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专题 02 特殊平行四边形中的四种最值问题
类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题
例1．如图所示，正方形 的边长为2，点 为边 的中点，点 在对角线 上移动，则 周
长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点E关于 的对称点为 ，连接 交 于点P，可得 ， ，根据勾股定
理求出 ，可得 周长 ，即可求解．
【详解】解：作点E关于 的对称点为 ，连接 交 于点P，如图所示，
∵E关于 的对称点为 ，
∴ ， ，∵正方形 的边长为2，点 为边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 周长 ，
又∵ ，∴ 周长 ，
∴ 周长最小值为 ，故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握轴对
称的性质．
例2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝
2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先
在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG
与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ＝EG最小，然
后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的
长度．
【详解】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点
即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．∵四边形 是矩形，
∴ ， ，∠QCE＝90°，
∵ ，∴ ,
∵点F点关于BC的对称点G，
∴
∴
∴四边形 是矩形，
∴GH＝DF＝6，∠H＝90°,
∵点E是CD中点，
∴CE=2，
∴EH＝2+4＝6，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，
∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较
大的题目，对学生提出了较高的要求．
例3．如图，在矩形 中， ，O为对角线 的中点，点P在 边上，且 ，点Q在 边上，连接 与 ，则 的最大值为____________， 的最小值为__________．
【答案】
【分析】①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q满足使 的值最大，最大值为 的长度，证
明四边形 是矩形可得 ， ， ，再利用勾股定理进行计算即可；
②过点O作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小，
的最小值为 的长度，延长 交 于点G，根据对称的性质可得 ，再根据
，点O是 的中点，可得 ，从而求得 ，再利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：①连接 并延长交 于点Q，则这个点Q满足使 的值最大，最大值为 的长度，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点O是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
过点P作 于点P，
∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②过点O作关于 的对称点 ，连接 交 于点Q， 的值最小，
的最小值为 的长度，延长 交 于点G，
∵ ，点O是 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为： ，
故答案为： ； ．【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及轴对称−最短路径，熟练掌握相关
知识是解题的关键．
【变式训练1】如图，正方形 的周长为24， 为对角线 上的一个动点， 是 的中点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P'，
∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P'D=P'B，∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，即为BE的长度.
∵正方形 的周长为24，∴直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=6，CE= CD=3，
∴ .
故选A.
【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S PBC＝ S ABCD，则点P到
矩形
△
B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（ ）A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：设△PBC中BC边上的高是h．
∵S PBC＝ S ABCD．∴ BC•h＝ AB•AD，∴h＝ AB＝1，
矩形
△
∴动点P在与BC平行且与BC的距离是1的直线l上，
如图，作B关于直线l的对称点E，连接CE，则CE的长就是所求的最短距离．
在Rt BCE中，∵BC＝3，BE＝BA＝2，∴CE＝ ，
△
即PB＋PC的最小值为 ．
故选：B．
【变式训练3】如图，在正方形 中， ， 与 交于点O，N是 的中点，点M在 边
上，且 ，P为对角线 上一点，则 的最大值为_____________．
【答案】1【分析】作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，可判定当点P，E，M
三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分线的性质得到
EM=CM=1即可．
【详解】解：如图：作N关于BD的对称点E，连接PE，ME，过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，
