2025年广东省广州市荔湾区中考一模数学试卷-解析版_初中近3年全区全科一模真题_2025年广州初三一模各区全科真题卷（73份）_数学2025年广州中考一模

2025 年广东省广州市荔湾区中考一模数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．） 1．（3分）下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 ( ) A． B． C． D． 2．（3分）正六边形的内角和为 ( ) A． 1 8 0  B． 3 6 0  C．720 D． 1 4 4 0  3．（3分）截至2025年1月31日（上线21天）， D e e p S e e k 日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过 豆包的日活跃用户数，稳居我国 A I 应用活跃度榜首．将2215万用科学记数法表示应为 ( ) A． 2 .2 1 5  1 0 4 B． 2 .2 1 5  1 0 5 C．2.215106 D． 2 .2 1 5  1 0 7 4．（3分）如图，直线 a / / b ，点 B 在直线 a 上，且 A B ⊥ B C ．若  1 = 4 0  ，那么  2 等于 ( ) A． 4 5  B． 5 0  C．55 D． 6 0  5．（3 分）在数轴上，点A，B在原点 O 的两侧，分别表示数 a 和 3，将点A向左平移 1 个单位长度，得 到点C．若CO=BO，则 a 的值为( ) A． − 4 B． − 3 C． − 2 D．1 6．（3分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按 时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是( ) 1000 1000 1000 1000 A． − =2 B． − =2 x x+30 x+30 x1000 1000 C． − =2 D． x x−30 2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 x 0 − 0 0 3 0 − 1 0 0 x 0 = 2 7．（3 分）如图， A B 是 O 的直径， A C 是 O 的切线， O C 交 O 于点 D ，连接 B D ，若  B = 3 2  ，则  C 等于( ) A． 6 4  B． 3 6  C．32 D． 2 6  8．（3分）如果 m + n = 1 2m+n 1 ，那么代数式( + )(n2 −m2)的值为( ) m2 −mn m A． − 3 B． − 1 C．1 D．3 9．（3分）在平面直角坐标系 x O y 中，抛物线 y = m ( x − 3 ) 2 + k 与 x 轴交于 ( a , 0 ) ， ( b , 0 ) 两点，其中 a  b ．将 此抛物线向上平移，与x轴交于 ( c , 0 ) ， ( d , 0 ) 两点，其中 c  d ，下面结论正确的是 ( ) A．当 m  0 时，a+b=c+d， b − a  d − c B．当m0时， a + b  c + d ， b − a = d − c C．当m0时， a + b = c + d ， b − a  d − c D．当m0时，a+bc+d， b − a  d − c 10．（3分）如图，等边△ A B C 的边长为3，点 D 在边 A C 上， A D = 1 2 ，线段 P Q 在边BA上运动， P Q = 1 2 ， 有下列结论：①CP与 Q D 可能相等；②△ A Q D 与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为 3 1 1 6 3 ； ④四边形 P C D Q 周长的最小值为 3 + 3 2 9 ．其中，正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）当x= 时， 2x−6的值最小．12．（3分）分解因式： 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 3 m x 2 − 9 m = ． 13．（3分）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A C = 3 ， B C = 4 ，把它沿斜边 A B 所在直线旋转一周，所得几何体 的侧面积是 ．（结果保留 )  14．（3分）在平面直角坐标系 x O y 中，点 A ( a ， b ) ( a  0 ， b  0 ) 在双曲线 y = k 1x 上，点A关于x轴的对称 k 点B在双曲线y= 2 ，则 x k 1 + k 2 的值为 ． 15．（3 分）如图，在矩形 A B C D 中， A B = 1 2 ， A D = 8 ， E 是 A B 边的中点，F是射线 B C 上的动点，将 △ E B F 沿 E F 所在直线折叠得到△ E B F ，连接 B D ，则 B D 的最小值是 ． 16．（3 分）生活中常用的十进制是用0~9 这十个数字来表示数，满十进一，例： 1 2 = 1  1 0 + 2 ， 2 1 2 = 2  1 0 2 + 1  1 0 + 2 ．计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0 ~ 9 和字母 A ~ F 共 16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 0 1 2 十进制  8 9 10 11 12 13 14 15 16 17  0 1 2  8 9 十六进制 A B C D E F 10 11  将十六进制数 1 A 6 转换为十进制数为 ，十六进制下 A  B = ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 1 17．（4分）计算：|1− 3|−(4−)0 +2sin60+( )−1． 318．（4分）解不等式组： 4 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  4 x ( x + 6 − 1 1 1 ) −  1 x  + x 2 ． 19．（6分）关于 x 的方程 x 2 − 2 x + 2 m − 1 = 0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根． 