文档内容
专题 06 分式方程及其应用（10 个高频考点）（强化训练）
【考点1 分式方程的定义】
1．（2022·河北邢台·模拟预测）下列关于x的方程中， 不是分式方程的是 （ ）
1 x 3x 2 1 4 2
A． +x=1 B． + = C． = D． =1
x 3 4 5 x−1 x x
【答案】B
【分析】由题意根据分母含有未知数的方程是分式方程依次对各选项进行分析判断．
【详解】解：A、C、D选项中分母含有未知数，是分式方程；
B选项中分母不含有未知数，故不是分式方程．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的判断，熟练掌握分式方程的概念分母含有未知数的方程是分式方程是解题的
关键．
2 1 3 x x 2
2．（2022·河北·青龙满族自治县教师发展中心三模）方程 =3、 = 、 =2、 =
x+1 x x−1 2 x−1 x2−1
中分式方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义﹣﹣分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
x
【详解】解： =2中的分母中不含表示未知数的字母；故不是分式方程；
2
2 1 3 x 2
=3、 = 、 = 的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
x+1 x x−1 x−1 x2−1
故选：C．
【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数
（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
3．（2022·四川·梓潼县教育研究室二模）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x=1时没有意义
______．
1
【答案】 =6(答案不唯一)
x−1【分析】根据x=1时没有意义可知，当x=1时，分式的分母为0，根据条件进行构造即可．
1
【详解】解：一个未知数是x且当x=1时没有意义的分式方程为 =6(答案不唯一)．
x−1
1
故答案为： =6．
x−1
【点睛】本题考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最简公分母的值为0的方程的根是增
根，是解题的关键．
4．（2022·四川·江油市小溪坝初级中学校一模）请写出一个解为4的分式方程：___________．
5
【答案】 =1（答案不唯一）
x+1
【分析】根据分式方程的定义及分式方程解的定义写出一个即可．
5
【详解】解：写出一个解为4的分式方程为： =1（答案不唯一），
x+1
5
故答案为： =1（答案不唯一）．
x+1
【点睛】本题考查了分式方程的定义及分式方程解的定义，掌握分式方程的有关定义是解题的关键．
1 3 2 x y x2
5．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）在方程 = ,1+ =0, + =1, =1中，分
x+1 y−1 x 3 2 x
式方程有______个．
【答案】3
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．
1 3 2 x y x2 1 3 2
【详解】解：在方程 = ,1+ =0, + =1, =1中，分式方程有 = ,1+ =0，
x+1 y−1 x 3 2 x x+1 y−1 x
x2
=1一共3个．
x
故答案为：3．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就
是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
【考点2 分式方程的解】
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知一个三角形三边的长分别为5、7、a，且关于y的分式方程
y+4a 5a
+ ＝2的解是非负数，则符合条件的整数a的值为_____________。
y−3 3−y
【答案】4或5或6【分析】根据三边关系，即可求出a的取值范围，再求出分式方程的解，利用分式方程的解为非负数建立
不等式，即可求出a的范围，注意分母不能为0．最后综合比较即可求解．
【详解】解：∵一个三角形三边的长分别为5，7，a．
∴7﹣5＜a＜7+5．即：2＜a＜12．
y+4a 5a
∵ + = 2．
y−3 3−y
解得，y＝6﹣a．
∵解是非负数．且y≠3．
∴6﹣a≥0，且6﹣a≠3．
∴a≤6且a≠3．
∴2＜a≤6且a≠3．
∴符合条件的所有整数a为：4或5或6．
【点睛】本题考查了三角形三边关系、求解分式方程、一元一次不等式等知识，关键在于利用分式方程的
解为非负数，建立不等式，同时一定要注意分母不为0的条件．属于中考填空或者选择的常考题．
2x+m
7．（2022·山东·滕州市大坞镇大坞中学一模）已知关于x的方程 =3的解大于1，则m的取值范围为
x−2
________．
【答案】m＞−5且m≠−4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解大于1确定出m的范围即可．
【详解】解：去分母得：2x＋m＝3x−6，
解得x＝m＋6，
由分式方程的解大于1，
得到m＋6＞1，且m＋6≠2，
解得m＞−5且m≠−4
故答案为：m＞−5且m≠−4．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤是解题关键．
8．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）一模）已知关于x的方程
2x+m
=5的解不是正数，则m的取值范围为______．
x+2
【答案】m⩽−6##−6≥m
【分析】先解分式方程得到方程的根为：x=m+6，再根据方程的解为正数及分母不为0，列不等式组，从而可得答案．
2x+m
【详解】解：∵ =3，
x−2
∴2x+m=3x−6，
解得：x=m+6，
2x+m
∵关于x的方程 ＝3的解不是正数，
x−2
∴m+6≤0且m+6≠2，
解得：m≤−6．
故答案为：m≤−6．
【点睛】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，解题的关键是用含m的代数式将方
程解表示出来．
x−3 3
9．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校模拟预测）若x=k−1是方程 = −1的解，求k−1+√4的值．
x−2 2−x
1
【答案】2 .
2
x−3 3
【分析】先将方程 = −1化简，再把x=k−1代入计算求出k值，再计算最后结果.
x−2 2−x
x−3 3
【详解】解： = −1
x−2 2−x
x−3 3
=− −1
x−2 x−2
x
=−1
x−2
k−1
若x=k−1,则： =−1
k−1−2
k−1
=−1
k−3
k−1=3−k
2k=4
k=2（经检验符合题意）
1 1
所以原式=2−1+√4= +2=2
.
2 2
【点睛】此题重点考查学生对分式方程的理解，掌握分式方程的解法是解题的关键.x x+1 4x+a
10．（2022·江苏省南菁高级中学一模）已知关于x的方程 + = 只有一个实数根，求实数
x+1 x x(x+1)
a的值．
1
【答案】当a= ，1，5时原方程只有一个实数根
2
【详解】解：去分母得整式方程，2x2－2x+1－a=0， =4（2a－1），
1 1 △
（1）当 =0，即a= 时，显然x= 是原方程的解．
2 2
△
1 1 1
（2）当 ＞0，即a＞ 时，x= （1+√2a−1），x= （1－√2a−1），
2 1 2 2 2
△
显然x＞0，∴x≠－1，x≠0，它是原方程的解，
1 1 1
∴只需x=0或－1时，x 为增根，此时原方程只有一个实数根，
2 2
1
∴当x=0时，即 （1－√2a−1）=0，得：a=1；
2 2
1
当x=－1时，即 （1－√2a−1）=－1，得：a=5.
