文档内容
专题 01 实数
【中考考向导航】
目录
【直击中考】.....................................................................................................................................................1
【考向一 正数和负数】....................................................................................................................................1
【考向二 与数轴上的有关问题】....................................................................................................................4
【考向三 相反数、绝对值】............................................................................................................................8
【考向四 科学计数法】..................................................................................................................................10
【考向五 平方根、立方根】..........................................................................................................................13
【考向六 无理数的概念理解】......................................................................................................................14
【考向七 无理数的估算】..............................................................................................................................17
【考向八 实数的运算】..................................................................................................................................20
【直击中考】
【考向一 正数和负数】
例题1．（2022·江苏扬州·校考模拟预测）下列各数 ， ， ， ， ， 中，是正数的有
( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据正、负数的概念即可推出其中正数为 ， ．
【详解】解：由于 ， ， ，
所以是正数的有： ， ，共有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正数和负数，绝对值，解题的关键是注意：0既不是正数也不是负数．
例题2．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）在跳远测验中，合格标准是 米，张丰跳出了 米，记为
米，李敏跳出了 米，记作（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【分析】明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中超过标准的一个为
正，则另一个不到标准的就用负表示，即可解决．【详解】解：在跳远测验中，合格标准是4米，张丰跳出了4.25米，记为 米，李敏跳出了3.95米，
记作 米．
故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数，用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示，特别地，在用正
负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变
化的量规定为负数．
【变式训练】
1．（2022·福建厦门·统考模拟预测）下列四个数中，是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将选项中的数进行化简，然后根据负数的定义：比 小的数；解答即可．
【详解】解：A、 是正数，不符合题意；
B、 是正数，不符合题意；
C、 是正数，不符合题意；
D、 是负数，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了负数的定义，绝对值，多重符号化简，乘方等知识点，将选项中的数准确化简是解本
题的关键．
2．（2022·四川巴中·统考中考真题）下列各数是负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可
【详解】解： ，是正数，故 A 选项不符合题意；
，是正数，故 B 选项不符合题意；
，是正数，故 C 选项不符合题意；
，是负数，故 D 选项符合题意．
【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
3．（2022·江苏南通·统考中考真题）若气温零上 记作 ，则气温零下 记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据气温是零上2 记作＋2 ，则可以表示出气温是零下3 ，从而可以解答本题．
【详解】解：∵气温是零上2 记作＋2 ，
∴气温是零下3 记作−3 ．故选：A．
【点睛】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．
4．（2022·广西河池·统考中考真题）如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作( )
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
【答案】B
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，
所以如果+50元表示收入50元，
那么支出20元表示为﹣20元．
故选：B．
【点睛】此题考查的是正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反
意义的量．
5．（2022·广西柳州·统考中考真题）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化
记作 _____．
【答案】﹣2m
【分析】根据负数的意义，可得水位升高记作“+”，则水位下降记作“-”，水位不升不降时，记作0，据此
解答即可．
【详解】解：如果水位升高2m时，水位变化记作+2m，
那么水位下降2m时，水位变化记作-2m，
故答案为：-2m．
【点睛】本题主要考查了正负数的意义以及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：水位升高记作
“+”，则水位下降记作“-”，水位不升不降时，记作0．
6．（2022·广西·中考真题）负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应