20．（6分）如图，在菱形 A B C D 中，对角线 A C 与 B D 相交于点 O ，点 E ， F 分别在AB， A D 上， B E = D F ， 连接 E F ，并延长 E F 交 C D 的延长线于点 G ． （1）求证： A C ⊥ E F ； 1 （2）若BD=4，tanG= ，求菱形 2 A B C D 的面积． 21．（8分）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，5，8．现 规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再 任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． （1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于5且小于8的概率． 22．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．若点O是△ABC的外心，圆O 为△ABC的外接圆，ABC的平分线交圆O于点D，连接AD，CD．（1）尺规作图：作出圆O及角平分线 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 5 B D （保留作图痕迹，不写作法）．请证明： A D = C D ； （2）过点 D 作 D E ⊥ B A ，垂足为 E ，作 D F ⊥ B C ，垂足为F ，延长 D F 交圆 O 于点 M ，连接CM ．若 A D = C M ，求直线 D E 与圆O的公共点个数． 23．（10分）如图，已知 A ( 9 , 0 ) ， B ( 0 , 3 ) 是平面直角坐标系中两点，连接 A B ，点 P 在线段AB上，AB=3BP． （1）反比例函数 y = k x 的图象交 A B 于P， D 两点，求k的值及 D 点坐标； （2）在（1）的条件下，点N为x轴正半轴上一动点，连接 D N ，将线段DN 绕点N逆时针旋转 9 0  ，点 D 的对应点 M 恰好落在此反比例函数图象上，求点 M 的坐标． 24．（12分）在矩形 A B C D 中， A B = 3 ， A D = 4 ，点 E 是射线 A B 上异于 A ， B 两点的一个动点，连接 C E ， 过点 B 作 B F ⊥ C E 于点 G ，交射线DA于点 F ． （1）如图，点 E 在线段 A B 上， ①求证：△ A B F ∽ △BCE； ②连接DG，设四边形CDGB的面积为S，在点E运动的过程中，均有 k S 成立，求 k 的最小值． （2）在点E运动的过程中，是否存在使D，F，G，C四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出 A E 相应的长；若不存在，请说明理由．25．（12分）抛物线 6 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 y = a x 2 − 2 a x + c 与 x 轴分别交于点 A ， B （点 B 在点 A 的右侧），与 y 轴交于点 C ，连 接 B C ，点 ( 1 2 , − 3 4 a − 3 ) 在抛物线上． （1）求c的值； （2）已知点 D 与C关于原点 O 对称，作射线 B D 交抛物线于点 E ，若 B D = D E ，求抛物线表达式； （3）若 a  0 ，过点 C 作直线 l ⊥ y 轴，线段MN在 l 上运动， M N = 1 （点 M 在点N左侧，点 M 与点 C 不 重合），过点M作 M P ⊥ x 轴交抛物线于点 P ，过点 N 作 N Q ⊥ x 轴交抛物线于点 Q ，当 S P M N + 4 S Q M N = 2 a 时，求点 M 的坐标．2025 年广东省广州市荔湾区中考一模数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D． B C A D A A B 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．） 1．（3分）下列倡导节约的图案中，属于轴对称图形的是( ) A． B． C． D． 【答案】 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 7 B 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解： A 、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C 、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D 、不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选： B ． 2．（3分）正六边形的内角和为 ( ) A．180 B．360 C．720 D．1440 【答案】C【考点】多边形内角与外角 【分析】根据多边形的内角和公式： 8 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 ( n − 2 )  1 8 0  计算即可． 【解答】解： ( 6 − 2 )  1 8 0  = 7 2 0  ， 故选：C． 3．（3分）截至2025年1月31日（上线21天）， D e e p S e e k 日活跃用户数达到2215万，这一数字已超过 豆包的日活跃用户数，稳居我国 A I 应用活跃度榜首．将2215万用科学记数法表示应为 ( ) A．2.215104 B．2.215105 C．2.215106 D．2.215107 【答案】 D ． 【考点】科学记数法—表示较大的数 【分析】科学记数法的表示形式为 a  1 0 n 的形式，其中 1 | a | 1 0 ，n为整数．确定 n 的值时，要看把原数 变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 10时， n 是正数； 当原数的绝对值  1 时， n 是负数． 【解答】解：2215万 = 2 2 1 5 0 0 0 0 = 2 .2 1 5  1 0 7 ． 故选： D ． 4．（3分）如图，直线 a / / b ，点 B 在直线 a 上，且 A B ⊥ B C ．