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期中考前满分冲刺之选择题覆盖训练
思维导图覆盖训练01:中心(轴)对称图形
1．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿
一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做
对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练
掌握知识点是解题的关键．
【详解】 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选： ．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋
转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这
个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B．
覆盖训练02:配方变形
3．用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查配方法，将常数项移到等号右边，等式两边同时加上一次项系数的一半
进行配方即可．
【详解】解： ，
，
，
∴ ；
故选D．
4．用配方法将方程 转化为 的形式，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的配方法，掌握在二次项系数为1时，配一次项系数
一半的平方是关键．
根据配方法的步骤对原方程进行配方即可求解．
【详解】解： ，
，
，
，
∴ ，
∴ ，
故选：A．覆盖训练03:圆周角定理
5．如图， 是 的外接圆，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查圆周角定理，根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】解： 是 的外接圆， ，
．
故选：B．
6．如图， 是 的直径， 则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
是 的直径， 得出 ，即可解答．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ．
故选：B.覆盖训练04:一元二次方程解与根的情况
7．下列各式是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二
次的整式方程，据此对选项进行判断即可.
【详解】解：A、 展开化简为 ，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B、 含有两个未知数，不是一元二次方程，故B不符合题意；
C、 含有分式，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、 展开化简为 ，是一元二次方程，故D符合题意.
故选：D.
8．一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况．
【详解】∵方程 中， ， ， ，
∴ ．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
覆盖训练05:二次函数的平移
9．抛物线 可由抛物线 平移得到，则下列平移过程正确的是
（ ）
A．先向右平移 个单位，再向上平移 个单位B．先向右平移 个单位，再向下平移 个单位
C．先向左平移 个单位，再向上平移 个单位
D．先向左平移 个单位，再向下平移 个单位
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后
的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为
，
∵点 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到点 ，
∴把抛物线 先向左平移 个单位，再向下平移 个单位可得抛物线
．
故选：D．
10．将抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到的抛物线的函数表
达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移问题．根据抛物线图象的平移规则：左加右减，
上加下减，即可得到平移后的抛物线的表达式．
【详解】解：抛物线 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位，
∴平移后的抛物线的表达式为 ．故选：C．
覆盖训练06:二次函数与一次函数的图像
11．在同一平面直角坐标系中，一次函数 （a，b为常数，且 ）的图象与二
次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象性质和二次函数的图象性质与系数的关系，根据每个
选项中的图象特征判断一次函数和二次函数中系数之间的关系即可．
【详解】解：A项：由二次函数图象可知 ， ，由一次函数图象可知 ， ，
故选项A错误，不符合题意；
B项：由二次函数图象可知 ， ，由一次函数图象可知 ， ，故选项B错
误，不符合题意；
C项：由二次函数图象可知 ， ，由一次函数图象可知 ， ，故选项C正
确，符合题意；
D项：由二次函数图象可知 ， ，由一次函数图象可知 ， ，故选项D错
误，不符合题意．
故选：C．
12．在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的大致图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键．
根据一次函数图象 ，二次函数 中 的正负与图象的关系是解题的关键．
【详解】解：当 时，一次函数 经过第一、二、三象限，二次函数
的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点 ，根
据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意；
当 时，一次函数 经过第一、三、四象限，二次函数 的图象开
口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点 ，根据选项的图象可得
A，B，C，D均不符合题意；
当 时，一次函数 经过第一、二、四象限，二次函数 的图象开口
向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点 ，根据选项的图象可得A，
C，D均不符合题意，B选项符合题意；
当 时，一次函数 经过第二、三、四象限，二次函数 的图象开
口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点 ，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意；
故选：B ．
覆盖训练07:增长率问题
13．2023年下半年金价为每克452元，但到了2025年下半年却一度增长到每克993元，设
