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铁人中学2024级高一下学期开学考试 数学 试题 考试时间： 2025 年 3月
条件.故选：B
铁人中学 2024 级高一下学期开学考试
数学试题
3. 已知幂函数 过点 ， 则函数 的定义域为（ ）
试题说明：1、本试题满分 15 0 分，答题时间 12 0 分钟。
A. B. C. D.
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。
【答案】D
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一 【分析】由条件结合幂函数定义求 ，再由函数 的解析式求其定义域.
项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
【详解】因为函数 为幂函数，故可设 ，因为函数 的图象过点 ，
A． B． C． D． 所以 ，所以 ，所以 ，
【分析】先分别求出集合 ，再根据交集的定义即可得解.
由 有意义可得 ，所以 ，
【详解】 ，
所以函数 的定义域为 .故选：D.
，
4. 年 月 日 时 分，宋令东等航天员乘坐的神舟十九号载人飞船由长征二号 运载
所以 .故选：C.
火箭成功发射至预定轨道.据科学家们测算：火箭的最大速度至少达到 千米/秒时，可将载人飞
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
船顺利送入外太空.若火箭的最大速度 （单位：米/秒）、燃料的质量 （单位：吨）和载人飞
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 船的质量 （单位：吨）近似满足函数关系式 要使载
【详解】必要性：若 ，则可得 ，所以可得 ，必要性成立；
人飞船顺利进入外太空，则燃料质量与载人飞船质量的比值至少为（
）
若 ，则 ，而 ，故充分性不成立，“ ”是“ ”的必要不充分
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A. 9 B. 9 C. 999 D. 9999
对于B， ，B不 是；对于C， ，C不是；
【答案】B
【分析】由条件，结合函数关系式列不等式可求燃料质量与载人飞船质量的比值的范围，由此确
定结论. 对于D， ，D不是.故选：A
【详解】 千米 秒 米 秒，
6. 已知函数 是增函数，且满足 ， ，则 的
令 ，则 ，所以 ，
值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】A
所以 ，所以燃料质量与载人飞船质量的比值至少为 .故选：B.
【分析】由函数关系式利用赋值法求 ， ， ，再结合单调性及函数值为正整数求
5.已知角 的终边经过点 ，则角 的值可能为（ ）
结论.
【详解】因为 ， ，所以 ，故 ，所以 ，
A. B. C. D.
【答案】A
故 ，
【解析】
【分析】由三角函数符号确定点角 的终边所在象限，再利用三角函数定义，结合诱导公式求出 所以 ，故 ，因为函数 ，
角 的值可能.
所以 ,所以 ， .故选：A.
【详解】由 ，则 ，点 在第三象限，
7. 已知函数 ，若 ，则 的取值
范围是（ ）
， ， 可以是 ，A
A. B. C. D.
是；
【答案】D
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【解析】
即 ，解得 ，则 .故选：D.
【分析】先判断出函数的奇偶性与单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式，求出 的
范围，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
8. 已知函数 其中 ．若 在区间 上单调递增，则ω的取值
【详解】因为 ，定义域满足 ，解得 ，
范围是（ ）
因为 ，
A． B． C． D．
所以 ，所以 为奇函数，因为函数 在 上单调递增，
【答案】D
，且设 ，则
二、...........多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9. 下列说法正确的是（ ）ABD
A. “集合 ”中只有一个元素是“ ”的必要不充分条件
，
B．命题“ ”的否定为“ ”
又 ，因为 ，所以 ，所以
C．函数 的零点所在的一个区间是
，由于函数 在 上单调递增，所以 D．已知 ，则 的最小值为
【详解】对于A，若集合 中只有一个元素，
，故函数 在 上单调递增，
当 时， ；当 时，可得 ，所以必要性成立，故A正确
所以函数 在 上单调递增，由 ，
对于B，正确；对于C，C错误；
得 ，所以 ，
对于D，当 时， ， ，
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当且仅当 ，即 时取等号，D正确； 由①②得 ③，∴ ④，∴ ，∴
10. 给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（ ） CD
，所以函数 周期为4，在②式中，令 得 ，解得 ，
A．函数 的图象过定点
①式中令 得 ，
B．已知函数 （ 且 ）在 上是减函数，则实数a的取值范围是
②式中令 得 ，∴ ，故C正确，
C．化简 的结果为25
无法判断结果，故D错误.
D．已知 .则
三、 填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线
上)
11. 已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则一定成立的有
12. 已知扇形的周长是其半径的4倍，若该扇形的面积为2，则该扇形的周长为_______．
（ ）
【答案】
A．函数 的图象关于直线 对称 B．函数 的图象关于原点对称
【分析】由扇形的周长公式求得圆心角 ，再代入扇形的面积公式求得扇形的半径 ，将求得结
C． D． 果代入扇形的周长公式即可.
