数学答案（定稿）_2024年12月试卷_1225湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一上学期12月联考_湖北省云学名校联盟2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题PDF版含解析

2024 年湖北云学名校联盟高一年级 12 月联考 数学评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.       1.已知全集U  1,2,3,4,5 ，A 1,3,5 ，B  1,4 ，则A(C B)（ ） U        A. 1 B. 5 C. 1,5 D. 3,5     解析：C B  2,3,5 ，所以A(C B) 3,5 ，故选D U U 2x1 x2 2.已知 f( ) ，则 f(x)（ ） x x A.2x3(x0) B.2x3(x 2) C.2x3(x0) D.2x3(x 2) 2x1 1 解析：令 t，则x 且t  2，所以 f(t)12(t2)2t3，所以 f(x) x t2 2x3(x 2)，故选B 3.已知a,b为实数，下列命题为真命题的是（ ） 1 1 A.若a b，则  B.若a b，则ac2 bc2 a b C.若a b，则a2 b2 D.若a b，则a3 b3 1 1 解析：对于A，取a 1,b1，有a b，但 1 1，所以A错；对于B，当c0 a b 时，虽有a b，但ac2 bc2 0，所以B错；对于C，取a 1,b2，有a b，但 a2 1b2 4，所以C错；对于D，因为幂函数 f(x) x3在R上单调递增，所以当a b 时， f(a) f(b)即a3 b3，所以D正确；故选D 4.已知定义在R上的函数 f(x)满足：f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x(0,1)时， 5 f(x)log x，则 f( )（ ） 2 2 5 A.1 B.1 C.2 D. 2 解析： f(x1)为奇函数 f(x)图像关于点(1,0)对称， f(x2)为偶函数 f(x)图像 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 1 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}5 3 1 1 关于直线x2对称，所以 f( ) f( )f( )log 1，所以选B 2 2 2 2 2 f(x ) f(x ) 5.定义在R上的奇函数 f(x)满足：x ,x (0,)且x  x ，都有 1 2 0， 1 2 1 2 x x 1 2 f(3)0，则满足不等式xf(x)0的实数x的取值范围为（ ） A.(,3)(3,) B.(3,0)(3,) C.(,3)(0,3) D.(3,0)(0,3) 解析：由题意知 f(x)在(0,)上递减，又 f(x)为奇函数，所以 f(x)在(,0)上递减 x0 x0 又 f(3)0，所以xf(x)0  或 ，所以0 x3或3 x0 f(x)0 f(x)0 所以满足不等式xf(x)0的实数x的取值范围为(3,0)(0,3)，故选D 6.已知幂函数 f(x)(3m2m1)x3m1是定义域上的奇函数，则满足 f(a2) f(42a) 的实数a的取值范围为（ ） 2 2 A.( ) B.(,2)(2,2) C.(,2)( ,2) D.(,2) 3 3 2 解析： f(x)为幂函数，所以3m2m11，解得m1或 ，当m1时， f(x)x2， 3 2 此时 f(x)为偶函数，不合题意；当m 时， f(x)x3，此时 f(x)为奇函数，符合题 3 意，所以 f(x)x3， f(x)在(,0)上递减，(0,)上递减，所以 f(a2) f(42a) a20 2  a242a 0或0a242a或 ，解得 a2或无解或a2 42a0 3 2 所以实数a的取值范围为(,2)( ,2)，故选C 3 7.已知a 0且a 1，函数 f(x)(log x)2 4log x在(2,3)上单调递增，则实数a的取 a a 值范围为（ ） A.[ 2,) B.[ 3,) C.(0,1) (1, 2] D.(0,1) (1, 3] 解析：令g(x) x2 4x，h(x)log x,x(2,3)，则 f(x) g(h(x))，又g(x)在(,2] a 上递减，[2,)上递增，所以 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 2 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}（1）当a 1时，h(x)在(2,3)上递增，h(x)(log 2,log 3)，则log 22 2a2 a a a a 2，所以1a 2 （2）当0a1时，h(x)在(2,3)上递减，h(x)(log 3,log 2)，则log 22 2a2 a a a a 2，所以0a1 综上所述，实数a的取值范围为(0,1) (1, 2]，故选C 1 1 8.已知方程ax2 xb0(a,b0)在(0,2)上有实根，则  的最小值为（ ） a b A.2 B.3 C.4 D.5 1 解法1：设 f(x)ax2 xb，则 f(x)开口向上，对称轴x 0， f(0)b0 2a （1）若方程ax2 xb0在(0,2)上仅有一个实根，则 f(2)4ab20，得 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b 4a 1 4ab2，所以   2(  ) (4ab)(  ) (5  )  (5 a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 1 b 4a 9  (52  ) 2 a b 2 1 b （2）若方程ax2 xb0在(0,2)上有两个实根x ,x ，则x x  ,x x  ，所以 1 2 1 2 a 1 2 a 1 1 x x 1 1   x x  1 2 (x  )(x  )224，当且仅当x  x 1即a  