这两年金价的年平均增长率为x，则列方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．设这两年金价的年平均增长率为x，根据“2023年下半年金价为每克
452元，但到了2025年下半年却一度增长到每克993元”列方程求解即可．
【详解】设这两年金价的年平均增长率为x，
根据题意得， ．
故选：A．
14．年前12月份某服装店售卖一件保暖大衣标价为380元，随着气候慢慢变暖，服装店进
行了打折销售，衣服标价经过两次降价降到了265元．设这件保暖大衣的平均下降率为
x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次
方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：B．覆盖训练08:旋转某个度数求坐标与度数
15．如图，在 中， ，将 绕点A顺时针旋转，使点C的对应点 落在
边 上．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理．
由旋转的性质可得 ， ， ，从而得到
，再结合 ，可得 ，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得： ， ， ，
，
， ，
，
，
．
故选：B．
16．在平面直角坐标系中，将点 绕原点顺时针旋转 后，得到对应点Q的坐标是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转．根据旋转定义作出图形即可找到点Q的坐
标．
【详解】解：如图所示，点绕原点O顺时针旋转 得点Q，则点Q坐标为 ，
故选：B．
覆盖训练09:一元二次方程与圆的定义
17．已知 是一元二次方程 的解，则代数式 的值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，由一元二次方程的解的定义可得
，整体代入代数式求值即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵ 是方程 的解，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：B．
18．下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于这条弦
B．两个相等的圆心角所对的弧一定相等
C．直径是一个圆中最长的弦
D．同圆中两条等弦所对的弧相等
【答案】C
【分析】本题考查了圆的基本性质．
根据圆的基本性质逐一分析即可．
【详解】解：A．平分弦（直径除外）的直径垂直于这条弦，原命题错误；B．同圆或等圆中，两个相等的圆心角所对的弧一定相等，原命题错误；
C．直径是一个圆中最长的弦，正确；
D．若一条是劣弧，另一条是优弧，则弧长不等，原命题错误；
故选：C．
覆盖训练10:单循环问题期中考前
19．达州市要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等
条件，赛程计划安排 天，每天安排 场比赛．设比赛组织者应邀请 个队参赛，则 满足
的关系式为（ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了列一元二次方程，根据题意列方程即可．
【详解】解：设比赛组织者应邀请 个队参赛，
每支球队都需要与其他球队比赛 场，但是两队之间只有 场比赛，
则： ．
故选：B．
20．九年级举行篮球赛，初赛采用单循环制（每两个班之间都进行一场比赛），据统计，
比赛共进行了28场，求九年级共有多少个班（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求解时注意舍去负根，符合实际意义．
设九年级共有 个班，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设九年级共有 个班．
根据题意得， ，
解得 或 （舍去），
∴ ．∴九年级共有8个班．
故选：D．
覆盖训练11:二次函数的图象与性质
21．若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小，把点 ， ， 分
别代入二次函数 解析式，即可比较 ， ， 的大小关系．
【详解】解： 对于点 ，有 ；
对于点 ，有 ；
对于点 ，有 ，
∴ ．
故选：D．
22．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线
C．图象顶点坐标为 D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数 的性质是解
答本题的关键．当 时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；当 时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y随
x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
根据二次函数顶点式性质逐项分析即可．
【详解】解：∵关于二次函数 ， ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时，y随x的增大而减小，
故A，B，C错误，D正确．
故选：D．
覆盖训练12:二次函数的增减性
23．已知点 、 在抛物线 上，则 与 的大小关系是
（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，把点 代入解析式 ，然
后比较大小即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵点 、 在抛物线 上，
∴ ， ，
，
∴ ，
故选：A．
24．二次函数 （ 为常数），在自变量 的值满足 ，其函数 的最小
值为5，则 的值为（ ）
A．5或 B．1或 C．5或1 D．5或 或1
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象及其性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、对称轴等性质是解题的关键．根据二次函数顶点为 ，由于在 区间内最小值为5大于1，故
顶点不在区间内，最小值在端点 或 处取得，分情况讨论函数在 区间上的
最小值情况，进而求出 的值．
【详解】由题意， ，其二次项系数 ，
函数图象开口向上，对称轴为直线 ，
当 时，函数 的最小值为 ，
顶点 不在区间内，
最小值在端点 或 处，
第一种情况：当 时，在区间 上，函数 随 的增大而增大，
当 时， 取最小值5，即 ，
移项得， ，
即 ，
解得 或 （舍），
第二种情况：当 时，在区间 上，函数 随 的增大而减小，
当 时， 取最小值5，即 ，
移项得， ，
即 ，
解得 （舍）或 ，
综上所述， 的值为 或5，
故选：A．
覆盖训练13:(直线)点与圆的位置关系
25．已知 的半径为 ，点 到圆心 的距离为 cm，则点 与 的位置关系是（ ）
A． 内 B． 上 C． 外 D．以上都有可能
【答案】C
【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与圆的半径大小即可
判断.
