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华 罗庚杯1986-2020 二十五年133套 初赛复赛全真精华宝典第一届“华杯赛”初赛试题 1. 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少? 2. 每边长是 10 厘米的正方形纸片，正中间挖了一个正方形的洞，成为一个宽1 厘米的方框。把五个这样的方框放在桌面上，成为一个这样的图案(如图 1所 示)。问桌面上被这些方框盖住的部分面积是多少平方厘米? 3. 105 的约数共有几个? 4. 妈妈让小明给客人烧水沏茶。洗开水壶要用1 分钟，烧开水要用 15分钟，洗 茶壶要用 1 分钟，洗茶杯要用1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟。小明估算了一下， 完成这些工作要花 20分钟。为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排， 多少分钟就能沏茶了? 5. 右面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是 多少? 6． 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采12 个。它一连几 天采了 112 个松子，平均每天采14 个。问这几天当中有几天有雨? 7． 边长 l米的正方体2100 个，堆成了一个实心的长方体。它的高是10 米，长、 宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米? 8． 早晨 8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。两辆车的速度都是 每小时 60 千米。8 点 32 分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆 汽车的三倍。到了 8 点 39 分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆 汽车的 2 倍。那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的? 9． 有一个整数，除 300、262、205 得到相同的余数。问这个整数是几? 59310．甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两个人都要赛一场。结果甲胜了丁， 并且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问丁胜了几场? 11．两个十位数 1111111111 和 9999999999 的乘积有几个数字是奇数? 12．黑色、白色、黄色的筷子各有8 根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子 中取出颜色不同的两双筷子。问至少要取多少根才能保证达到要求? 13. 有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的l／3放在一起是13 公顷。麦 地的一半和菜地的 1／3 放在一起是 12 公顷。那么，菜地是几公顷? 14．71427 和 19 的积被7 除，余数是几? 15．科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的 时针恰好指向9，问做第一次记录时，时针指向几? 16．有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔 5 分钟有一辆电车从 甲站出发开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车 前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10 辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。 问他从乙站到甲站用了多少分钟? 17．在混合循环小数的 某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新 产生的循环小数尽可能大，请写出新的循环小数。 18．有六块岩石标本，它们的重量分别是8．5 千克、6千克、4千克、4 千克、3 千克、2 千克。要把它们分装在三个背包里，要求最重的一个背包尽可能轻 一些。请写出最重的背包里装的岩石标本是多少千克? 19．同样大小的长方形小纸片摆成如图 2的图形。已知小纸片的宽是 12厘米，求 阴影部分的总面积。 594第一届“华杯赛”初赛答案 1．9930。 2．172 平方厘米。 3．8 个。 4．16 分钟。 5．23。 6．6 天。 7．29 米。 8．8 点 11分。 9．整数是19。 10.丁只能胜 0场。 11.有 10 个数字是奇数。 12.至少要取 11 根。 13.菜地是18 亩。 14.余 2。 15.指针指向 2。 16.40 分钟。 18.10 千克。 19.108 平方厘米。第一届“华杯赛”复赛答案 1.共 85 人。 2.392 元。 3.37.5 亩。 4.5000 元。 5.余数是 5。 6.长方形的短边长是 2.5 米。 7.0.2 厘米。 8.12。 9.2 盘 4 10. 9 8 11. 9 12.8 点 32 分。 13.162。 14．分析买画片的情况： 钱数（分） 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18…… 5 分张数 1 0 2 1 0 2 1 3 2 1 3…… 3 分张数 1 3 0 2 4 1 3 0 2 4 1…… 观察买 3 分画张数的规律是五个数的循环，由此可推算：43 ÷5=8 余 3；共 1+3+（2+4+1+3）×8=84（张）。第一届“华杯赛”复赛试题 1. 甲班和乙班共 83 人，乙班和丙班共 86 人，丙班和丁班共 88 人。问 甲班和丁班共多少人？ 2. 一笔奖金分一等奖、二等奖和三等奖，每个一等奖的奖金是每个二 等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍。如 果评一、二、三等奖各俩人，那么每个一等奖的奖金是 308 元；如 果评一个一等奖，两个二等奖，三个三等奖，那么一等奖的奖金是 多少元？ 3． 一个长方形（如图 17），被两条直线分成四个长方形，其中三个的 面积分别是 20 亩、25 亩和 30 亩。问另一个（图中阴影部分）长方 形的面积是多少亩？ 4． 在一条公路上每隔一百公里有一个仓库（如图 18），共有五个仓库。 一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库存有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在 一个仓库里，如果每吨货物运输一公里需要 0.5 元的运费，那么最 少要花多少运费才行？ 5． 有一个数，除以 3 余数是 2，除以 4 余数是 1。问这个数除以 12 余 数是几？ 5956． 四个一样的长方形和一个小的正方形（如图 19）拼成了一个大正方 形。大正方形的面积是 49 平方米，小正方形的面积是 4 平方米。问 长方形的短边长度是几米？ 7． 有两条纸带，一条长 21 厘米，一条长 13 厘米，把两条纸带都剪下 同样长的一段后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的 8 。问剪下的一段有多长？ 13 8．如图 ○×○=□=○÷○ 将 0，1，2，3，4，5，6 这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰 好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的 数是几？ 9． 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每俩人都要比赛一 盘。到现在为止，甲已经赛了 4 盘，乙赛了 3 盘，丙赛了 2 盘，丁 赛了 1 盘。问小强已经赛了几盘？ 10．有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子。第 一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑字占全部黑 2 子的 ，把这三堆棋子集中在一起，问白子占全部棋子的几分之几？ 5 11．甲、乙两班的同学人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，甲 5961 班参加天文小组的人数恰好是乙班没有参加的人数的 ，乙班参加 3 1 天文小组的人数恰好是加班没有参加的人数的 。问甲班没有参加 4 的人数是乙班没有参加的人数的几分之几？ 12．上午 8 点 08 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托 车去追他，在离家 4 公里的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到 家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是 8 公里。 问这时是几点几分？ 13．把 14 分成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，要使得到的乘积 尽可能大，问这个乘积是几？ 14．43 位同学，他们身上带的钱从 8 分到 5 角，钱数都各不相同。每个 同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3 分一张 和 5 分一张，每人都尽量多买 5 分一张的画片。问他们所买的 3 分 画片的总数是多少张？ 597第二届“华杯赛”初赛试题 1.“华罗庚金杯”少年数学邀请赛每隔一年举行一次。今年是第二届。问 2000 年是第几届？ 2.一个充气的救生圈（如图 1）。虚线所示的大圆，半径是 33 厘米。实线所示的 小圆，半径是9 厘米。有两只蚂蚁同时从 A点出发，以同样的速度分别沿大圆 和小圆爬行。问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁。 3.图 2是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？ 4.有一个四位整数。在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加， 得数是 2000.81。求这个四位数。 5.图 3是一块黑白格子布。白色大正方形的边长是14厘米，白色小正方形的边长 是 6厘米。问：这块布中白色的面积占总面积的百分之几？ 6.图 4是两个三位数相减的算式，每个方框代表一个数字。问：这六个方框中的 数字的连乘积等于多少？ 图4 7.图 5中正方形的边长是 2 米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四 603个顶点。问：这个正方形和四个圆盖住的面积是多少平方米？ 8.有七根竹竿排成一行。第一根竹竿长1米，其余每根的长都是前一根的一半。 问：这七根竹竿的总长是几米？ 9.有三条线段A、B、C，A 长 2.12 米，B 长 2.71 米，C 长 3.53 米。以它们作为上 底、下底和高，可以作出三个不同的梯形。