的正数“数量相等，意义相反”，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，可记作______米．
【答案】
【分析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量，如果向东走了5米，记作＋5米，那么向西走5米，
可记作 米．
【详解】解：∵向东走了5米，记作＋5米，
∴向西走5米，可记作 米，
故答案为： ．
【点睛】本题考查用正负数表示两种具有相反意义的量，熟练掌握用正负数表示两种具有相反意义的量是
解答本题的关键．相反意义的量：按照指定方向的标准来划分，规定指定方向为正方向的数用正数表示，
则向指定方向的相反的方向变化用负数表示，正与负是相对的．
7．（2022·江苏镇江·统考中考真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响．大致海拔
每升高100米，气温约下降 ．有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温
是 ，则此时山顶的气温约为_________ ．【答案】－6或零下6
【分析】根据题意“海拔每升高100米，气温约下降 ”，列出式子即可求解．
【详解】解：山顶的气温约为
故答案为：－6或零下6．
【点睛】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键．
【考向二 与数轴上的有关问题】
例题1．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B
对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行
逐一判断即可得出结论．
【详解】解：由题意得：a＜0＜b，且 ＜ ，
∴ ，∴A选项的结论不成立；
，∴B选项的结论不成立；
，∴C选项的结论不成立；
，∴D选项的结论成立．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取
值范围是解题的关键．
例题2．（2022·四川德阳·模拟预测）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简 的结果为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴得到 ， ，再脱去绝对值，进行整式的加减运算即可求解．
【详解】解：由题意得 ， ，
所以 ．
故选：C
【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的符号，绝对值的化简，整式的加减等知识，理解题意，正确判断
出绝对值内各式的符号是解题关键．【变式训练】
1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）实数a、b在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数轴可知a，b的大小和绝对值，然后判断即可．
【详解】解：由数轴知， ， ， A错误，
，即B正确，
，即C错误，
，即D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用以上知识解题．
2．（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是
（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【分析】根据数轴得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和绝对值的性质化简求解即可．
【详解】解∶∵根据数轴得∶ 00， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故选∶B．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握 是解题的关键．
3．（2022·宁夏·中考真题）已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴上点的位置可得 ， ，据此化简求解即可．
【详解】解：由数轴上点的位置可得 ， ，∴ ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了化简绝对值，根据数轴上点的位置判断式子符号，有理数的除法，正确得到 ，
是解题的关键．
4．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，数轴上的点 、 分别表示实数 、 ，则 ______ ．（填
“>”、“=”或“<”）
【答案】
【分析】由图可得： ，再根据不等式的性质即可判断．
【详解】解：由图可得： ，
由不等式的性质得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
5．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1， 的点分别为A，B，且 （C在A的左
侧），则点C所表示的数是________．
【答案】
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式，由 列式即可求出点C所表示的数．
【详解】解：设点C所表示的数为 ，
∵点A、B所表示的数分别是1、 ，且由图知B在A的右侧，
，
∵点A、C所表示的数分别是1、 ，且由图知C在A的左侧，
，
，
，解得 ，
点C所表示的数是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系及数轴上两点之间的距离公式，采用了“数形结合”的数学的
思想是解决问题的关键．6．（2022·四川遂宁·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 的
结果是 _____．
【答案】a﹣b+4
【分析】通过识图可得﹣2＜a＜0＜b＜2，进而可得a+2＞0，b﹣2＜0，从而利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：∵﹣2＜a＜0＜b＜2，
∴a+2＞0，b﹣2＜0，
∴原式＝a+2+（2﹣b）
＝a+2+2﹣b
＝a﹣b+4，
故答案为：a﹣b+4．
【点睛】本题考查二次根式的化简，准确识图，理解二次根式的性质 ， 是解题关
键．
7．（2022·河北廊坊·统考二模）如图，在数轴上点 ， 表示的数分别为－2，1， 为 点左侧上的一点，
它表示的数为 ．
(1)用含 的代数式表示 的值．
(2)若以 ， ， 的长为边长能构成等腰三角形，请求出符合条件的 的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）将 、 表示出来，代入 即可；
（2）将 ， ， 的长分别用 表示出来，根据等腰三角形的性质列出关于 的方程，即可求得。
（1）
解： ， ，
；
（2）
解： ， ， ,
若以 ， ， 的长为边长能构成等腰三角形，则
当 时，即 ，方程无解，故不符合题意；当 时，即 ，解得 ，则三边分别为3，3，1，满足条件；
当 时，即 ，解得 ，则三边分别为3，3，5，满足条件；
满足条件的值为： 或 ．
【点睛】本题主要考查列代数式，数轴上两点间距离、等腰三角形的性质，解一元一次方程，根据条件列
出代数式是解题的关键．
【考向三 相反数、绝对值】
例题1．（2022·浙江宁波·统考中考真题）-2022的相反数是（ ）
A．2022 B．-2022 C． D．-
【答案】A
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【详解】-2022的相反数是2022．