若  1 = 4 0  ，那么  2 等于 ( ) A． 4 5  B． 5 0  C．55 D． 6 0  【答案】 B 【考点】平行线的性质；垂线 【分析】由平行线的性质推出  B A C =  1 = 4 0  ，由直角三角形的性质求出  A C B = 5 0  ，由对顶角的性质 得到  2 =  A C B = 5 0  ． 【解答】解： a//b， BAC=1=40， AB⊥BC， ABC=90，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 9   A C B = 9 0  −  B A C = 5 0  ，   2 =  A C B = 5 0  ． 故选： B ． 5．（3 分）在数轴上，点A，B在原点 O 的两侧，分别表示数 a 和 3，将点A向左平移 1 个单位长度，得 到点C．若CO=BO，则a的值为 ( ) A． − 4 B． − 3 C． − 2 D．1 【答案】 C 【考点】数轴 【分析】先用含a的式子表示出点C，根据CO=BO列出方程，求解即可． 【解答】解：由题意知： A 点表示的数为 a ， B 点表示的数为3，C点表示的数为 a − 1 ， 因为CO=BO， 所以 | a − 1 |= 3 ， 解得 a = − 2 或4， a  0 ，  a = − 2 ． 故选： C ． 6．（3分）施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按 时完成任务．设原计划每天施工 x 米，所列方程正确的是( ) A． 1 0 0 x 0 − 1 x 0 + 0 0 3 0 = 2 1000 1000 B． − =2 x+30 x 1000 1000 1000 1000 C． − =2 D． − =2 x x−30 x−30 x 【答案】 A 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【分析】设原计划每天施工 x 米，则实际每天施工(x+30)米，根据：原计划所用时间 − 实际所用时间 = 2 ， 列出方程即可． 【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工(x+30)米，1000 1000 根据题意，可列方程： − =2， x x+30 故选： 10 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A ． 7．（3 分）如图， A B 是 O 的直径， A C 是 O 的切线， O C 交 O 于点 D ，连接 B D ，若  B = 3 2  ，则 C等于( ) A． 6 4  B． 3 6  C．32 D． 2 6  【答案】D 【考点】圆周角定理；切线的性质 【分析】利用圆的切线的性质定理得到  B A C = 9 0  ，利用圆周角定理得到AOC=64，再利用直角三角 形的两个锐角互余的性质解答即可． 【解答】解： A B 是 O 的直径， A C 是 O 的切线，  O A ⊥ A C ，   B A C = 9 0  ， AOC=2B=64， C=90−AOC=26． 故选：D． 8．（3分）如果 m + n = 1 ，那么代数式 ( m 2 m2 − + m n n + 1 m )  ( n 2 − m 2 ) 的值为( ) A． − 3 B． − 1 C．1 D．3 【答案】 A 【考点】分式的化简求值 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m+n=1代入进行计算即可． 【解答】解： m+n=1， 2m+n 1 ( + )(n2 −m2) m2 −mn m初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 11 = m 2 m ( m + − n n )  ( n − m ) ( n + m ) + 1 m  ( n − m ) ( n + m ) = − 2 m m + n + n − m m = − 2 m − n m + n − m = − 3 m m =−3． 故选： A ． 9．（3分）在平面直角坐标系 x O y 中，抛物线 y = m ( x − 3 ) 2 + k 与 x 轴交于 ( a , 0 ) ， ( b , 0 ) 两点，其中 a  b ．将 此抛物线向上平移，与x轴交于 ( c , 0 ) ， ( d , 0 ) 两点，其中 c  d ，下面结论正确的是 ( ) A．当 m  0 时，a+b=c+d， b − a  d − c B．当m0时， a + b  c + d ， b − a = d − c C．当m0时， a + b = c + d ， b − a  d − c D．当 m  0 时，a+bc+d， b − a  d − c 【答案】 A 【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换 【分析】分 m  0 和 m  0 两种情况，根据平移的性质画出函数图象，由函数的性质结合函数图象解答即可． 【解答】解：当 m  0 时，如图所示： 抛物线的对称轴为直线 x = 3 ， a+b=c+d =6，且b−ad−c； 当m0时，如图所示：抛物线的对称轴为直线 12 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 x = 3 ，  a + b = c + d = 6 ，且 b − a  d − c ． 故选： A ． 10．（3分）如图，等边△ A B C 的边长为3，点 D 在边 A C 上， A D = 1 2 ，线段 P Q 在边 B A 上运动， P Q = 1 2 ， 有下列结论：① C P 与 Q D 可能相等；②△ A Q D 与△ B C P 可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为 3 1 1 6 3 ； ④四边形 P C D Q 周长的最小值为 3 + 3 2 9 ．其中，正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【考点】基本不等式；轴对称 − 最短路线问题；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角 形的判定与性质 【分析】①根据三角形三边之间的关系得 AQ+ADQD，进而得AP QD，同理得BP+PCBC，即 BP+PCAB，进而得PC AP，由此得CP与QD不可能相等．