2 2
1
综上，当a= ，1，5时原方程只有一个实数根.
2
【考点3 解分式方程】
1 4x 2
11．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）（1） + + =1；
x+2 x2−4 2−x
(3x−2) 2 2−3x
（2） = ．
3 4
2 5
【答案】（1）x=1；（2）x = ，x =
1 3 2 12
【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，然后解出整式方程，再检验，即可求解；
（2）先去分母再利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：（1）方程两边同乘以（x+2）（x-2），
得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2），
解得x=1或2．
经检验，x=1是原方程的解，x=2不是原方程的解，
所以原方程的解为：x=1．
（2）去分母得，4(3x−2) 2=3(2−3x)，移项得，4(3x−2) 2+3(3x−2)=0，
∴（3x-2）[4（3x-2）+3]=0，
∴3x-2=0，4（3x-2）+3=0，
2 5
解得，x = ，x = ．
1 3 2 12
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解题
的关键．
3 x
12．（2022·浙江衢州·二模）以下是方方解方程 +2= 的解答过程．
x−1 1−x
解：去分母，得3+2(x−1)=x．
去括号，得3+2x−1=x．
移项，合并同类项，得 x=2．
方方的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
1
【答案】方方的解答过程有错误；正确的结果为 x=−
3
【分析】按解分式方程的步骤逐步检查即可．
【详解】方方的解答过程有错误．共四处错误：
第一处，去分母时，方程两边同时乘以(x−1)，右边结果应该是−x；
第二处，去括号时括号里每一项都要乘到；
第三处，移项要变号；
第四处：解分式方程需要检验；
正确解法如下：
去分母，得3+2(x−1)=−x．
去括号，得3+2x−2=−x．
1
移项，合并同类项，得 x=− ．
3
1
检验：当 x=− 时，x-1≠0，
3
1
∴ x=− 是原方程的根．
3
【点睛】本题考查了分式方程的解法，解分式方程一定记得检验．
2x+3 x−1
13．（2022·浙江衢州·一模）小王和小凌在解答“解分式方程： =1− ”的过程如下框，请你判
x x断他们的解法是否正确？若错误，请写出你的解答过程.
小王的解法：
解，去分母得：2x+3=1−(x−1) 小凌的解法：
① 解，去分母得：2x+3=x−x−1 ①
去括号得：2x+3=1−x+1 ② 移项得：2x=−3−1 ②
移项得：2x+x=1+1−3 ③ 合并同类项得：2x=−4 ③
合并同类项得：3x=−1 ④ 系数化为1得：x=−2 ④
1 ∴x=−2是原分式方程的解
系数化为1得：x=− ⑤
3 ⑤
1
∴x=− 是原分式方程的解 ⑥
3
【答案】x=−1
【分析】根据分式方程的求解步骤，进行判断求解即可．
【详解】解：小王和小凌的解法不正确，
小王在去分母的时候，有一项忘记乘x，小凌的解法，去分母的时候后面的x−1应当加括号，
2x+3 x−1
=1−
x x
去分母得：2x+3=x−(x−1)
去括号得：2x+3=x−x+1
移项，合并同类项得：2x=−2
系数化为1得：x=−1
经检验x=−1时，x≠0，
所以x=−1是原分式方程的解．
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解方法．
x−5 2
14．（2022·陕西·西北轻工业学院附中三模）解分式方程： + =1．
x−1 x
【答案】x=−1是原分式方程的解
【分析】两边同乘以x（x－1），化成整式方程，解方程后再检验即可．
x−5 2
【详解】解： + =1
x−1 x
两边同乘以x（x－1）得：x(x−5)+2(x−1)=x(x−1)
去括号得：x2−5x+2x−2=x2−x，
解得：x=−1，经检验x=−1是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，一定要验根，熟练掌握解分式方程的步骤是解答的关键．
15．（2022·浙江金华·一模）小明邀请你请参与数学接龙游戏：
3x x−1
[问题]解分式方程： + =2，
x−1 3x
3x x−1 1 1
[小明解答的部分]解：设 =t，则有 = ，故原方程可化为t+ =2，去分母并移项，得
x−1 3x t t
t2−2t+1=0．
[接龙]
1
【答案】x=−
2
【分析】用分解因式法解t的方程，求出t值后代回，解x的分式方程，求出x值后验根
【详解】解：[接龙]方程整理得：(t−1) 2=0，
开方得：t−1=0，
解得：t =t =1，
1 2
3x
∴ =1，
x−1
去分母得：3x=x−1，
1
解得：x=− ，
2
1
检验：把x=− 代入最简公分母得：3x(x−1)≠0，
2
1
∴分式方程的解为x=− ．
2
3x
【点睛】此题考查了解分式方程，用换元法解方程，解题的关键是求出关于t的方程的解，即为 的值，
x−1
进而求出x的值，检验即可．
【考点4 换元法解分式方程】
16．（2022·福建省福州屏东中学二模）请阅读下面解方程(x2+1) 2−2(x2+1)−3=0的过程．
