
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 15
A B C 中， A B = B C = 3 ，  B = 6 0  ，
 C G = C B  s in 6 0  = 3 
2
3
=
3
2
3
， S
A B C
=
1
2
 A B  C G =
1
2
 3 
3
2
3
=
9
4
3
，
 S
四 边 形 P C D Q
= S
A B C
− S
P B C
− S
A D Q
=
9
4
3
−
3
4
3
( 2 .5 − x ) −
8
3
x
5 3 3 3
= x+ ，
8 8
S随x的增大而增大，
当x取最大值2.5时，S的值最大，
 S
最 大
=
5
8
3
 2 .5 +
3
8
3
=
3 1
1 6
3
，故③正确．
④如图，作 D 点关于直线 A B 的对称点 D
1
，作 D
1
D
2
/ / A B
1
，且DD = ，连接
1 2 2
C D
2
交 A B 于 P 点，将 P 点
沿射线 P A 平移
1
2
得 Q 点，连接 D Q 、 D Q1 ， A D
1
，
则 A D
1
= A D =
1
2
，QD =QD，且四边形
1
D
1
D
2
P Q 是平行四边形，
PD =QD =QD，
2 1
则四边形 P C D Q 的周长=CD+PQ+QD+PC=2.5+0.5+PD +PC=3+CD ，
2 2
此时四边形PCDQ的周长最小．
连接 A D
2
，
 D
1
A B =  D A B = 6 0  ，且DD //AB，
1 2
  A D
1
D
2
= 1 8 0  −  D
1
A B = 1 2 0  ，
1
DD =AD = ，
1 2 1 2
1
DAD =DD A= (180−120)=30，且D AC=90，
1 2 1 2 2 2
16 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
A D
2
= 2  A D
1
 c o s 3 0  = 2 
1
2

2
3
=
2
3
，
在 R t △ D
2
A C 中， C D
2
= A D 22 + A C 2 = (
2
3
) 2 + 3 2 =
3
2
9
，
四边形 P C D Q
39
的周长的最小值为3+ ，故④错误．
2
故选： B ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（3分）当x= 3 时， 2x−6的值最小．
【考点】71：二次根式的定义
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：当 x = 3 时，
此时 2 x − 6 = 0 ，
2 x − 6 的最小值为0，
故答案为：3
12．（3分）分解因式： m x 2 − 9 m = m ( x + 3 ) ( x − 3 ) ．
【答案】 m ( x + 3 ) ( x − 3 ) ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【分析】直接提取公因式 m ，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式 = m ( x 2 − 9 )
= m ( x + 3 ) ( x − 3 ) ．
故答案为：m(x+3)(x−3)．
13．（3分）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A C = 3 ， B C = 4 ，把它沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体
84
的侧面积是  ．（结果保留
5
) 【考点】
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 17
I 2 ：点、线、面、体；MP：圆锥的计算
【分析】作CD⊥AB于 D ，如图，利用勾股定理计算出 AB=5，再根据面积法计算出 C D =
1 2
5
，由于把
RtABC沿斜边 A B 所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆锥，它们的底面为以D点为圆心，DC为半径
的圆，所以利用扇形的面积公式计算两个圆锥的侧面积即可．
【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，
 C = 9 0  ， A C = 3 ，BC=4，
 A B = 3 2 + 4 2 = 5 ，
1
2
 C D  A B =
1
2
 A C  B C ，
34 12
CD= = ，
5 5
把RtABC沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆锥，它们的底面为以D点为圆心，DC为半
径的圆，
1 12 1 12 84
这个几何体的侧面积= 2 3+ 2 4= ．
2 5 2 5 5
故答案为
8 4
5
．
k
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)(a0，b0)在双曲线y= 1 上，点A关于x轴的对称
x
k
点B在双曲线y= 2 ，则k +k 的值为 0 ．
x 1 2【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于
18 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
x 轴、 y 轴对称的点的坐标
【分析】由点 A ( a ， b ) ( a  0 ， b  0 ) 在双曲线 y =
k
1x 上，可得 k
1
= a b ，由点 A 与点 B 关于 x 轴的对称，可
得到点 B 的坐标，进而表示出 k
2
，然后得出答案．