故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
例题2．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）有理数﹣2022的绝对值为（ ）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
【答案】C
【分析】根据绝对值的意义，先添加绝对值符号，再化去绝对值符号即可．
【详解】解：由绝对值的意义得， ．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，一个数的绝对值就是在这个数添上“||”号；一个正数的绝对值等于它
本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．
【变式训练】
1．（2022·河南洛阳·统考一模）实数 的相反数是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：实数 的相反数是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（2022·吉林长春·模拟预测）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与1 C． 与 D． 与【答案】C
【分析】根据相反数和绝对值的定义化简各选项中的数即可得出答案．
【详解】解：A． ， ，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
B． ，1与1不是相反数，故该选项不符合题意；
C． ， ，3与 是相反数，故该选项符合题意；
D． ， ， 与 不是相反数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相反数，绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
3．（2022·青海西宁·统考中考真题） 的绝对值是________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，实数的绝对值永远是非负数，负数的绝对值是它的相反数，即可得解．
【详解】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）计算： ______．
【答案】1
【分析】先计算出绝对值符号里面的结果，再求得此题结果即可．
【详解】解： ，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了有理数的加法和绝对值，关键是掌握有理数的加法法则．
5．（2022·浙江嘉兴·一模）计算： ____________．
【答案】3
【分析】根据绝对值和零次幂的性质计算即可．
【详解】解： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了绝对值和零次幂，任何一个非零数的零次幂都是1．
6．（2022·西藏·统考中考真题）已知 ， 都是实数，若 ，则 _____．
【答案】
【分析】根据绝对值，偶次幂的非负性求出 ， ，再代入计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ， ，即 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了绝对值，偶次幂的非负性，求出 ， 的值是解本题的关键．
【考向四 科学计数法】
例题：（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）教育部2022年5月17日召开第二场“教育这十年”“1＋1”系列
新闻发布会，会上介绍我国已建成世界最大规模高等教育体系，在学总人数超过44300000人．将数据
44300000用科学记数法表示为_________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整
数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：44300000＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【变式训练】
1．（2022·山东德州·德州市同济中学校考模拟预测）人的大脑每天能记录大约8600万条信息，8600万用
科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，
n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：8600万= ，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）年初，某官网发布了2021年通信运营业统计公报，数
据显示，2021年，4G.5G用户数呈爆发式增长，全年新增3.4亿户，总数达到770000000亿户，将
770000000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解：∵ ，
∴ 用科学记数法表示应为 ．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2022·吉林长春·校考二模）第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日在我国首都北京开幕，
据统计，北京冬奥会开幕式电视直播观众规模达3.16亿，是历史上收视率最高的一届冬奥会，数据3.16亿
用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原数
变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正整数；
当原数的绝对值 时， 是负整数．
【详解】解：3.16亿 ．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式为 的形式，其
中 ， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
4．（2022·贵州黔西·校考一模）2022年我市地区生产总值逼近14000亿元，用科学记数法表示14000是
______．
【答案】
【分析】将原数表示成形式为 （ ，n为整数）的形式即可.
【详解】解： ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法是将原数表示成形式为 （
，n为整数）的形式，确定a和n的值是解答本题的关键.
5．（2022·江苏徐州·统考中考真题）我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤
用科学记数法表示为________亿斤．
【答案】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确
定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
6．（2022·辽宁丹东·校考二模）截止到2021年1月22日9时30分，天问一号探测器已经在轨飞行182天，
距离火星约4200000公里，4200000用科学记数法表示应为________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解： ．
故选： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（2022·山东东营·统考中考真题）2022年2月20日，北京冬奥会圆满落幕，赛事获得了数十亿次数字
平台互动，在中国仅电视收视人数就超6亿.6亿用科学记数法表示为____________.