解：设x2+1= y，则原方程可变形为y2−2y−3=0．
解得y =3，y =−1．
1 2
当y=3时，x2+1=3，∴x=±√2，当y=−1时，x2+1=−1，x2=−2，此方程无实数解，
∴原方程的解为：x =√2，x =−√2．
1 2
我们将上述解方程的方法叫作换元法．
x−1 2 x−1
请用换元法解方程：( ) −2( )−8=0．
x x
1 1
【答案】x= 或x=−
3 3
x−1 x−1
【分析】设y= ，则原方程变形为：y2−2y−8=0，从而得到，y =−2，y =4，则得到 =−2
x 1 2 x
x−1
和 =4，解出即可．
x
x−1
【详解】解：设y= ，
x
则原方程变形为：y2−2y−8=0，
解得，y =−2，y =4，
1 2
x−1 1
当y=−2时， =−2，解得，x= ，
x 3
1
经检验x= 是分式方程的解．
3
x−1 1
当y=4时， =4，解得x=− ，
x 3
1
经检验x=− 是分式方程的解，
3
1 1
∴原分式方程的解为x = ，x =− ．
1 3 2 3
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，根据题意，理解换元法是解题的关键．
17．（2022·浙江丽水·一模）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未
知数或变数称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元．
1 1
例如解方程组¿，设m＝ ，n＝ ，则原方程组可化为¿，
x y
解之得¿，即¿所以原方程组的解为¿．
运用以上知识解决下列问题：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（1）求值：(1+ + + )×( + + + )−(1+ + + + )×( + + )＝ ．
11 13 17 11 13 17 19 11 13 17 19 11 13 17
（2）方程组¿的解为 ．
（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝ ．
（4）解方程组¿
（5）已知关于x、y的方程组¿的解是¿，求关于x、y的方程组¿的解．
1
【答案】（1） ；（2）¿；（3）(x+2) 4；（4）¿；（5）¿，¿
19
1 1 1
【分析】（1）设 + + =a，代入原式化简即可得出结论；
11 13 17
1 1
（2）设 =a, =b，将原方程组变形，求得a，b，进而求出原方程组的解；
x+ y x−y
（3）设x2+4x+3=m，展开后因式分解，再将m代入即可得出结论；
（4）将原方程组变形为¿，设2x=m，3y=n，解关于m，n的方程组，进而求得x．y的值；
（5）将关于x、y的方程组¿，变为¿，利用关于x、y的方程组¿的解是¿，可得：¿，解这个方程组可得原
方程组的解．
1 1 1
【详解】解：（1）设 + + =a，
11 13 17
1 1 1 1 1 1
原式=(1+a)(a+ )−(1+a+ )a=a+ +a2+ a−a−a2− a= ．
19 19 19 19 19 19
1
故答案为： ．
19
1 1
（2）设 =a, =b，原方程组变为：
x+ y x−y
¿．
解得：¿．
∴ ¿．
解得：¿．
经检验，¿是原方程组的解．
故答案为：¿．
（3）设x2+4x+3=m，
原式=m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1) 2=(x2+4x+3+1) 2=[(x+2) 2
]
2=(x+2) 4．故答案为：(x+2) 4．
（4）原方程组变形为：¿，
设2x=m，3y=n，则¿．
解得：¿．
∴ ¿．
∴ ¿．
（5）将关于x、y的方程组¿整理得：
¿．
∵关于x、y的方程组¿的解是¿，
∴ ¿．
即：¿．
解这个方程组得：
¿，¿．
∴原方程组的解为：
¿，¿．
【点睛】本题主要考查了换元法解分式方程和分式方程组，因式分解，解二元一次方程组，有理数的混合
运算，分式方程的解．利用换元法可使问题简单化，恰当的换元是解题的关键．
18．（2022·浙江·宁波市鄞州蓝青学校一模）用换元法解方程组：¿
x=4
【答案】{
.
y=1
1 1
【分析】根据换元法，设m= ，n= ，代入方程组，先求出m、n的值，然后求出x、y的值.
x−2 y+3
1 1
【详解】解：根据题意，设m= ，n= ，代入方程组，得
x−2 y+3
¿，由②×4−①，得18m=9，
1
解得：m= ；
2
1 1
把m= 代入①，解得：n= ；
2 4
1 1
∴ = ，解得：x=4；
x−2 2
1 1
= ，解得：y=1；
y+3 4∴方程组的解为：¿；
【点睛】本题考查了解分式方程，利用换元法解分式方程是解题的关键.
1 1
19．（2022·广东韶关·模拟预测）(换元法)解方程：x2＋ ＋ ＋x＝0
x2 x
【答案】x ＝x ＝－1
1 2
1
【分析】设x＋ ＝y，则原方程可化为y2＋y－2＝0，求出y的值，再求x的值即可，因关于x的方程是分
x
式方程，求出x的值后要检验..
1
【详解】解：设x＋ ＝y，则原方程可化为y2＋y－2＝0，(y＋2)(y－1)＝0，
x
∴y ＝－2，y ＝1，
1 2
1
当x＋ ＝－2时，x ＝x ＝－1，
x 1 2
1
经检验，x ＝x ＝－1是原方程的解；当x＋ ＝1时，此方程无实数根．
1 2 x
∴原方程的解是x ＝x ＝－1.
