数学-辽宁省实验中学2025-2026学年度上学期高一10月月考_2025年10月高一试卷_251021辽宁省实验中学2025-2026学年度上学期高一10月月考（全）

辽宁省实验中学2025---2026学年度上学期10月份月考考试
高一数学试卷
考试时间：120分钟 试题满分：150分
命题人：樊本强 校对人：胡瑞祥
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）.
1、已知全集是R，集合A  x 2 x2  ,B   xx0或x3  ，则A  C B  （ ）
R
         
A.2,0 B.2,3 C. 0,2 D. ,2  3,
   
2、已知集合M  xx2k1,kZ ,N  y y 4k1,kZ ，则M N （ ）
A. B.M C.N D.Z
3、若“4a xa3”是“3 x2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
3 3 3 3
A.1a B.1a C.1a D.1a
4 4 4 4
4、已知方程x2 2  p1  x p2  p 0的两个实根为x ,x ，若x 2 x 2 12，则 p （ ）
1 2 1 2
A.4 B.1 C.1或4 D.1
5、已知a 0，b0,且abab，则2ab的最小值为（ ）
A.22 2 B.6 C.32 2 D.32 2
6、已知集合A  ,1    3,  ,B   xax10  ，若AB  B,则实数a的取值范围
是（ ）
 1   1   1 
A.   ,1 B.   ,1  C.  ,1    0,  D.   ,0  0,1 
 3   3   3 
7、若关于x的不等式2ax2 4xax2有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
2 2 2 2
A. a1 B. a1 C. a1 D. a1
3 3 3 3
 
y  x
8、高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数 称为高
     
斯函数，其中 x 表示不超过实数x的最大整数，如 1.2 1, 1.2 2，则关于x的不
 
等式 2x1  x 2的解集为（ ）
 1  3   1
     
A.1,1 B.1,0 0,  1 C.   ,1  D.  1,  1
 2  2   2
1二、多项选择题（本大题共3个小题，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分）
9、下列命题正确的为（ ）
c c
A.若a b0,c0，则  B.若实数a,b满足a b2 1，则a b1
a b
b a
C.若a b0，则a b D.若bc2 ac2，则ba
a b
10、已知实数a,b满足1ab5,1ab3，则下列说法正确的是（ ）
   
A.a的取值范围为 0,4 B.b的取值范围为 1,3
   
C.3a2b的取值范围为 6,14 D.2a3b的取值范围为 1,13
11、已知正实数a,b满足ab2ab6，则下列说法正确的是（ ）
A.ab的最大值为2 B.ab的最小值为2 23
1 1
C.a2b的最小值为3 D.  的最大值为1
a b
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12、命题：x  1,  ,x2 2x20的否定为____________
13、若关于x的不等式x2 bxc1的解集为  1,2  ，则bc
_________
4 3
14、已知 y  x0,2x y  xy，则  的最小值为__________
2x1 y2
2四、解答题（本大题共5个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
 2x9   
15、（13分）已知集合Ax 1,B  x 3m4 x2m1
 x2 
（1）若命题 p:xA,xB是真命题，求实数m的取值范围
（2）若命题q:xA,xB是真命题，求实数m的取值范围
2x y 17
16、（15分）（1）求解方程组 的解集
3x y 2
x2  y2 2
（2）求解方程组 的解集
yx1
x3  y3 98
（3）求解方程组 的解集
 x2yxy2 30
17、（15分）（1）已知xR，使得ax2 ax10恒成立，求实数a的取值范围
（2）解关于x不等式ax2 ax10
318、（17分）（1）已知c1,M  c1 c,N  c  c1，试比较M 与N 大小，并
用分析法证明
a2 b2  ab 2
（2）已知正数x,y，求证权方和不等式：   ，并说明取等条件
x y x y
（3）已知a,bR,求证：a4 b4 2b2 1成立的充要条件是a2 b2 1
19、（17分）已知二次函数 y ax2 bxc
（1）设 y0的解集为  1,2  ，若存在xR，使得不等式x2 cxb40成立，求
实数a的取值集合
（2）设 y0的解集为  c,a  ，且  a,b,c    4,1,1,3  ，求不等式cx2 bx2a0的
解集
（3）若对任意xR，2x2 y2x2 2x4恒成立，求ab的最大值
4一、 选择题
1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.A 7.A 8.D
9.BCD 10.ABD 11.AC
二、 填空题
12.∃x∈(1,+∞),x2+2x−2>0
13.-2
√
14.2 3− 3
4
三、 解答题
15. (13 分)
由题意：A={x|2<x<7} , B ={x|−3m+4≤ x≤ 2m−1}


−3m+4≤2
(1) 由 p:∀x∈A,x∈B 为真命题可知：A⊆B, 故： 解得：m≥4

2m−1≥7
(2) 由 q :∃x∈A,x∈B 为真命题可知：A∩B ̸=∅, 只需：2m−1>2，即 m> 3
2
16. (15 分)


x=3
(1)

