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专题 06 分式方程及其应用（10 个高频考点）（举一反三）
【考点1 分式方程的定义】...................................................................................................................................1
【考点2 分式方程的解】.......................................................................................................................................2
【考点3 解分式方程】...........................................................................................................................................2
【考点4 换元法解分式方程】...............................................................................................................................3
【考点5 分式方程的增根】...................................................................................................................................3
【考点6 分式方程的无解】...................................................................................................................................4
【考点7 不等式与分式方程的综合】...................................................................................................................4
【考点8 分式方程中的新定义问题】...................................................................................................................5
【考点9 由实际问题抽象出分式方程】...............................................................................................................5
【考点10 分式方程的应用】...................................................................................................................................6
【要点1 分式方程的定义】
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
【考点1 分式方程的定义】
【例1】（2022·贵州贵阳·二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ）
x x 1 1 x x x 1 2
A． −3= B． x− y=5 C． = + D． =1−
2 5 2 3 π 3 2 2+x x
【变式1-1】（2022·四川省内江市第六中学二模）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
1 1
A．x+ =3 B． =2
x x
x 5x 2x−1 x 1
C． = D． − =
x−4 x−4 4 3 2
1 x+1
【变式1-2】（2022·河南省淮滨县第一中学模拟预测）下列方程：① +1=x；② −3=0；③
x 2
2 3 x x
+ =3；④ + =1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ）
x−1 1−x a bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（2022·全国·九年级专题练习）在下列方程组中，（ ）是分式方程．
x2 2x
A． ＝1 B． =√2
x−1 3
C． 1 = 3 D． ( x+ 2)(4x −6 ) =−7
√x+2 x 3 5
【考点2 分式方程的解】
【例2】（2022·浙江·宁波市鄞州实验中学模拟预测）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程
x2+kx+3
=3x+k的解，求实数k的取值范围.
x−1
m+3
【变式2-1】（2022·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程 =1的解为非负数，则m的取值范围是
2x−1
（ ）
A．m≥−4 B．m≥−4且m≠−3 C．m>−4 D．m>−4且m≠−3
1 2 x+2m
【变式2-2】（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程 + = 的解大于1，则
x−2 x+2 x2−4
m的取值范围是______________．
2x−a −2x+a
【变式2-3】（2022·四川达州·中考真题）若分式方程 −4= 的解为整数，则整数a=
x−1 x+1
___________．
【要点2 分式方程的解法】
①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；
②解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；
③检验：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
【考点3 解分式方程】
3 2
【例3】（2022·辽宁营口·中考真题）分式方程 = 的解是（ ）
x x−2
A．x=2 B．x=−6 C．x=6 D．x=−2
2 1
【变式3-1】（2022·湖南永州·中考真题）解分式方程 − =0去分母时，方程两边同乘的最简公分母
x x+1
是______．
【变式3-2】（2022·浙江台州·中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，
则图中被污染的x的值是____．3−x
先化简，再求值： +1，其中x=
x−4
3−x
解：原式= ⋅(x−4)+(x−4)
x−4
=3−x+x−4
=−1
【变式3-3】（2022·山东威海·中考真题）按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是
_____．
【考点4 换元法解分式方程】
【例4】（2022·浙江衢州·二模）用换元法解分式方程x2+1 x ，如果设x2+1 ，那么原
− +1=0 = y
x 3(x2+1) x
方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．3 y2+3 y−1=0 B．3 y2−3 y−1=0
C．3 y2−y+1=0 D．3 y2−y−1=0
6 9
【变式4-1】（2022·贵州·仁怀市教育研究室二模）用换元法解方程x2−2x+ + −6=0时，可以令t=
x x2
______，得到关于t的方程是______．
12
【变式4-2】（2022·上海·华东师范大学第四附属中学一模）用换元法解方程：x2﹣x﹣ =4．
x2−x
【变式4-3】（2022·上海·华东师范大学第四附属中学三模）用换元法解方程组：¿．
【考点5 分式方程的增根】
m+4 3x
【例5】（2022·广西贺州·中考真题）若关于x的分式方程 = +2有增根，则m的值为（ ）
x−3 x−3
A．2 B．3 C．4 D．5ax+1 2
【变式5-1】（2022·四川省内江市第六中学二模）关于x的方程： － ＝1.