1 2
【点睛】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，
把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，
关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研
究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理
6
20．（2022·黑龙江·哈尔滨市第八十四中学校一模））用换元法解方程：x2﹣x+1= ．
x2−x
【答案】x =﹣1，x =2．
1 2
【详解】试题分析：本题要求运用换元法解题，可先对方程进行观察，可知方程左右两边都含有x2﹣x，如
此只要将x2﹣x看作一个整体，用y代替，再对方程进行化简得出y的值，最后用x2﹣x=y来解出x的值．
1 1
解：设x2﹣x=y，则 = ，
x2−x y
6
原方程化为y+1= ，
y
∴y2+y﹣6=0即（y+3）（y﹣2）=0，
解得y =﹣3，y =2．
1 2
当y=﹣3时，x2﹣x=﹣3，
∴x2﹣x+3=0，∵△=1﹣12＜0，
∴此方程无实根；
当y=2时，x2﹣x=2，
∴x2﹣x﹣2=0，
解得x =﹣1，x =2．
1 2
经检验，x =﹣1，x =2都是原方程的根．
1 2
∴原方程的根是x =﹣1，x =2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．
【考点5 分式方程的增根】
x+2 m
21．（2022·湖北襄阳·一模）关于x的方程 = 有增根，则m的值及增根x的值分别为（ ）
x+3 x+3
A．−1，−3 B．1，−3 C．−1，3 D．1，3
【答案】A
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以先确定增根的可能值，让最简公分母
x+3=0，得到x=−3，然后代入化为整式方程的方程求出m的值．
【详解】解：原分式方程两边都乘以x+3，得：x+2=m，
原方程有增根，
∵最简公分母x+3=0，
∴解得：x=−3，
将x=−3代入x+2=m，得：−3+2=m，
解得：m=−1，
m的值及增根x的值分别为−1，−3，
∴故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0；化分式方程为整式
方程；把增根代入整式方程即可求得相关未知数的值．
2 k+1
22．（2022·四川成都·一模）关于x的方程 = 有增根，则k的值为（ ）
x+5 x
A．1 B．2 C．－2 D．－1
【答案】D
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x(x+5)=0，所以增根是x=-5，x=0，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
1 2
【详解】∵原方程有增根，
∴x=-5，x=0，
1 2
2 k+1
方程 = 去分母得：2x=(x+5)(k+1)，
x+5 x
①当x=-5时，k无解；
②当x=0时，k=-1．
∴k的值为-1．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2x m+1 x+1
23．（2022·四川内江·一模）若分式方程 − = 有增根，则m的值是（ ）
x+1 x2+x x
A．﹣1或1 B．﹣1或2 C．1或2 D．1或﹣2
【答案】D
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x
（x＋1）＝0，所以增根是0或−1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【详解】解：方程两边都乘x（x+1），得
2x2﹣（m+1）＝（x+1）2
∵最简公分母x（x+1）＝0，
∴x＝0或x＝﹣1．
当x＝0时，m＝﹣2；
当x＝﹣1时，m＝1．故选D．
【点睛】增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把
增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
x a
24．（2022·河南·模拟预测）方程 =2+ 有增根，那么a=________________．
x−4 x−4
【答案】4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x−4=0，求出x的值，代入整式方程计
算即可求出a的值．【详解】解：去分母得：x=2(x−4)+a，
由分式方程有增根，得到x−4=0，即x=4，
把x=4代入整式方程得：a=4．
故答案为4．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增
根代入整式方程即可求得参数的值．
k−1 1 k
25．（2022·四川成都·二模）关于x的分式方程 − = 有增根，则k=________．
x2−1 x−1 x+1
1
【答案】3或
3
【分析】解分式方程，先将原方程变形为整式方程，然后根据方程有增根的概念可知，x=1或x=−1是原
方程的增根，代入求值即可求解．
【详解】解：方程左右两边同时乘以(x−1)(x+1)得：k−1−(x+1)=k(x−1)
∵原方程有增根
∴x=1或x=−1，
当x=1时，
k−1−(1+1)=k(1−1)
∴k=3
当x=−1时，
k−1−(−1+1)=k(−1−1)
1
∴k=
3
1
故答案为：3或 ．
3
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，以及解分式方程，正确理解相关概念准确计算是解题关键．
【考点6 分式方程的无解】
x−a 3
26．（2022·山东聊城·一模）若关于x的分式方程 − =1无解，则a的值为____．
x−1 x
【答案】1或-2
【分析】将分式方程化为整式方程，根据分式方程无解，分为整式方程无解和分式方程有增根两种情况进
行解题即可．
【详解】解：方程两边同乘x(x−1)得：x(x−a)−3(x−1)=x(x−1)，
去括号得：x2−ax−3x+3=x2−x，移项合并同类项得：(a+2)x=3，
①当整式方程无解时：a+2=0，解得：a=−2，
②当分式方程有增根时：x(x−1)= 0，解得：x=0或x=1，
当x=0时，整式方程无解，
当x=1时：a+2=3，解得：a=1；
故答案为：1或-2．
【点睛】本题考查分式方程无解时求参数的值，注意分式方程无解有两种情况：整式方程无解或分式方程
有增根．
mx 7
27．（2022·四川广元·一模）若关于x的分式方程 +3= 无解，则实数m=_________．
x−4 x−4
7
【答案】−3或
4
【分析】将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解，分类讨论求解即可．
mx 7
【详解】解：由 +3= 可得：mx+3x−12=7
x−4 x−4
即(m+3)x=19
因为分式方程无解，
所以，m+3=0或x=4
由m+3=0可得m=−3
7
将x=4代入(m+3)x=19可得，(m+3)×4=19，解得m=
4
7
故答案为：−3或
4
【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考
虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况．
5 ax 3
28．（2022·山东烟台·二模）关于x的方程 + ＝ 无解，则a＝_______．
x−5 x2−25 x+5
【答案】﹣2或﹣10或6
【分析】先将原方程化为整式方程，然后根据题意分为两种情况a+2＝0和a+2≠0，分别进形讨论，即可求
解．
【详解】解：方程两边都乘以（x+5）（x﹣5）得：
5（x+5）+ax＝3（x﹣5），
∴（a+2）x＝﹣40，当a+2＝0时，即a＝﹣2时，方程不成立，方程无解，符合题意；
当a+2≠0，即a≠﹣2时，
40
解得x＝﹣ ，
a+2
∵方程无解，
∴（x+5）（x﹣5）＝0，
∴x＝±5，
40
当x＝5时，﹣ ＝5，解得a＝﹣10；
a+2
40
当x＝﹣5时，﹣ ＝﹣5，解得a＝6．
a+2
∴a＝﹣2或﹣10或6．
故答案为：﹣2或﹣10或6．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，理解分式方程无解分为一是化为整式方程，整式方程无解，
二是分式方程化为整式方程的过程中产生的增根（最简公分母为零）是解题的关键．
m(x+1)−5
29．（2022·山东·一模）若关于x的分式方程 =m−3无解，则m＝_____．
2x+1
【答案】6，10
1
【分析】关键是理解方程无解即是分母为0，由此可得x=− ，再按此进行计算．
2
m(x+1)−5
【详解】解：∵关于x的分式方程 =m−3无解，
2x+1
1
∴x=− ，
2
原方程去分母得：m（x+1）-5=（2x+1）（m-3）
2
解得：x= ，m=6时，方程无解．
6−m
2 1
或 =− 是方程无解，此时m=10．
6−m 2
故答案为6，10．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．注意：在解方程的过程中因为在把分式方
程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原
分式方程的解．a 2a−x−1
30．（2022·黑龙江牡丹江·三模）已知关于x的分式方程 － =0无解，则a的值为
x+1 x2+x
____________.
1
【答案】-1或0或
2
a 2a−x−1
【分析】若关于x的分式方程 － =0无解，则最简公分母为零或所化成的整式方程无解.
x+1 x2+x
【详解】解：去分母方程两边同乘x(x+1) 得，
ax−(2a−x−1)=0
ax−2a+x+1=0
(a+1)x−2a+1=0
(a+1)x=2a−1
当a+1=0 即a=−1时，整式方程无解，即分式方程无解；
1
当a+1≠0时，有x=0或x=−1时，分式方程无解，此时a= 或a=0
2
1
故答案为-1或0或
2
【点睛】本题主要考查分式方程无解问题.本题的易错点在于只考虑到了最简公分母为零的情况，而忽略了
化为整式方程后，整式方程无解这一情况，从而导致答案不全.