问：第几个梯形的面积最大？ 10.有一个电子钟，每走 9 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。中午12 点整，电 子钟既响铃又亮灯。问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？ 11.一副扑克牌有四种花色，每种花色有13 张。从中任意抽牌。问：要抽多少张 牌，才能保证有四张牌是同一花色的？ 12.有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐 6 人；如果减少一条船，正好每条船坐 9 人。问：这个班共有多少同学？ 13.四个小动物换座位。一开始，小鼠坐在第1 号位子，小猴坐在第2 号，小兔坐 在第3 号，小猫坐在第 4 号。以后它们不停地交换位子。第一次上下两排交换。 第二次是在第一次交换后再左右两排交换。第三次再上下两排交换第四次再左 右两排交换……这样一直换下去。问：第十次交换位子后，小兔坐在第几号位 子上？ 14.用 1、9、8、8这四个数字能排成几个被 11 除余 8 的四位数？ 15.图 8 是一个围棋盘，它由横竖各 19 条线组成。问：围棋盘上有多少个与图 9 604中的小正方形一样的正方形？ 605第二届“华杯赛”初赛答案 1.2000 年举行第八届 2.小圆上的蚂蚁爬了 11 圈后，再次碰到大圆上的蚂蚁。 3.共有 121 个棋孔。 4.这个四位数是 1981。 5.格子布中白色部分的面积是总面积的 58%。 6.六个方框中的数字的连乘积等于 0。 7.这个正方形和四个圆盖住的面积约是 13.42 平方米。 63 8.七根竹竿的总长是1 米。 64 9.第三个梯形面积最大。 10.下一次既响铃又亮灯时是下午 3 点钟。 11.至少要抽 13 张牌，才能保证有四张牌是同一花色的。 12.这个班共有 36 个人。 13.第十次交换座位后，小兔坐在第 2 号位子。 14.能排成 4 个被 11 除余 8 的数。 15.共有 100 个。第二届“华杯赛”复赛试题 7 9 1   1.计算 0.50.250.1250.50.250.125 18 2 6 1 15 16 13   3 4 5 2.有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（如图 2-9 )。从中抽出一 张、二张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、二位 数、三位数．请你将其中的质数都写出来． 3.有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是 6 米、3 米、2 米．把 两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6 厘米和 4 厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池 的水面升高了多少厘米？ 4.在一个圆圈上有几十个孔（不到 100 个），如图 2-10 。小明像玩跳 棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以 后能跳回到 A 孔．他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跑到 B 孔．他 又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跑到 B 孔。最后他每隔 6 孔跳一步， 正好跑回到 A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？ 5.试将 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 分别填人下面的方框中，每个数字只用一 次： 606使得这个数中任意两个都互质，其中一个三位数已填好，它是 714。 6.图 2 -11 是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟 数．请问小王从 A 出发走到 B ，最快需要几分钟？ 7.如图 2 -12 ，梯形 ABCD 的中位线 EF 长 15 厘 米， ABC ＝ AEF = 900,G 是 EF 上的一点．如果三角形 ABG 的面积是梯形的 ABCD 面积的 1/5，那么 EG 的长是几厘米？ 8.有三堆珐码，第一堆中每个祛码重 3 克，第二堆中每个珐码重 5 克， 第三堆中每个祛码重 7 克．请你取最少个数的祛码，使它们的总重量 为 130 克．写出你的取法：需要多少个砧码？ 9.有 5 块圆形的花圃，它们的直径分别是 3 米、 4 米、 5 米、 8 米、 9 米．请将这 5 块花圃分成两组，分别交给两个班管理，使两班所管 理的面积尽可能接近． 10.一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是 1 ，从第三 个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是： l , 1 , 2 , 3 , 4 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 ， … … 问：这串数的前 100 个数中（包括第 100 个数）有多少个偶数？ 11.王师傅驾车从甲地开往乙地交货．如果他往返都以每小时 60 千米的 607速度行驶，正好可以按时返回甲地，可是，当到达乙地时，他发现他 从甲地到乙地的速度只有每小时 55 千米．如果他想按时返回甲地， 他应以多大的速度往回开？ 12.如图 2 -13 ，大圈是 400 米跑道，由 A 到 B 的跑道长是 200 米， 直线距离是 50 米．父子俩同时从 A 点出发逆时针方向沿跑道进行长 跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到 B 点便沿直线跑．父亲每 100 米用 20 秒，儿子每 100 米用 19 秒．如果他们按这样的速度跑，儿子在 跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？ 608第二届“华杯赛”复赛答案 1 1.80 2 2.共有五个质数：2，3，13，23，31。 17 3.大水池的水面升高了1 厘米。 18 4.共有 91 个孔。 5.填法是 2 6 3 5 6.最快需要 48 分钟。 7.EG 长 6 厘米。 8.最少要取 20 个砝码。取法为：2 个 3 克的，1 个 5 克的，17 个 7 克的， 当然也可以用两个 5 克砝码换掉一个 3 克和一个 7 克的砝码，例如可 以取 5 个 5 克的和 15 个 7 克的。 9.应该把直径 4 米和 9 米的两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交 给另一个班管理。 10.共有 33 个偶数。 11.66 千米/小时。 12.儿子在跑第 3 圈时，第一次与父亲再相遇。第三届“华杯赛”初赛试题 1 ． 光的速度是每秒 30 万千米，太阳离地球 l 亿 5 千万干米．问光 从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）? 2 ． 计算 1 1 1 1 (   )2 =？ 30 35 63 7 3 ． 有 3 个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是 83 千克、 85 千克和 86 千克．问：其中最轻的箱子重多少千克？ 4 ． 请将算式 0.1 0.01 0.0的01结果写成最简分数． 5 ． 如图 3 一 l ，将高都是 l 米，底面半径分别为 1.5 米、l 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体．求这个物体的表面积（取3) . 6 ． 一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒钟．在同样的风速下， 逆风跑 70 米，也用了 10 秒钟．问：在无风的时候，他跑 100 米 要用多少秒？ 7 ． 一个矩形分成 4 个不同的三角形（图 3-2 ) ，绿色三角形面积占 矩形面积的 15％, 黄色三角形的面积是 21 平方厘米．问：矩形的 面积是多少平方厘米？ 8. 有一对紧贴得传动胶轮，每个轮子上都画有一条通过轴心的标志线 （图 3-3 )。主动轮的半径是 105 厘米，从动轮的半径是 90 厘米．开 612始转动时，两个轮子上的标志线在一条直线上．问：主动轮至少转 了几转后，两轮的标志线又在一条直线上？ 9 ．小明参加了四次语文测验，平均成绩是 68 分．他想在下一次语文 测验后，将五次的平均成绩提高到 70 分以上，那么，在下次测验 中，他至少要得多少分？ 10 ．图 3-4 中共有 7 层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三 角形的个数之比． 11。下面的算式里，每个方框代表一个数字。 问：这 6 个方框中的数字的总和是多少？ 12 ．在所有的两位数中，十位数字比个位数字大的两位数有多少个？ 13．有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含 50%酒精的溶液．先将乙杯中酒精溶液的一半倒人甲杯，搅匀后，再 将甲 杯中酒清溶液的一半倒入乙杯．问这时乙杯中的酒精是溶液 的几分几？ 14 ．射箭运动的箭靶是由 10 个同心圆组成，两个相邻的同心圆半径之 差等于最里面的小圆半径．最里面的小圆叫做 10 环（图 3 -5 ) ， 最外面的圆环叫做 1 环．问：10 环的面积是 1 环面积的几分之几？ 61315 ． 王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上 8 天班后，就连续休息 2 天．如果这个星期六和星期天他休息，那么，至少再过几个星期 后他才能又在星期天休息？ 614第三届“华杯赛”初赛解答 1. 光从太阳到地球约需8.3 分钟。 2. 1/6 3. 最轻的箱子 41千克。 4. 37/300 5. 41.5 平方米 6. 无风时跑 100 米需要12.5 秒。 7. 矩形面积是 60平方厘米。 8. 主动轮转了三圈。 9. 第五次测验至少要得78 分。 10. 白色与黑色小三角形个数之比是3/4。 11. 总和为47。 12. 这样的两位数共有47 个。 13. 乙杯的酒精使溶液的3/8。 14. 1/19。 15. 至少在过7 周。第三届“华杯赛”决赛答案 17 1. 2 21 2. 星期四。 3. 乘积是 77。 4. 所求的和是 19。 5. 剩下的自然数的和是 43365。 6. 容器的体积是 90 立方厘米。 7. 甲、乙的总环数分别是 24、28。 8. 共有 9 种走法。 9. 所求的三角形共 48 个（包括图中开始给出的三角形）。 10. S 的整数部分是 165。 11. 祖父今年是 72 岁。 12. 这个班有 39 名学生。 13. 有 179 个． 14. 1001 15. 每个小曲边四边形的面积是 1．1。 16. 所求的值是 0。第三届“华杯赛”复赛试题 1.计算： 2. 某年的 10 月里有 5 个星期六，4 个星期日。问：这年的 10 月 1 日 是星期几？ 3. 电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红 跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了 1991 步，落在一个 圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆 时针方向跳了 1949 步，落在另一个圆圈里。