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专题 06 分式方程及其应用（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 分式方程的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）下列关于x的方程中， 不是分式方程的是 （ ）
1 x 3x 2 1 4 2
A． +x=1 B． + = C． = D． =1
x 3 4 5 x−1 x x
2 1 3 x x 2
2．（2022·河北·青龙满族自治县教师发展中心三模）方程 =3、 = 、 =2、 =
x+1 x x−1 2 x−1 x2−1
中分式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x=1时没有意义
______．
4．（2022·四川·江油市小溪坝初级中学校一模）请写出一个解为4的分式方程：___________．
1 3 2 x y x2
5．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）在方程 = ,1+ =0, + =1, =1中，分
x+1 y−1 x 3 2 x
式方程有______个．
【考点2 分式方程的解】
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知一个三角形三边的长分别为5、7、a，且关于y的分式方程
y+4a 5a
+ ＝2的解是非负数，则符合条件的整数a的值为_____________。
y−3 3−y
2x+m
7．（2022·山东·滕州市大坞镇大坞中学一模）已知关于x的方程 =3的解大于1，则m的取值范围为
x−2
________．
8．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）一模）已知关于x的方程
2x+m
=5的解不是正数，则m的取值范围为______．
x+2
x−3 3
9．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）若x=k−1是方程 = −1的解，求k−1+√4的值．
x−2 2−x
x x+1 4x+a
10．（2022·江苏省南菁高级中学一模）已知关于x的方程 + = 只有一个实数根，求实数
x+1 x x(x+1)a的值．
【考点3 解分式方程】
1 4x 2
11．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）（1） + + =1；
x+2 x2−4 2−x
(3x−2) 2 2−3x
（2） = ．
3 4
3 x
12．（2022·浙江衢州·二模）以下是方方解方程 +2= 的解答过程．
x−1 1−x
解：去分母，得3+2(x−1)=x．
去括号，得3+2x−1=x．
移项，合并同类项，得 x=2．
方方的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
2x+3 x−1
13．（2022·浙江衢州·一模）小王和小凌在解答“解分式方程： =1− ”的过程如下框，请你判
x x
断他们的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程.
小王的解法：
解，去分母得：2x+3=1−(x−1) 小凌的解法：
① 解，去分母得：2x+3=x−x−1 ①
去括号得：2x+3=1−x+1 ② 移项得：2x=−3−1 ②
移项得：2x+x=1+1−3 ③ 合并同类项得：2x=−4 ③
合并同类项得：3x=−1 ④ 系数化为1得：x=−2 ④
1 ∴x=−2是原分式方程的解
系数化为1得：x=− ⑤
3 ⑤
1
∴x=− 是原分式方程的解 ⑥
3
x−5 2
14．（2022·陕西·西北轻工业学院附中三模）解分式方程： + =1．
x−1 x
15．（2022·浙江金华·一模）小明邀请你请参与数学接龙游戏：
3x x−1
[问题]解分式方程： + =2，
x−1 3x
3x x−1 1 1
[小明解答的部分]解：设 =t，则有 = ，故原方程可化为t+ =2，去分母并移项，得
x−1 3x t t
t2−2t+1=0．[接龙]
【考点4 换元法解分式方程】
16．（2022·福建省福州屏东中学二模）请阅读下面解方程 的过程．
(x2+1) 2−2(x2+1)−3=0
解：设x2+1= y，则原方程可变形为y2−2y−3=0．
解得y =3，y =−1．
1 2
当y=3时，x2+1=3，∴x=±√2，
当y=−1时，x2+1=−1，x2=−2，此方程无实数解，
∴原方程的解为： ， ．
x =√2 x =−√2
1 2
我们将上述解方程的方法叫作换元法．
x−1 2 x−1
请用换元法解方程：( ) −2( )−8=0．
x x