∴PN=PE，
则PM-PN=PM-PE，
∴当点P，E，M三点共线时，PM-PE的值最大，为ME 的长，
在正方形ABCD中，AB=4，
∴AC= ，
∵N是AO的中点，点N和E关于BD成轴对称，
∴点E是OC中点，
∴CE= AC= ，
∵BC=4，BM=3，
∴CM=1= BC，
∵∠BCQ=45°，
∴△MCQ为等腰直角三角形，
∴CQ= = ，
∴EQ= ，
∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的
性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
【变式训练4】如图，在正方形 中， ， 为 边上一点， ． 为对角线 上一动
点（不与点 、 重合），过点 分别作 于点 、 于点 ，连接 、 ，则
的最小值为______．
【答案】13
【分析】连接 、 ，由四边形 为矩形，得 ，由正方形的对称性得 ，即知
，故当 最小时， 最小，此时 、 、 共线， 的最小值即
为 的长，由 ， ，可得 ，从而 的最小值为13．
【详解】解：连接 、 ，如图：
， ， ，
四边形 为矩形，
，
四边形 是正方形，
由正方形的对称性可得 ，
，
，当 最小时， 最小，此时 、 、 共线， 的最小值即为 的长，如图：
， ，
，
，
的最小值为13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是把求 的最小值问题转化成求 的长．
类型二、翻折型最值问题
例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将
△AMN沿MN所在直线翻折得到△ MN，连接 C，则 C长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 作 交 的延长线于 ，根据 为定值，可知当 在 上时， 取得最
小值，然后依据角度和三角函数，即可求得 的长．
【详解】解：∵ 是定值，
∴当 在 上时， 取得最小值，
如图，过 作 交 的延长线于 ，∵在边长为2的菱形 中， ， 为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形性质、折叠问题、三角函数和勾股定理等知识点，找出 所在位置是解答本题的
关键．
例2．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所
在的直线折叠得到 ，连接 ，则的最小值是 _______．
【答案】 /
【分析】由题意可知 ，继而可知点 的运动轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆弧，然后
由点 ， ， 三点共线时 最小即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴ ，
∵E是CD边上的中点，
∴
∵△ECF沿EF所在的直线折叠得到 ，
∴ ，
∴当点 ， ， 三点共线时， 最小，如图，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理和两点之间线段最短等，根据已知条件确
定点的运动轨迹和利用两点之间线段最短求最值是解题的关键．
【变式训练1】如图，在矩形 中， ， ， 在 上， ， 是线段 上的动点，
将 沿 所在的直线折叠得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】解：如图， 的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当 点落在DE上时，
D取得最小值．根据折叠的性质，△EBF≌△EB’ F，∴E ⊥ F，∴E ＝EB，
∵ ∴E ＝1，
∵ ， ，∴AE=3-1=2，∴DE＝ ，∴D ＝ -1．
故选：D．
【变式训练2】如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF
沿EF所在的直线折叠得到 ，连接 ，则的最小值是 _______．
【答案】
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴ ，
∵E是CD边上的中点，∴
∵△ECF沿EF所在的直线折叠得到 ， ∴ ，
∴当点 ， ， 三点共线时， 最小，如图，
在 中，由勾股定理得： ，∴ ，
∴ 的最小值为 ．
类型三、旋转型最值问题
例1．如图，正方形 中， ，E是边 的中点，F是正方形 内一动点，且 ，连接
， ， ，并将 绕点D逆时针旋转 得到 （点M，N分别为点E，F的对应点）．
连接 ，则线段 长度的最小值为_____________．【答案】
【分析】过点M作 ，垂足为P，连接 ，由旋转的性质得到 ， ，
，根据正方形的性质求出 ，证明 ，得到 ，
，利用勾股定理求出 ，根据 即可求出 的最小值．
【详解】解：过点M作 ，垂足为P，连接 ，
由旋转可得： ， ， ，
在正方形 中， ，E为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵C，M位置固定，
∴ ，即 ，
∴ ，即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最
短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出 的长，得到 ．
例2．如图，长方形ABCD中， ， ，E为BC上一点，且 ，F为AB边上的一个动点，
连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图，将线段BE绕点E顺时针旋转30°得到线段ET，连接GT，过E作 ，垂足为
J，
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，∵∠BET=∠FEG=30°，∴∠BEF=∠TEG，
在△EBF和△TEG中， ，∴△EBF≌△ETG（SAS），
∴∠B=∠ETG=90°，∴点G的在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，
∵∠EJG=∠ETG=∠JGT=90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴∠JET=90°,GJ=TE=BE=2，
∵∠BET =30°，∴∠JEC=180°-∠JET-∠BET=60°，
∵ ，∴ ,∴CG=CJ+GJ= .