问：这两个圆圈里数字 的乘积是多少？ 4． 173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填入 3 个数 字，所得到的 3 个四位数，依次可被 9、11、6 整除。”问：数学老 师先后填入的 3 个数字的和是多少？ 5． 我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16 叫做“完全平方数”， 在前 300 个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数 的和是多少？ 6． 如图，从长为 13 厘米，宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边 长 2 厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的 体积是多少立方厘米？ 6157．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是 不超过 10 的自然数。甲、乙两名运动员各射了 5 箭，每人 5 箭得到 的环数的积都是 1764，但是甲的总环数比乙少 4 环。求甲、乙的总 环数。 8．下图中有 6 个点，9 条线段．一只甲虫从 A 点出发，要沿着某几条线 段爬到 F 点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过 1 次。这只甲 虫最多有多少种不同的走法？ 9． 下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形，它们一共有 16 个顶点 （共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的 3 个点为顶点， 可以构成三角形。在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积 的有多少个？ 10．已知： 求：S 的整数部分。 11． 今年，祖父的年龄是小明的年龄的 6 倍。几年后，祖父的年龄将是 小明的年龄的 5 倍。又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的 4 倍。求：祖父今年是多少岁？ 12． 某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有 4 名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目 达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表： 616求这个班的学生数． 13．恰好能被 6、7、8、9 整除的五位数有多少个？ 14．计算：1-3+5-7＋9-11+…-1999+2001 15．五环图由内圆直径为 8，外圆直径为 10 的五个圆环组成，其中两两 相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等．已知五个圆环盖 住的总面积是 112．5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π 取 3．14）。 16．下图中 8 个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的 1 每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的 ， 3 求：（a＋b+c+d）-（e+f＋g＋h）的值。 617第四届“华杯赛”初赛答案 60 1. 58 119 2. 11 个 1 3. 24 12 4. 19 5. 8 档 3 6. 32 7. 18 8. 8种 9. 5次 10. 3∶1 11. 1993 年 6 月 1 日中午 12点 12. 15 小时 13. 4圈 14. 降低 0.06 元 15. 612第四届“华杯赛”初赛试题 1.请将下面算式结果写成带分数： 2.一块木板上有 13 枚钉子（右图）。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可 以构成三角形，正方形，梯形，等等（下图）。请回答：可以构成多 少个正方形？ 3.这里有一个圆柱和一个圆锥（下图），它们的高和底面直径都标在图 上，单位是厘米。请回答：圆锥体积与面积的比是多少？ 2 5 15 10 12 4.这里有 5 个分数： ， ， ， ， ，如果按大小顺序排列，排在 3 8 23 17 19 中间的是哪个数？ 5.现在流行的变速自行车，在主动轴和后轴分别安装了几个齿数不同的 齿轮。用链条连接不同搭配的齿轮，通过不同的传动比获得若干档不 同的车速。“希望牌”变速自行车主动轴上有三个齿轮，齿数分别是 48，36，24；后轴上有四个齿轮，齿数分别是 36，24，16，12。问： “这种变速车一共有几档不同的车速？ 6.下图中的大正方形 ABCD 的面积是 1，其它点都是它所在的边的中点。 请问：阴影三角形的面积是多少？ 6207.在右边的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的三倍。问：被加 数至少是多少？ 8.筐中有 60 个苹果，将它们全部都取出来，分成偶数堆，使得每堆的个 数相同。问：有多少种分法？ 9.小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，其中小猴得 5 分，套中小狗 得 2 分。小明共套了 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中 一次。小明套 10 次共得了 61 分。问：小鸡至少被套中多少次？ 10.车库中停放若干辆双摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数之 比是 2∶5。问：摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少？ 11.有一个时钟，它每小时慢 25 秒，今年 3 月 21 日中午十二点它的指示 正确。请问：这个时钟下一次指示正确的时间是几月几日几点钟？ 12.某人由甲地去乙地。如果他从甲地先骑摩托车行 12 小时，再换骑自 行车 9 小时，恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行 21 小时，再 换骑摩托车行 8 小时，也恰好到达乙地。问：全程骑摩托车需要几小 时到达乙地？ 13.下图的二个圆只有一个公共点 A，大圆直径 48 厘米，小圆直径 30 厘 米。二只甲虫同时从 A 点出发，按箭头所指的方向以相同速度分别沿 二个圆爬行。问：当小圆上的甲虫爬了几圈时，二只甲出相距最远？ 14.某种少年读物，如果按原定价格销售，每售一本，获利 0.24 元；现 在降价销售，结果售书量增加一倍，获利增加 0.5 倍。问：每本书售 价降价多少元？ 62115.有一座四层楼房，每个窗户的 4 块玻璃分别涂上红色和白色，每个窗 户代表一个数字。每层楼有三个窗户，由左向右表示一个三位数。四 个楼层表示的三位数有：791，275，362，612。问：第二层楼表示哪 个三位数？ 622第四届“华杯赛”复赛试题 1.化简 2.电视台要播放一部 30 集电视连续剧。如果要求每天安排播出的集数 互不相等，该电视连续剧最多可以播几天？ 3.一个正方形的纸盒中，恰好能放入一个体积为 628 立方厘米的圆柱体， 纸盒的容积有多大？（圆周率=3.14）。 4.有一筐苹果，把它们三等分后还剩 2 个苹果，取出其中两份，将它们 三等分后还剩 2 个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩 2 个，问：这筐苹果至少有几个？ 5.计算 6.长方形 ABCD 周长为 16 米，在它的每条边上各画一个以该边为边长的 正方形，已知这四个正方形的面积和是 68 平方米，求长方形 ABCD 的 面积 7.“华罗庚”金杯少年数学邀请赛，第一届在 1986 年举行，第二届在 1988 年举行，第三届是在 1991 年举行，以后每 2 年举行一届。第一 届“华杯赛”所在年份的各位数字和是 A1＝1＋9＋8＋6＝24。前二届 所在年份的各位数字和是 A2=1＋ 9＋ 8 ＋ 6 ＋1＋ 9＋ 8 ＋ 8=50 623问：前 50 届“华杯赛”所在年份的各位数字和 A ＝？ 50 8.将自然数按如下顺次排列： 1 2 6 7 15 16 … 3 5 8 14 17 … 4 9 13 … 10 12 … 11 … 在这样的排列下，数字 3 排在第二行第一列，13 排在第三行第三列， 问：1993 排在第几行第几列？ 9.在下图中所示的小圆圈内，试分别填入 1、2、3、4、5、6、7、8 这八 个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数字之差（大数 字减小数字）恰好是 1、2、3、4、5、6、7 这七个数字。 10.11＋ 22＋ 33＋ 44＋ 55＋ 66＋ 77＋ 88＋ 99除以 3 的余数是几？为 什么？ 11. A、 B、 C、 D、 E、 F 六个选手进行乒乓球单打的单循环比赛（每 人都与其他选手赛一场），每天同时在三张球台各进行一场比赛，已 知第一天 B 对 D，第二天 C 对 E，第三天 D 对 F，第四天 B 对 C，问： 第五天 A 与谁对阵？另外两张球台上是谁与谁对阵？ 12.有一批长度分别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 和 11 厘米的细 木条，它们的数量都足够多，从中适当选取 3 根本条作为三条边，可 围成一个三角形。如果规定底边是 11 厘米长，你能围成多少个不同的 三角形？ 13.把下图 a 中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条 直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。 62414.甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点 出发，沿 相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头 2 加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 ，甲跑第二圈时 3 1 1 速度比第一圈提高了 ，乙跑第二圈时速度提高了 。已知甲、乙二人 3 5 第二次相遇点距第一次相遇点 190 米，问：这条椭圆形跑道长多少米？ 15.下图 a 中的正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 AD 边上的中点。求图中阴 影部分的面积。 16.四个人聚会，每人各带了 2 件礼品，分赠给其余三个人中的二人，试 证明：至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。 625第四届“华杯赛”复赛答案 1. 1 2. 7 天 3. 8 立方厘米 4. 23 个 2 5. 81 5 6. 15 平方厘米 7. 629 8. 第 24 行，第 40 列 9. 在 A、B、C、D、E、F、H处，顺次在小圆圈内填入1、3、8、2、7、4、5、6 10. 