②假设△AQD与△BCP 相似，设AQ=x， 利用相似三角形对应边成比例，列比例式得出 x 的值，再与 x 的取值范围进行比较，即可判断相似是否成 立；③过 P 作 P E ⊥ B C 于 E ，过D作 D F ⊥ A B 于F，过 C 点作CG⊥AB于 G 点，利用函数求四边形面积 3 3 的最大值．设 AQ=x，可表示出PE= (2.5−x)，DF = ，可用函数表示出S ，S ，再根据 2 4 PBC ADQ S =S −S −S ，依据O x 2.5，即可得到四边形面积的最大值；④作D点关于直线AB 四边形PCDQ ABC PBC ADQ的对称点 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 13 D 1 ，作 D 1 D 2 / / A B ，且 D 1 D 2 = 1 2 ，连接 C D 2 交 A B 于P点，将 P 点沿射线 P A 平移 1 2 得 Q 点，连 接 D Q 、 D Q 、 A D 1 则可得四边形 D 1 D 2 P Q 是平行四边形．进而可得则四边形 P C D Q 的周长 = C D + P Q + Q D + P C = 3 + C D 2 ，此时四边形PCDQ的周长最小，计算出  D 2 A C = 9 0  ，根据勾股定理即 可求出CD 的值，进而可得四边形PCDQ周长的最小值，即可得解． 2 【解答】解：①在△AQD中，AQ+ADQD， A D = P Q = 1 2 ，  A Q + P Q  Q D ， 即 A P  Q D ， 当 Q 点与 A 点重合时 A P = Q D = 1 2 ， AP QD． 在△BCP中，BP+PCBC， B C = A B ， BP+PCAB，  B P + P C  A P + B P ，  P C  A P ， 当P点与B点重合时PC=AP=3， PC AP． 综上，当Q点与A点重合时， P C  A P Q D ； 当P点与B点重合时，PC APQD； 当P、Q不与A、B重合时，PCAPQD；  C P 与 Q D 不可能相等，故①错误． ②设AQ=x， P Q = 1 2 ，AB=3， 1 BP=3− −x=2.5−x， 20 x 2.5． 假设△ 14 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A Q D 与△ B C P 相似， A=B，  A B D P = A B Q C ， 1 2 x  = ， 2.5−x 3 整理得， 2 x 2 − 5 x + 3 = 0 ， 解得：x =1，x =1.5， 1 2 0 x 2.5，  x = 1 或1.5都符合题意， △ A Q D 与△ B C P 可能相似，故②正确． ③如图，过 P 作PE⊥BC于 E ，过 D 作 D F ⊥ A B 于 F ，过 C 点作 C G ⊥ A B 于 G 点． 设 A Q = x ，则 B P = 3 − 1 2 − x = 2 .5 − x ， 0 x 2.5，  B = 6 0  ， 3 PE=PBsin60= (2.5−x)， 2 1 1 3 3 3 S = BCPE= 3 (2.5−x)= (2.5−x)， PBC 2 2 2 4 A=60， A D = 1 2 ， 1 3 3 DF =ADsin60=  = ， 2 2 4 1 1 3 3 S = AQDF = x = x， ADQ 2 2 4 8△ 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 15 A B C 中， A B = B C = 3 ，  B = 6 0  ，  C G = C B  s in 6 0  = 3  2 3 = 3 2 3 ， S A B C = 1 2  A B  C G = 1 2  3  3 2 3 = 9 4 3 ，  S 四 边 形 P C D Q = S A B C − S P B C − S A D Q = 9 4 3 − 3 4 3 ( 2 .5 − x ) − 8 3 x 5 3 3 3 = x+ ， 8 8 S随x的增大而增大， 当x取最大值2.5时，S的值最大，  S 最 大 = 5 8 3  2 .5 + 3 8 3 = 3 1 1 6 3 ，故③正确． ④如图，作 D 点关于直线 A B 的对称点 D 1 ，作 D 1 D 2 / / A B 1 ，且DD = ，连接 1 2 2 C D 2 交 A B 于 P 点，将 P 点 沿射线 P A 平移 1 2 得 Q 点，连接 D Q 、 D Q1 ， A D 1 ， 则 A D 1 = A D = 1 2 ，QD =QD，且四边形 1 D 1 D 2 P Q 是平行四边形， PD =QD =QD， 2 1 则四边形 P C D Q 的周长=CD+PQ+QD+PC=2.5+0.5+PD +PC=3+CD ， 2 2 此时四边形PCDQ的周长最小． 连接 A D 2 ，  D 1 A B =  D A B = 6 0  ，且DD //AB， 1 2   A D 1 D 2 = 1 8 0  −  D 1 A B = 1 2 0  ， 1 DD =AD = ， 1 2 1 2 1 DAD =DD A= (180−120)=30，且D AC=90， 1 2 1 2 2 2 16 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A D 2 = 2  A D 1  c o s 3 0  = 2  1 2  2 3 = 2 3 ， 在 R t △ D 2 A C 中， C D 2 = A D 22 + A C 2 = ( 2 3 ) 2 + 3 2 = 3 2 9 ， 四边形 P C D Q 39 的周长的最小值为3+ ，故④错误． 2 故选： B ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．（3分）当x= 3 时， 2x−6的值最小． 【考点】71：二次根式的定义 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：当 x = 3 时， 此时 2 x − 6 = 0 ， 2 x − 6 的最小值为0， 故答案为：3 12．（3分）分解因式： m x 2 − 9 m = m ( x + 3 ) ( x − 3 ) ． 