【考点7 不等式与分式方程的综合】
y+2 m
31．（2022·四川成都·三模）若关于x的不等式组¿无解，关于y的方程 −1= 的解大于1，则m
y−2 y2−4
的取值范围是______．
【答案】12＜m≤18，且m≠16
【分析】解不等式组，根据不等式组无解得出m的范围；解分式方程，根据解大于1得出m的范围；检验
分式方程，得出m的范围；综上所述，得出m的范围．
【详解】解：¿，
解不等式①得：x＞5，
m+2
解不等式②得：x＜ ，
4
∵不等式组无解，
m+2
∴ ≤5，
4∴m≤18；
y+2 m
解关于y的分式方程： −1= ，
y−2 y2−4
方程两边都乘以（y＋2）（y−2）得：（y＋2）2−（y＋2）（y−2）＝m，
∴y2＋4y＋4−（y2−4）＝m，
∴y2＋4y＋4−y2＋4＝m，
∴4y＝m−8，
1
∴y＝ m−2，
4
∵y＞1，
1
∴ m−2＞1，
4
∴m＞12，
∵y2−4≠0，
∴y≠±2，
1
∴ m−2≠±2，
4
∴m≠0，m≠16，
综上所述，12＜m≤18，且m≠16．
故答案为：12＜m≤18，且m≠16．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟练掌握分式方程和一元一次不等式组
的解法步骤，是解题的关键，注意分式方程一定要检验．
32．（2022·四川成都·三模）若关于x的一元一次不等式组¿恰有3个整数解，且使关于y的分式方程
y+3 ay
+ =1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是_______．
y−3 3−y
【答案】4
【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程
有正整数解，确定出a的值，求出之和即可．
【详解】原不等式组的解集为：¿，
∵¿恰有3个整数解，
2+a
∴0< ≤1，
5即：−2− ，得：m<4.5，
3 2
则不等式组的解集为−5≤m<4.5，
∴不等式组的所有整数解为−5、−4、−3、−2、−1、0、1、2、3、4这10个，
将分式方程的两边都乘以x(x−1)，得：3(x−1)+6x=x−m，
∵分式方程的增根为x=1或x=0，
当x=1时，m=−5；
当x=0时，m=3；
2 1
所以该分式方程有增根的概率为 = ，
10 5
1
故答案为 ．
5
【点睛】本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的能力和分式方程增
根的概念及概率公式．
x+2 a
35．（2022·山东聊城·二模）若数a使关于x的分式方程 + =3的解为非负数，且使关于y的不等
x−1 1−x
式组¿的解集为y≤0，求符合条件的所有整数a的积．
【答案】40
【分析】先用a表示方程的解，根据解是非负数，且x≠1，结合不等式组的解集确定a的范围，求得整数
解计算即可．
x+2 a
【详解】∵ + =3，
x−1 1−x
去分母，得
x+2-a=3x-3,移项、合并同类项，得 2x=5-a，
系数化为1，得
5−a
x= ，
2
x+2 a
∵数a使关于x的分式方程 + =3的解为非负数，且x-1≠0，
x−1 1−x
5−a 5−a
∴ ≥0, ≠1，
2 2
∴a≤5,a≠3，
∵¿，
∴①的解集为y≤0，②的解集为y＜a，
∵¿的解集为y≤0，
∴a＞0，
∴符合条件的所有整数a为1,2,4,5，
∴符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，一元一次不等式组的解集，熟练掌握解分式方程，不等式组的解集
是解题的关键．
【考点8 分式方程中的新定义问题】
1 1
36．（2022·河北廊坊·中考模拟）定义新运算：对于任意不为零的实数a、b，都有a★b= − ，求方程x★
a b
6
（2﹣x）= 的解．
x2−2x
【答案】x=4．
1 1 1 1 6
【详解】分析：根据a★b= ﹣ ，可得：x★（2﹣x）= ﹣ = ，据此求出方程的解即可．
a b x 2−x x2−2x
1 1 1 1 6
详解：∵a★b= ﹣ ，∴x★（2﹣x）= ﹣ = ，
a b x 2−x x2−2x
两边同时乘x（2﹣x），可得：2﹣x﹣x=﹣6，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为：x=4．
点睛：本题主要考查了实数的运算，以及分式方程的求解方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范
围内仍然适用．
2
37．（2022·宁夏·一模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是通常
a2+ab
的四则运算．请解方程（﹣2）⊗x=1⊗x．
【答案】x=1．
【分析】所求方程利用题中的新定义可以转化为关于x的分式方程，解方程即可求得答案.
2 2
【详解】由题意： = ，
4−2x 1+x
两边同时乘以2（2-x）(1+x)，得
2+2x=8﹣4x，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2（2-x）(1+x)≠0，
所以x=1是分式方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，弄清题中的新定义运算、列出分式方程是解题的关键.
1 1
38．（2022·河北唐山·中考模拟）定义新运算：对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b＝ − ．如：2⊕3＝
b a
1 1 1
− =− .
3 2 6
（1）求4⊕（﹣6）的值；（2）若2⊕（2x﹣1）＝1，求x的值．
5 5
【答案】（1）− ；（2）x= .