【详解】解：∵ 圆的半径 ，点P到圆心O的距离 ，且 ，
∴ ，
∴点P在 外；
故选：C．
26．在平面直角坐标系 中， 的半径为3，直线l的解析式为 ，那么直线l
与 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，一次函数的性质，关键是由三角形面积公式求出
的长．
求出 ，由勾股定理得到 ，由三角形面积公式求出 ，而 的
半径 ，即可判断直线 与 的位置关系．
【详解】解：如图，直线 分别与 轴交于 ，
过 作 于 ，
当 时， ，，
当 时， ，
，
，
，
的面积 ，
，
，
到直线 的距离 ，
的半径 ，
，
直线 与 的位置关系是相交．
故选：C．
覆盖训练14:圆的计算
27．如果一个扇形的半径为1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长的有关计算．
根据弧长公式 ，即可求解．
【详解】∵弧长 ，其中 ， ，
∴ ，
两边除以 ： ，
即 ，
简化得 ，∴ ．
故此扇形的圆心角为 ．
故选：C．
28．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为 ，则这个圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了圆锥侧面展开的扇形与底面圆之间的关系，掌握圆锥的侧面展开图是
一个扇形且扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
利用圆锥侧面展开的扇形的弧长等于底面圆的周长，再结合圆的周长公式列方程求解即可．
【详解】解：设底面圆半径为r，则 ，解得： ，
所以这个圆锥底面圆的半径为6．
故选A．
覆盖训练15:垂径定理
29．如图，圆弧形桥拱的跨度 米，拱高 米，则拱桥的半径为（ ）
A．3米 B．10米 C．12米 D．20米
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是
解题的关键．
设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接 ，则O、D、C三点共线，根据垂径
定理得 米，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接 ，则O、D、C
三点共线，∵拱高为 ，
∴ ，
∵ 米，
∴ 米，
在 中，根据勾股定理，得： ，
即 ，
解得： ，
即拱桥的半径为10米，
故选：B．
30．如图，在 中，半径长为10，圆心O到弦 的距离 ，则弦 的长为
（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】由圆心O到弦AB的距离 ，得 于点E，则 ， ，
而 ，求得 ，所以 ，于是得到问题的答案．
此题重点考查点的直线的距离、垂径定理、勾股定理等知识，推导出 ，
是解题的关键
【详解】解： 在 中，圆心O到弦 的距离 ，于点E，
， ，
半径长为10，
，
，
，
故选：C．
覆盖训练16:进制问题
31．第十四届国际数学教育大会（ ）在中国上海举行，会徽（如图）的主题图
案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古
代的计数符号写出的八进制数 ．八进制是以 作为进位基数的数字系统，有 共
个基本数字．八进制数 换算成十进制是 ，表示
的举办年份．小婷设计了一个 进制数 ，换算成十进制数是 ，则 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
根据题意列出一元二次方程，解之取合适的值即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ， （舍去），
故 的值为 ，
故选：B．
32．十进制数2378，记作 ，其实 ，二进制数 ．有一个（ 为整数）进制数 ，把它的
三个数字顺序颠倒得到的k进制数 是原数的3倍，则 （ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【分析】依据定义列出关于k的方程求解即可．
【详解】解：由题意得：3（k2+6k+5）=5k2+6k+1，
解得：k=7或k=-1（舍去）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是数的进制，依据定义列出关于k的方程是解题的关键．
覆盖训练17:一元二次方程根与系数关系
33．关于 的方程 的两实数根为 ， ，若 ，则 的
值为( )．
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，得
到两根之和与积，代入条件方程求解 ，再根据一元二次方程根的判别式，确定 的值，
即可．
【详解】解：∵关于 x 的方程 的两实数根为 ， ，
又 方程 的二次项系数 ，一次项系数 ，常数项
，
由根与系数的关系：得 ， ．
∵ ，
∴ ，
即 ，解得 ，
∴ 或 ．
又∵ 方程有两实数根，