【答案】 m ( x + 3 ) ( x − 3 ) ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用 【分析】直接提取公因式 m ，再利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式 = m ( x 2 − 9 ) = m ( x + 3 ) ( x − 3 ) ． 故答案为：m(x+3)(x−3)． 13．（3分）在 R t A B C 中，  C = 9 0  ， A C = 3 ， B C = 4 ，把它沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体 84 的侧面积是  ．（结果保留 5 ) 【考点】 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 17 I 2 ：点、线、面、体；MP：圆锥的计算 【分析】作CD⊥AB于 D ，如图，利用勾股定理计算出 AB=5，再根据面积法计算出 C D = 1 2 5 ，由于把 RtABC沿斜边 A B 所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆锥，它们的底面为以D点为圆心，DC为半径 的圆，所以利用扇形的面积公式计算两个圆锥的侧面积即可． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图，  C = 9 0  ， A C = 3 ，BC=4，  A B = 3 2 + 4 2 = 5 ， 1 2  C D  A B = 1 2  A C  B C ， 34 12 CD= = ， 5 5 把RtABC沿斜边AB所在直线旋转一周，所得几何体为两个圆锥，它们的底面为以D点为圆心，DC为半 径的圆， 1 12 1 12 84 这个几何体的侧面积= 2 3+ 2 4= ． 2 5 2 5 5 故答案为 8 4 5 ． k 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)(a0，b0)在双曲线y= 1 上，点A关于x轴的对称 x k 点B在双曲线y= 2 ，则k +k 的值为 0 ． x 1 2【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于 18 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 x 轴、 y 轴对称的点的坐标 【分析】由点 A ( a ， b ) ( a  0 ， b  0 ) 在双曲线 y = k 1x 上，可得 k 1 = a b ，由点 A 与点 B 关于 x 轴的对称，可 得到点 B 的坐标，进而表示出 k 2 ，然后得出答案． 【解答】解： 点A(a， b ) ( a  0 ， b  0 ) 在双曲线 y = k 1x 上，  k 1 = a b ； 又 点A与点B关于x轴的对称，  B ( a , − b ) 点 B 在双曲线 y = k 2x 上， k =−ab； 2 k +k =ab+(−ab)=0； 1 2 故答案为：0． 15．（3 分）如图，在矩形 A B C D 中，AB=12， A D = 8 ，E是AB边的中点，F是射线 B C 上的动点，将 △ E B F 沿 E F 所在直线折叠得到△ E B F ，连接 B D ，则 B D 的最小值是 4 ． 【答案】4． 【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质 【分析】连接DE，由四边形ABCD是矩形得A=90，而AB=12， A D = 8 ，所以 A E = B E = 1 2 A B = 6 ， 求得 D E = A E 2 + A D 2 = 1 0 ，由折叠得BE=BE=6，因为 B D + B E D E ，所以BD+6 10，求得 B D 的 最小值是4，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接DE， 四边形ABCD是矩形，AB=12，AD=8，E是AB边的中点，1 AE=BE= AB=6， 2 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 19  A = 9 0  ，  D E = A E 2 + A D 2 = 6 2 + 8 2 = 1 0 ， 将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EBF，  B E = B E = 6 ， B D + B E D E ， BD+6 10，  B D 4 ，  B D 的最小值是4， 故答案为：4． 16．（3 分）生活中常用的十进制是用0~9 这十个数字来表示数，满十进一，例： 1 2 = 1  1 0 + 2 ， 2 1 2 = 2  1 0 2 + 1  1 0 + 2 ．计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制，采用数字 0 ~ 9 和字母A~F共 16个计数符号，满十六进一，它与十进制对应的数如表： 0 1 2 十进制  8 9 10 11 12 13 14 15 16 17  0 1 2 十六进制  8 9 A B C D E F 10 11  将十六进制数1A6转换为十进制数为 422 ，十六进制下 A  B = ． 【答案】422； 6 E ． 【考点】有理数的混合运算 【分析】根据题意列式计算即可． 【解答】解：1162 +1016+6 =256+160+6 =422，即将十六进制数 20 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 A 6 转换为十进制数为422， A  B 在十进制下的数为 1 0  1 1 = 1 1 0 ， 11016=614， 十六进制下 A  B = 6 E ， 故答案为：422；6E． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（4分）计算： |1 3 | ( 4 ) 0 2 s in 6 0 ( 1 3 ) 1  − − − +  + − ． 【答案】2 3+1． 