余数是1 11. 第五天A与 B 对阵，另2 张球台上的对阵是C 对 D，E对 F 12. 36个 13. 没有可能 14. 400 米 1 15. 3 16. 送礼后，四人八件礼品平均每人两件。若有一人多于两件，则一定是三件， 是除自己之外其他 三人的礼物各一件。因此，这个人与得到自己礼物的 两个人组成连个互送对。 若四人每人都得到别人的两件礼物，他自己的两件礼品不能集中只送一人，因 此他与接受他礼品中一人为一互送对，除了这一互送对之外还有两人，其中任 选一人，与前面推理一样，可得到另一互送对。第 5 届“华杯赛”初赛答案 （1） 11.52 立方米 （2） 24 （3） 最后一集在星期五播出 （4） 三又二分之一 （5） 11517 （6） 59 米 （7） 5 种 （8） 0.5 厘米 （9） 0.36 元 （10）5/11 （11） 21 岁 （12） 150 平方米 （13）38 名 （14） 大圆的弧线长一些 （15）4316.4 （16） 2 月 18 日第五届“华杯赛”初赛试题 1. 一个成年人平均每分钟呼吸 16 次，每次吸入 500 立方厘米空气.问： 他在一昼夜里吸人多少立方米空气? 2. 右面是一个乘法算式： 问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？ 3. 某部 84 集的电视连续剧在某星期日开播，从星期一到星期五以及星 期日每天都要播出 1 集，星期六停播。问：最后一集在星期几播出? 4. 计算： 5. 用下面写有数字的四张卡片 排成四位数。问：其中最 小的数与最大的数的和是多少? 6. 甲、乙两人在河中先后从同一个地方同速同向游进。现在甲位于乙 的前方，乙距起点 20 米；当乙游到甲现在的位置时，甲已离起点 98 米。问：甲现在离起点多少米？ 7. 有面值为 1 分，2 分，5 分的硬币各 4 枚，用它们去支付 2 角 3 分。 问：有多少种不同的支付方法？ 8. 有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 10 厘米、20 厘米， 杯中盛有适量的水。甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯 中的水位下降了 2 厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未 外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？ 9. 甲、乙、丙三个学生在外午餐，共买了 1 斤 4 两包子。甲没有带钱， 由乙和丙分别付了买 8 两和 6 两包子的钱。甲、乙吃的一样多，丙 比乙多吃了 1 两。第二天，甲带来他应付的 2 元 3 角 4 分。问：其 中应付给丙多少钱？ 62910. 如图 2，图中的曲线是用半径长度的比为 2：1.5：0.5 的 6 条半圆 曲线连成的。问：涂有阴影的部分与未涂阴影的部分的面积比是多 少？ 11. 小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和。问：他今年多 少岁？ 6 12. 图 3 是一个园林的规划图，其中，正方形的 3／4 是草地；圆的 7 是竹林；竹林比草地多占地 450 平方米。问：水池占地多少平方 米？ 13. 50 名学生面向老师站成一行，按老师口令从左至右顺序报数：1， 2，3，……。报完后，老师让所报的数是 4 的倍数的同学向后转。 接着又让所报的数是 6 的倍数的同学向后转。问：现在仍然面向 老师的有多少名同学？ 14. 图 4 中的大圆盖住了小圆的一半面积。问：在小圆内的大圆的弧 线 AMB 的长度和小圆的直径相比，哪个比较长一 些？ 15. 在两位数 10，11，…，98，99 中， 将每个被 7 除余 2 的数的个位与十位之间添加一个小数点， 630其余的数不变。问：经过这样改变之后，所有数的和是多少？ 16. 某人连续打工 24 天，赚得 190 元(日工资 10 元，星期六做半天工， 发半工资，星期日休息，无工资)。已知他打工是从 1 月下旬的某 一天开始的，这个月的 1 号恰好是星期日。问：这人打工结束的 那一天是 2 月几日？ 631第 5届华杯赛复赛答案 1 1.1 4 2.原订每天自学42 分钟 3.1093 平方毫米 4.羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）=狼 5.穿红上衣的孩子的父母戴蓝帽子；穿黄上衣的孩子的父母戴黄帽子；穿蓝上衣 的孩子父母戴红帽子。 6.每个黑球重15 克，每个白球重20 克。 7.需 5分钟。 8.共十种不同拆法，其中3×5×29=435 最小。 9.甲乙两地间公路长为 210 千米，从甲到乙地须走140 千米上坡路。 10.所填的数是 11.12。 11.17.72 厘米。 12.1、2、3 号杯中的含盐量与含糖量之比依次为1：9，1：2 及76：5。 13.29。 14.160 平方厘米。 15.驾车行驶了 940 千米，乙车行驶了310 千米。 16.略 17.略第五届“华杯赛”复赛试题 5 9 19 3 5.22 9 10 19930.4 1.6 1.   5 27 19950.5 1995 19 6 5.22 9 50 2. 甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同。若甲每天增加自学时 间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学 6 天的时间等于 甲自学 1 天的时间。问：甲乙原订每天自学的时间是多少？ 3. 图 5－4 是由圆周、半圆周、直线线段画成经过量度计算出图中阴影 部分以外整个“猪”面积（准确到 1 平方毫米）。 4. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。所以关于羊及狼，我们规定一种 运算，用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼； 狼△狼＝狼。以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼 在一起还是狼，狼与羊在一起便只剩下狼了。 小朋友总是希望羊能战胜狼。所以我们规定另一种运算，用符☆ 表示：羊☆羊＝羊；羊☆狼＝羊；狼☆羊＝羊；狼☆狼＝狼。这 个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼， 由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊 了。 对羊或狼可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是 从左到右，括号内先算。运算的结果或是羊，或是狼。 求下式的结果： 羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼） 6325. 人的血通常为 A 型，B 型，O 型。子女的血型与其父母血型间的关 系如下表所示： 父母的血型 子女可能的血型 O，O O O，A A，O O，B B，O O，AB A，B A，A A，O A，B A，B，AB，O A，AB A，B，AB B，B B，O B，AB A，B，AB AB，AB A，B，AB 现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为 O， A，B。每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、 蓝三种，依次表示所具有的血型为 AB、A、O。问：穿红、黄、蓝 上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？ 6. 一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相 等的黑球，这时两边平衡。在右盘上取走一个白球置于左盘上， 再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加 20 克进码，这时 两边也平衡。如从右盘移两个白球到左盘上，从左盘移一个黑球 到右盘上，则须再放 50 克进码于右盘上，两边才平衡。问：白球、 黑球每个重多少克？ 7. 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如 果同时打开进水阀及一个排水阀，则 30 分钟能把水池的水排完， 如果同时打开进水阀及两个排水阀，则 10 分钟能把水池的水排 完。问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟才能 排完水池的水？ 8. 把 37 拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一 种折法中所拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？ 6339. 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽 车上坡时每小时行驶 20 千米，下坡时每小时行驶 35 千米。车从 甲地开往乙地需 9 小时，从乙地到甲地需 7.5 小时，问：甲、乙 两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡 路？ 10. 在右图中的每个没有数字的格内各填入一个数，使每行、每列及 每条对角线的三个格中的三数之和，都等于 19.95 时，那么，画 有“？”的格内所填的数是多少？ 4.33 8.80 11. 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水 深 15 厘米。今将一个底面半径为 2 厘米，高为 17 厘米的铁圆柱 垂直放入容器中。求这时容器的水深是多少厘米？ 12. 在编号为 1，2，3，的三个相同的杯子里。分别盛着半杯水。1 号杯中溶有 100 克糖，3 号杯中溶有 100 克盐。先将 1 号杯中液 体一半及 3 号杯中液体的 1/4 倒入 2 号杯，然后搅匀。再从 2 号 杯倒出所盛液体的 2/7 到 1 号杯，接着倒出所余液体的 1/7 到 3 号杯。问：这时每个杯中含盐量与含糖量之比各是多少？ 13. 8.01×1.24＋8.02×l.23＋8.02×l.22 的整数部分是多少？ 14. 一个周长是 56 厘米的大长方形， 按图 5－5 中（a）与（b）所示 意那样， 划为四个小长方形。在（a）中小长方形面积的比是 A:B ＝1:2, B:C＝1:2。 而有（b）中相应的比例是 A′:B′＝1:3， B′:C′＝1:3。又知长方形 D′的宽减去 D 的宽所得到的差，与 D′的长减去 D 的长所得的差之比为 1:3。求大长方形的面积。 63415. 甲车以每小时 160 千米的速度，乙车以每小时 20 千米的速度，在 长为 210 千米的环形公路上同时、同地、同向出发。每当甲车追 上乙车一次，甲车减速 1/3 而已车则增速 1/3。问：在两车的速 度刚好相等的时刻，它们分别行驶了多少千米？ 16. 试说明，将和 1＋1/2＋1/3＋1/4＋……＋1/40 写成一个最简分数 m/n 时，m 不会是 5 的倍数。 17. 现有 11 块铁，每块的重量都是整数。任取其中 10 块，都可以分 成重量都等的两组，每组有 5 块铁。试说明：这 11 块铁每块的重 量都相等。 635第 6 届“华杯赛”初赛答案 1.回归之日是星期二，115 天。 2.原式=1。 3.