12 6
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，求出x的值即可．
1 1 5
【详解】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝− − =− ；
6 4 12
1 1
（2）根据题中的新定义化简得： − =1，
2x−1 2
去分母得：6x﹣3＝2，
5
解得：x＝ ，
6
5
经检验x＝ 是分式方程的解．
6【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
39．（2022·重庆·中考模拟）阅读下列材料，解决材料后的问题：
x
材料一：对于实数x、y，我们将x与y的“友好数”用f（x，y）表示，定义为：f（x）＝ ，例如17
y+2
17 17
与16的友好数为f（17，16）＝ ＝ ．
16+2 18
材料二：对于实数x，用[x]表示不超过实数x的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：
[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……
（1）由材料一知：x2+2与1的“友好数”可以用f（x2+2，1）表示，已知f（x2+2，1）＝2，请求出x的值；
1
（2）已知[ a﹣1]＝﹣3，请求出实数a的取值范围；
2
7 11 3
（3）已知实数x、m满足条件x﹣2[x]＝ ，且m≥2x+ ，请求f（x，m2﹣ m）的最小值．
2 2 2
3 23 3
【答案】（1）x＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m＝ 时，y有最大值是﹣ ，此时f（x，m2﹣ m）有
4 8 2
40
最小值，最小值是﹣ ．
23
x2+2
【分析】（1）由题意得到 =2，计算即可得到答案；
1+2
1
（2）由题意得到−3≤ a−1<−3+1，解不等式即可得到答案；
2
1 7 1 7 7 3 1 7
（3）先由题意得到 x− ≤x< x− +1，则− ≤x<− ，设 x− =k，由题意得到
2 4 2 4 2 2 2 4
11 1
m≥2x+ = ，设y＝﹣2m2+3m﹣4，根据二次函数的性质即可得到答案.
2 2
【详解】解：（1）∵f（x2+2，1）＝2，
x2+2
∴ =2，
1+2
∴x2＝4，
∴x＝±2；
（2）∵[x]≤x＜[x]+1，
1
∴−3≤ a−1<−3+1，
2解得﹣4≤a＜﹣2；
7
（3）∵x﹣2[x]＝ ，
4
1 7
∴[x]＝ x− ，
2 4
1 7 1 7
∴ x− ≤x< x− +1，
2 4 2 4
7 3
∴− ≤x<− ，
2 2
1 7
设 x− =k，
2 4
7
又x＝2k+ ，
2
7 5
∴− ≤k<− ,
2 2
∴整数k＝﹣3，
5
∴x＝− ，
2
11 1
又m≥2x+ = ，
2 2
3
∴f（x，m2﹣ m），
2
x
＝ 3 ，
m2− m+2
2
5
−
2
＝ ，
3
m2− m+2
2
5
＝ ，
−2m2+3m−4
设y＝﹣2m2+3m﹣4，
3 23
则y＝﹣2（m− ）2− ，
4 8
∵﹣2＜0，5
3 23 3 40
∴当m＝ 时，y有最大值是− ，此时f（x，m2﹣ m）有最小值，最小值是 23＝﹣ ，
4 8 2 − 23
8
40
此时最小值为﹣ ．
23
【点睛】本题考查分式方程的计算和二次函数，解题的关键是读懂题意，掌握分式方程的计算和二次函数
的性质.
40．（2022·重庆·二模）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= ，这里等式右边是通常
的四则运算．例如：1⊗3= ．
（1）解方程 ；
（2）若x,y均为自然数，且满足等式 ，求满足条件的所有数对（x,y）．
1
【答案】x= ；（3,4）（5,3）（7,2）（9,1）（11,0）．
2
【详解】试题分析：首先根据题意列出分式方向，然后进行求解；根据题意得出二元一次方程组，然后根
据解的特殊性得出方程组的解．
试题解析：（1）根据题意，得 即： 解得：
经检验， 是原方程的解且符合题意， ∴原方程的解为 ．
（2） ，∴ 即：
∵ , 均为自然数， ∴ 或 或 或 或 或 ，经检验， 不是原方程的解，
∴满足条件的所有数对（x,y）为（3,4）（5,3）（7,2）（9,1）（11,0），共五对．
考点：新定义、分式方程、二元一次方程组．
【考点9 由实际问题抽象出分式方程】
41．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）二模）某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道
翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，
2500 2500
可得方程 − =10．则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
x−50 x
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
【答案】D
【分析】根据分式方程以及题意，求解即可．
【详解】解：由题意可得，实际每天修路x米，x−50表示计划每天修路的长，则实际每天比原计划多修50
米的路，
2500 2500
表示计划工期， 表示实际工期
x−50 x
2500 2500
− =10则表示实际工期比计划工期少10天，即结果提前10天完成，
x−50 x
故选：D
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解分式方程中每个式子的含义是解题的关键．
42．（2022·福建省福州外国语学校模拟预测）甲、乙两人加工一批零件，甲完成100个与乙完成80个所
用的时间相同，已知甲比乙每天多完成3个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是（
）
100 80 100 80 100 80 100 80
A． = B． = C． = D． =
x x−3 x x+3 x−3 x x+3 x
【答案】A
【分析】由甲比乙每天多完成3个，可得出乙每天完成（x-3）个零件，利用工作时间=工作总量÷工作效率，
结合甲完成100个与乙完成80个所用的时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【详解】解：∵甲比乙每天多完成3个，甲每天完成x个零件，
∴乙每天完成（x-3）个零件．
100 80
依题意得： = ．
x x−3
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
43．（2022·贵州·仁怀市教育研究室三模）一条河上有A，B，C三个码头，C码头在A码头和B码头之间，
A，B两码头之间的距离为90千米，A，C两码头之间的距离为30千米，一艘船从A码头顺水航行到B码
头，再从B码头航行到C码头共用6.75小时（码头停留时间不计），已知水流速度为2千米/小时，则轮
船在静水中的速度为多少？设轮船在静水中的速度为x千米/小时，则下列方程中，正确的是（ ）
90 30 90 30
A． + =6.75 B． + =6.75
x+2 x+2 x+2 x−2
90 60 90 60
C． + =6.75 D． + =6.75
x+2 x−2 x+2 x+2
【答案】C
【分析】根据题意可得出船顺水的速度为（x+2）千米/时，逆水时的速度为(x-2)千米/时，根据船从A码头
顺水航行到B码头，再从B码头航行到C码头共用6.75小时可得方程．
【详解】解：∵A，B两码头之间的距离为90千米，A，C两码头之间的距离为30千米，C码头在A码头
和B码头之间，
∴C，B两码头之间的距离为90-30=60千米，