∴ ，
即 ．
∴ ．
故选：A．
34．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 的值是（ ）
A． B． C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，通过根与系数的关系求出 和
的值，然后代入 进行计算，即可作答．
【详解】∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴
∴
，
故选：A
35．若 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查根与系数的关系及分式的化简求值，关键是将所求表达式转化为用两根之和与积表示的形式，利用一元二次方程的根与系数关系，求出两根之和与两根之积，再
通过代数变形求解表达式
【详解】解： 是方程 的两根，
， ，
，
，
故选：C
覆盖训练18:二次函数的应用
36．用一段 米长的铁丝在平地上围成一个一边靠墙的长方形，墙长足够长．设长方形与
墙垂直的一边长为 米，与墙平行的边留了一个 米的门，长方形的面积为 平方米，则
与 的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得与墙平行的边长为
米，进而根据矩形的面积公式即可列出函数关系式．
【详解】解：由题意可得，与墙平行的边长为 米，
∴ ，
故选： ．
37．某商店销售一种商品，其利润 （元）与销售单价 （元）的函数关系式为
，则该商品的最大利润为（ ）．
A．20元 B．45元 C．50元 D．70元
【答案】B【分析】此题考查了二次函数的最值，首先判断出二次项系数为负，故抛物线开口向下，
存在最大值，最大值在顶点处取得，进而求解即可．
【详解】解：∵ 中 ，
∴抛物线开口向下，
∵函数 的顶点横坐标为 ，
∴代入 ，得 ．
∴最大利润为 45 元．
故选：B．
38．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一
点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度 与
水平距离 之间的关系为 ，则该运动员这次抛出的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程
，求出结果即可．
【详解】解：令 ，则 ，
解得： （舍去）， ，
则该运动员这次抛出的水平距离为 ．
故选：B．覆盖训练19:二次函数与不等式结合
39．如图，一次函数 与二次函数 的图象相交于
两点，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，找出一次函数图象位于二次函数图
象下方对应的自变量 的取值范围即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：由函数图象可知，当 或 时，一次函数图象位于二次函数图象下方，
即 ，
∴不等式 的解集为 或 ，
故选： ．
40．如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式 的解集是
（ ）
A． B． 或
C． 且 D．
【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据对称性可求出二次函数与x
轴的另一个交点坐标为 ，再结合函数图象即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可得，对称轴为直线 ，且抛物线与x轴的一个交点的坐标为
，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
∵函数开口向下，
∴当 或 时， ，
∴不等式 的解集是 或 ，
故选：B．
41．已知二次函数 的图象如图所示．当 时，自变量 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找出二次函数的图象在 轴下方的部分即可，
采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，当 时，自变量 的取值范围是 ，
故选：A．
覆盖训练20:二次函数的系数关系问题
42．如图，二次函数 与 轴交点的横坐标为 ，与 轴正半轴的交点为 ， ，则下列结论正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查学生根据图形进行推理和辨析
的能力，用了数形结合思想．根据函数图象即可判断①②；由抛物线的开口方向判断a与
0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判断b与0的关系，
进而对结论③④进行判断．
【详解】解：由图象可知，当 时， ，故①正确；
当 时， ，故②正确；
∵抛物线开口方向向下，抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ， ，