三角形扫过的面积是 102.5 平方厘米。 4.天平乙是平衡的。 5.63 台。 6.金牌给 2 号，银牌给 1 号，铜牌给 3 号。 7.这辆车的速度是 50.3 千米/小时。 8.两个质数是 71，97。 9.16。 10.可以。只要将铁皮围成高为 1 米的圆柱形状即可。 11.18 小时。 12.表面积是 54 平方厘米。 13.高度是 70 厘米。 5 14. 。 12 15.甲乙相遇 53 次。 3 16.BE= BC。 5第六届“华杯赛”初赛试卷 1.香港回归祖国之日是星期几？今天距回归之日还有多少天？ 0.003250.013 2.请计算：     0.220.2065  3.60.015 3.如图，OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米， o 将它以 O 点为中心旋转 90 ，问三角形扫过的面积是多少？（π 取 3.14） A 4.两架天平，天平甲的左边放上 478×9763（重量单位，下同）的重量， 右边放上 4666514 的重量，天平乙的左边放上 683×3725 的重量，右 边放上 2544175 的重量，已知有一架天平是平衡的，问：哪一个是平 衡的？ 5.中山商场销售的名人系列笔记本电脑，按台数统计每月销售量平均增 长 20%，1996 年 12 月份销售了 120 台，按次速度下去，预计 1997 年 3 月份比一月份多销售多少台？（按四舍五入计算）。 6.编号为 1、2、3 的三只蚂蚁分别举起一个重物。问：金、银、铜奖牌 分别发给几号蚂蚁？ 7.一辆汽车的速度是每小时 50 千米，现有一块每 5 小时慢 2 分的表，若 用该表计时，测得这辆车的时速是多少？（得数保留一位小数） 8.歌德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以表示成两个质数之和”。 638问：168 是哪两个两位的质数之和，并且其中的一个的个位数字是 1？ 9.右图中有九个空格，要求每个格中填如互不相同的数，使得每行、每 列、每条对角线上的三格数之和都相等。问图中左上角的数是多少？ 10.某工厂原用长 4 米，宽 1 米的铁皮围成无底无顶的正方体形状的产品 存放处，恰好够放一周的产品。现在产量增加了 27%，问：能否还用 原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品？ 11.甲管注水速度是乙管注水速度的一倍半，同时开放甲、乙两个水管向 游泳池注水，12 小时可注满。现在先开甲管向游泳池注水若干小时， 剩下的由乙管注 9 小时将游泳池注满，问：甲管注水时间是多少？ 12.用棱长是 1 厘米的立方块拼成如图所示立体图形，求该图形的表面 积。 13.威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的 桶，直径 40 厘米，深 36 厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机 总体积的 25%，长方体外形的长为 52 厘米，宽 50 厘米。问，高是多 少厘米？（按四舍五入计算，π 取 3.14）） 14.在分母小于 15 的最简分数中，比 大并且最接近 的是哪一个？ 15.在周长为 200 米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以每秒 6 米、5 米的骑车速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16 分钟内， 甲追上乙多少次？ 16.右图中 AD=AC ，三角形 CDE 的面积是三角形 ABC 的一半。问：BE 的 长是 BC 的几分之几？ 639第 6 届“华杯赛”复赛答案 1.原式=1.1。 2.31.4 厘米。 3.原式 4002.001。 4.有四种可能: a.两个 5 面体； b.一个 5 面体积一个 6 面体； c.两个 6 面体； d.一个 5 面体及一个 7 面体。 5.这卷纸的长度为 71.43 米，或 71.4 米。 6.这批零件共 3900 个。 7.约为 9.91% 1 8. 更大。 10 9.丙最先到达，甲最后到达。 10.一名业余选手至少要胜四场，才能确保他的得分进入前三名。 11.① 顶点数 边数 区域数 (a) 4 6 3 (b) 8 12 5 (c) 6 9 4 (d) 10 15 6 ② 顶点数+区域数-边数=1 ③ 边数=顶点数+区域数-1 =999+999-1 =1997 12.快车从起点到终点共需 65+3=68 分钟。13.x=178。 14. x 13,x  20,x  21,x  26x,  3 1 1 2 3 4 5 15. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1                  2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 97 16.甲、乙、丙三个班人数依次为 51 人，53 人及 49 人。第六届“华杯赛”复赛试题 1.计算  1 1 1  1   1 1  1 1 1 1 1 1- 1- 1   2 4 6  10  3 5  9 2.一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，如图所示：其中盘 A 直径为 10 厘米，B 直径为 40 厘米，C 直径为 20 厘米。问：A 顺时针方向转动 一周时，重物上升多少厘米？（取π ＝3。14）（设在整个过程中，绳 索与绞盘之间都不产生相对的滑动） 3.计算： 1997 1  1999.51993.5  19981999  （得数保留三位小数） 1998 1999 4.用一平面去截一个立方体，得到一个矩形的截口，而把立方体截成两 个部分，问：这两个部分各是几个面围成的？ 5.右图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为 20 厘米，中间有一直径为 6 厘米的卷轴。已知纸的厚度为 0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多 长？ 6.李师傅加工一批零件。如果每天做 50 个，要比原计划晚 8 天完成；如 640果每天做 60 个，就可以提前 5 天完成。这批零件共有多少个？ 7.某商店某一个月内销售 A，B，C，D 四种商品，情况如下页表所示： 销售价进货价 已知：商品销售的毛利率 100%。今知 A，B，C，D 四种 销售价 商品的毛利率依次为 9％，12％，20％，30％。问：本月四种商品的 毛利率是多少？ 1 3 5 7 99 1 8.问：     与 相比较，哪个更大，为什么？ 2 4 6 8 100 10 9.设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑 车的速度是步行速度的 3 倍。现甲自 A 地去 B 地，乙、丙从 B 地去 A 地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、 丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继 续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，三人仍按 各自原有方向继续前进。问：三人之中谁最先到达自己的目的地？谁 最后到达目的地？ 10.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有三名专业选手与三名业余选手 参加。比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场。 为公平起见，用以下方法记分。开赛前每位选手各有 10 分作为底分， 每赛一场，胜者加分，负者扣分。每胜专业选手一场的加 2 分，每胜 业余选手一场的加 1 分；专业选手每负一场扣 2 分，业余选手每负一 场扣 1 分。现问：一位业余选手至少要胜几场，才能确保他的得分比 某位专业选手高？ 11.下面这样的四个图：（a）（b）（c）（d）我们都称作平面图。 641（l）数一数每个图各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少区 域，将结果填人下表： （其中 a 已填好）。 （2）观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么 关系。 （3）现已知某一平面图有 999 个顶点和 999 个区域，试根据（2）中 推断出的关系，确定这个图有多少条边。 12.某公共汽车线路中间有 10 个站。车有快车及慢车两种，快车车速是 慢车车速的 1.2 倍。慢车每站都停，快车则只停靠中间 1 个站，每站 停留时问部是 3 分钟。当某次慢车发出 40 分钟后，快车从同一始发站 对开出，两车恰好同时到达终点。问：快车从起点到终点共用多少时 间？ 13.下面是一个由数字组成的三角形，试研究它的组成规律，从而确定其 中的 x 的数值。 64214.有 5 堆苹果，较小的 3 堆平均有 18 个苹果，较大的 2 堆苹果数之差 为 5 个。又，较大的 3 堆平均有 26 个苹果，较小的 2 堆苹果数之差为 7 个。最大堆与最小堆平均有 22 个苹果。问：每堆各有多少苹果？ 15.请在下面的方框内填人加号或减号，以使得下面的关系式成立： 16.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书。已知甲班 1 人捐 6 册，有 2 人各捐 7 册，其余人各捐 N 册；乙班有 1 人捐 6 册，3 人各捐 8 册， 其余人各捐 10 册；丙班有 2 人各捐 4 册，6 人各捐 7 册，其余人各捐 9 册。已知甲班捐书总数比乙班多 28 册，乙班比丙班多 101 册。各班 捐书总数在 400 册与 550 册之间。问：每班各有多少人？ 17.1994 年我国粮食总产量达到 4500 亿千克，年人均 375 千克。据估测， 我国现有耕地 1。39 亿公顷，其中约有一半为山地、丘陵。平原地区 平均产量已超过 4000 千克／公顷，若按现有的潜力到 2030 年使平原 地区产量增产七成，并使山地。丘陵地区产量增加二成是很有把握的。 同时在本世纪末把我国人口总数控制在 12.7 亿以内，且在下一世纪保 持人口自然增长率低于千分之九或每十年自然增长率不超过 10％。请 问：到 2030 年我国粮食能超过年人均 400 千克吗？试简要说明理由。 643第 7 届“华杯赛”初赛答案 1.1999=2+1997，只有一种表示方法。 2.澳门半岛上平均每平方千米有 5.23 万人。 3.今年应上涨 25%才能保持原值。 4.该月的 15 日是星期六。 5.第 4 层有红灯 24 盏。 6.索求六边形的周长是 30。 7.苗圃中共栽树苗 721 棵。 8.甲校有 400 人，乙校有 803 人，丙校有 796 人。 9.小明 9 岁。 10.所拼成长方体的表面积是 650 平方厘米。 11.下次两针反向成一直线是在 7 时 5 分 27 秒。 12.当天九江的水位是 22.31 米。第七届“华杯赛”初赛试题 1. 把 1999 分成两个质数的和，有多少种方法。 2. 澳门人口 43 万，90%居住在半岛上，半岛面积 7 平方千米，求半岛 上平均每平方千米有多少万人?(取两位小数) 3. 某人去年买一种股票，当年下跌了 20%，今年应上涨百分之几，才 能保持原值。 4. 某个月里有三个星期日的日期为偶数，请推算出这个月的 15 日是星 期几? 5. 