文档内容
专题五 用锐角三角函数解航海问题
航海问题主要包括求航行的时间、求航行速度、判断是否有触礁危险等，
是考试中的热点问题．解决航行问题的关键是从实际问题中构建一个或两个直
角三角形，通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决．
例1 如图1，灯塔A周围1 000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，
在O处测得灯塔A在北偏东74°方向线上，这时O，A相距4 200米，如果不改
变航向，此舰艇是否有触礁的危险？
分析：要判断舰艇是否有触礁的危险，关键比较点 A到正东方向的距离与
1 000米的大小，因此，需过点A向正东方向引垂线，转化为直角三角形中的问
题．
解：如图1，过点A作AB与正东方向线垂直，垂足为B．
在Ｒt△AOB中，OA=4 200，∠AOB=90°－74°=16°．
AB=AO·sin∠AOB=4 200·sin16°
=4 200×0.275 6≈1 158（米）．
因为1 158>1 000，所以此舰艇按原航向继续航行没有触礁的危险．
说明：本题是一道比较简单的航行问题，不仅要能从实际问题中构造出直
角三角形，而且还要注意一些解题技巧，如能用乘法的运算的，不用除法，能
用正弦计算的，不用余弦．
例2 如图2，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点 A测得
某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方
向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）试说明点B是否在暗礁区域外？
（2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
分析：要判断点 B是否在暗礁区域外．则需要计算 BC的长度，看其长度
是否大于16海里，若BC>16海里，则点B在暗礁区域外；要判断继续向东航
1 / 3行有无触礁危险，则需要计算船到岛C的最短距离，看是否小于16海里．若小
于16海里，则有触礁的危险．为此，需要构造直角三角形解决．
解：（1）过点B作BD∥AE，交AC于点D．
因为AB=36×0.5=18（海里），∠ADB=60°，∠DBC=30°，
所以∠ACB=30°．
又∠CAB=30°，所以BC=AB．
即BC=AB=18>16．
所以点B在暗礁区域外．
（2）过点C作CH⊥AB，垂足为H，
在Rt△CHB中，∠BCH=30°，
令BH=x，则CH= x．
在Rt△ACH中，∠CAH=30°，
所以 ．
因为 ，所以 ．
解得 ．所以 ．
所以船继续向东航行有触礁的危险．
说明：有无触礁问题是航海中的热点，也是中考试题中经常出现的试题．
解决此类问题需要正确理解题意，从实际问题构建直角三角形模型．
专题训练：
1．如图3，一艘船向正东方向航行，在 B处测得有一灯塔在它的北偏东
30°，距离为72海里的A处．当行至C处测得灯塔恰好在它的正北方向，求此
时它与灯塔的距离AC（计算结果精确到0.1海里）．
2 / 32．如图4，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以 9海
里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续
行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向． 问客轮不改变
方向继续前进有无触礁的危险？
参考答案：
1．据题意∠ABC=90°－30°=60°，AB=72．
在Rt△ABC中，因为sin∠ABC= ，
所以AC=ABsin∠ABC=72sin60°=72× ≈62.4（海里）．
2．过P作PC⊥AB于C点．
据 题 意 知 ： AB=9× =3 ， ∠ PAB=90°-60°=30° ， ∠ PBC=90°-45°=45° ，
∠PCB=90°．
所以PC=BC．
在Rt△PAC中， ．
即 ．
所以 ．
所以客轮不改变方向继续前进无触礁危险．
3 / 3