a b 1 2 x x 1 x 2 x 1 2 1 2 1 2 1 1 1 b 时等号成立，此时方程为 x2 x 0，其在(0,2)上有两个相等的实根x1 2 2 2 符合题意 1 1 综上所述，  的最小值为4，故选C a b 1 1 解法2：设方程在(0,2)上的实根为t，即at2 tb0，所以at2 bt，所以   a b 1 1 1 1 b at2 1 b at2 1 1 (  )(at2 b) (t2 1  ) (t2 12  ) (t2 12t)t 2 t a b t a b t a b t t 1 b at2 1 2 t 24，当且仅当t 1且  且at2 bt即a b ,t 1时等号成立， t a b 2 1 1 所以  的最小值为4，故选C a b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 3 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ） A.命题：“xR，x2 x10”的否定是“xR，x2 x10” B.“xy 0”是“x0”的一个必要不充分条件 C.已知函数 y  f(x)的定义域为[1,3]，则函数 y  f(2x1)的定义域为[1,2] 1 1 D.函数 f(x)( )x22x2的值域为[ ,) 2 2 解析：对于A，命题：“xR，x2 x10”的否定是“xR，x2 x10”， 所以A正确；对于B，x0 xy 0，而xy 0  x0或 y 0，所以“xy 0”是 “x0”的一个必要不充分条件，所以B正确；对于C，因为 f(x)的定义域为[1,3]，所 以要使 f(2x1)有意义，则12x13，解得1 x2，所以 f(2x1)的定义域为[1,2]， 1 1 所以C正确；对于D，x2 2x2(x1)2 11，所以( )x22x2(0, ]，即 f(x)的 2 2 1 值域为(0, ]，所以D错；故选ABC 2 10.下列说法正确的是（ ） 1 A.函数 f(x) x2 2 的最小值为2 x2 2 B.已知正实数a,b满足ab1，则 a  b 的最大值为 2 1 1 C.已知正实数a,b满足ab1，则2a 2b的最小值为8 D.已知实数a 1，b1，且满足ab4，则log alog b的最大值为1 2 2 1 1 解析：对于A， f(x) x22 2，当且仅当 x22  时等号成立， x22 x22 a  b ab ab 但该方程无实数解，所以A错；对于B，由  得 a  b 2  2 2 2 2 1 当且仅当a b 时等号成立，所以 a  b 的最大值为 2 ，所以B正确；对于C，由 2 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 4 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}2 ab 1 1 1 1 1 1 1 1  1   得  4，所以2a 2b  2 2a 2b 2 2a b 2 24 8，当且 1 1 2 2 a b  a b 1 1 1 仅当a b 时等号成立，所以2a 2b的最小值为8，所以C正确；对于D，因为a 1， 2 log a  log b b1，所以log a  0，log b  0 ，所以log alog b  ( 2 2 )2 2 2 2 2 2 ab log ( )2  [ log 2 (ab) ]2 [ 2 2 ]2 ( log 2 4 )2 1，当且仅当a b2时等号成立，所以 2 2 2 log alog b的最大值为1，所以D正确；故选BCD 2 2   11.已知函数 f(x)的图像在[a,b]上是连续的，定义 f (x)max f(t)atx,x[a,b] ， 1   f (x) min f(t)at  x,x[a,b] ，则下列说法正确的是（ ） 2 1 1 A.若 f(x)( )x,x[0,1]，则 f (x)1,x[0,1]， f (x)( )x,x[0,1] 3 1 2 3 B.设 f(x) xm22m,x[1,2]，若 f (x) f(x)，则实数m的取值范围为(0,2) 1 C.设 f(x)log (x2 ax3a),x[2,3]，若 f (x) f(x)，则实数a的取值范围为(4,4] 0.5 2 D.已知 f(x) x2，若 f (x) f (x)k(x1)对任意x[1,2]恒成立，则实数k 的最小值 1 2 为2 1 1 解析：对于A，因为 f(x)( )x在[0,1]上递减，所以 f (x) f(0)1，f (x) f(x)( )x， 3 1 2 3 所以A正确；对于B，若 f (x) f(x)，则 f(x)在[1,2]上不减，所以m2 2m0，解 1 得0m2，所以B错；对于C，若 f (x) f(x)，则 f(x)在[2,3]上不增，所以g(x) 2 a  2 x2 ax3a在[2,3]上递增且恒正，所以2 ，解得4a4，所以C正  g(2)4a 0 1,1 x1 确；对于D，因为 f(x) x2在[1,0]上递减，[0,2]上递增，所以 f (x) ， 1 x2,1 x2 1x2,1 x0 x2,1x0  f (x) ，所以 f (x) f (x)1,0 x1 ，所以 f (x) f (x)k(x1) 2 0,0x2 1 2  1 2 x2,1 x2 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 5 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}对任意x[1,2]恒成立 1x2 k(x1)对1x0恒成立①且1k(x1)对0 x1 恒成立②且x2 k(x1)对1x2恒成立③， 1 其中①即k 1x对1 x0恒成立，而1x(1,2)，所以k 2；②即k  对 x1 1 1 x2 0 x1恒成立，而 [ ,1]，所以k 1；③即k  对1x2恒成立，而 x1 2 x1 x2 1 4 4 ( , ]，所以k  ，综上所述，实数k的取值范围为[2,)，所以实数k的最小 x1 2 3 3 值为2，所以D正确；故选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.  