【考点】特殊角的三角函数值；负整数指数幂；实数的运算；零指数幂 【分析】根据特殊角的三角函数值的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三 角函数值的计算，再进行加减运算即可． 【解答】解：原式 = 3 − 1 − 1 + 2  2 3 + 3 = 3 − 1 − 1 + 3 + 3 = 2 3 + 1 ． 4(x−1)x+2  18．（4分）解不等式组：x+11 ． −1x   6 【答案】 x  1 ． 【考点】解一元一次不等式组 【分析】解出每个不等式，再求公共解集即可． 4(x−1)x+2①  【解答】解：x+11 ，  −1x②  6 解不等式①，得x 2， 解不等式②，得x1， 则不等式组的解集为x1． 19．（6分）关于x的方程 x 2 − 2 x + 2 m − 1 = 0 有实数根，且 m 为正整数，求 m 的值及此时方程的根． 【考点】根的判别式 【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解： 关于 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 21 x 的方程x2 −2x+2m−1=0有实数根，  b 2 − 4 a c = 4 − 4 ( 2 m − 1 ) 0 ， 解得： m 1 ， m 为正整数， m=1， 原方程可化为 x 2 − 2 x + 1 = 0 ， 则 ( x − 1 ) 2 = 0 ， 解得： x 1 = x 2 = 1 ． 20．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与 B D 相交于点O，点 E ， F 分别在AB， A D 上， B E = D F ， 连接 E F ，并延长 E F 交 C D 的延长线于点 G ． （1）求证： A C ⊥ E F ； 1 （2）若BD=4，tanG= ，求菱形 2 A B C D 的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）4． 【考点】等腰三角形的性质；平行线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形 【分析】（1）由菱形的性质得出 A B = A D ， A C ⊥ B D ， O B = O D ， O A = O C ，再证明 A E = A F ，然后由等 腰三角形的性质即可得出结论； （2）证明 E F / / B D ，再由平行线的性质得  G =  C D O ，然后由锐角三角函数定义求出OC=1，则 A C = 2 ， 即可解决问题． 【解答】（1）证明： 四边形 A B C D 是菱形， AB=AD，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AC平分BAD， BE=DF，22 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  A B − B E = A D − D F ， 即 A E = A F ， AC平分  B A D ，  A C ⊥ E F ； （2）解：由（1）可知，AC⊥BD，AC⊥EF， EF//BD， G=CDO，  ta n G = ta n  C D O = O O C D = 1 2 ， 1 OC= OD， 2 B D = 4 ， 1 OD= BD=2， 2  O C = 1 ，  A C = 2 O C = 2 ，  S 菱 形 A B C D = 1 2 A C  B D = 1 2  2  4 = 4 ， 即菱形ABCD的面积为4． 21．（8分）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，5，8．现 规定从袋中任意取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数，然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再 任意取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． （1）用列表法或树状图列出所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于5且小于8的概率． 【答案】（1）见解答． （2） 1 2 ． 【考点】概率公式；列表法与树状图法 【分析】（1）根据题意列表即可．（2）有表壳可得出所有等可能的结果数以及其算术平方根大于 5 且小于 8 的结果数，再利用概率公式可 得出答案． 【解答】解：（1）列表如下： 1 4 5 8 1 11 14 15 18 4 41 44 45 48 5 51 54 55 58 8 81 84 85 88 共有16种等可能的结果． （2）由表格可知，其算术平方根大于5且小于8的结果有：41，44，45，48，51，54，55，58，共8种， 其算术平方根大于5且小于8的概率为 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 23 1 8 6 = 1 2 ． 22．（10分）在平面内，给定不在同一直线上的点 A ， B ， C ，如图所示．若点O是△ A B C 的外心，圆O 为△ A B C 的外接圆，  A B C 的平分线交圆O于点 D ，连接 A D ，CD． （1）尺规作图：作出圆O及角平分线 B D （保留作图痕迹，不写作法）．请证明： A D = C D ； （2）过点 D 作DE⊥BA，垂足为 E ，作 D F ⊥ B C ，垂足为F ，延长 D F 交圆 O 于点 M ，连接CM ．若 A D = C M ，求直线 D E 与圆O的公共点个数． 【答案】（1）见解答． （2）直线DE与圆O有1个公共点． 【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；角平分线的定义；作图—复杂作图；直线与圆的位置关系 【分析】（1）作线段BC，AB的垂直平分线，相交于点O，以点O为圆心，OB的长为半径画圆，再作ABC 的平分线BD，交圆O于点D，则圆O和BD即为所求；由角平分线的定义可得ABD=CBD，由圆周角 定理得ABD=ACD，CBD=CAD，可得ACD=CAD，则 A D = C D ． （2）连接 OD ，由题意得 CD=CM ， DCF+CDF=90 ，则 CDM =CMD ，进而可得 CBD+DCF=90，即BDC=90，可知BC为圆O的直径．