火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几 红灯? 6. 左下图是由 9 个等边三角形拼成的图形，已知中间最小的等边三角 形的边长是 1，求这个六边形的周长是多少? 7. 一个正六边形的苗圃，用平行于苗圃边缘的直线，把它分成许多相 等的正三角形，在三角形的顶点上都栽种上树苗，已知苗圃的最外 面一圈栽有 90 棵，请问苗圃中共栽树苗多少棵? 8. 甲、乙、丙三所小学人数的总和为 1999，已知甲校学生人数的两倍， 乙校学生人数减 3，丙校学生人数加 4 都是相等的。问甲、乙、丙 各校学生人数是多少? 9. 小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是 小明爸爸的年龄，他俩年龄之差是小明年龄的 4 倍，求小明的年龄? 10. 用 10 块长 7 厘米，宽 5 厘米，高 3 厘米的长方体积木拼成一个长方 体，问这个长方体的表面积最小是多少? 11. 时钟的时针和分针在 6 点钟恰好反向成一条直线，问下一次反向成 一条直线是什么时间?（准确到秒） 65012. 1998 年夏长江洪水居高不下，8 月 22 日武汉关水位高达 29.32 米， 已知武汉离长江入海口 1125 千米，而九江里武汉关 269 千米。假设 从武汉到入海口的长江江面坡度相同，请计算当天九江的水位是多 少米。（取二位小数） 651第七届“华杯赛”小学组复赛试卷  3 1 3 1. 计算 1.6  -1.1258 37 52.3    4 6 41 2. 1999 年 2月份，我国城乡居民储蓄存款月末余额是 56767亿元，&127; 比月初余额增长 18%，那么我国城乡居民储蓄存款 2 月份初余额是 ( )亿元(精确到亿元)。 3. 环形跑道周长 400 米，甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲 速度是 400 米/分，乙速度是 375 米/分。（ ）分后甲乙再次相 遇。 4. 2 个整数的最小公倍数是 1925，这两个整数分别除以它们的最大公 约数，得到 2 个商的和是 16，这两个整数分别是（ ）和（ ）。 5 3 13 8 5. 数学考试有一题是计算 4 个分数 ，， ，的平均值，小明很粗心， 3 2 8 5 把其中 1 个分数的分子和分母抄颠倒了。抄错后的平均值和正确的 答案最大相差（ ）。 6. 果品公司购进苹果 5.2 万千克，每千克进价是 0.98 元，付运费等开 支 1840 元，预计损耗为 1%，。如果希望全部进货销售后能获利 17%。 每千克苹果零售价应当定为（ ）元。 7. 计算:191991999199999  1999个9 8. 《新新》商贸服务公司，为客户出售货物收取 3%的服务费，代客户 购物品收取 2%服务费。今有一客户委托该公司出售自产的某种物品 和代为购置新设备。已知该公司共扣取了客户服务费 264 元，客户 恰好收支平衡，问所购置的新设备花费了多少元? 9. 一列数，前 3 个是 1，9，9 以后每个都是它前面相邻 3 个数字之和 除以 3 所得的余数，求这列数中的第 1999 个数是几? 10. 将 1-9 这九个数字填入右图 9 个圆圈中，使每个三角形和直线上的 3 个数字之和相等（写出一个答案即可）。 65211. 如右图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞， 在上下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知正方体边长为 10 厘 米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上下侧面的洞口是直 径为 4 厘米的圆，求右图立体的表面积和体积?（取=3.14） 12. 九个边长分别为 1，4，7，8，9，10，14，15，18 的正方形可以拼 成一个长方形，问这个长方形的长和宽是多少？请画出这个长方形 的拼接图。 653第 7 届“华杯赛”小学组复赛答案 13 1.原式= 4 。 164 2.我国城乡居民储蓄存款 2 月初余额是 48108 亿元。 3.甲乙出发 16 分钟后再次相遇。 4.这两个整数是 175，385。 4 5.抄错后的平均值和正确的答案最大相差 。 15 6.每千克苹果零售价应当定为 1.2 元。 7.原式= 2222 220221 1996个 8.所购置的新设备花费了 5121.6。 9.这列数中的第 1999 个数是 0。 10.如果不计较三个三角形和三条支线的相互位置，那么以下两图则是仅 有的两种填法。 11.所求立体的表面积是 785 .12 平方厘米，体积是 668.64 立方厘米。 12.长方形的长是 33，宽是 32。第八届“华杯赛”初赛答案 1.大正方形的面积是 13。 2.北京到 G 城的特别快车要用 10.5 小时。 3.84 4.A 是实心球。 5.油罐车的容积是 41.888 立方米。 6.共有四对，红心 A 和黑桃 A，红心 3 和黑桃 7，红心 7 和黑桃 3，红心 9 和黑桃 9。 7.所求面积为 117.75 平方厘米。  8. B 12 1 1 1 1 1 9.当     时，其值最大。 2 3 4 5 6 10.这堆球共有 201 个。 11.调换轮胎最多可行驶 3750 米。 12.略第八届“华杯赛”初赛试题 1.2002 年将在北京召开国际数学家大会，大会会标如右图所示，它是由 四个相同的直角三角形拼成的（直角边长为 2 和 3）。问大正方形的面 积是多少？ 2.从北京到 G 城的特别快车在 2000 年 10 月前需要 12.6 小时，后提速 20%。问提速后，北京到 G 城的特别快车要用多少小时？ 3. 下式中不同的汉字代表 1—9 中不同的数字，问当算式成立时，表示 “中国”这个两位数最大是多少？ 4.两个同样材料做成的球 A 和 B，一个实心，一个空心，A 的直径为 7、 重量为 22，B 的直径为 10.6、重量为 33.3，问哪个球是实心球？ 5.铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所 示，问：该油罐车的容积是多少立方米？（π ＝3．1416） 6.将下图中 20 张扑克牌分成 10 对，每对红心和黑桃各一张。问：你能 分出几对这样的牌，两张牌上的数的乘积除以 10 的余数是 1？（将 A 看成 1） 6617.下图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10 厘米的正五边形， 求五边形内红色部分的面积。（π ＝3．14） 8.世界上最早的灯塔建于公元前 270 年，塔分三层，每层都高 27 米，底 座呈正四棱柱、中间呈正八棱柱、上部呈正圆锥。问上部的体积是底 座的体积的（ ）。 9.将+、-、×、÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最 大。 10.下边这堆球共有多少个？ 11.自行车轮胎安装在前轮上能行驶 5000 千米后报废，若安装在后轮上 只能行驶 3000 千米，为行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一 定路程后将前后轮胎调换的方法，问安装在自行车上的一对轮胎最多 可行驶多少千米？ 66212.将边长为 1 的正方形二等分，再将其中的一半二等分，又将这一半的 一半二等分这样继续下去，……展开想象的翅膀，从这个过程你能得 到什么？ 663第八届“华杯赛”小学组复赛答案 1.4。 2.图形乙的长和宽的比是 9：2。 3.提速后从甲城到乙城乘火车只需 10 小时。 4.约等于 5.45121×109 5.A 地到 B 地的距离是 9 千米。 6.是 69。 7.不可能。 47 8.最少需要 5 小时。 65 9.亮出 11 的人原来心里想的是 13。 10.原来每人平均分到 69 个球。 11.甲应交水费 17.7 元，乙应交水费 8.7 元。 12. p 到p 的距离是1。 0 2001第八届“华杯赛”小学组复赛试题 一、填空（每题 10 分）： 1 1 2 2 3 1.919.54 3.54 2 3 2 3 15 1.  62  1  0.16 0.51 4.1 75  20  2.长方形草地 ABCD 被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如右图）， 其中图形甲的长和宽的比是 a：b=2：1，其中图形乙的长和宽的比 是（ ）：（ ）。 3.乘火车从甲城到乙城，1998 年初需要 19.5 小时，1998 年火车第一 次提速 30％，1999 年第二次提速 25％，2000 年第三次提速 20％。 经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需（ ）小时。 4.埃及著名的胡夫金字塔高 146.7 米，正方形底座边长为 230.4 米。 假定建筑金字塔所用材料全部是石灰石，每立方米重 2700 千克，那 么胡夫金字塔的总量是（ ）千克。（结果保留一位小数） 5.甲乙两人从 A 地到 B 地，甲前三分之一路程的行走速度是 5 千米/ 小时，中间三分之一路程的行走速度是 4.5 千米/小时，最后三分之一 的路程的行走速度是 4 千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是 5 千米/小时，后二分之一路程的行走速度是 4 千米/小时。已知甲比乙 早到 30 秒，A 地到 B 地的路程是（ ）千米。 6.有很多方法能将 2001 写成 25 个自然数（可以相同，也可以不相同） 的和，对于每一种分法，这 25 个自然数均有相应的最大公约数，那么 这些最大公约数中的最大值是（ ）。 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题 10 分）： 7.能否找到自然数 a 和 b，使 8.AB 两地相距 120 千米，已知人的步行速度是每小时 5 千米，摩托车 664的行驶速度是每小时 50 千米，摩托车后座可带一人。问有三人并配 备一辆摩托车从 A 地到 B 地最少需要多少小时？（保留一位小数） 9.6 个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左右相邻的 两个人。然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮出 来，如右图所示。问亮出数 11 的人原来心中想的数是多少？ 10.2001 个球平均分给若干人，恰好分完。若有一人不参加分球，则 每人可以多分 2 个，而且球还有剩余；若每人多分 3 个，则球的个 数不足。问原来每人平均分到多少个球？ 三、解答（要求写出解答过程）（每题 10 分） 11.某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水 4 吨以下，每吨 1.80 元；当超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元。某月甲、乙两户共交水 费 26.40 元，用水量之比为 5：3.问甲、乙两户各应交水费多少元？ 12.电子跳蚤游戏盘（如右图）为三角形 ABC，AB=8，AC=9，BC=10， 如果电子跳蚤开始时在 BC 边上 P0 点，BP0=4.第一步跳蚤跳到 AC 边 上 P1 点，且 CP1=CP0；第二步跳蚤从 P1 跳到 AB 边上 P2 点，且 AP2=AP1；第三步跳蚤从 P2 跳回到 AC 边上 P3 点，且 BP3=BP2；…… 跳蚤按上述规则跳下去，第 2001 次落点为 P2001，请计算 P0 与 P2001 之间的距离。 