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荆州市 2021 年初中学业水平考试
数 学 试 题
注意事项：
1．本卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2．本卷是试题卷，不能答题，答题必须写在答题卡上。解答题中添加的辅助线、字母和
符号等务必标在答题卡对应的图形上。
3．在答题卡上答题，选择题要用2B铅笔填涂，非选择题要用0.5毫米黑色中性笔作答。
★祝考试顺利★
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
1．在实数-1，0， ， 中，无理数是
A．-1 B．0 C． D．
2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图
是
A． B． C． D．
第2题图
3．若等式 +（ ） 成立，则（ ）中填写单项式可以是
A．a B． C． D．
4．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是
如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．
证明：①∵a⊥b (已知)
∴∠1=90°（垂直的定义）
②又∵b∥c (已知)
∴∠1=∠2 （同位角相等，两直线平行）
③∴∠2=∠1=90°（等量代换）
④∴a⊥c (垂直的定义)．
A．① B．② C．③ D．④
数学试题卷 第1页（共12页）5．若点P（a+1，2-2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为
6．已知：如图，直线 与双曲线 在第一象限交
于点P(1，t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错
误的是
A．t 2 B．△AOB是等腰直角三角形
C．k 1 D．当x 1时，
7．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线
上．若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正
半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
8．如图，在△ABC中，AB AC，∠A 40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与
AB，CD的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是
A．AD CD B．∠ABP ∠CBP C．∠BPC 115° D．∠PBC ∠A
9．如图，在菱形ABCD中，∠D 60°，AB 2，以B为圆心、BC长为半径画 ，点P
为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴
影部分的面积为
A． B． C． D ．
10．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n] mn+pq，其中等式
右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5] 2 5+3 4 22．若关于x的
方程[ ，x]※[5-2k，k] 0有两个实数根，则k的取值范围是
数学试题卷 第2页（共12页）A． B． C． D．
数学试题卷 第3页（共12页）二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．已知： ， ，则 ▲ ．
12．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不
能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 ▲ ．
13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作
DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD 4，DF ，则BE
▲ ．
14．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测
量知BC 8cm，AB 16cm．当AB，BC转动到∠BAE 60°，∠ABC 50°时，点C
到AE的距离为 ▲ cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，
≈1.73)
15．若关于x的方程 的解是正数，则m的取值范围为 ▲ ．
16．如图，过反比例函数 图象上的四点P ，P ，
1 2
P ，P 分别作x轴的垂线，垂足分别为 A ，A ，A ，A ，再过
3 4 1 2 3 4
P ，P ，P ，P 分别作y轴，PA ，PA ，PA 的垂线，构造了
1 2 3 4 1 1 2 2 3 3
四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为 S ，S ，
1 2
S，S，OA AA AA AA，则S 与S 的数量关系为 ▲ ．
3 4 1 1 2 2 3 3 4 1 4
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．（本题满分 8 分）先化简，再求值： ，其中
.
18．（本题满分8分）已知：a是不等式5(a 2)+8<6(a 1)+7的最小整数解，请用配方
法解关于x的方程 .
数学试题卷 第4页（共12页）19．（本题满分8分）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段
ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．
请在网格图形中画图：
（1）以线段 AD为一边画正方形 ABCD，再以线段 DE为斜边画等腰直角三角形
DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；
（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方
形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上.
20．（本题满分8分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓
展视野，……为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学
生假期（24天）的阅读总时间作了随机抽样分析.设被抽样的每位同学寒假阅读的
总时间为 （小时），阅读总时间分为四个类别：A ，B
，
C ，D ，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整）.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ▲ ；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中 的值为 ▲ ，圆心角β的度数为 ▲ ；
（4）若该校有2000名学生，估计寒假阅读的总时间少于24小时的学生有多少名？对
这些学生用一句话提一条阅读方面的建议.
数学试题卷 第5页（共12页）21．（本题满分8分）小爱同学学习二次函数后，对函数 进行了探究．在
经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图象．请根据函数图象，回答下列
问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ▲ ；
②方程 的解为： ▲ ；
③若方程 有四个实数根，则a的取值范围是 ▲ .
（2）延伸思考：
将函数 的图象经过怎样的平移可得到函数 的
图象？写出平移过程，并直接写出当 时，自变量x 的取值范围．
22．（本题满分10分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈
妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价
格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用
为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的
买花方案，写出最少费用．
23．（本题满分10分）在矩形ABCD中，AB 2，AD 4，F是对角线AC上不与点A，C
重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线
AD上，连接CG．
（1）如图1，若点A的对称点G落在AD上，∠FGC 90°，延长GF交AB于H，连
接CH．①求证:△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF 90°，判断△GCF与
△AEF是否全等，并说明理由．
数学试题卷 第6页（共12页）24．(本题满分12分)已知：直线 与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C为直线
AB上一动点，连接OC，∠AOC为锐角，在OC上方以OC为边作正方形OCDE，连
接BE，设BE t．
（1）如图1，当点C在线段AB上时，判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
（2）直接写出点E的坐标（用含t的式子表示）；
（3）若tan∠AOC k，经过点A的抛物线 顶点为P，且有
6a+3b+2c 0，△POA的面积为 ．当 时，求抛物线的解析式．
数学试题卷 第7页（共12页）荆州市 2021 年初中学业水平考试
数学试题参考答案与评分标准
一、选择题（每小题3分）
1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．D 7．C 8．D 9．A
10．C
二、填空题（每小题3分）
11．2 12． 13． 14．6.3 15．m>-7且m≠-3 16．S 4S（或 ）
1 4
三、解答题（按步骤给分）
17．解：原式 …………………………………3
分
= …………………………………5分
∵a 2 ，∴原式 =1+ …………………………………8分
18．解：由不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7解得： …………………3分
∴a的最小整数解为-2 …………………………………4分
将a -2代入方程x2+2ax+a+1 0得：
…………………………………5分
配方得： ，即x-2 ± …………………………………7分
∴x 2+ ，x 2- ………………………8分
1 2
19．解：（1）如图所示 ………………………4分
（2）如图所示 ………………………8分
20．解：（1）60； ………………2分
（2）如图； …………4分
（3）20，144°； …………6
分
（4）① （名） …………7
分
∴阅读总时间少于24小时的学生有1000名.