y =−11
 
 x= −1− √ 3  x= −1+ √ 3
(2)  √ 2 或  √ 2
y = 1− 3 y = 1+ 3
2 2


(x+y)(x2−xy+y2)=98 1
(3) 原方程组化为：

(x+y)xy =−30 2
1 +3 2 得：(x+y)3 =8, 即：(x+y)=2, 带入 2 式得：xy =−15,
 
 
x=5 x=−3
消 y 得：x(2−x)=−15, 解得： 或
 
y =−3 y =5
17. (15 分)
第 1 页 共 4 页

a>0
(1)由题意：∀x∈R,ax2−ax+1≥0恒成立，则： 解得：0<a≤4

∆=a2−4a≤0
(2) 1 当 a=0 时，原不等式为：1 > 0，恒成立，此时解集为 R
当 a̸=0 时：∆=a2−4a
2 当 a<0 时：∆=a2−4a>0 恒成立，此时，方程：ax2−ax+1=0 有两根:
√ √
x = 1 + a2−4a x = 1 − a2−4a, x <x
1 2 2a 2 2 2a 1 2
√ √
此时：不等式解集为：(1 + a2−4a,1 − a2−4a)
2 2a 2 2a
3 当 a>0 时：
(i) 当 ∆<0, 即 0<a<4 时，ax2−ax+1>0 恒成立，此时，不等式解集为 R
(ii) 当 ∆=0, 即 a=4 时，不等式解集为：(−∞,4)∪(4,+∞)
(iii) 当 ∆>0, 即 a>4 时，方程：ax2−ax+1=0 有两根:
√ √
x = 1 + a2−4a x = 1 − a2−4a, x >x
1 2 2a 2 2 2a 1 2
√ √
此时，不等式解集为：(−∞,1 − a2−4a)∪(1 + a2−4a,+∞)
2 2a 2 2a
√ √
综上：1 当 a<0 时：不等式解集为：(1 + a2−4a,1 − a2−4a)
2 2a 2 2a
2 当 0≤a<4 时，不等式解集为：R
3 当 a=4 时，不等式解集为：(−∞,4)∪(4,+∞)
√ √
4 当 a>4 时，不等式解集为：(−∞,1 − a2−4a)∪(1 + a2−4a,+∞)
2 2a 2 2a
18. (17 分)
(1) 证明：M <N
√ √ √ √
⇐= c+1− c< c− c−1
⇐= √ 1 √ < √ √1
√c+1+√c c+√c−1 √
⇐= c+ c−1< c+1+ c
√ √
⇐= c−1< c+1
√ √
由 c−1< c+1 成立，故：M <N
(2) 证明：x2 + y2 ≥ (x+y)2
a (b a+)b
⇐= (a+b) x2 + y2 ≥(x+y)2
a b
⇐= x2+ ay2+ bx2+y2 ≥x2+y2+2xy
b a
第 2 页 共 4 页⇐= ay2+ bx2 ≥2xy
b a √
因为 ay2+ bx2 ≥2 ay2· bx2 =2xy
b a b a
所以 x2 + y2 ≥ (x+y)2
a b a+b
当且仅当 x = y , 即 bx=ay 时取等号
a b
(3) 证明: 因为 a2+b2+1̸=0 ,
所以 a4−b4−2b2 =1
⇔a4−(b4+2b2+1)=0
⇔(a2)2−(b2+1)2 =0
⇔(a2+ b2+1)(a2−b2−1)=0
⇔a2−b2−1=0
⇔a2−b2 =1 .
所以 a4−b4−2b2 =1 成立的充要条件是 a2−b2 =1 .
19. (17 分)
( 1 ) 因为 ax2+bx+c < 0 的解集是 (1,2), 所以 ax2+bx+c = 0 的根为 1 和 2, 且
a>0 .
所以 1+2=−b,1×2= c , 故 b=−3a,c=2a ,
a a
所以 x2+cx+b+4<0 , 即 x2+2ax+4−3a<0 ,
因为存在实数 x , 使得不等式成立,
所以 ∆=4a2−4(4−3a)>0 , 解得 a>1 或 a<−4 ,
又 a>0 , 所以 a>1 ,
所以实数 a 的取值集合为 (1,+∞) .
( 2 ) 因为 ax2+bx+c<0 的解集为 {x|c<x<a} , 且 {a,b,c}⊆{−4,−1,1,3} ,
{
a>0
所以 且 ax2+bx+c=a(x−c)(x−a)=ax2−a(a+c)x+a2c ,
a>c≠ 0
{ {
b=−a(a+c) a=1
所以 ⇒ , 故 c∈{−1,−4},
c=a2c b=−(c+1)
若 c=−1 , 则 b=0∈/ {−4,−1,1,3} , 不合题意;
若 c=−4 , 则 b=3 , 此时 ∆=b2−4ac=9−4×(−4)=25>0 满足题意,
综上, a=1,b=3,c=−4,
所以不等式 cx2+bx−2a<0 , 即为 4x2−3x+2>0
由 ∆=9−32=−23<0 , 知: 不等式的解集为 R .
第 3 页 共 4 页(3) 令 x=1 , 则 4≤a+b+c≤4 , 所以 a+b+c=4 ,
对任意 x∈R,2x+2≤ax2+bx+c 恒成立,
所以 ax2+(b−2)x+c−2≥0 恒成立,
所以 a>0 且 ∆=(b−2)2−4a(c−2)=(a+c−2)2−4a(c−2)=(a−c+2)2 ≤0
, 所以 c=a+2 , 此时 b=2−2a,
( )
所以 ab=a(2−2a)=2a(1−a)=−2 a− 1 2 + 1 ≤ 1 ,
2 2 2
当且仅当 a= 1,b=1,c= 5 时取等号,
2 ( 2 )
此时 2x2−2x+4− 1x2+x+ 5 = 3x2−3x+ 3 = 3(x−1)2 ≥0 成立;
2 2 2 2 2
故 ab 的最大值为 1 .
2
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