17．（2022·浙江丽水·一模）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未
知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
1 1
例如解方程组¿，设m＝ ，n＝ ，则原方程组可化为¿，
x y
解之得¿，即¿所以原方程组的解为¿．
运用以上知识解决下列问题：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（1）求值：(1+ + + )×( + + + )−(1+ + + + )×( + + )＝ ．
11 13 17 11 13 17 19 11 13 17 19 11 13 17
（2）方程组¿的解为 ．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝ ．
（4）解方程组¿
（5）已知关于x、y的方程组¿的解是¿，求关于x、y的方程组¿的解．
18．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）用换元法解方程组：¿
1 1
19．（2022·广东韶关·模拟预测）(换元法)解方程：x2＋ ＋ ＋x＝0
x2 x
6
20．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模））用换元法解方程：x2﹣x+1= ．
x2−x【考点5 分式方程的增根】
x+2 m
21．（2022·湖北襄阳·一模）关于x的方程 = 有增根，则m的值及增根x的值分别为（ ）
x+3 x+3
A．−1，−3 B．1，−3 C．−1，3 D．1，3
2 k+1
22．（2022·四川成都·一模）关于x的方程 = 有增根，则k的值为（ ）
x+5 x
A．1 B．2 C．－2 D．－1
2x m+1 x+1
23．（2022·四川内江·一模）若分式方程 − = 有增根，则m的值是（ ）
x+1 x2+x x
A．﹣1或1 B．﹣1或2 C．1或2 D．1或﹣2
x a
24．（2022·河南·模拟预测）方程 =2+ 有增根，那么a=________________．
x−4 x−4
k−1 1 k
25．（2022·四川成都·二模）关于x的分式方程 − = 有增根，则k=________．
x2−1 x−1 x+1
【考点6 分式方程的无解】
x−a 3
26．（2022·山东聊城·一模）若关于x的分式方程 − =1无解，则a的值为____．
x−1 x
mx 7
27．（2022·四川广元·一模）若关于x的分式方程 +3= 无解，则实数m=_________．
x−4 x−4
5 ax 3
28．（2022·山东烟台·二模）关于x的方程 + ＝ 无解，则a＝_______．
x−5 x2−25 x+5
m(x+1)−5
29．（2022·山东·一模）若关于x的分式方程 =m−3无解，则m＝_____．
2x+1
a 2a−x−1
30．（2022·黑龙江牡丹江·三模）已知关于x的分式方程 － =0无解，则a的值为
x+1 x2+x
____________.
【考点7 不等式与分式方程的综合】
y+2 m
31．（2022·四川成都·三模）若关于x的不等式组¿无解，关于y的方程 −1= 的解大于1，则m
y−2 y2−4
的取值范围是______．
32．（2022·四川成都·三模）若关于x的一元一次不等式组¿恰有3个整数解，且使关于y的分式方程
y+3 ay
+ =1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_______．
y−3 3−y
33．（2022·四川资阳·二模）若数m使关于x的不等式组¿至少有3个整数解且所有解都是2x−5≤1的解，4x−2 3m−1
且使关于x的分式方程 + =2有整数解．则满足条件的所有整数m的和是_____．
x−1 1−x
3 6 x−m
34．（2022·四川成都·中考模拟）已知m为不等式组¿的所有整数解，则关于x的方程 + =
x x−1 x(x−1)
有增根的概率为______．
x+2 a
35．（2022·山东聊城·二模）若数a使关于x的分式方程 + =3的解为非负数，且使关于y的不等
x−1 1−x
式组¿的解集为y≤0，求符合条件的所有整数a的积．
【考点8 分式方程中的新定义问题】
1 1
36．（2022·河北廊坊·中考模拟）定义新运算：对于任意不为零的实数a、b，都有a★b= − ，求方程x★
a b
6
（2﹣x）= 的解．
x2−2x
2
37．（2022·宁夏·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是通常
a2+ab
的四则运算．请解方程（﹣2）⊗x=1⊗x．
1 1
38．（2022·河北唐山·中考模拟）定义新运算：对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝ − ．如：2⊕3＝
b a
1 1 1
− =− .