1 ( )x,x0 1 12.已知函数 f(x) 2 ，则 f(f( )) 3  log x,x0 3 1 1 1 1 解析： f( ) log 1，所以 f(f( )) f(1)( )1 2 3 3 3 3 2 13.已知函数 f(x) x3 x，关于x的不等式 f(x2) f(1ax)0对任意x(0,)恒成 立，则实数a的取值范围为 解析：易知 f(x) x3 x为奇函数，且在R上单调递增，所以 f(x2) f(1ax)0  1 f(x2)f(1ax) f(ax1)x2ax1 a x 对x(0,)恒成立，而 x 1 1 1 1 x 2 x 2，当且仅当x 即x1时等号成立，所以(x ) 2，所以a2 x x x x min 即实数a的取值范围为(,2) a a 14.记数集A  a ,a ,,a  中的最小元素a 与最大元素a 的算术平均数 1 n 为集合 1 2 n 1 n 2     A的“均值”，特别地，集合A a 的“均值”为a.已知集合M  1,2,3,,2025 ，对 于集合M 任意一个非空子集X ，记其“均值”为a ，则所有这样的a 的算术平均数为 X X     解析：设M  1,2,3,,2025 的非空子集为 a ,a ,,a (a a a )，我们把符合 1 2 n 1 2 n 题意的子集分为两类： 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 6 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}第一类：a a 2026，这些非空子集的“均值”的算术平均数为1013 1 n     第二类：a a 2026，此时非空子集 a,a ,,a 与 2026a ,2026a ,,2026a 1 n 1 2 n 1 2 n 是两个不同的集合，也都是集合 M 的非空子集，它们的“均值”的算术平均数为 1 a a 2026a 2026a ( 1 n  1 n)1013，所以该类非空子集的“均值”的算术平均数 2 2 2 也为1013 综上所述，集合M 的所有非空子集的“均值”的算术平均数为1013 【评分细则】12-14 按照参考答案给分 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.（13分）计算：  1 8 1 4 3 1 3 1 （1）81 4 ( )3 ( 2 2)3 0.751( )2 (6 )4 27 2 4 1 1 （2）log 5log 8(lg5)2 lg5lg20 lg16( )log 2 3 log 4 2 5 2 2 8 1 1 1 3  1 2 1 1 4 4 34 274 3 4 4 34 4 解析：（1）原式  (24 22)3    1(24)3   3 3 3 1 1 3 1  1 22 44 22 2 4 3 12  5-------------------------------------------------------------------------------------------------6分 3 2 1 2 （2）原式log 8(lg5)2lg5lg5lg22lg2  3lg5(lg5lg2)lg52lg21 2 3 3 42lg52lg2426------------------------------------------------------------------------------13分 【评分细则】15、 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 7 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}  16.（15分）已知函数 y log (x2 x2)的定义域为A，集合B  xm1 x2m1 2 （1）若m1，求AB，(C A)B R （2）若“xA”是“xB”的必要不充分条件，求实数m的取值范围 解析：由x2 x20得2 x1，所以A(2,1)-----------------------------------------1分 （1）当m1时，B [0,3]----------------------------------------------------------------------------------2分 所以AB [0,1)------------------------------------------------------------------------------------------------4分 C A(,2][1,)--------------------------------------------------------------------------------------5分 R (C A)B (,2][0,)-----------------------------------------------------------------------------7分 R （2）由题意知B A-------------------------------------------------------------------------------------------8分 若B ，则m12m1，解得m2-------------------------------------------------------------11分 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 8 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}m12m1  若B ，则m12 ，解得1m0-----------------------------------------------------14分  2m11 综上所述，实数m的取值范围为(,2)(1,0)--------------------------------------------------15分 【评分细则】16、按答案分步给分即可。 