∴CG的最小值为 .
故答案为： .
【变式训练1】如图，已知正方形 的边长为a，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕点 顺时
针旋转 到 ，连接 ， ，则当 之和取最小值时， 的周长为______．（用含a的
代数式表示）
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，先证明 ，即可得到点 在
的角平分线上运动，作点 关于 的对称点 ，当点 ， ， 三点共线时， 最
小，根据勾股定理求出 的最小值为 ，即可求出此时 的周长为 ．
【详解】解：连接 ，过点 作 交 延长线于点 ，将 绕点 顺时针旋转 到 ，
， ，
，
，
又 ，
，
， ，
，
即 ，
，
即点 在 的角平分线上运动，
作点 关于 的对称点 ，
点在 的延长线上，
当点 ， ， 三点共线时， 最小．
在 中， ， ，
，
的最小值为 ，
此时 的周长为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查旋转，全等三角形的判定与性质，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称解决最短
路径是本题的关键．
【变式训练2】如图①．已知 是等腰直角三角形， ，点D是 的中点，作正方形
，使点 ， 分别在 和 上，连接 ， ．(1)试猜想线段 和 的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形 绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 ，小于或等于 ），如图②，
通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明
理由；
(3)若 ，在（2）的旋转过程中，
①当 为最大值时，则 ___________．
②当 为最小值时，则 ___________．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)成立，证明见解析
(3)① ；②
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出 ，进而得出结论；
（2）如图2，连接 ，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出 ，进而得出
结论；
（3）①如图③，当旋转角为 时， ，此时 的值最大．②利用三角形的三边关系确定 的
最小值，此时如图③中， ， ， 共线．
【详解】（1）解：结论： ．
理由：如图1，延长 交 于 ．
是等腰直角三角形， ，点 是 的中点，
， ，．
四边形 是正方形，
．
在 和 中，
，
，
；
（2）（1）中的结论仍然成立， ， ．理由如下：
如图②，连接 ，延长 交 于 ，交 于 ．
在 中， 为斜边 中点，
， ，
．
四边形 为正方形，
，且 ，
，
．
在 和 中，
，
，
， ，，
，
．
（3）①如图③，当旋转角为 时， ，此时 的值最大．
，
．
．
在 中，由勾股定理，得
，
．
故答案为： ；
②如图④中，连接 ．
如图②中，在 中， ， ，
，
的最小值为1，此时如图④中， ， ， 共线，
在 中， ．
故答案为： ．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的
运用，全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
类型四、PA+KPB型最值问题
例．如图，菱形ABCD中， ，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则 的最小值
是______．
【答案】
【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．
【详解】解：如图所示：
过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
四边形 是菱形， ，
∴∠ABP=30°，
，
，
由垂线段最短可知， 的最小值为 的长，
，即 的最小值是： ，
故答案是： ．
【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．
【变式训练1】如图，长方形 中， 点 是线段 上一动点，连接 ，则
的最小值为_____．
【答案】
【分析】在 上方作 ，作 于 ，作 于 ，交 于 ，将 转化为
，则 的最小值为 的长度，根据图形分别求 和 即可．
【详解】解：在 上方作 ，作 于 ，作 于 ，交 于 ，
，
，当 、 、 三点共线时， 最小，即为 的长度，
， ，
，
， ，
， ，
．
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了线段和最小问题，通过作辅助线将线段和最小问题转化为求线段 的长度是关
键．