3 2 6
（1）求4⊕（﹣6）的值；（2）若2⊕（2x﹣1）＝1，求x的值．
39．（2022·重庆·中考模拟）阅读下列材料，解决材料后的问题：
x
材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝ ，例如17
y+2
17 17
与16的友好数为f（17，16）＝ ＝ ．
16+2 18
材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：
[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……
（1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值；
1
（2）已知[ a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围；
2
7 11 3
（3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝ ，且m≥2x+ ，请求f（x，m2﹣ m）的最小值．
2 2 240．（2022·重庆·二模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是通常
的四则运算．例如：1⊗3= ．
（1）解方程 ；
（2）若x,y均为自然数，且满足等式 ，求满足条件的所有数对（x,y）．
【考点9 由实际问题抽象出分式方程】
41．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）二模）某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道
翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，
2500 2500
可得方程 − =10．则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
x−50 x
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
42．（2022·福建省福州外国语学校模拟预测）甲、乙两人加工一批零件，甲完成100个与乙完成80个所
用的时间相同，已知甲比乙每天多完成3个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（
）
100 80 100 80 100 80 100 80
A． = B． = C． = D． =
x x−3 x x+3 x−3 x x+3 x
43．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）一条河上有A，B，C三个码头，C码头在A码头和B码头之间，
A，B两码头之间的距离为90千米，A，C两码头之间的距离为30千米，一艘船从A码头顺水航行到B码
头，再从B码头航行到C码头共用6.75小时（码头停留时间不计），已知水流速度为2千米/小时，则轮
船在静水中的速度为多少？设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则下列方程中，正确的是（ ）
90 30 90 30
A． + =6.75 B． + =6.75
x+2 x+2 x+2 x−2
90 60 90 60
C． + =6.75 D． + =6.75
x+2 x−2 x+2 x+244．（2022·河北邯郸·二模）为了防止疫情扩散，确保人民健康，某区计划开展全员核酸检测．甲、乙两
个检测队分别负责A、B两个生活区的核酸检测．已知A生活区参与核酸检测的共有3000人，B生活区参
与核酸检测的共有2880人，乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟．已知乙检测队的检测速
度是甲检测队的1.2倍，结果两个检测队同时完成检测，设甲检测队每分钟检测x人，根据题意，可以得
到的方程是（ ）
2880 3000 3000 2880 1
A． = +10 B． = +
x 1.2x x 1.2x 6
3000 2880 3000 2880
C． = −10 D． = +10
x 1.2x x 1.2x
45．（2022·宁夏同心思源实验学校三模）一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千
米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若
设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是___________________．
【考点10 分式方程的应用】
46．（2022·吉林·长春市朝阳实验学校模拟预测）为了节约用水，石家庄物价局于2015年3月20日举行
《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过
15m3 (包括15m3 )时，则按规定标准2.8元/m3（含
污染费和排污费），若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8m3收费（含污染费和排污费）．
(1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年4月起计划平均每月用水量比2014年4月到2015年
3月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的
用水量，求小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量；
(2)小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超
出现在计划月平均用水量的50%，其余的四个月的用水量与2014年4月到2015年3月的平均每月用水量相
等．若按新的交费法，求小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费．
47．（2022·吉林·长春市十一高中北湖学校模拟预测）2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥
林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的
吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多16元，且学校用1950元购买小型号的数量是
用1050元购买大型号数量的三倍．
(1)求两种型号玩偶的单价；
(2)为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共200个，但总费用不超过7000元
求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．
48．（2022·四川·洪雅县花溪镇初级中学模拟预测）某单位现有480套旧桌椅需要请木工师傅进行修理．甲师傅单独修理这批桌椅比乙师傅多用10天；乙师傅每天比甲师傅多修8套；甲师傅每天修理费80元，
乙师傅每天修理费120元．请问：
(1)甲、乙两个木工师傅每天各修桌椅多少套？
(2)在修理桌椅过程中，单位要指派一名工作人员进行质量监督，并发给他每天10元的交通补助．现有以
下三种修理方案供选择：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案
既省时又省钱？试比较说明．
49．（2022·山东省泰安第六中学二模）“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大
家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其
中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量
的2倍．
(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？
(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩
具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”
数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”
降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月
销售利润最大，并求出最大利润．
50．（2022·宁夏·银川市第九中学二模）2022年的春天，疫情的反弹使口罩的需求量大增，某社区计划用
480元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折
前多100个．
(1)求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
(2)由于不同岗位的需求不同，该社区决定同时购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共400个．B品牌
N95口罩每个售价为1.6元，两种品牌的N95口罩都打八折，且购买B品牌N95口罩的数量不少于A品牌
1
N95口罩总数量的 ，请设计一种最省钱的购买方案，并求出最少的费用．
3