665第九届“华杯赛”初赛答案 1. “华杯”代表的两位数是 94。 2. 周长增加 10%，面积增加 21%。 3. A 处填 6，B 处填 5，C 处填 3。 1999 1 4. 从 开始，1 与每一个数之差都小于 。 2001 1000 5. 飞船沿圆形轨道飞行了 421639.2 千米 6. 共有 6 种不同的涂法。 7. 此时刻是 9 点 55 分。 8. 最少要抽取 16 张牌，方能使其中至少有 2 张牌有相同的点数。 9. 得到的余数是 4。 10. 略 11. 阴影部分的面积等于 56.52 平方厘米。 12. 小铁环自身转了 1 圈。第九届“华杯赛”初赛试题 1、 “华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性 大型少年数学竞赛。华罗庚教授生于1910 年，现在用“华杯”代表一个两位 数。已知 1910 与“华杯”之和等于2004，那么“华杯 ”代表的两位数是多 少？ 2、 长方形的各边长增加 10%，那么它的周长和面积分别增加百分之几？ 3、 题目中的图是一个正方体木块的表面展开图。若在正方体的各面填上数，使 得对面两数之和为7，则 A、B、C处填的数各是多少？ 1 3 5 7 9 11 4、 在一列数： ，，，， ， ，中，从哪一个数开始，1 与每个数之差都小于 3 5 7 9 11 13 1 ？ 1000 5、 “神舟五号”载人飞船载着航天英雄杨利伟于 2003 年 10 月 16 日清晨 6 时 51 分从太空返回地球，实现了中华民族的飞天梦。飞船绕地球共飞行 14 圈，其中后 10 圈沿离地面 343 千米的圆形轨道飞行。请计算飞船沿圆形轨 道飞行了多少千米（地球半径为6371 千米，圆周率π =3.14）。 6、 如图，一块圆形的纸片分为4 个相同的扇形，用红、黄两种颜色分别涂满 各扇形，问共有几种不同涂法？ 7、 在 9 点至10 点之间的某一时刻，5分钟前分针的位置与5 分钟后时针的位置 673相同。问：此时刻是9 点几分？ 8、 一副扑克牌有54 张，最少要抽取几张牌，方能使其中至少有2 张牌有相同的 点数？ 9、 任意写一个两位数，再将它依次重复3 遍成一个8 位数。将此8位数除以该 两位数所得到的商再除以9，问：得到的余数是多少？ 10、一块长方形木板，长为90厘米，宽为 40厘米，将它锯成 2块，然后拼成一 个正方形，你能做到吗？ 11、如图，大小两个半圆，它们的直径在同一条直线上，弦AB 与小圆相切，且与 直径平行，弦AB 长 12 厘米。求图中阴影部分的面积（圆周率π=3.14）。 12、 半径为25 厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚 动，当小铁环沿滚动一周回到原位时，问小铁环自身转了几圈？ 674第九届“华杯赛”决赛小学组解答 1. 1989.05 2. 9 3. 728 4. 小圆盘运动过程中扫出的面积是 18.84 平方厘米。 5. 蚂蚁乙从洞穴 B 到达洞穴 C 时爬行了 2.4 米，蚂蚁并从洞穴 C 到达 洞穴 A 爬行了 2.1 米。 6. A 和 B 两地相距 1680 米。 7. 李家和王家各养了 300 头牛和 221 头牛。 8. M 是 3。 9. 最多买 14 支圆珠笔，最少能买 9 支圆珠笔。 10. 最多有 3 种不同类型的涂法。 11. 所有小于 2008 的美妙数的最大公约数是 60。 12. 棱长分别为 13，5，7；表面积是 358。第九届“华杯赛”小学组决赛试题 一、填空（每题 10 分，如果一道题中有两个空，则每个 5 分） 1. 计算：2004.05×1997.05－2001.05×1999.05＝（ ）。 2. 右图是一些填有数字的方形格子，一个微 5 9 11 10 6 4 型机器人从图中阴影格子开始爬行，每爬 3 13 4 10 8 14 进邻近一个格子后，它就将该格子涂上阴 2 5 13 1 7 9 影，然后再爬进与该格子有公共边的格子 11 3 7 14 12 12 中，继续将该格子涂上阴影……依次将微 7 2 12 13 2 11 型机器人所涂过的阴影格子中的数除以 4 3 10 8 4 1 3 得到的余数排成一列，结果是 0 1 2 0 1 8 6 1 5 9 6 2 0 1 2……那么阴影格子所组成的数字 是（ ）。 3. 等式 潮州54391市6，恰好出现 1，2，3，4…··9 九个数字，“潮 州市”代表的三位数是（ ）。 4. 一个半径为 1 厘米的圆盘沿着一个半径为尽厘米的圆盘外侧做无滑 动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动 90 度后（如右图）， 小圆盘运动过程中扫出的面积是（ ）平方厘米。（π =3.14） 5. 甲、乙、丙三只蚂蚁从 A，B，C 三个不同的洞穴同时出发，分别向 洞穴 B，C，A 爬行，同时到达后，继续向洞穴 C，A，B 爬行，然后 返回自己出发的洞穴。如果甲、乙、而三只蚂蚁爬行的路径相同， 爬行的总距离都是 7.3 米，所用时间分别是 6 分钟、7 分钟和 8 分 675钟，则蚂蚁乙从洞穴 B 到达洞穴 C 时爬行了（ ）米，蚂蚁丙从 洞穴 C 到达洞穴 A 时爬行了（ ）米。 6. 如下图，甲、乙二人分别在 A，B 两地同时相向而行，于 E 处相遇后， 甲继续向 B 地行走，乙则休息了 14 分钟，再继续向 A 地行走。甲和 乙到达 B 和 A 后立即折返，仍在 E 处相遇。已知甲每分钟行走 60 米， 乙每分钟行走 80 米，则 A 和 B 两地相距〔 ）米。 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题 10 分） 7. 李家和王家共养了 521 头牛，李家的牛群中有 67％是母牛，而王家 1 的牛群中仅有下 是母牛，李家和王家各养了多少头牛？ 13 M 8. 一个最简真分数 ，化成小数。，如果从小数点后第一位起连续若 7 干位的数字之和等于 2004，求 M 的值。 9. 小丽计划用 31 元买走每支 2 元、3 元、4 元三种不同价格的圆珠笔， 每种至少买 1 支，问她最多能买多少支？最少能买多少支？ 10. 在 3×3 的方格纸上（如左下图），用铅笔涂其中的 5 个方格，要求 每横行和每竖列被涂方格的个数都是奇数。如果两种涂法经过旋转 后相同，则认为它们是相同类型的涂法，否则是不同类型的涂法。 例如下中图和右下图是相同类型的涂法。最多有多少种不同类型的 涂法？说明理由。 67611. 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整 数的积称为“美妙数”。问所有的小于 2008 的“美妙数”的最大公 约数是多少？ 12 .用 455 个棱长为 1 的小正方体粘成一个大的长方体，若拆下沿棱的 小正方体，则尚余下的 371 个小正方体，问所粘成的大长方体的棱 长各是多少？拆下沿棱的小正方体后的多面体（如下图）的表面积 是多少？ 677第十届“华杯赛”初赛答案 1. 87 年 2. 六九的第一天。 3. 1/2 4. 共有六种不同的入座方法 5. 三项的总距离为 51.5 千米。 6. 第 9 个是 55。 7. 至少要注 8 次水。 8. 高年级学生 66 人，低年级学生 54 人。 9. 零售价每本 6 元。 10. 93 名。 11. 150 毫升。 12. 至多有 6 条直线。第十届“华杯赛”初赛试题 1.2005 年是中国伟大航海家郑和首次下西洋 600 周年，西班牙伟大航海 家哥伦布首次远洋航行是在 1492 年。问这两次远洋航行相差多少年？ 2.从冬至之日起每九天分为一段，依次称之为一九，二九，……，九九， 2004 年的冬至为 12 月 21 日，2005 年的立春是 2 月 4 日。问立春之日 是几九的第几天？ 3.右下方是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是 边长等于 1 的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少？ 4.爸爸、妈妈、客人和我四人围着圆桌喝茶。若只考虑每人左邻的情况， 问共有多少种不同的入座方法？ 5.在奥运会的铁人三项比赛中，自行车比赛距离是长跑的 4 倍，游泳的 3 距离是自行车的 ，长跑与游泳的距离之差为 8.5 千米。求三项的总 80 距离。 6.如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。 其中最小的三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）依次为：3，6， 10，15，21，……问这列数中的第 9 个是多少？ 7.一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的 高的尺寸如图所示。若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水 多少次？ 6878.100 名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一 组，共有 41 组。问：高、低年级学生各多少人？ 9.小鸣用 48 元钱按零售价买了若干练习本。如果按批发价购买，每本便 宜 2 元，恰好多买 4 本。问：零售价每本多少元？ 10.不足 100 名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组 5 人，其他 人按 8 人一组围在外圈；另一种是中间一组 8 人，其他人按 5 人一组 围在外圈。问最多有多少名同学？ 11.输液 100 毫升，每分钟输 2.5 毫升。请你观察第 12 分钟时吊瓶图像 中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？ 12.两条直线相交所成的锐角或直角称为两条直线的“夹角”。现平面有 若干条直线，它们两两相交，并且“夹角”只能是 30°，60°或 90°。 问：至多有多少条直线？ 688第十届“华杯赛”决赛小学组试题 一、填空（每题 10 分，共 80 分） 1.下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表： 2．计算： （1）18.3×0.25＋5.3÷0.4－7.13 1 （2） 3  2  2004 2003 2004 2005 3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0 和 1。一个字节由 8 个“位”组成，记为 B。常用 KB，MB 等记存储空 间的大小，其中 1KB＝1024B，1MB＝1024KB。现将 240 MB 的教育软 件从网上下载，已经下载了 70％。如果当前的下载速度为每秒 72KB， 则下载完毕还需要（ ）分钟。（精确到分钟） 4.a,b 和 c 都是二位的自然数，a，b 的个位分别是 7 与 5，c 的十位是 1。如果它们满足等式 ab＋C＝2005，则 a＋b＋c＝（ ）。 5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个 中点，从这个正方体切下二个角，这样一共切下八个角，则余下部 分的体积（如下图中的阴影部分所示）和正方体体积的比是（ ）。 6.某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是 4：3：2，如果用甲等 油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是 0.9 元，如果改用乙等油漆， 689每平方米的费用降低为 0.4 元，一个集装箱可以节省 6.5 元，则集 装箱总的表面积是（ ）平方米，体积是（ ）立方米。 