文档内容
《相交线与平行线》综合发散
纵横发散
1．如图2-66，已知∠C=∠D，DB//EC．AC与DF平行吗？试说明你的理
由．
2．如图2-67，已知∠1=∠2，求∠3+∠4的度数．
解法发散
1．如图2-68，已知AB//CD，EF⊥AB，MN⊥CD．求证：EF//MN．（用两
种方法说明理由）．
2．如图2-69， a 、 b 、 c ，是直线，∠1=∠２． a与b平行吗？
简述你的理由．（用三种方法，简述你的理由）变更命题发散
如图 2-70，AB//CD，∠BAE=
40°
，∠ECD=
62°
，EF 平分∠AEC，
求∠AEF的度数．
如图 2-71，已知 AB//CD，∠BAE= 30° ，∠DCE= 60，EF、EG三等分
∠AEC．
（1）求∠AEF的度数；
（2）EF//AB吗？为什么？
3．如图2-72，已知∠1=
100°
，∠2=80°，∠3=
95°
，那么∠4是多少
度？4．如图2-73，AB、CD、EF、MN构成的角中，已知∠1=∠2=∠3，问图中
有平行线吗？如果有，把彼此平行的直线找出来，并说明其中平行的理由．
5．如图2-74，已知∠1+∠2=
180°
，∠3=
95°
．求∠4的度数？
6．如图2-75，已知 l //m，求∠x,∠y的度数．
l ,l l ,l
7．如图2-76，直线 1 2 分别和直线 3 4 相交，∠1与∠3互余，∠2与∠3的余角互补，∠4=
115°
．求∠3的度数．
转化发散
1．如图2-77，已知∠AEF=∠B，∠FEC=∠GHB，GH垂直于AB，G为垂足，
试问CE，能否垂直AB，为什么？
2．如图2-78，已知∠ADE=∠B，FG⊥AB，∠EDC=∠GFB，试问CD与AB
垂直吗？简述你的理由．
分解发散
发散题 如图2-79，AB//CD， ∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF的度数．综合发散
1．证明：两条平行线被三条直线所截的一对同旁内角的角平分线互相垂直．
2．求证：两条直线被第三条直线所截，若一组内错角的角平分线互相平行，
则这两条直线也相互平行．
3．在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE//AC 交 BC 于 E，EF//CD 交 AB 于
F，求证：EF平分∠DEB．
4．线段AB被分成2:3:4三部分，已知第一和第三两倍分的中点间的距离是
5.4cm,求AB的长．
5．已知：如图2-80，AB//CD，AD⊥DB，求证∠1与∠A互余．参考答案
纵横发散
1．∵BD∥EC(已知)，
∴∠DBC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
又∵∠C=∠D(已知)，
∴∠DBC+∠D=180°(等量代换)．
故AC∥DF(同旁内角互补，两直线平行)．
2．∵∠1=∠2(已知)，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)，
∴∠BMN+∠DNM=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
∴∠3+∠4=(180°-∠BMN)+(180°-∠DNM)=360°-180°=180°(等量代换)．
解法发散
1．(1)通过同位角相等，判断两直线平行．
(2)通过两条直线都和第三条直线垂直来判断这两条直线平行．
解法1 如图2-1′，∵EF⊥AB(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．
同理，∠3=90°，∴∠1=∠3．
又∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠2(两条直线平行，同位角相等)，
∴∠2=∠3(等量代换)．
∴EF∥MN(同位角相等，两直线平行)．
解法2 ∵EF⊥AB(已知)，
∴∠1=90°(垂直的定义)．又∵AB∥CD(已知)，
∴∠1=∠2=90°(两直线平行，同位角相等)，
∴EF⊥CD(垂直的定义)，又∵MN⊥CD(已知)，
∴EF∥MN(如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行)．
2．解法1
∵∠2=∠4，∠1=∠2．
∴∠1=∠4．
∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
解法2
∵∠2=∠4，∠1=∠3(对顶角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4．
∴a∥b(内错角相等，两直线平行)．
解法3 ∵∠1+∠5=180°(平角定义)，
∠1=∠2，∴∠2+∠5=180°，
又∵∠2=∠4(对顶角相等)，∴∠4+∠5=180°
∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
变更命题发散
1．51°．
2．(1)30°；(2)平行，根据内错角相等，两直线平行．
3．85°．
4．因为∠1 和∠4 是对顶角，所以∠1=∠4，又因为∠1=∠2=∠3，所以
∠4=∠2，∠4=∠3．
直线 AB，CD 被 EF 所截，∠2 和∠4 是同位角，且∠4=∠2，所以，
AB∥CD．
同理，由∠4=∠3，可推知EF∥MN．
5．∵∠1=∠6，∠2=∠7(对顶角相等)，
又∵∠1+∠2=180°(已知)，
∴∠6+∠7=180°(等量代换)．
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠4=∠5(两直线平行，内错角相等)．而∠3+∠5=180°(平角的定义)，
∠3=95°(已知)，∴∠5=85°(等式性质)，
故∠4=85°(等量代换)．
6．∠x=125°，∠y=72°．
7．由题意，∠1是∠3的余角，而∠2与∠3余角互补，故∠1+∠2=180°，于
l //l
是 1 2 ，所以∠3=∠5=180°-∠4=180°-115°=65°．
转化发散
1．分析 把判断两条直线垂直问题转化为判断两条直线平行问题．理由如
下：
∵∠AEF=∠B，∴EF∥BC，∴∠FEC=∠1．
又∵∠FEC=∠GHB，∴∠GHB=∠1，∴GH∥CE．
∵GH⊥AB，∴CE⊥AB．
2．分析 本题将证明两条直线垂直的问题转化为证明两条直线平行的问题．
理由如下：
∵∠ADE=∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠BCD=∠EDC（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠EDC=∠GFB（已知），
∴∠BCD=∠GFB（等量代换），
∴FG∥CD（同位角相等，两直线平行）．
又∵FG⊥AB（已知），
故CD⊥AB（如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么，这条直线也
和另一条垂直）．
分解发散
如图2-2′，过M作MN∥AB（过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直
线），∵AB∥CD（已知），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠2=∠EMN（两直线平行，内错角相等）．
∠4=∠NMF而∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠EMF=90°．
综合发散
1．已知：如图 2-3′，AB∥CD，∠BMN与∠MND是一对同旁内角，MG，
NG分别是两个角的角平分线．求证：MG⊥NG．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠BMN+∠MND=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MG、NG为角平分线（已知），
1 1
∠NMG= ∠BMN，∠MNG= ∠MND
∴ 2 2 （角平分线定义），
1 1
∠NMG+∠MNG= (∠BMN+∠MND)= ×180°=90°
∴ 2 2 ，
∴∠MGN=90°．∴MG⊥NG．
2．已知∠1=∠2，∠3=∠4，EM∥FN，求证：AB∥CD．
如图2-4′，∵ME∥FN，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4．
即∠AEF=∠DFE．故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
1 1
∠FEB=∠DCE= ∠ACB= ∠DEB
3． 2 2 ．
4．8.1cm．
5．解∵AB∥CD（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），
∠A+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠A+∠ADB+∠2=180°．
∵AD⊥DB（已知），
∴∠ADB=90°（垂直的定义），
∴∠A+∠2=90°（等量减等量，差相等），
∴∠A+∠1=90°（等量代换），
∴∠1与∠A互余（互余的定义）．
