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专题六 用三角函数设计测量方案问题
用三角函数设计测量方案是中考试题中的常见题型．其中以测量河的宽度，
测量物体的高度为重要题型，解决测量问题需要熟练掌握锐角三角函数在实际
问题中的应用，能从实际问题中构造一个或两个直角三角形，并能根据自己所
设计的方案进行有关的计算．
例 如图1，河边有一条笔直的公路L，公路两侧是平坦的草地．在数学活
动课上，老师要求测量河对岸点B到公路的距离，请你设计一个测量方案．要
求：
（1）列出你测量所使用的测量工具；
（2）画出测量的示意图，写出测量的步骤；
（3）用字母表示测得的数据，求出B到公路的距离．
分析：本题是一道求测量点到公路距离的实际问题．可构造用公共边的两
个直角三角形来解决．
解：（1）测角器、尺子；
（2）测量示意图见图2；
测量步骤：
①在公路上取两点C，D，∠BCD，∠BDC为锐角；
②用测角器测出∠BCD= ，∠BDC= ；
③用尺子测得CD的长，记为m米；
④计算求值．
（3）设B到CD的距离为x米，
作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CA·tan ，
在△DAB中，
x=AD⋅tanβ
，
1 / 3所以 ， ．
因为 ，所以 ．
tanα⋅tanβ
x=m⋅
所以
tanα+tanβ
．
说明：本题是一道测量距离的方案设计问题，解决问题的关键在于正确地
构造直角三角形．
专题训练：
在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图 3所
示，某学生在河东岸点 A处观测到河对岸水边有一点 C，测得C在A北偏西
31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上
请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈
，sin31°≈ ）
参考答案：
解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米．
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，所以BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AD=AB＋BD=（20＋x）米，CD=x米．
2 / 3因为 ，所以 ．
所以 ．所以这条河的宽度为30米．
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