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整
数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：6亿＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中1≤|a|＜10，n为
整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（2022·湖北黄石·统考中考真题）据新华社2022年1月26日报道，2021年全年新增减税降费约1.1万
亿元，有力支持国民经济持续稳定恢复用科学记数法表示1.1万亿元，可以表示为__________元．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正
整数．
【详解】解：1.1万亿＝1100000000000＝1.1×1012．
故答案为：1.1×1012．
【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
【考向五 平方根、立方根】例题：（2022·广东东莞·东莞市万江第三中学校考三模）计算下列各题：
（1） 的平方根是______；（2） 的算术平方根是______；（3） 的立方根是______；
【答案】 ±2 5 -2
【分析】（1）根据求一个数的平方根方法求解即可；
（2）根据求一个数的算术平方根方法求解即可；
（3）根据求一个数的立方根方法求解即可．
【详解】解：（1） 的平方根是 ，
故答案为：±2；
（2） 的算术平方根是 ，
故答案为：5；
（3） 的立方根是 ，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查求一个数的平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定
义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江衢州·统考中考真题）计算： ____．
【答案】2
【分析】根据求一个数的算术平方根的方法进行运算，即可求得．
【详解】解： ，
故答案为：2
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根的方法，熟练掌握和运用求一个数的算术平方根的方法是解决
本题的关键．
2．（2022·吉林·统考一模）计算： ______．
【答案】4
【分析】首先计算开方，再进行减法运算．
【详解】解：原式=5-1=4，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了开平方的运算，解题的关键是掌握开平方的定义．
3．（2022·浙江杭州·统考中考真题）计算： _________； _________．
【答案】 2 4
【分析】根据算术平方根的性质，乘方的运算法则，即可求解．
【详解】解： ； ．
故答案为：2，4
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，乘方运算，熟练掌握算术平方根的性质，乘方的运算法则是解题的关键．
4．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模） ______．
【答案】-6
【分析】先计算立方根，零指数幂和负整数指数幂，再加减即可．
【详解】解：
=-3-1-2
=-6．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了立方根，零指数幂以及负整数指数幂，正确计算是解决问题的关键．
5．（2022·广西贺州·统考中考真题）若实数m，n满足 ，则 __________．
【答案】7
【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解．
【详解】解：由题意知，m，n满足 ，
∴m-n-5=0，2m+n−4=0，
∴m=3，n=-2，
∴ ，
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可
以求解这类题目．
【考向六 无理数的概念理解】
例题：（2022·甘肃武威·统考模拟预测）下列各数： ， ， ， ．其中是无理数的有______个
【答案】2
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得到答案．
【详解】解： 是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
∴无理数一共有2个，故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握有理数和无理数的定义以及特殊角
三角函数值，算术平方根．
【变式训练】
1．（2022·广西玉林·统考中考真题）下列各数中为无理数的是( )
A． B．1.5 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据无理数是无限不循环小数可直接进行排除选项．
【详解】解：A选项是无理数，而B、C、D选项是有理数，
故选A．
【点睛】本题主要考查无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
2．（2022·四川遂宁·校联考一模）下面四个数中的无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择
项．
【详解】解：A、 是有理数，故本选项不符合题意；
B、 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、 是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、 是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的概念和算术平方根，理解无理数的概念是解此题的关键．
3．（2022·江苏无锡·校考模拟预测）下列各数中： 、 、 、0.010010001、 、0是无理数的有（
）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【详解】解： 、0都是整数，是有理数，不是无理数，
0.010010001是在限小数，是有理数，不是无理数，
是分数，是有理数，不是无理数，属于无理数的有 、 共两个．
故选：B．
【点睛】本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括：①开方开不尽的根式，②含π的，③一
些有规律的数，无理数是指无限不循环小数．
4．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）四个数－1，0， ， 中，为无理数的是_________．
【答案】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【详解】解：－1，0， 是有理数；
是无理数；
故答案为： ．
【点睛】此题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，解题的关键是知道初中范围内常见的无理
数有三类：①π类，如2π，π3等；②开方开不尽的数，如 等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，
如0．1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0．2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
5．（2022·陕西西安·校考三模）在 ， ， ， ， ， 中，无理数的个数是
______．
【答案】4
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数称为无理数，据此解答．
【详解】解： 是无理数；
是无理数；
，是整数，不是无理数；
是分数，不是无理数；
3.121231234…是无理数；
是无理数，
故是无理数的有 、 、3.121231234…、 共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了无理数，解决问题的关键是熟练掌握无理数定义，整数定义，分数定义，有理数
及实数的分类．
6．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）下列各数：3.14、 、 、- 、2π、 、0、
3.12112111211112……中，无理数有______个．
【答案】4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数
与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：在所列的实数中，无理数有 ，2π、 、3.12112111211112……这4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及