【解答】解： 点A(a， b ) ( a  0 ， b  0 ) 在双曲线 y =
k
1x 上，
 k
1
= a b ；
又 点A与点B关于x轴的对称，
 B ( a , − b )
点 B 在双曲线 y =
k
2x 上，
k =−ab；
2
k +k =ab+(−ab)=0；
1 2
故答案为：0．
15．（3 分）如图，在矩形 A B C D 中，AB=12， A D = 8 ，E是AB边的中点，F是射线 B C 上的动点，将
△ E B F 沿 E F 所在直线折叠得到△ E B F ，连接 B D ，则 B D 的最小值是 4 ．
【答案】4．
【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质
【分析】连接DE，由四边形ABCD是矩形得A=90，而AB=12， A D = 8 ，所以 A E = B E =
1
2
A B = 6 ，
求得 D E = A E 2 + A D 2 = 1 0 ，由折叠得BE=BE=6，因为 B D + B E D E ，所以BD+6 10，求得 B D 的
最小值是4，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接DE，
四边形ABCD是矩形，AB=12，AD=8，E是AB边的中点，1
AE=BE= AB=6，
2
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 19
 A = 9 0  ，
 D E = A E 2 + A D 2 = 6 2 + 8 2 = 1 0 ，
将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EBF，
 B E = B E = 6 ，
B D + B E D E ，
BD+6 10，
 B D 4 ，
 B D 的最小值是4，
故答案为：4．
16．（3 分）生活中常用的十进制是用0~9 这十个数字来表示数，满十进一，例： 1 2 = 1  1 0 + 2 ，
2 1 2 = 2  1 0 2 + 1  1 0 + 2 ．计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0 ~ 9 和字母A~F共
16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表：
0 1 2
十进制
 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
0 1 2
十六进制
 8 9 A B C D E F 10 11 
将十六进制数1A6转换为十进制数为 422 ，十六进制下 A  B = ．
【答案】422； 6 E ．
【考点】有理数的混合运算
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：1162 +1016+6
=256+160+6
=422，即将十六进制数
20 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
1 A 6 转换为十进制数为422，
A  B 在十进制下的数为 1 0  1 1 = 1 1 0 ，
11016=614，
十六进制下 A  B = 6 E ，
故答案为：422；6E．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算： |1 3 | ( 4 ) 0 2 s in 6 0 (
1
3
) 1  − − − +  + − ．
【答案】2 3+1．
【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；实数的运算；零指数幂
【分析】根据特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三
角函数值的计算，再进行加减运算即可．
【解答】解：原式 = 3 − 1 − 1 + 2 
2
3
+ 3 = 3 − 1 − 1 + 3 + 3 = 2 3 + 1 ．
4(x−1)x+2

18．（4分）解不等式组：x+11 ．
−1x

 6
【答案】 x  1 ．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】解出每个不等式，再求公共解集即可．
4(x−1)x+2①

【解答】解：x+11 ，

−1x②
 6
解不等式①，得x 2，
解不等式②，得x1，
则不等式组的解集为x1．
19．（6分）关于x的方程 x 2 − 2 x + 2 m − 1 = 0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根．
【考点】根的判别式
【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解： 关于
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 21
x 的方程x2 −2x+2m−1=0有实数根，
 b 2 − 4 a c = 4 − 4 ( 2 m − 1 ) 0 ，
解得： m 1 ，
m 为正整数，
m=1，
原方程可化为 x 2 − 2 x + 1 = 0 ，
则 ( x − 1 ) 2 = 0 ，
解得： x
1
= x
2
= 1 ．
20．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 B D 相交于点O，点 E ， F 分别在AB， A D 上， B E = D F ，
连接 E F ，并延长 E F 交 C D 的延长线于点 G ．
（1）求证： A C ⊥ E F ；
1
（2）若BD=4，tanG= ，求菱形
2
A B C D 的面积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形