第二问里子集要写真子集符号，写的子集扣1分， 所有不等式中不等号该带等号的没带，不该带的带了，都算错的 2 17.（15分）已知 f(x)为定义在R上的奇函数，且满足当x0时， f(x) x2  x （1）求 f(x)的解析式 （2）判断函数 f(x)在区间(1,)上的单调性，并用定义证明 解析：（1）因为 f(x)为定义在R上的奇函数，所以 当x0时，f(0)0--------------------------------------------------------------------------------------------2分 2 2 当x0时，x0，所以 f(x)f(x)[(x)2  ]x2  --------------------5分 x x  2 x2  ,x0  x  综上所述， f(x)0,x0 -----------------------------------------------------------------------7分  2 x2  ,x0  x （2） f(x)在(1,)上单调递增，证明如下：x ,x (1,)且x  x ，则------------8分 1 2 1 2 2 2 2(x x ) (x x )(x2x xx22) f(x ) f(x )x2 x2 (x x )(x x ) 2 1  1 2 1 2 1 2 1 2 1 x 2 x 1 2 1 2 xx xx 1 2 1 2 1 2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11分 因为1 x  x ，所以x x 0，x x 0，x2x x x2 20，所以 f(x ) f(x )0， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 所以 f(x ) f(x )----------------------------------------------------------------------------------------------14分 1 2 所以 f(x)在(1,)上单调递增----------------------------------------------------------------------------15分 【评分细则】17、当x0时， f(0)0 ----------------------------------------2分 2 2 f(x)f(x)[(x)2  ]x2  当x0时， x0，所以 x x ------------6分 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 9 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}18（. 17分）一般的，设函数 f(x)定义域为D，若对任意xD，都有 f(2ax) f(x)2b， 1 则函数 y  f(x) 的图像关于点 (a,b) 成中心对称图形.已知函数 f(x) ， 2x 2 g(x)log (ax2 xa) 3 （1）计算 f(2x) f(x)的值，并求 f(x)的对称中心 （2）若函数g(x)的值域为R，求实数a的取值范围 （3）若a 1，将区间(0,2)分成2n等分，记等分点的横坐标分别为x ,x ,,x ，问： 1 2 2n1 1 是否存在正整数 n ，使得不等式 f(x ) f(x ) f(x ) g(x)g( ) 对任意 1 2 2n1 x x(0,2)恒成立，若存在，求出所有n的值；若不存在，说明理由 1 1 2x 1 2x 2 1 解析：（1） f(2x) f(x)      --- 22x 2 2x 2 422x 2x 2 2(2x 2) 2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分 1 所以 f(x)的对称中心为(1, )-------------------------------------------------------------------------------4分 4 （2）由题意知h(x)ax2 xa的值能取遍每一个正数 若a 0，则h(x) x，其值能取遍每一个正数，符合题意--------------------------------------6分 a 0 1 若a 0，则 ，解得0a ------------------------------------------------------8分  14a2 0 2 1 综上所述，实数a的取值范围为[0, ]-------------------------------------------------------------------9分 2 1 1 1 （3）当a 1时，g(x)log (x2x1)，g(x)g( )log (x2x1)log (  1) 3 x 3 3 x2 x (x2 x1)2 1 1 log log (x 1)2 log (21)2 2，当且仅当x 即x1(0,2) 3 x2 3 x 3 x 1 时等号成立，所以g(x)g( )的最小值为2----------------------------------------------------------11分 x 1 1 因为 f(x)图像关于点(1, )对称，区间(0,2)关于x1对称，所以 f(x ) f(x ) ， 4 1 2n1 2 1 1 1 f(x ) f(x ) ，…， f(x ) f(x ) ， f(1) ，所以 2 2n2 2 n1 n1 2 4 f(x ) f(x ) f(x )[f(x ) f(x )][f(x ) f(x )] [f(x ) 1 2 2n1 1 2n1 2 2n2 n1 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 