90 60
根据题意得， + =6.75
x+2 x−2
故选：C
【点睛】本题主要考查了列分式方程，明确题意，找出正确的等量关系是解答本题的关键．
44．（2022·河北邯郸·二模）为了防止疫情扩散，确保人民健康，某区计划开展全员核酸检测．甲、乙两
个检测队分别负责A、B两个生活区的核酸检测．已知A生活区参与核酸检测的共有3000人，B生活区参
与核酸检测的共有2880人，乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测10分钟．已知乙检测队的检测速
度是甲检测队的1.2倍，结果两个检测队同时完成检测，设甲检测队每分钟检测x人，根据题意，可以得
到的方程是（ ）
2880 3000 3000 2880 1
A． = +10 B． = +
x 1.2x x 1.2x 63000 2880 3000 2880
C． = −10 D． = +10
x 1.2x x 1.2x
【答案】D
3000 2880
【分析】设甲检测队每分钟检测x人，则乙检测队每分钟检测1.2x人，依题意，得 = +10，进
x 1.2x
而可得答案．
【详解】解：设甲检测队每分钟检测x人，则乙检测队每分钟检测1.2x人，
3000 2880
依题意，得 = +10，
x 1.2x
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
45．（2022·宁夏同心思源实验学校三模）一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千
米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若
设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是___________________．
312 312
【答案】 − =1
x x+26
【分析】根据“速度提高了26千米/小时，现在该列火车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1个小
时”结合路程、速度、时间的关系即可列出方程．
312 312
【详解】由题意所列方程为 − =1，
x x+26
312 312
故答案为： − =1
x x+26
【点睛】解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确运用路程=速度×时间列出方程．
【考点10 分式方程的应用】
46．（2022·吉林·长春市朝阳实验学校模拟预测）为了节约用水，石家庄物价局于2015年3月20日举行
《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过
15m3 (包括15m3 )时，则按规定标准2.8元/m3（含
污染费和排污费），若每月用水量超过15m3，则超过的部分按3.8m3收费（含污染费和排污费）．
(1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从2015年4月起计划平均每月用水量比2014年4月到2015年
3月平均每月用水量减少4m3，这使小敏家在相同的月数内，从计划前180m3的用水量变为计划后132m3的
用水量，求小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量；
(2)小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的20%，有四个月超出现在计划月平均用水量的50%，其余的四个月的用水量与2014年4月到2015年3月的平均每月用水量相
等．若按新的交费法，求小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费．
【答案】(1)11m3
(2)504.92元
【分析】（1）设小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量为xm3，则从2014年4月到2015年3月平均每
月用水量为(x+4)m3，依题意可列出关于x的分式方程，解出x，并检验，即可得出结果；
（2）由题意可求出超出现在计划月平均用水量的20%的四个月平均用水量为13.2m3，
这四个月的水费为147.8元，超出现在计划月平均用水量的50%的四个月平均用水量为16.5m3，这四个月
的水费为190.8元．设2014年4月到2015年3月的平均每月用水量为ym3，根据题意可列出关于y的方程，
解出y的值，即可求出这四个月的水费，最后将水费相加即得出总水费．
【详解】（1）解：设小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量为xm3，则从2014年4月到2015年3月平
均每月用水量为(x+4)m3，
180 132
依题意有： = ，
x+4 x
解得：x=11，
经检验，x=11是原方程的解，
∴小敏家从2015年4月起计划平均每月用水量为11m3；
（2）解：超出现在计划月平均用水量的20%的四个月平均用水量为11×(1+20%)=13.2m3，
∴这四个月的水费为13.2×2.8×4=147.8元；
超出现在计划月平均用水量的50%的四个月平均用水量为11×(1+50%)=16.5m3，
∴这四个月的水费为[15×2.8+(16.5−15)×3.8]×4=190.8元；
设2014年4月到2015年3月的平均每月用水量为ym3，
根据题意有：13.2×4+16.5×4+4 y=12y，
解得：y=14.85
∴其余四个月的平均用水量为14.85m3，
∴这四个月的水费为14.85×2.8×4=166.32元．∴小敏家从2014年4月到2015年3月这一年中应交的总水费为147.8+190.8+166.32=504.92元．
【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的实际应用．读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程是解
题关键．
47．（2022·吉林·长春市十一高中北湖学校模拟预测）2022年北京冬奥会是我国又一次举办的大型国际奥
林匹克运动盛会．为了增加学生相关知识，某校开展“冬奥会知识竞赛”活动并计划购买大小两种型号的
吉祥物玩偶作为奖品．已知大型号的单价比小型号的单价多16元，且学校用1950元购买小型号的数量是
用1050元购买大型号数量的三倍．
(1)求两种型号玩偶的单价；
(2)为了让更多同学参与竞赛活动，学校决定购进这两种型号吉祥物玩偶共200个，但总费用不超过7000元
求最多可购买大型号吉祥物玩偶的个数．
【答案】(1)小型号玩偶的单价为26元，大型号玩偶的单价为42元
(2)112
【分析】（1）设小型号玩偶的单价为x元，则大型号玩偶的单价为(x+16)元，根据题意，列出分式方程，
解方程即可求解；
（2）设最多购买大型号吉祥物玩偶m个，根据题意列出一元一次不等式即可求解．
【详解】（1）解：设小型号玩偶的单价为x元，则大型号玩偶的单价为(x+16)元，
1950 1050
根据题意，得 =3⋅ ，
x x+16
解得x=26，
经检验，x=26是原分式方程的根，
∴小型号玩偶的单价为26元，大型号玩偶的单价为42元；
（2）设最多购买大型号吉祥物玩偶m个，
根据题意，得42m+26(200−m)≤7000，
解得m≤112.5，
∴最多可购买大型号吉祥物玩偶112个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意建立关系式是解题的关键，还要
注意分式方程检验与取整问题．
48．（2022·四川·洪雅县花溪镇初级中学模拟预测）某单位现有480套旧桌椅需要请木工师傅进行修理．
甲师傅单独修理这批桌椅比乙师傅多用10天；乙师傅每天比甲师傅多修8套；甲师傅每天修理费80元，