【分析】（1）由菱形的性质得出 A B = A D ， A C ⊥ B D ， O B = O D ， O A = O C ，再证明 A E = A F ，然后由等
腰三角形的性质即可得出结论；
（2）证明 E F / / B D ，再由平行线的性质得  G =  C D O ，然后由锐角三角函数定义求出OC=1，则 A C = 2 ，
即可解决问题．
【解答】（1）证明： 四边形 A B C D 是菱形，
AB=AD，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AC平分BAD，
BE=DF，22 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
 A B − B E = A D − D F ，
即 A E = A F ，
AC平分  B A D ，
 A C ⊥ E F ；
（2）解：由（1）可知，AC⊥BD，AC⊥EF，
EF//BD，
G=CDO，
 ta n G = ta n  C D O =
O
O
C
D
=
1
2
，
1
OC= OD，
2
B D = 4 ，
1
OD= BD=2，
2
 O C = 1 ，
 A C = 2 O C = 2 ，
 S
菱 形 A B C D
=
1
2
A C  B D =
1
2
 2  4 = 4 ，
即菱形ABCD的面积为4．
21．（8分）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，5，8．现
规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再
任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．
（1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数；
（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于5且小于8的概率．
【答案】（1）见解答．
（2）
1
2
．
【考点】概率公式；列表法与树状图法
【分析】（1）根据题意列表即可．（2）有表壳可得出所有等可能的结果数以及其算术平方根大于 5 且小于 8 的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
【解答】解：（1）列表如下：
1 4 5 8
1 11 14 15 18
4 41 44 45 48
5 51 54 55 58
8 81 84 85 88
共有16种等可能的结果．
（2）由表格可知，其算术平方根大于5且小于8的结果有：41，44，45，48，51，54，55，58，共8种，
其算术平方根大于5且小于8的概率为
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 23
1
8
6
=
1
2
．
22．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点 A ， B ， C ，如图所示．若点O是△ A B C 的外心，圆O
为△ A B C 的外接圆，  A B C 的平分线交圆O于点 D ，连接 A D ，CD．
（1）尺规作图：作出圆O及角平分线 B D （保留作图痕迹，不写作法）．请证明： A D = C D ；
（2）过点 D 作DE⊥BA，垂足为 E ，作 D F ⊥ B C ，垂足为F ，延长 D F 交圆 O 于点 M ，连接CM ．若
A D = C M ，求直线 D E 与圆O的公共点个数．
【答案】（1）见解答．
（2）直线DE与圆O有1个公共点．
【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；角平分线的定义；作图—复杂作图；直线与圆的位置关系
【分析】（1）作线段BC，AB的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，再作ABC
的平分线BD，交圆O于点D，则圆O和BD即为所求；由角平分线的定义可得ABD=CBD，由圆周角
定理得ABD=ACD，CBD=CAD，可得ACD=CAD，则 A D = C D ．
（2）连接 OD ，由题意得 CD=CM ， DCF+CDF=90 ，则 CDM =CMD ，进而可得
CBD+DCF=90，即BDC=90，可知BC为圆O的直径．根据题意以及角平分线的定义可得ABD=ODB，则OD//AB，进而可得
24 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
 O D E = 9 0  ，则可得 D E 为圆 O 的切线，从而可知直线 D E 与圆
O 有1个公共点．
【解答】（1）解：如图，作线段 B C ， A B 的垂直平分线，相交于点 O ，以点 O 为圆心， O B 的长为半径画
圆，再作  A B C 的平分线 B D ，交圆 O 于点 D ，
则圆O和 B D 即为所求．
证明： B D 为  A B C 的平分线，
ABD=CBD．
 A B D =  A C D ，  C B D =  C A D ，
ACD=CAD，
AD=CD．
（2）解：连接OD，
AD=CD， A D = C M ，
CD=CM ，
CDM =CMD，
DF⊥BC，
DFC=90，
DCF+CDF=90，
CMD+DCF=90，
CMD=CBD，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 25
  C B D +  D C F = 9 0  ，
BDC=90，
BC为圆 O 的直径．
 O B = O D ，
OBD=ODB．
B D 为ABC的平分线，
ABD=OBD，
ABD=ODB，
OD//AB，
DEB+ODE=180．