②要重视阅读，养成阅读习惯；要增加阅读时间，提高阅读质量；要培养阅读
兴趣，保证阅读时间；要坚持阅读，从今天做起等.（与阅读相关，一条建议
即可） ………8分
数学试题卷 第8页（共12页）21．解：（1）①图象关于y轴对称；当x -1或x 1时，y有最大值，最大值为 ；
当 x<-1 或 0<x<1 时 ， y 随 x 增 大 而 增 大 ； 当 或
时，y随x增大而减小等；（填一条即可）
………………………2分
②x -2； x 0； x 2； ………………………5分
1 2 3
③-1<a<0； ………………………6分
（2）将函数y的图象向右平移2个单位长，再向上平移3个单位长（或向上平
移3个单位长，再向右平移2个单位长）得到y 的图象； …………………7分
1
当 时，自变量的取值范围为0<x<4． ………………………8分
22．解：（1）设一支康乃馨价格为a元，一支百合价格为b元，由题意得：
………………………2分 解得
即买一支康乃馨需要4元，一支百合需要5元． ………………………4分
（2）根据题意得：
………………………7分
∴w与x之间的函数关系式为：w=-x+55
∴ ………………………8分
随 的增大而减小
∴当 9时， -9+55 46（元） ………………………9分
即买9支康乃馨，2支百合费用最少，最少费用为46元． ………10分
23.解：（1）①证明：如图1，由题意知∠HGC 90°
则∠AGH+∠DGC 90°
由矩形ABCD知：∠HAG ∠D=90° ………………………1分
而∠DGC+∠DCG 90° ∴∠DCG ∠AGH ………………………2分
∴△CDG∽△GAH． ………………………3分
②如图1，由①知△CDG∽△GAH
∴∠AGF ∠DCG， ………………………4
分
由折叠知：∠AGF ∠GAF
E G
∴∠GAF ∠DCG，而∠D ∠D A D
∴△ADC∽△CDG ……………………5分
F
H
∴ 即 ∴DG 1
B C
图1
∴AG AD-DG 3 ………………………6分
∴在Rt△CGH中，tan∠GHC ………………………7分
（2）解法一：如图2，此时Rt△GCF与 Rt△AEF不全等，理由如下：
设AE EG x，则DG 2x-4 A E D G
∵∠DCG +∠ACD ∠DAC+∠ACD 90°
∴∠DCG ∠DAC，而∠ADC ∠CDG
F
B C
数学试题卷 第9页（共12页） 图2∴△CDG∽△ADC
∴ 即 ，解得： ………………………8分
又tan∠GAC
∴ ∴ 而
∴ …………………………………………9分
由折叠知：FG AF，但FC≠EF，FC≠AE
∴Rt△GCF与Rt△AEF不全等． ………………………10分
解法二：如图2，此时△GCF与△AEF不全等，理由如下：
若△AEF≌△FCG时，∠EAF ∠CFG
而∠CFG ∠EAF，产生矛盾
∴假设不成立
若△AEF≌△GCF时，∠AFE ∠GFC ∠EFG 60° ………………………8分
则在Rt△AEF中，∠EAF 30° ∴tan∠EAF ……………………9分
，产生矛盾 ∴假设不成立
∴Rt△GCF与 Rt△AEF不全等．（注：本题其它解法请参照给分．）…………10
分
24．解：（1）BE⊥AB.理由如下： ………………1
分
如图1，由直线y x+1得：A (1，0)，B(0，1)
∴OA OB，△OAB为等腰直角三角形，∠OAC ∠ABO 45°
由正方形OCDE得：OC OE，∠EOB+∠BOC ∠AOC+∠BOC 90°
∴∠EOB ∠AOC ∴△AOC≌△BOE(SAS) ………………………3分
∴∠OBE ∠OAC 45°
∴∠ABE ∠OBE+∠ABO 90°
∴BE⊥AB． ………………………4
分
（2） ， 或 ， …8分
（3）∵点A在抛物线上，且
∴ ∴
数学试题卷 第10页（共12页）∴抛物线 的对称轴为
∴它与x轴另一个交点坐标为（3，0）
∴可设抛物线为
∵∠AOC为锐角
∴点C在线段AB上或BA的延长线上运动（不与点A，点B重合）
①当点C在线段AB上时，如图1 ，过E作EM⊥y轴于M．
∵ ∴ 由 （ 2 ） 得 ： ， ∴
∴
∵ ， ，△ 面积为
∴当 时，
∴ 解得：
从而 ，
∴抛物线解析式为 ………………………10分
②当点C在BA的延长线上时，如图2，过E作EN⊥y轴于N．
∵ ∴由（2）得： ， ∴ ，
∴
∵a<0，OA=1，△OAP的面积为
∴当 时，
∴ 解得：
从而 ，
∴抛物线解析式为
综上所述，抛物线的解析式为 或 ． …………12
数学试题卷 第11页（共12页）分
数学试题卷 第12页（共12页）
