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难点探究专题：一次函数与几何综合问题(选做)
——代几结合明思路
类型一 一次函数与面积问题
一、由一次函数图象求面积或由面积求一次函数表达式
1．如图，已知直线y＝x＋3的图象与x，y轴交于A，B两点．直线l经过原点，与线段AB
交于点C，把△AOB的面积分为S ∶S ＝2∶1的两部分．求直线l的表达式．
△AOC △BOC
二、一次函数上的动点与面积问题
2．(郴州苏仙区期末)如图，已知直线l为x＋y＝8，点P(x，y)在l上，且x＞0，y＞0，点A
的坐标为(6，0)．
(1)设△OPA的面积为S，求S与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
(2)当S＝9时，求点P的坐标；
(3)★在直线l上有一点M，使OM＋MA的和最小，求点M的坐标．
3．如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0，0)，A(8，0)，B(4，4)，C(0，4)，直线l：y
＝x＋b保持与四边形OABC的边交于点M，N(M在折线AOC上，N在折线ABC上)．设四边
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形OABC在l右下方部分的面积为S，在l左上方部分的面积为S，记S为S，S 的差(S≥0)．
1 2 1 2
(1)求∠OAB的大小；
(2)当点M，N重合时，求l的表达式；
(3)★当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S＝0？若存在，求b的值；若不存在，请
说明理由．
类型二 一次函数与几何图形的综合性问题
4．已知一次函数y＝3x－1的图象经过点A(a，b)和点B(a＋1，b＋k)．
(1)求k的值；
(2)若A点在y轴上，求B点的坐标；
(3)在(2)的条件下，说明在x轴上是否存在点P使得△BOP为等腰三角形．若存在，直接
写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．解：由直线y＝x＋3可得A(－3，0)，B(0，3)，则S ＝.∵直线l把△ABO的面积分为
△AOB
S ∶S ＝2∶1，∴S ＝S ＝3.如图，过点C作CF⊥OA于F，CE⊥OB于E，∴AO·CF＝
△AOC △BOC △AOC △AOB
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×3×CF＝3，∴CF＝2.同理可得CE＝1，∴C(－1，2)．又∵直线l经过原点，∴直线l的表达式
为y＝－2x.
2．解：(1)∵点P(x，y)在直线x＋y＝8上，∴y＝8－x.∵点A的坐标为(6，0)，∴S＝×6×(8－
x)＝24－3x(0＜x＜8)．
(2)当S＝9时，即24－3x＝9，x＝5，∴点P的坐标为(5，3)．
(3) 如图，过点O作ON⊥l于点N，并延长到点B，使ON＝BN.即点O关于l的对称点为
点B，连接BC，∴OC＝BC，∠OCN＝∠BCN.若直线l与x轴交于点C，与y轴交于点D，则
C(8，0)，D(0，8)，∴OD＝OC＝8，∴∠OCN＝45°，BC＝8，∴∠BCO＝90°，∴B(8，8)．连接AB
交直线l于点M，此时OM＋MA的和最小．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，∵B(8，8)，A(6，
0)，∴解得故直线AB的表达式为y＝4x－24.联立解得∴点M的坐标为(6.4，1.6)．
3．解：(1)过点B过BE⊥x轴，垂足为E.则点E(4，0)，∴BE＝4.∵A(8，0)，∴AE＝4，
∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°.
(2)当点M，N重合时，应重合到点A(8，0)或点C(0，4)．当重合到点A时，把A(8，0)代入y
＝x＋b得b＝－8，直线l的表达式为y＝x－8.当重合到点C时，把C(0，4)代入y＝x＋b得b
＝4，直线l的表达式为y＝x＋4.
(3)存在．∵四边形OABC的面积为×4×(4＋8)＝24，当S＝0时，△AMN的面积为四边形
OABC的面积的一半，即S＝12.∵y＝x＋b，b≤0，∴M点在x轴上，∴M(－b，0)．过点N作
1
NH⊥x轴于点H.设N(x，y)，∴MH＝x＋b，NH＝x＋b，∴MH＝NH，∴∠NMA＝45°.由(1)知
∠OAB＝45°，∴NH＝AH＝MH，设NH＝a，S＝×2a×a＝12，解得a＝2，∴OH＝8－2，∴点N
1
的坐标为(8－2，2)，代入y＝x＋b得b＝4－8.
4．解：(1)代入两点得解得k＝3.
(2)∵A点在y轴上，∴A(0，－1)，可得a＝0，b＝－1，∴B(1，2)．
(3)存在．点P的坐标为(－，0)或(2，0)或(2.5，0)或(，0)．
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