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专题 02 特殊平行四边形中的四种最值问题
类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题
例1．如图所示，正方形 的边长为2，点 为边 的中点，点 在对角线 上移动，则 周
长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，P，Q为BC边上两个动点，且PQ＝
2，当四边形APQE的周长最小时，BP的长为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
例3．如图，在矩形 中， ，O为对角线 的中点，点P在 边上，且 ，点
Q在 边上，连接 与 ，则 的最大值为____________， 的最小值为__________．【变式训练1】如图，正方形 的周长为24， 为对角线 上的一个动点， 是 的中点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，动点P满足S PBC＝ S ABCD，则点P到
矩形
△
B，C两点距离之和PB+PC的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式训练3】如图，在正方形 中， ， 与 交于点O，N是 的中点，点M在 边
上，且 ，P为对角线 上一点，则 的最大值为_____________．【变式训练4】如图，在正方形 中， ， 为 边上一点， ． 为对角线 上一动
点（不与点 、 重合），过点 分别作 于点 、 于点 ，连接 、 ，则
的最小值为______．
类型二、翻折型最值问题
例1．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将
△AMN沿MN所在直线翻折得到△ MN，连接 C，则 C长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
例2．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是CD边上的中点，F是线段BC上的动点，将△ECF沿EF所
在的直线折叠得到 ，连接 ，则的最小值是 _______．【变式训练1】如图，在矩形 中， ， ， 在 上， ， 是线段 上的动点，
将 沿 所在的直线折叠得到 ，连接 ，则 的最小值是（ ）
A．6 B．4 C． D．
类型三、旋转型最值问题
例1．如图，正方形 中， ，E是边 的中点，F是正方形 内一动点，且 ，连接
， ， ，并将 绕点D逆时针旋转 得到 （点M，N分别为点E，F的对应点）．
连接 ，则线段 长度的最小值为_____________．
例2．如图，长方形ABCD中， ， ，E为BC上一点，且 ，F为AB边上的一个动点，
连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为______．【变式训练1】如图，已知正方形 的边长为a，点 是 边上一动点，连接 ，将 绕点 顺时
针旋转 到 ，连接 ， ，则当 之和取最小值时， 的周长为______．（用含a的
代数式表示）
【变式训练2】如图①．已知 是等腰直角三角形， ，点D是 的中点，作正方形
，使点 ， 分别在 和 上，连接 ， ．
(1)试猜想线段 和 的数量关系，并证明你得到的结论；
(2)将正方形 绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于 ，小于或等于 ），如图②，
通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明
理由；
(3)若 ，在（2）的旋转过程中，
①当 为最大值时，则 ___________．②当 为最小值时，则 ___________．
类型四、PA+KPB型最值问题例．如图，菱形ABCD中， ，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则 的最小值
是______．
【变式训练1】如图，长方形 中， 点 是线段 上一动点，连接 ，则
的最小值为_____．
【变式训练2】如图，▱ 中 ， ， ， 为边 上一点，则 的最小
值为______．
课后训练
1．如图，菱形 的边长为8， ，点E，F分别是 ， 边上的动点，且 ，过
点B作 于点G，连接 ，则 长的最小值是（ ）A． B． C． D．
2．如图，在菱形 中，E，F分别是边 ， 上的动点，连接 ， ，G，H分别为 ，
的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠ABC=60°， ，点M是四边形ABCD内的一个动点，
满足∠AMD=90°，则点M到直线BC的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线 平分正方形 的面积，直线 分别与 、 交于点 、 ， 直线 于 ，连接
，若 ，则 长的最小值为___________．5．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一动点，连接 、 ，则 的最小
值为________．
6．如图，正方形ABCD，边长为7，点E在边BC上， ，点F是AB边上一动点，连接EF，以EF
为边向右作等边 ，连接CG，线段CG的最小值是___________．
7．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边 ， 上的动点，P是线段 的中点， ，
，G，H为垂足，连接 ．若 ， ， ，则 的最小值是______．
8．如图，E、F、G、H分别是正方形 边 、 、 、 上的点，连接E、F、G、H，若， ，则四边形 的周长最小值是_____________．
9．如图，在四边形 中， ，四边形 的面积为 ，连接对角线 ，
则 的最小值为______．