10 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}1 1 2n1  f(x )] f(1) (n1)  -----------------------------------------------------------14分 n1 2 4 4 2n1 9 所以 2，解得n --------------------------------------------------------------------------------16分 4 2 所以存在正整数n1,2,3,4符合题意---------------------------------------------------------------------17分 【评分细则】18、（3）第一步求g(x)+g(1/x)最小值，给3分，f(x1)+……f(x2n-1)＝2n-1/4， 给2分 19.（17分）对于函数 f(x)，我们把满足 f(x) x的实数x叫做函数 f(x)的不动点，满足 f(f(x)) x的实数x叫做函数 f(x)的稳定点，记函数 f(x)的不动点的集合为A，函数 f(x)的稳定点的集合为B （1）求函数 y  x2 2x6的不动点 （2）若 f(x)为定义在R上的单调递增函数，求证：A B （3）设 f(x) x2 axa ，若 f(x) 恰好有两个稳定点 x ,x (x  x ) ，且对任意 1 2 1 2 x[x ,x ]，都有2x  f(f(x))2x ，求实数a的取值范围 1 2 1 2 解析：（1）令x2 2x6 x得x2 x60(x2)(x3)0，得x2或3， 所以函数 y  x2 2x6的不动点为2和3-----------------------------------------------------------2分 （2）①首先xA，有 f(x) x，所以 f(f(x)) f(x) x，所以xB，所以A B ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4分 ②其次，xB，有 f(f(x)) x，因为 f(x)单调递增， 若 f(x) x，则 f(f(x)) f(x) x，与 f(f(x)) x矛盾，舍 若 f(x) x，则 f(f(x)) f(x) x，与 f(f(x)) x矛盾，舍 若 f(x) x，则 f(f(x)) f(x) x，满足题意 所以 f(x) x，所以xA，所以B A---------------------------------------------------------------7分 综上所述，A B （3）因为 f(x)恰好有两个稳定点，令 f(f(x)) x得(x2axa)2a(x2axa)ax 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 11 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}(x1)(xa)[x2 (1a)x1]0，所以该方程有且仅有两个不等实根-------------8分 若a 1，则该方程为(x1)2(x2 1)0，其仅有一个实根x1，不合题意-----------9分 若a 1，则1和a一定是该方程的两个不同的根，所以x2 (1a)x10要么无实根， 要么有实根且实根只能为1或a ①当方程x2 (1a)x10无实根时， (1a)2 40，解得1a3--------10分 ②当方程 x2 (1a)x10有根为 1 时，11a10 ，解得 a 3，此时方程为 x2 2x10，其根为x1，符合题意-------------------------------------------------------------11分 ③当方程x2 (1a)x10有根为a时，a2 (1a)a10，解得a 1，此时方程 为x2 2x10，其根为x1，符合题意 综合①②得1a3且a 1----------------------------------------------------------------------------12分 又 x[x ,x ] ，都有 2x  f(f(x))2x ，令 x x 有 2x  f(f(x ))2x ，又 1 2 1 2 1 1 1 2 f(f(x )) x ，所以2x  x 2x ，得 x 0，所以 x a,x 1，所以a0，所以 1 1 1 1 2 1 1 2 1a0--------------------------------------------------------------------------------------------------------13分 a a a a a 而当1a0时，f(x)的对称轴 [a,1]且1  a即1 ( a)10，所 2 2 2 2 2 a 4aa2 以在[a,1]上， f(x)的值域为[f( ), f(1)]即[ ,1]---------------------------------------14分 2 4 4aa2 a2 a a 4aa2 a2 a a 4aa2 又 a a，1 (  )1 0即1   ，所以 4 4 2 2 4 4 2 2 4 a 4aa2 f(f(x))的值域为[f( ), f(1)]即[ ,1]--------------------------------------------------------15分 2 4 4aa2 a(a4） 4aa2 而2a  0，即[ ,1][2a,2]即2a f(f(x))2成立 4 4 4 综上所述，实数a的取值范围为[1,0]------------------------------------------------------------------17分 【评分细则】19、按照参考答案给分 2024年湖北云学名校联盟高一年级12月联考数学评分细则 第 12 页 共 12 页 {#{QQABCQSEoggoABBAARgCEwGACgGQkgAACSgOREAAoAABSBNABAA=}#}