x−1 1−x
(1)当a＝3时，求这个方程的解；
(2)若这个方程有增根，求a的值．
m 1
【变式5-2】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）关于x的分式方程 + =1有增根，则
x−2 2−x
=（ ）
(﹣1) m
A．﹣1 B．1 C．2 D．5
【变式5-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程
的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题
步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值．
阅读以上材料后，完成下列探究：
3x m
探究1：m为何值时，方程 +5= 有增根．
x−3 3−x
3x m
探究2：m为何值时，方程 +5= 的根是−1．
x−3 3−x
3x m
探究3：任意写出三个m的值，使对应的方程 +5= 的三个根中两个根之和等于第三个根；
x−3 3−x
探究4：你发现满足“探究3”条件的m 、m 、m 的关系是______．
1 2 3
【考点6 分式方程的无解】
x x−1 a+bx
【例6】（2022·浙江温州·模拟预测）设a，b为实数，关于x的方程 + = 无实数根，求代
x−1 x x2−x
数式8a+4b+|8a+4b-5|的值．
2 m
【变式6-1】（2022·四川遂宁·中考真题）若关于x的方程 = 无解，则m的值为（ ）
x 2x+1
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
m+x
【变式6-2】（2022·四川巴中·中考真题）关于x的分式方程 −3＝0有解，则实数m应满足的条件是
2−x
（ ）
A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2
b
【变式6-3】（2022·安徽·宣州市雁翅乡初级中学二模）对于非零实数a、b，规定a⊗b= ．若
a(x−3)⊗(3−2x)=0，则x的值为_______________；若关于x的方程
(x−3)⊗(3−2x)−(3−x)⊗(mx−2)=−1无解，则m的值为_______________．
【考点7 不等式与分式方程的综合】
3x−a x+1
【例7】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程 + =1的解为正数，且关于y的不等式组¿的
x−3 3−x
解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
ax−3 3x−1
【变式7-1】（2022·重庆·中考真题）关于x的分式方程 +1= 的解为正数，且使关于y的一元
x−2 2−x
一次不等式组¿有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．−5 B．−4 C．−3 D．−2
【变式7-2】（2022·重庆八中模拟预测）从−7，−5，−1，0，1，3这六个数中，随机抽一个数，记为
1−x m
m，若数m使关于x的不等式组¿的解集为x>1，且关于x的分式方程 + =3有非负整数解，则符
2−x x−2
合条件的m的值的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-3】（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a既使得关于x的不等式组¿无解，又使得关于y的
5 a−y
分式方程 − =1的解不小于1，则满足条件的所有整数a的和为( )
y−2 2−y
A．−4 B．−3 C．−2 D．−5
【考点8 分式方程中的新定义问题】
1
【例8】（2022·湖南怀化·中考真题）定义a⊗b=2a+ ，则方程3⊗x=4⊗2的解为（ ）
b
1 2 3 4
A．x= B．x= C．x= D．x=
5 5 5 5
1
【变式8-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·二模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这
a−b2
1 1 2
里等式右边是实数运算．例如：1⊗3= =− ．则方程x⊗(−2)= −1的解是（ ）
1−32 8 x−4
A．x=5 B．x=6 C．x=7 D．x=8
【变式8-2】（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）对于实数x和y，定义一种新运算“*”：1 1 1 1
x∗y= ，这里等式右边是实数运算．例如：1∗2= = ，则方程2∗x= +1的解是
x2+ y 12+2 3 x−4
__________．
1 1
【变式8-3】（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b= + ．若
a b
2x+1
(x+1)⊗x= ，则x的值为___________．
x
【考点9 由实际问题抽象出分式方程】
【例9】（2022·辽宁阜新·中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际
每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所
列方程正确的是（ ）
30 30 30 30
A． − =20 B． − =1.2
x 1.2x x x−20
30 30 30 30
C． − =20 D． − =1.2
1.2x x x−20 x
【变式9-1】（2022·辽宁鞍山·中考真题）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天
加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．
设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为_________．
【变式9-2】（2022·山东青岛·中考真题）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体
质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均
速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程．设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式
方程为__________．
【变式9-3】（2022·山东潍坊·中考真题）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021
267
年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法： ×100%≈6.6%）．2022年3月当月增速为
4036
−14.0%，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（ ）x−4271 4271−x
A． ×100%=−14.0% B． ×100%=−14.0%
4271 4271
x−4271 4271−x
C． ×100%=−14.0% D． ×100%=−14.0%
x x
【考点10 分式方程的应用】
【例10】（2022·浙江衢州·中考真题）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新
能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）
【变式10-2】（2022·重庆·中考真题）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者
约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【变式10-3】（2022·湖南益阳·中考真题）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种
型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲
多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%．
(1)甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？
(2)某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收
割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？