根据题意以及角平分线的定义可得ABD=ODB，则OD//AB，进而可得 24 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季  O D E = 9 0  ，则可得 D E 为圆 O 的切线，从而可知直线 D E 与圆 O 有1个公共点． 【解答】（1）解：如图，作线段 B C ， A B 的垂直平分线，相交于点 O ，以点 O 为圆心， O B 的长为半径画 圆，再作  A B C 的平分线 B D ，交圆 O 于点 D ， 则圆O和 B D 即为所求． 证明： B D 为  A B C 的平分线， ABD=CBD．  A B D =  A C D ，  C B D =  C A D ， ACD=CAD， AD=CD． （2）解：连接OD， AD=CD， A D = C M ， CD=CM ， CDM =CMD， DF⊥BC， DFC=90， DCF+CDF=90， CMD+DCF=90， CMD=CBD，初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 25   C B D +  D C F = 9 0  ， BDC=90， BC为圆 O 的直径．  O B = O D ， OBD=ODB． B D 为ABC的平分线， ABD=OBD， ABD=ODB， OD//AB， DEB+ODE=180． DE⊥BA，   D E B = 9 0  ， ODE=90． OD为圆 O 的半径，  D E 为圆 O 的切线， 直线DE与圆O有1个公共点． 23．（10分）如图，已知 A ( 9 , 0 ) ， B ( 0 , 3 ) 是平面直角坐标系中两点，连接 A B ，点 P 在线段AB上，AB=3BP． （1）反比例函数 y = k x 的图象交 A B 于P， D 两点，求k的值及 D 点坐标； （2）在（1）的条件下，点 N 为 x 轴正半轴上一动点，连接 D N ，将线段DN 绕点 N 逆时针旋转 9 0  ，点 D的对应点 M 恰好落在此反比例函数图象上，求点 M 的坐标． 【答案】（1）k=6，D(6,1)；（2） 26 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 M ( 2 , 3 ) 或 ( 3 , 2 ) ． 【考点】坐标与图形变化 − 旋转；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】（1）作PE⊥x轴于 E ，则PE//OB，证得△ P A E ∽ △BAO，即可求得 P E = 2 3 O B = 2 ， A E = 2 3 O A = 6 ， 即可求得 P ( 3 , 2 ) ，利用待定系数法即可求得 k = 6 ，求得直线 A B 的解析式，与反比例函数解析式联立，解 方程组即可求得 D 的坐标； 6 （2）设设M(a, )，过D作 a D E ⊥ x 轴于E，过M作MF⊥x轴于F，得到  M F N =  D E N = 9 0  ，根据旋 转的性质得到  D N M = 9 0  ，根据全等三角形的性质得到 F N = D E = 1 ， N E = M F = 6 a ，求得 O F + F N + N E = 6 ，得到 M ( 2 , 3 ) 或(3,2)． 【解答】解：（1）作 P E ⊥ x 轴于 E ，则 P E / / O B ， △ P A E ∽ △ B A O ，  P O E B = A O E A = P A A B ， A(9,0)， B ( 0 , 3 ) ， A B = 3 B P ，  O A = 9 ， O B = 3 PA 2 ， = AB 3  P E = 2 3 O B = 2 ， A E = 2 3 O A = 6 ， OE=9−6=3， P(3,2)， 反比例函数 y = k x 的图象交 A B 于 P ， D 两点，  k = 3  2 = 6 ， 反比例函数为 y = 6 x ， A(9,0)， B ( 0 , 3 ) ， 直线AB为 y = − 1 3 x + 3 ，解 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 27  y y = = − 6 x 1 3 x + 3 ，得  x y = = 3 2 或  x y = = 6 1 ， D(6,1)； 6 （2）设M(a, )， a 过 D 作 D E ⊥ x 轴于E，过M作 M F ⊥ x 轴于 F ， MFN=DEN=90， 将线段 D N 绕点 N 逆时针旋转 9 0  ，   D N M = 9 0  ，   M N F +  D N E =  N M F +  M N F = 9 0  ，   D N E =  N M F ， B M = D M ， △ M N F  △ N D E ( A A S ) ， FN =DE=1， N E = M F = 6 a ， OF+FN+NE=6， 6 a+1+ =6， a a=2或a=3，  M ( 2 , 3 ) 或(3,2)．24．（12分）在矩形 28 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 A B C D 中， A B = 3 ，AD=4，点E是射线AB上异于A，B两点的一个动点，连接 C E ， 过点B作 B F ⊥ C E 于点 G ，交射线DA于点F． （1）如图，点E在线段AB上， ①求证：△ABF∽△BCE； ②连接 D G ，设四边形CDGB的面积为 S ，在点E运动的过程中，均有 k S 成立，求 k 的最小值． （2）在点 E 运动的过程中，是否存在使 D ， F ，G， C 四点构成的四边形为轴对称图形，若存在，求出 A E 相应的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）①8； ② 4 3 7 + 3 ． 【考点】四边形综合题 【分析】（1）根据同角的余角相等得到BCE=EBG，即可得出△ABF∽△BCE； （2）①取 B C 的中点，连接 O G ，则 O G = O B = O C = 2 ，连接BD，平移DB与圆 O 相切于点 H ，当点 G 运动到点H时，S 最大，此时S 最大，连接OH 交BD于点K，则可得出答案； DGB 四边形CDGB ②当点E运动到AB的延长线上时，则DC=CG=3，DF =FG，利用相似三角形的判定和性质即可求得初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 29 A E 的长． 