DE⊥BA，
  D E B = 9 0  ，
ODE=90．
OD为圆 O 的半径，
 D E 为圆 O 的切线，
直线DE与圆O有1个公共点．
23．（10分）如图，已知 A ( 9 , 0 ) ， B ( 0 , 3 ) 是平面直角坐标系中两点，连接 A B ，点 P 在线段AB上，AB=3BP．
（1）反比例函数 y =
k
x
的图象交 A B 于P， D 两点，求k的值及 D 点坐标；
（2）在（1）的条件下，点 N 为 x 轴正半轴上一动点，连接 D N ，将线段DN 绕点 N 逆时针旋转 9 0  ，点
D的对应点 M 恰好落在此反比例函数图象上，求点 M 的坐标．
【答案】（1）k=6，D(6,1)；（2）
26 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
M ( 2 , 3 ) 或 ( 3 , 2 ) ．
【考点】坐标与图形变化 − 旋转；反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】（1）作PE⊥x轴于 E ，则PE//OB，证得△ P A E ∽ △BAO，即可求得 P E =
2
3
O B = 2 ， A E =
2
3
O A = 6 ，
即可求得 P ( 3 , 2 ) ，利用待定系数法即可求得 k = 6 ，求得直线 A B 的解析式，与反比例函数解析式联立，解
方程组即可求得 D 的坐标；
6
（2）设设M(a, )，过D作
a
D E ⊥ x 轴于E，过M作MF⊥x轴于F，得到  M F N =  D E N = 9 0  ，根据旋
转的性质得到  D N M = 9 0  ，根据全等三角形的性质得到 F N = D E = 1 ， N E = M F =
6
a
，求得
O F + F N + N E = 6 ，得到 M ( 2 , 3 ) 或(3,2)．
【解答】解：（1）作 P E ⊥ x 轴于 E ，则 P E / / O B ，
△ P A E ∽ △ B A O ，

P
O
E
B
=
A
O
E
A
=
P
A
A
B
，
A(9,0)， B ( 0 , 3 ) ， A B = 3 B P ，
 O A = 9 ， O B = 3
PA 2
， =
AB 3
 P E =
2
3
O B = 2 ， A E =
2
3
O A = 6 ，
OE=9−6=3，
P(3,2)，
反比例函数 y =
k
x
的图象交 A B 于 P ， D 两点，
 k = 3  2 = 6 ，
反比例函数为 y =
6
x
，
A(9,0)， B ( 0 , 3 ) ，
直线AB为 y = −
1
3
x + 3 ，解
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 27

y
y
=
=
−
6
x
1
3
x + 3
，得
 x
y
=
=
3
2
或
 x
y
=
=
6
1
，
D(6,1)；
6
（2）设M(a, )，
a
过 D 作 D E ⊥ x 轴于E，过M作 M F ⊥ x 轴于 F ，
MFN=DEN=90，
将线段 D N 绕点 N 逆时针旋转 9 0  ，
  D N M = 9 0  ，
  M N F +  D N E =  N M F +  M N F = 9 0  ，
  D N E =  N M F ，
B M = D M ，
△ M N F  △ N D E ( A A S ) ，
FN =DE=1， N E = M F =
6
a
，
OF+FN+NE=6，
6
a+1+ =6，
a
a=2或a=3，
 M ( 2 , 3 ) 或(3,2)．24．（12分）在矩形
28 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
A B C D 中， A B = 3 ，AD=4，点E是射线AB上异于A，B两点的一个动点，连接 C E ，
过点B作 B F ⊥ C E 于点 G ，交射线DA于点F．
（1）如图，点E在线段AB上，
①求证：△ABF∽△BCE；
②连接 D G ，设四边形CDGB的面积为 S ，在点E运动的过程中，均有 k S 成立，求 k 的最小值．
（2）在点 E 运动的过程中，是否存在使 D ， F ，G， C 四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出
A E 相应的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）①8；
②
4
3
7
+ 3 ．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）根据同角的余角相等得到BCE=EBG，即可得出△ABF∽△BCE；
（2）①取 B C 的中点，连接 O G ，则 O G = O B = O C = 2 ，连接BD，平移DB与圆 O 相切于点 H ，当点 G
运动到点H时，S 最大，此时S 最大，连接OH 交BD于点K，则可得出答案；
DGB 四边形CDGB
②当点E运动到AB的延长线上时，则DC=CG=3，DF =FG，利用相似三角形的判定和性质即可求得初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 29
A E 的长．
【解答】（1）证明：在矩形 A B C D 中，  A =  E B C = 9 0  ，
BCE+CEB=90，
B F ⊥ C E ，
BGE=90，
EBG+GEB=90，
BCE=EBG，
△ A B F ∽ △BCE；
（2）解：①取BC的中点，连接OG，则OG=OB=OC=2，连接 B D ，
点G在以 O 为圆心，半径为2的圆弧上运动，
A B = 3 ， A D = 4 ，
 B D = 3 2 + 4 2 = 5 ，
平移 D B 与圆 O 相切于点 H ，
S
四 边 形 C D G B
= S
