文档内容
《相交线与平行线》能力提升
解法发散
1．已知 AB//CD，试问∠B+∠BED+∠D=
360°
．（用两种以上方法判
断）
2．如图 2-101，已知∠BED=∠ABE+∠CDE，那么 AB//CD 吗？为什么？
（用四种方法判断）
变更命题发散
1．如图 2-102，在折线 ABCDEFG 中，已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5，延长
AB，GF交于点M．那么，∠AMG=∠3，为什么？
1．如图2-103，已知AB//CD，∠1=∠2．试问∠BEF=∠EFC 吗？为什么？
（提示：作辅助线BC）．
分解发散如图2-104，AB//CD，在直线，AB和CD上分别任取一点E、F．
（ 1 ） 如 图 2-104 ， 已 知 有 一 定 点 P 在 AB 、 CD 之 间 ， 试 问
∠EPF=∠AEP+CFP吗？为什么？
（2）如图2-105，如果AB、CD的外部有一定点P，试问
∠EPF=∠CFP－∠AEP吗？为什么？
（3）如图2-106，AB//CD，BEFGD是折线，那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G吗
简述你的理由．
转化发散
1．判断互为补角的两个角中，较小角的余角等于这两个互为补角的差的一
半．
3
2．已知点C在线段AB的延长线上，AB=24cm，BC= 8 AB，E是AC的
中点，D是AB的中点，求DE的长．迁移发散
平面上有10条直线，其中任何两条都不平行，而且任何三条都不经过同一
点，这10条直线最多分平面为几个区域？
综合发散
1．线段 AB=14cm，C 是 AB 上的一点，BC=8cm，又 D 是 AC 上一点，
AD:DC=1:2，E是CB的中点，求线段DE的长．
2．如图 2-107，已知∠1=∠2=∠3，∠GFA=
36°
，∠ACB=
60°
，AQ
平分∠FAC，求∠HAQ的度数．
3．如图2-108，已知∠1=∠2，∠C=∠D，试问∠A=∠F吗？为什么？
4．如图2-109，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠4=∠C，那么∠1=∠2．谈谈你的
理由．参考答案
解法发散
1．解法1 如图2-5′，从E点作EF∥AB．
∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行），
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠B+∠BEF+∠FED+∠D=360°，
即∠B+∠BED+∠D=360°．
解法2 如图2-6′，从E点作EF∥AB，
则∠1=∠B（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB∥CD（已知），
∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平
行），
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1+∠BED+∠2=360°（周角的定义），
∴∠B+∠BED+∠D=360°（等量代换）．2．分析 关键是找到“第三条直线”把原两条直线AB，CD联系起来．
解法1 如图2-7′，延长BE交CD于F．有∠BED=∠3+∠2，
∵∠BED=∠1+∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠2．
即∠1=∠3，从而AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
解法2 如图2-8′，过E点作EF，使∠FED=∠CDE，则EF∥CD．
又∵∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠FEB=∠ABE．因而EF∥AB．
∴AB∥CD（AB，CD都平行于EF）．
解法3、解法4可依据图2-9′、图2-10′，读者可自行判断．
变更命题发散
1．判断理由如下：
∵∠1=∠2（已知），
∴AM∥CD（内错角相等，两直线平行）．
同理，∵∠4=∠5，∴GM∥DE，
∵∠AMG=∠3（如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补）．
2．判断理由如下：
连结BC．
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠EBC=∠FCB（等量之差相等），
∴EB∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠BEF=∠EFC（两直线平行，内错角相等）．
分解发散
（1）提示：过P作PQ∥AB，把∠EPF分割成两部分∠EPQ、∠QPF，利用
平行线内错角相等判断．
（2）提示：先求∠CFP的等角∠1，过Q点作QG∥PE，把∠1分割成两部
分，再利用平行线内错相等证明．
∠EPF=∠1-∠AEP，又∵∠1=∠CFP，
最后证得结论：∠EPF=∠CFP-∠AEP．
（3）提示：过E、F、G作AB的平行线．
转化发散
1．提示：考虑互补的两角有一条边互为反向延长线 MN，过角的顶点作
MN的垂线，只须证互补两角中的大角减小角的差等于小角的余角的2倍．
3
BC= AB
2．如图2-11′，∵ 8 ，
3
AC=AB+BC=24+ ×24=33
∴ 8 ．
又∵E是线段AC的中点，1 1
AE= AC= ×33=16.5
∴ 2 2 ．
1 1
AD= AB= ×24=12
同理 2 2 ，
故DE=AE-AD=16.5-12=4.5（cm）．
迁移发散
∵一条直线将平面分成 2个区域，加上第二条直线，区域数增加 2，加上第
三条直线，区域数又增加3……，加上第10条直线，区域数又增加10．
∴10条直线，按已知条件，将平面分成的区域数为n．
则n=2+2+3+4+…+10
=1+(1+2+3+4+…+10)
=56．
综合发散
1．8cm．
2．12°．
3．提示：先判断DB∥EC，再判断DF∥AC．
4．本题判断如下：
∵AD⊥BC（已知），EF⊥BC（已知），
∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）．
又∵∠4=∠C（已知）．
∴AC∥GD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∴∠1=∠2（等量代换）．