【变式训练2】如图，▱ 中 ， ， ， 为边 上一点，则 的最小
值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP= DP，因此 PD+2PB=2(
DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即 PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点 作 ，交 的延长线于 ，四边形 是平行四边形，
，
∴
∵PH丄AD，∴
∴ ， ，
∴
当点 ，点 ，点 三点共线时，HP+PB有最小值，即 有最小值，
此时 ， ， ，
∴ ，
则 最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角
三角形是解题的关键．
课后训练
1．如图，菱形 的边长为8， ，点E，F分别是 ， 边上的动点，且 ，过
点B作 于点G，连接 ，则 长的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 与 相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接 ，取 中点M，连接 ， ，
则 ， 为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：如图，连接 与 相交于O，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点O是菱形的中心，
连接 ，取 中点M，连接 ， ，则 ， 为定长，
∵菱形 的边长为8， ，
∴ ，
由勾股定理可得： ，
∵M是 的中点，
∴ ，
在Rt 中， ，在Rt 中， ，
∵ ，
当A，M，G三点共线时， 最小为 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，
解题的关键是求出 ， 的值．
2．如图，在菱形 中，E，F分别是边 ， 上的动点，连接 ， ，G，H分别为 ，
的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，利用三角形中位线定理，可知 ，求出 的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接 ，如图所示：
四边形 是菱形，
，
， 分别为 ， 的中点，
是 的中位线，，
当 时， 最小， 得到最小值，
则 ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知
识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
3．如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=60°， ，点M是四边形ABCD内的一个动点，
满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于F，交
CD于G，则 ，求出OM，OF即可解决问题．
【详解】解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，过点O作OF⊥BC于
F，交CD于G，则 ．∵∠AMD＝90°，AD＝8，OA＝OD，
∴OM AD＝4，
∵AB∥CD，
∴∠GCF＝∠B＝60°，
∴∠DGO＝∠CGF＝30°，
∵AD＝BC，
∴∠DAB＝∠B＝60°，
∴∠ADC＝∠BCD＝120°，
∴∠DOG＝30°＝∠DGO，
∴DG＝DO＝4，
∵CD＝8，
∴CG＝4，
∴OG＝2OD•cos30°＝4 ，GF ，OF＝6 ，
∴ME≥OF﹣OM＝6 4，
∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为6 4．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、解直角三角形、求线段最值等，
通过作辅助线得出 是解题关键．
4．如图，直线 平分正方形 的面积，直线 分别与 、 交于点 、 ， 直线 于 ，连接
，若 ，则 长的最小值为___________．【答案】
【分析】连接 交 于 ，取 中点 ，连接 ，作 于 ，由正方形的性质得到 是
的中点，求出 的长，得到 ， 的长，由勾股定理求出 的长，由三角形三边关系得到
，于是即可求出 长的最小值．
【详解】解：连接 交 于 ，取 中点 ，连接 ，作 于 ，
直线 平分正方形 的面积，
是 的中点，
四边形 是正方形， ，
，
，
，
，
是 的中点，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
可得当A，M，H三点共线时， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，中心对称，三角形的三边关系，求线段长的最小值，关键是通过作辅
助线，由三角形的三边关系得到 .