【答案】AC 【详解】设扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形的周长 ，∴ ，
【解析】由 定义域为 ，且 为偶函数，∴ ①，∴ 关于直线
∴扇形的面积 ，∴ ，∴扇形的周长 .故答案为： .
对称，故A正确；
又 为奇函数，∴ ，即 ，用 替换上式中
13.函数 在区间 上的一个对称中心是 ，则 的值
，得 ②，∴ 关于点 对称，又 关于直线 对称，故 为______
【答案】
关于 轴对称，即 为偶函数，无法确定 的图象是否关于原点对称，故B错误；
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满足方程 两个根中,一个在区间(0,1)上,一个在区间
【详解】由题得 ，
综上所述,实数 的取值范围为: .故答案为: .
令 ，则 ，当 时， ， ，故 的值为 .
四、 解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
14. 已知函数 ，若关于 的方程 有三个不相等的实 15. 已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 .
数解，则实数 的取值范围为 . （1）若 ，求 的值；（2）求不等式的解集 .
【答案】 【答案】（1） （2）答案见解析
【解析】【分析】（1）分析可知，关于 的方程 的两根分别为 、 ，利
【详解】 画出 函数图象:
用韦达定理可求得实数 的值；
（2）对实数 的取值进行分类讨论，结合一次不等式或二次不等式的解法可求得集合 ；
设 有三个不同实数解,
解：（1）当 时，则关于 的方程 的两根分别为 、 ，
方程 有两个根.其中一个在区间(0,1)上,一个根为 或在区间 上,
若方程 一个根为 , ,另一根为 ,不满足条件.
由韦达定理可得 ，解得 .
故方程 有两个根,其中一个在区间(0,1)上,一个在区间
（2）原不等式即为 .
令 ①当 时则 解得:
当 时，原不等式即为 ，解得 ，此时， ；
②当 时即 ,故 ,将 代入 可得: ,
当 时，方程 的解为 ， ，
解得:
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若 ，解不等式 可得 或 ，此时， ；
解：（1）因为 .
若 ，即 ，则原不等式即为 ，此时， ；
因为 ，则 ，
若 ，即 ，解不等式 可得 ，此时， 所以， .
（2）由 ， ，可知 ， ，
；
所以 .
若 ，即 ，解不等式 可得 ，此时， .
综上所述，当 时， ；当 时， ； 因为 、 ，则 ，
且 ，可得 ，则 ，所以 .
当 时， ；当 时， ；当 时， .
17. 已知函数
16. 已知 . （1）若a=2，当 时，求函数 的值域；
（2）若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实根，求实数 的取值范围．
（1）若 ，求 的值；
【答案】（1） （2）
（2）若 ， 且 ， ，求 的值.
【详解】（1）当 时， .设 ，因为 ，所以 .
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则 ， .因为该函数在 上单调递减，在 上单调递增.且 【答案】（1） . （2） .
， 【分析】（1）化简函数解析式可得 ，结合正弦函数性质求 在
， 所以，所求函数的值域为：
上的最大值，列方程求 ；
（2）设 ，因为 ，所以 .
（2）由条件可得函数 在 单调递增，根据函数变换求 ，结合辅助
角公式化简 ，求其单调递增区间，列不等式求 的最大值.
问题转化为：方程 在(1,4)上有两个不等实根.所以 .
解（1）
所以，实数 的取值范围是：
18. 已知函数 ，若函数 在区
间 上的最大值为 . 当 时， ，
（1）求实数 的值；
所以当 ，即 时， 有最大值为 ， 所以 ，所以 .
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 图象.若对任意 ，
（2）因为对任意 ， ， 当 时，都有 ，
，当 时，都有 成立，求实数 的最大值.
即 ，
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记 ，则 ，所以 在 上是增函数. （2）假设存在 满足条件，由次可得函数 为偶函数，结合偶函数性质列方程求 ；
（ 3 ） ，
又 .
展开结合指数幂运算及性质证明结论.
所以
解：（1）因为 为奇函数，所以 ，故
，
所以 令 ，求得 .
所以 ，因此 ，
（2）存在.
故 的单调增区间为 ， ， 所以 ，
假设函数 的图象关于直线 对称，则函数 为偶函数，
当且仅当取 时满足条件，所以 所以实数 的最大值为 . 所以 ，所以 ，所以
19. 已知函数
，
的
（1）若函数 为奇函数，求实数 值；
所以 ，所以 ，所以 ， ，
（2）对于给定的常数 ，是否存在实数 ，使得函数 的图象关于直线 对称，如果
因此当 时，使得函数 的图象关于直线 对称；
存在，求出 的值，如果不存在，说明理由；
（3）当 时， 比较 与 的大小，并给出证明. （3）
【答案】（1） （2）存在， （3）相等，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求 ；
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