∵抛物线与x轴的交点是 和 ，其中 ，
∴对称轴 ，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故④正确．
故正确的有3个．故选：B．
43．如图，二次函数 的图象顶点在第三象限，且经过 ，
两点，有以下结论： ； ； ； ．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象与系数的关系，熟
知二次函数的图象与性质是解题的关键．根据所给图形，得出a，b，c的正负，再结合抛
物线的对称轴和增减性对所给结论依次进行判断即可．
【详解】解∶由所给图形可知，
， ，． ．
所以 ．
故①正确．
因为抛物线经过 ， 两点，，
整理得， ．故②正确
由②知， ，
，
．故③错误．
由①知， ．
，
．，
，解得 ．
．
故④正确．
故选∶ C．
44．如图，已知顶点为 的抛物线 过 ．则下列结论：①
；②对于任意实数 ，均有 ；③ ；④若
，则 ；⑤ ．其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函
数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与 轴的交点，即可判断 的符号，
即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把 代入 ，得
，故③正确，由 关于直线 对称的点为
，进而得若 ，则 或 ，故④错误；由抛物线
的顶点为 ， ，得 ，再由 ，得 ，
故⑤正确．
【详解】解： 抛物线开口向上，
∴ ，∵对称轴为直线 ，
∴ ， ，
∵抛物线与 轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确；
抛物线的顶点坐标为 ，即 时，函数有最小值，
，
∴对于任意的 ，均有 ，故②错误；
抛物线 过 ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线 过 ， 关于直线 对称的点为 ，
∴若 ，则 或 ，故④错误；
抛物线 的顶点为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，故⑤正确．
∴正确的个数为
故选： ．
覆盖训练21:最值问题
45．如图，在矩形 中，已知 ， ， 是 边上一动点（点 不与点 ，
重合），连接 ，作点 关于直线 的对称点 ，则线段 的最小值为（ ）A． B． C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称性质、圆的性质、矩形性质、勾股定理等知识点，准确根
据题意得出动点轨迹是解题的关键．
根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在矩形中
利用勾股定理求出线段 的最小值即可．
【详解】解：如图：连接 ，
∵点B和M关于 对称，
∴ ，
∴M在以A圆心，5为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时， 最短，
∵在矩形 中， ， ，
∴ ．
故选：D．
46．如图，正方形 的边长为 ，点 与点 分别为射线 ，射线 上一点，且
，连接 ， 并交于点 ，点 为边 上一点， ，连接 ，则线段
长度的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，最短路径问
题，正确作出辅助线是解题的关键．取 的中点 ，得到 ，根据正方形的性
质可得： ， ，证明 ，得到
，推出 ，得到点 在以为 直径的圆上运动，连接 ，当点
在 上时，线段 长度的值最小，过 作 于 ，根据勾股定理求出 ，即
可求解．
【详解】解：如图，取 的中点 ，
四边形 是正方形，
， ，
点 是 的中点，
，
， ，
，
，
，
，
点 在以为 直径的圆上运动，连接 ，当点 在 上时，线段 长度的值最小，
，
过 作 于 ，
， ，，
，
，
即线段 长度的最小值为 ，
故选：C．
47．如图，在四边形 中， ，连接 ，若 ，且 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，
掌握知识点的应用是解题的关键．
取 中点 ， 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，可得点 在以点
为圆心， 长为直径的圆上， ，然后证明 ，所以 ，即有 ，当 三点共线时， 有最小值，设
，则 ， ，再通过勾股定理求出 即可．
【详解】解：如图，取 中点 ， 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 在以点 为圆心， 长为直径的圆上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 三点共线时， 有最小值，设 ，则 ， ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