5．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一动点，连接 、 ，则 的最小
值为________．
【答案】3+2
【分析】过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E，则 的
最小值即为PA+PE的最小值，此时，PA+PE=AE，根据勾股定理求出BP= ，进而即可求解．
【详解】解：过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E，∵∠PCE=30°，PE⊥CE，
∴PE= PC，
∴ 的最小值即为PA+PE的最小值，
当PA和PE在同一直线上时，PA+PE最小，此时，PA+PE=AE，
∵∠APB=∠CPE，且∠PCE+∠CPE=∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PCE=30°，
∴AP=2BP，
∴ ，解得：BP= （负值舍去），
∴AP= ，
∴PE= ，
∴AE=PA+PE= + =3+2 ，
∴ 的最小值为3+2 ．
故答案是：3+2 ．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造含30°的直角三角
形，是解题的关键．
6．如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上， ，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF
为边向右作等边 ，连接CG，线段CG的最小值是___________．【答案】
【分析】把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，
过E点作EP⊥CQ，根据旋转的性质得∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，易得四边形
HEPQ为矩形，则PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，接着计算出CP，从而得到CQ的长，然后利用垂线段最短
得到CG的最小值．
【详解】解：∵△EFG为等边三角形，
∴EF＝EG，
把△EBF绕点E顺时针旋转60°得到△EHG，
如图，延长HG交CD于M，过C点作CQ⊥HM，过E点作EP⊥CQ，
∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，
即G点在过H点且垂直于EH的线段HM上，易得四边形HEPQ为矩形，
∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，
∵∠CEP＝90°−∠BEH＝30°，
∴CP＝ CE＝ ＝ ，
∴CQ＝CP＋PQ＝ ＋2＝ ．
∴CG的最小值为 ．
故答案为 ．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了等边三角形的判定与性质，比较综合．
7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边 ， 上的动点，P是线段 的中点， ，
，G，H为垂足，连接 ．若 ， ， ，则 的最小值是______．
【答案】7.5
【分析】连接 、 、 ，由勾股定理求出 ，再由直角三角形斜边上的中线性质得 ，
然后证四边形 是矩形，得 ，当A、P、C三点共线时， 即可求解．
【详解】连接 、 、 ，如图所示：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∵P是线段 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
当A、P、C三点共线时，
，
∴ 的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形
的判定与性质，求出 的最小值是解题的关键．
8．如图，E、F、G、H分别是正方形 边 、 、 、 上的点，连接E、F、G、H，若
， ，则四边形 的周长最小值是_____________．
【答案】
【分析】利用轴对称的性质作出如图的辅助线，在 中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：延长 到D，使 ，G的对应点为 ，则 ，
作 ，使 ，H的对应点为 ，则 ，
作 ，使 ，Ｅ的对应点为 ，则 ，∴ 在同一直线上时，四边形 的周长最小，最小值为 的长，
作 交 延长于点K，
则 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，
学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
9．如图，在四边形 中， ，四边形 的面积为 ，连接对角线 ，
则 的最小值为______．
【答案】
【分析】连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，利用直角三角形的性质和勾股定理求出相应线段，从而计算
出△ABC的面积，结合四边形ABCD的面积得到△ADC的面积，从而求出点D到AC的距离h，过点D作
DE∥AC交BC延长线于点E，过点C作DE 的对称点为F，连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE
于点G，结合对称的性质证明△CEF是等边三角形，利用勾股定理求出BF的长，根据对称的性质判断出
当且仅当B，D，F三点共线时，BD+CD取得最小值，即为BF即可．【详解】解：如图，连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，
在△ABH中，∠AHB=90°，∠ABH=60°，AB=2，
∴∠BAH=30°，
∴BH= AB=1，
∴AH= ，
∵BC=4，
∴CH=BC-BH=3，
∴AC= ，
∴AC=2AH，
∴∠ACH=30°，
∵S ABC= ，S ABCD= ，
四边形
△
∴S ADC=S ABCD-S ABC= ，
四边形
△ △
设点D到AC的距离为h，
∴S ADC= ，
△
∴h=1，即点D到AC的距离为1，
过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，作点C关于直线DE 的对称点F，
连接EF，DF，BF，CF，过点F作FG⊥CE于点G，
∵AC∥DE，∴∠ACH=∠DEC=30°，
由对称性可知：DC=DF，EC=EF，∠DEC=∠DEF=30°，
∴∠CEF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴CE=CF=EF=2h=2，
∵FG⊥CE，
∴CG=EG=1，BG=BC+CG=5，
∴FG= ，
在△BGF中，∠BGF=90°，BF= ，
∵BD+CD=BD+DF≥BF，
∴当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值，即为BF，
∴BD+CD的最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，最值问题，直角三角形的性质，
多边形的面积，知识点较多，难度较大，解题的关键是作出辅助线，得出当且仅当B，D，F三点共线时，
BD+CD取得最小值．