像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【考向七 无理数的估算】
例题：（2022·湖北荆州·统考中考真题）若 的整数部分为a，小数部分为b，则代数式 的
值是______．
【答案】2
【分析】先由 得到 ，进而得出a和b，代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴ ， ．
∴ ，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数
整数和小数部分的求解方法．
【变式训练】
1．（2022·湖南株洲·统考一模）下列实数中，在3和4之间的是（ ）
A．π+1 B． +1 C．2 D．2
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法公式和无理数的估算即可得出结论．
【详解】解：A、 ，故选项不符合题意；
B、 ，故选项不符合题意；
C、 ，故选项不符合题意；
D、 ，故选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，掌握二次根式的乘法公式和无理数的估算方法是解答本题的关键．
2．（2022·四川资阳·中考真题）如图，M、N、P、Q是数轴上的点，那么 在数轴上对应的点可能是( )A．点A B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【分析】由 ，再结合数轴即可求解．
【详解】∵ ，
∴观察数轴，点P符合要求，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，确定 的范围是解题的关键．
3．（2022·福建南平·统考模拟预测）若 ， 分别是 的整数部分和小数部分，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 ，求出 即可表示出 ， ，进一步可求出 的
值．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 分别是 的整数部分和小数部分，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A
【点睛】本题考查无理数，解题的关键是掌握无理数的小数及整数部分的确定方法：对于无理数 ，可通
过比较这个无理数介于哪两个相邻整数之间，求出它的整数部分a，其小数部分 ．
4．（2022·湖南永州·统考中考真题）请写出一个比 大且比10小的无理数：______．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据实数的大小比较即可求出答案．
【详解】解：∵5＜7＜100，
∴ < <10
∴比 大且比10小的无理数为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查实数比较大小，解题的关键是熟练运用实数比较大小的法则，本题属于基础题型．
5．（2022·海南·统考中考真题）写出一个比 大且比 小的整数是___________．【答案】2或3
【分析】先估算出 、 的大小，然后确定范围在其中的整数即可．
【详解】∵ ，
∴
即比 大且比 小的整数为2或3，
故答案为：2或3
【点睛】本题考查了无理数的估算和大小比较，掌握无理数估算的方法是正确解答的关键．
6．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值为
______．
【答案】
【分析】无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分，由此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ,
∴ ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查无理数的估算的运算，掌握无理数是无限不循环小数，包括整数部分和小数部分并
理解其表示形式是解题的关键．
7．（2022·湖北随州·统考中考真题）已知m为正整数，若 是整数，则根据
可知m有最小值 ．设n为正整数，若 是大于1的整数，则
n的最小值为______，最大值为______．
【答案】 3 75
【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为3、12、75，300，再结合
是大于1的整数来求解．
【详解】解：∵ ， 是大于1的整数，
∴ ．
∵n为正整数
∴n的值可以为3、12、75，
n的最小值是3，最大值是75．故答案为：3；75．
【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键．
【考向八 实数的运算】
例题：（2022·湖南株洲·统考一模）计算： ．
【答案】0
【分析】首先根据二次根式的性质、负整数指数幂及零指数幂的运算法则、特殊角的三角形函数值，进行
运算，再进行二次根式的混合运算，即可求得结果．
【详解】解：
=0
【点睛】本题考查了二次根式的性质、负整数指数幂及零指数幂的运算法则、特殊角的三角形函数值，二
次根式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东济南·统考模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】
．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法
则是解本题的关键．
2．（2022·四川乐山·统考二模）计算：
【答案】
【分析】根据立方根的概念，绝对值，特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质计算即可．
【详解】解：原式==
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握立方根的概念，绝对值，特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质
等知识是解题的关键．
3．（2022·江苏盐城·校考三模）计算： ．
【答案】
【分析】根据立方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查立方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值的运算法则，解题的关键是理解
以上运算法则，能够正确计算．
4．（2022·湖南长沙·长沙市南雅中学校联考一模）计算： ．
【答案】
【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的运算法则进行计算，再相加减可得结
果．
【详解】解：原式=3 2 1
=3 1﹣2﹣1
=1 ．
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的
运算是解决本题的关键．
5．（2022·北京西城·校考模拟预测）计算： ．
【答案】
【分析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值和零指数幂，再计算乘法，后计算加减．
【详解】解：．
【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
6．（2022春·九年级单元测试）计算： ．
【答案】9
【分析】根据负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则进行计算便可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函
数值，0指数幂的法则．
7．（2022春·九年级单元测试）计算： ．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，
然后即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，
掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．（2022·广东佛山·校考三模）计算： ．
【答案】
【分析】先根据绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂、二次根式、零次幂等知识化简，然后再运算
即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，灵活运用绝对值、特殊角的三角函数值、负整数次幂、二次根式、零次幂等知识点成为解答本题的关键．
9．（2022·广东韶关·校考二模）计算： ．
【答案】
【分析】先化简绝对值、计算零指数幂、代入特殊角的三角函数值，再进行混合运算即可．
【详解】解：
＝
．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