乙师傅每天修理费120元．请问：(1)甲、乙两个木工师傅每天各修桌椅多少套？
(2)在修理桌椅过程中，单位要指派一名工作人员进行质量监督，并发给他每天10元的交通补助．现有以
下三种修理方案供选择：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲、乙共同合作修理．你认为哪种方案
既省时又省钱？试比较说明．
【答案】(1)甲师傅每天修理16套，乙师傅每天修24套
(2)选择方案③既省时又省钱
【分析】（1）设甲师傅每天修桌椅x套，则乙师傅每天修桌椅(x+8)套，根据甲师傅单独修理这批桌椅比
乙师傅多用10天，列出方程，进行求解即可；
（2）分别求出甲单独修理的时间和费用，乙单独修理的时间和费用以及甲、乙共同合作修理的时间和费
用，进行比较即可．
【详解】（1）设甲师傅每天修桌椅x套，则乙师傅每天修桌椅(x+8)套，
480 480
据题意得∶ − =10
x x+8
整理得：x2+8x−384=0．
解之得x =−24（不符合题意，舍掉），x =16．
1 2
经检验：x=16是原方程的解，
∴x+8=16+8=24．
即：甲师傅每天修理16套，乙师傅每天修24套．
（2）①甲师傅单独修理所需时间和费用分别为：480÷16=30（天），(80+10)×30=2700（元）；
②乙师傅单独修理所需时间和费用分别为：480÷24=20 (天)
，(120+10)×20=2600（元）；
③甲、乙共同合作修理所需时间和费用分别为
480÷(16+24)=12（天），(80+120+10)×12=2520（元）．
∵12<20<30,2520<2600<2700，
∴选择方案③既省时又省钱．
【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出分式方程，是解题的关键．
49．（2022·山东省泰安第六中学二模）“冰墩墩”和“雪容融”作为北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大
家喜爱，某旗舰店销售“冰墩墩”毛绒玩具总额为24000元，销售“雪容融”毛绒玩具总额为8000元，其
中“冰墩墩”的销售单价比“雪容融”的销售单价多40元，并且销售“冰墩墩”的数量是“雪容融”数量
的2倍．(1)求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价分别是多少元？
(2)已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为100元/个和60元/个，进入2022年1月后，这两款毛绒玩
具持续热销，于是该旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共800个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”
数量的3倍，且这两款毛绒玩具购进总价不超过57600元．为回馈新老客户，该旗舰店决定对“冰墩墩”
降价10%后再销售，若1月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月
销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】(1)冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元
(2)冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元
24000 8000
【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价是x元，可得 = ×2，解方程并检验可得“冰墩墩”
x x−40
的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；
（2）设“冰墩墩”购进m个，一月份销售利润为w元，则¿，解得：200≤m≤240，而
w=−12m+16000，由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设“冰墩墩”的销售单价是x元，则“雪容融”的销售单价是(x−40)元，
24000 8000
根据题意得 = ×2，
x x−40
解得x=120，
经检验，x=120是原方程的解，也符合题意，
∴x−40=120−40=80（元），
答：“冰墩墩”的销售单价是120元，“雪容融”的销售单价是80元；
（2）解：设1月份销售利润为w元，“冰墩墩”购进m个，则“雪容融”玩具为(800−m)个，
则¿，
解得：200≤m≤240，
由题意得：w=(120−120×10%−100)m+(80−60)×(800−m)=−12m+16000，
∵−12<0，
∴w=−12m+16000随m的增大而减小，
∴当m=200时，w最大值=−12×200+16000=13600，
答：冰墩墩”购进200个时，该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为13600元．
【点睛】本题考查分式方程、一次函数及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，列出方程、不等式及函数关系式．50．（2022·宁夏·银川市第九中学二模）2022年的春天，疫情的反弹使口罩的需求量大增，某社区计划用
480元购买A品牌N95口罩，在购买时发现，每个A品牌N95口罩可以打八折，打折后购买的数量比打折
前多100个．
(1)求打折前每个A品牌N95口罩的售价是多少元？
(2)由于不同岗位的需求不同，该社区决定同时购买A品牌N95口罩和B品牌N95口罩共400个．B品牌
N95口罩每个售价为1.6元，两种品牌的N95口罩都打八折，且购买B品牌N95口罩的数量不少于A品牌
1
N95口罩总数量的 ，请设计一种最省钱的购买方案，并求出最少的费用．
3
【答案】(1)打折前每个A品牌N95口罩的售价是1.2元；
(2)购买A品牌N95口罩300个，B品牌N95口罩100个，费用最少，最少的费用为416元．
【分析】（1）设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是0.8x
元，利用数量等于总价除以单价，结合打折后购买的数量比打折前多100个，即可得出关于x的分式方程，
解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进A品牌N95口罩m个，购买400个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩(400−m)个，
利用总价等于单价乘以数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质可得出w的最小值．
【详解】（1）解：设打折前每个A品牌N95口罩的售价是x元，则打折后每个A品牌N95口罩的售价是
0.8x元，
480 480
依题意得： − =100，
0.8x x
解得：x=1.2，
经检验，x=1.2是原方程的解，且符合题意．
答：打折前每个A品牌N95口罩的售价是1.2元；
（2）解：设购进A品牌N95口罩m个，购买400个口罩的总费用为w元，则购进B品牌N95口罩
(400−m)个，
依题意得：w=1.2×0.8m+1.6×0.8(400−m)=−0.32m+512，
∵−0.32<0，
∴w随m的增大而减小，
1
又∵400−m≥ m，即m≤300，
3
∴当m=300时，w取得最小值，最小值=−0.32×300+512=416．400−300=100，
购买A品牌N95口罩300个，B品牌N95口罩100个，费用最少，最少的费用为416元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