【解答】（1）证明：在矩形 A B C D 中，  A =  E B C = 9 0  ， BCE+CEB=90， B F ⊥ C E ， BGE=90， EBG+GEB=90， BCE=EBG， △ A B F ∽ △BCE； （2）解：①取BC的中点，连接OG，则OG=OB=OC=2，连接 B D ， 点G在以 O 为圆心，半径为2的圆弧上运动， A B = 3 ， A D = 4 ，  B D = 3 2 + 4 2 = 5 ， 平移 D B 与圆 O 相切于点 H ， S 四 边 形 C D G B = S C D B + S D G B ， 当点G运动到点 H 时，S 最大，此时S 最大， DGB 四边形CDGB 连接OH 交 B D 于点 K ，  O K = O B  s in  O B K 3 6 =2 = ， 5 5  K H = O H − O K = 2 − 6 5 = 4 5 ， 1 1 4 S =S +S = 34+ 5 =8， 四边形CDGB CDB DGB 2 2 5点 30 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 E 运动的过程中，均有 k S 成立，  k S = 8 ， 即 k 的最小值是8． ②当点 E 运动到 A B 的延长线上时，则 D C = C G = 3 ， D F = F G 时，使 D 、 F 、 G 、 C 四点构成的四边形 为轴对称图形，如图3， 矩形 A B C D ， B F ⊥ C E ，   E B C =  C G B = 9 0  ，  G C B =  G C B ， △ C G B ∽ △ C B F ，  C B G C = B C C E 3 4 ，即 = ， 4 CE 解得： C E = 1 6 3 ，  E G = E C − C G = 1 6 3 − 3 = 7 3 ， 同理可证，△EGB∽△EBC， 7 EG BE 3 BE  = ，即 = ， BE CE BE 16 3 解得： B E = 4 3 7 ，  A E = A B + B E = 4 3 7 + 3 ； 当点E在线段AB上（不与B重合）时，不存在； 4 7 AE的长为 +3． 3 25．（12分）抛物线y=ax2 −2ax+c与x轴分别交于点A，B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 31 B C ，点 ( 1 2 , − 3 4 a − 3 ) 在抛物线上． （1）求c的值； （2）已知点 D 与C关于原点 O 对称，作射线 B D 交抛物线于点 E ，若 B D = D E ，求抛物线表达式； （3）若a0，过点C作直线 l ⊥ y 轴，线段MN在l上运动，MN =1（点 M 在点N左侧，点 M 与点C不 重合），过点M作 M P ⊥ x 轴交抛物线于点 P ，过点 N 作 N Q ⊥ x 轴交抛物线于点 Q ，当 S P M N + 4 S Q M N = 2 a 时，求点 M 的坐标． 【答案】（1）c=−3； （2） y = 3 8 x 2 − 3 4 x − 3 ； （3）点 M ( 8 2  5 4 1 − 3 ) 2 或(− ， 3 − 3 ) 或 ( 4 3 ， − 3 ) 或 ( − 2 , − 3 ) 或 ( 2 5 ， − 3 ) ． 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）将点 ( 1 2 , − 3 4 a − 3 ) 3 1 的坐标代入抛物线表达式得：− a−3= a−a+c，即可求解； 4 4 （ 2 ） 若 B D = D E ， 则 x B + x E = 0 且 y E = 6 ， 则 6 = a x 2 − 2 a x − 3 4a2 +36a ， 则 x =1− ， 令 E 2a y = a x 2 − 2 a x − 3 = 0 ，则 x B = 1 + 4 a 2 2 + a 1 2 a ，则 1 − 4 a 2 2 + a 3 6 a + 1 + 4 a 2 2 + a 1 2 a = 0 ，即可求解； （3）则 S P M N + 4 S Q M N = 1 2  M N  [ P M + 4 Q N ] = 2 a ，则 P M + 4 Q N = 4 a ，即 | a m 2 − 2 a m | + | a m 2 − a |= 2 a ， 即可求解． 1 3 3 1 【解答】解：（1）将点( ,− a−3)的坐标代入抛物线表达式得：− a−3= a−a+c， 2 4 4 4 则 c = − 3 ； （2）由（1）知，抛物线的表达式为： y = a x 2 − 2 a x − 3 ， 点D与 C 关于原点O对称，则点D(0,3)， 若 B D = D E ，则 x B + x E = 0 且y =6， E 4a2 +36a 则6=ax2 −2ax−3，则x =1− ， E 2a 4a2 +12a 令y=ax2 −2ax−3=0，则x =1+ ， B 2a则 32 初中产品 四季体系：暑假—秋季—寒假—春季 1 − 4 a 2 2 + a 3 6 a + 1 + 4 a 2 2 + a 1 2 a = 0 ， 解得： a = 3 8 （不合题意的值已舍去）， 3 3 则抛物线的表达式为：y= x2 − x−3； 8 4 （3）设点 P ( m , a m 2 − 2 a m − 3 ) ，则点 Q ( m + 1 ， a ( m + 1 ) 2 − 2 a ( m + 1 ) − 3 ) ， 则 P M = | a m 2 − 2 a m − 3 − ( − 3 ) |= | a m 2 − 2 a m | ，同理可得： Q N = | a m 2 − a | ， 1 则S +4S = MN[PM +4QN]=2a， PMN QMN 2 则 P M + 4 Q N = 4 a ，即 | a m 2 − 2 a m | + | a m 2 − a |= 2 a ， 解得： m = 8 2  5 4 1 或 − 2 3 4 或 或 3 − 2 或 2 5 ， 故点 M ( 8 2  5 4 1 − 3 ) 或 ( − 2 3 ，−3)或 ( 4 3 ， − 3 ) 或 ( − 2 , − 3 ) 或 ( 2 5 ， − 3 ) ．