C D B
+ S
D G B
，
当点G运动到点 H 时，S 最大，此时S 最大，
DGB 四边形CDGB
连接OH 交 B D 于点 K ，
 O K = O B  s in  O B K
3 6
=2 = ，
5 5
 K H = O H − O K = 2 −
6
5
=
4
5
，
1 1 4
S =S +S = 34+ 5 =8，
四边形CDGB CDB DGB 2 2 5点
30 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
E 运动的过程中，均有 k S 成立，
 k S = 8 ，
即 k 的最小值是8．
②当点 E 运动到 A B 的延长线上时，则 D C = C G = 3 ， D F = F G 时，使 D 、 F 、 G 、 C 四点构成的四边形
为轴对称图形，如图3，
矩形 A B C D ， B F ⊥ C E ，
  E B C =  C G B = 9 0  ，  G C B =  G C B ，
△ C G B ∽ △ C B F ，

C
B
G
C
=
B
C
C
E
3 4
，即 = ，
4 CE
解得： C E =
1 6
3
，
 E G = E C − C G =
1 6
3
− 3 =
7
3
，
同理可证，△EGB∽△EBC，
7
EG BE 3 BE
 = ，即 = ，
BE CE BE 16
3
解得： B E =
4
3
7 ，
 A E = A B + B E =
4
3
7
+ 3 ；
当点E在线段AB上（不与B重合）时，不存在；
4 7
AE的长为 +3．
3
25．（12分）抛物线y=ax2 −2ax+c与x轴分别交于点A，B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接
初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 31
B C ，点 (
1
2
, −
3
4
a − 3 ) 在抛物线上．
（1）求c的值；
（2）已知点 D 与C关于原点 O 对称，作射线 B D 交抛物线于点 E ，若 B D = D E ，求抛物线表达式；
（3）若a0，过点C作直线 l ⊥ y 轴，线段MN在l上运动，MN =1（点 M 在点N左侧，点 M 与点C不
重合），过点M作 M P ⊥ x 轴交抛物线于点 P ，过点 N 作 N Q ⊥ x 轴交抛物线于点 Q ，当 S
P M N
+ 4 S
Q M N
= 2 a
时，求点 M 的坐标．
【答案】（1）c=−3；
（2） y =
3
8
x 2 −
3
4
x − 3 ；
（3）点 M (
8 2 
5
4 1
− 3 )
2
或(− ，
3
− 3 ) 或 (
4
3
， − 3 ) 或 ( − 2 , − 3 ) 或 (
2
5
， − 3 ) ．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点 (
1
2
, −
3
4
a − 3 )
3 1
的坐标代入抛物线表达式得：− a−3= a−a+c，即可求解；
4 4
（ 2 ） 若 B D = D E ， 则 x
B
+ x
E
= 0 且 y
E
= 6 ， 则 6 = a x 2 − 2 a x − 3
4a2 +36a
， 则 x =1− ， 令
E 2a
y = a x 2 − 2 a x − 3 = 0 ，则 x
B
= 1 +
4 a 2
2
+
a
1 2 a
，则 1 −
4 a 2
2
+
a
3 6 a
+ 1 +
4 a 2
2
+
a
1 2 a
= 0 ，即可求解；
（3）则 S
P M N
+ 4 S
Q M N
=
1
2
 M N  [ P M + 4 Q N ] = 2 a ，则 P M + 4 Q N = 4 a ，即 | a m 2 − 2 a m | + | a m 2 − a |= 2 a ，
即可求解．
1 3 3 1
【解答】解：（1）将点( ,− a−3)的坐标代入抛物线表达式得：− a−3= a−a+c，
2 4 4 4
则 c = − 3 ；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为： y = a x 2 − 2 a x − 3 ，
点D与 C 关于原点O对称，则点D(0,3)，
若 B D = D E ，则 x
B
+ x
E
= 0 且y =6，
E
4a2 +36a
则6=ax2 −2ax−3，则x =1− ，
E 2a
4a2 +12a
令y=ax2 −2ax−3=0，则x =1+ ，
B 2a则
32 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季
1 −
4 a 2
2
+
a
3 6 a
+ 1 +
4 a 2
2
+
a
1 2 a
= 0 ，
解得： a =
3
8
（不合题意的值已舍去），
3 3
则抛物线的表达式为：y= x2 − x−3；
8 4
（3）设点 P ( m , a m 2 − 2 a m − 3 ) ，则点 Q ( m + 1 ， a ( m + 1 ) 2 − 2 a ( m + 1 ) − 3 ) ，
则 P M = | a m 2 − 2 a m − 3 − ( − 3 ) |= | a m 2 − 2 a m | ，同理可得： Q N = | a m 2 − a | ，
1
则S +4S = MN[PM +4QN]=2a，
PMN QMN 2
则 P M + 4 Q N = 4 a ，即 | a m 2 − 2 a m | + | a m 2 − a |= 2 a ，
解得： m =
8 2 
5
4 1
或 −
2
3
4
或 或
3
− 2 或
2
5
，
故点 M (
8 2 
5
4 1
− 3 ) 或 ( −
2
3
，−3)或 (
4
3
， − 3 ) 或 ( − 2 , − 3 ) 或 (
2
5
， − 3 ) ．