7.一列自然数 0，l，2，3…2005…2024，第一个数是 0，从第二个数 开始，每一个都比它前一个大 1，最后一个是 2024，现在将这列自 然数排成以下数表：规定横排为行，竖排为列，则 2005 在数表中位 于第（ ）行和第（ ）列。 8.下图中，ABCD 是长方形，E，F 分别是 AB，DA 的中点，C 是 BF 和 DE 的交点，四边形 BCDC 的面积是 40 平方厘米，那么 ABCD 的面积是 （ ）平方厘米。 二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题 10 分，共 40 分）。 9.右图是风筝形和镖形两种不同的砖，下页图是由风筝形和嫖形两种 不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形 砖的四个内角各是多少度。 69010.有 2，3，4，5，6，7，8，9 且和 11 共 10 个自然数，①从这 10 个数中选出 7 个数，使这 7 个数中的任何 31 个数都不会两两互质； ②说明从这 10 个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。 11.一个直角三角形的三条边的长度是 3，4，5，如果分别以各边为轴 旋转一周，得到三个立体。求这三个立体中最大的体积和最小的体 积的比。 12.A 码头在 B 码头的上游，“2005 号”遥控舰模从 A 码头出发，在两 个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟 200 米， 水流的速度是每分钟 40 米。出发 20 分钟后，舰模位于 A 码头下游 960 米处，并向 B 码头行驶。求 A 码头和 B 码头之间的距离。 三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题 15 分，共 30 分） 1 1 1 13.已知等式   ，其中 A，B 是非零自然数，求 A＋B 的最大值。 15 A B 14.两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线 的“夹角”（见下图）。如果在平面上画 L 条直线，要求它们两两相 交，并且“夹角”只能是 15°，30°，45°，60°，75°，90°之 一，问：（l）L 的最大值是多少？（2）当 L 取最大值时，问所有的 “夹角”的和是多少？ 691第十届“华杯赛”决赛小学组试题答案 1. 如表所示： 公元历 2005 1985 1910 希伯莱历 5766 5746 5671 伊斯兰历 1427 1407 1332 印度历 1927 1907 1832 2. （1）10.695 （2） 1 3. 下载完大约需要 17 分钟。 4. a+b+c=102 5. 余下部分的体积和正方体体积的比是 5/6。 6. 集装箱的总的表面积是 13 平方米，体积是 3 立方米。 7. 2005 在数表中位于第 20 行第 45 列。 8. 长方形 ABCD 的面积是 60 平方厘米。 9. 在风筝形砖中，有一个是钝角，是 144 度，其他三个角都是 72 度。 10. （1）这 7 个数是 2，3，4，6，8，9，10。 （2）最多可选 5 个数。 11. 最大体积和最小体积的比是 5/3。 12. A 码头和 B 码头之间的距离是 1536 米。 13. A+B 的最大值是 256。 14. （1）L 的最大值是 12； （2）当 L 取最大值时，所有各“夹角”的和是 3240 度第十一届“华杯赛”初赛小学组答案 1. D 2. C 3. A 4. D 5. B 6. B 7. 35 8. 23 9. 226.08 10. 4 11. 500；2700 12. 101；4 13. 27；37 14. 95；155第十一届 “华杯赛”初赛试题（小学组） 一、选择题 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的 英文字母写在每题的圆括号内（每小题6 分）. 1. 如图 1所示，将一张正方形纸片先由下向上对折压平，再由右翻起向左对折 压平， 图 1 得到小正方形ABCD. 取AB的中点M和BC的中点N，剪掉MBN得五边形AMNCD. 则将折迭的五边形AMNCD纸片展开铺平后的图形是（ ）. 2．2008006 共有（ ）个质因子. （A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 7 3. 奶奶告诉小明：“2006 年共有 53 个星期日”. 聪敏的小明立刻告诉奶奶：2007 年的元旦一定是（ ）. （A）星期一 （B）星期二 （C）星期六 （D）星期日 4. 如图 2，长方形ABCD中AB︰BC = 5︰4. 位于 A 点的第一只蚂蚁按ABCDA的 方 向 ， 位 于 C 点 的 第 二 只 蚂 蚁 按 CBADC 的方向同时出发，分别 图2 沿着长方形的边爬行。如果两只蚂蚁第一次在 B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（ ） 边上. 702（A） AB （B） BC （C） CD （D） DA 5. 图 3中ABCD是个直角梯形 （DABABC90 ）. 以AD为一边向外作 长 方形ADEF，其面积为6.36 平方厘米. 连接 BE交AD于P，再连接PC. 则图中阴影部分的 面积是（ ）平方厘米. （A）6.36 （B）3.18 图 3 （C）2.12 （D）1.59 6.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮, 排成一排表 演节目. 如果贝贝和妮妮不相邻, 共有（ ）种不同的排法. (A) 48 (B) 72 (C) 96 (D) 120 二、A 组填空题（每小题8 分） 7. 在算式 第 十 一 届 + 华 杯 赛 2 0 0 6 中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表 1，2，3，4，5，6，7，8，9中 的 7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立.则“第、十、一、 届、华、杯、赛”所代表的 7个数字的和等于 . 8. 全班 50个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，28 人有直尺，有三角板的 人中，男生是14人，若已知全班共有女生31人，那么有直尺的女生有 人. 7039. 图 4是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为 12 厘米的直棒状细吸管（不考虑吸管粗细） 放在玻璃杯内. 当吸管一端接触圆柱下底面 时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘 米，最多能露出 4 厘米. 则这个玻璃杯的容积 为 立方厘米. （取3.14） （提示： 图 4 直角三角形中“勾6、股 8、弦 10） 10. 有 5 个黑色和白色棋子围成一圈，规 定：将同色的且相邻的两个棋子之间 放入一个白色棋子，在异色的和相邻 的两个棋子之间放入一个黑色棋子， 图 5 然后将原来的 5 个棋子拿掉。如果从 图 5-(1)的初始状态开始依照上述规 定操作下去，对于圆圈上呈现 5 个棋 子的情况，圆圈上黑子最多能有 个. 三、B 组填空题（每题两个空，每个空 4分） 11. 李大爷用一批化肥给承包的麦田施肥. 若每亩施 6 千克，则缺少化肥300 千 克；若每亩施 5 千克，则余下化肥 200 千克. 那么李大爷共承包了麦田 亩，这批化肥有 千克. 12. 将从 1开始的到 103 的连续奇数依次写成一个多位数： a =13579111315171921……9799101103. 则数a共有 位，数 a除以9 的余数是 . 13.自制的一副玩具牌共计 52 张（含4 种牌:红桃、红方、黑桃、黑梅.每种牌都 有 1 点、2 点、……、13 点牌各一张）. 洗好后背面朝上放好. 一次至少抽 取_____张牌，才能保证其中必定有 2张牌的点数和颜色都相同. 如果要求一 次抽出的牌中必定有 3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取_____ 704张牌. 14.图 6中有 个正方形，有 个三角形. 705第十一届 “华杯赛”决赛试卷（小学组） 一、填空（每题 10 分，共 80 分）  1 5 1.计算： 10 (30.85) 126.3=( )    20 6 2.图 la 是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为 1 的七巧板拼成（如 图 lb ) ，那么这个长方形的面积是（ ) . 3.有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场， 胜者得 3 分，负者得 O 分，如果踢平，两队各得 1 分．现在甲、乙 和丙分别得 7 分、1 分和 6 分，已知甲和乙踢平，那么丁得（ ） 分． 4.图 2 中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相 联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大的信息 量．现在从结点 A 向结点 B 传递信息，那么单位时间内传递的最大信 息量是（ ) . 5.先写出一个两位数 62 ，接着在 62 右端写这两个数字的和 8 ，得到 628 ，再写末两位数字 2 和 8 的和 10 ，得到 62810 ，用上述方法得 到一个有 2006 位的整数：628101123 … … ，则这个整数的数字之 和是（ ) . 6.智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多同学．老人请 同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出 710二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人 数应该是（ ）人． 7.如图 3 所示，点 B 是线段 AD 的中点，由 A , B , C , D 四个点所构 成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为 10500 ，则 线段 AB 的长度是（ ) . 8. 100 个非 O 自然数的和等于 2006 ，那么它们的最大公约数最大可 能值是（ ) 二．解答下列各题，要求写出简要过程（每题 10 分，共 40 分） 9.如图 4 ，圆 O 中直径 AB 与 CD 互相垂直，AB = 10 厘米．以 C 为 圆心，CA 为半径画弧 AEB．求月牙形 ADBEA（阴影部分）的面积. 10.甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是 8 : 6 : 5 ，它们沿一个圆 圈从同一点同时同向爬行，当它们首次同时回到出发点时，就结束爬 行．问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）. 11.如图 5 ,ABCD 是矩形，BC= 6cm , AD＝10cm , AC 和 BD 是对角线．图 中的阴影部分以 CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是 多少立方厘米？（取 3.14 ) 71112.将一根长线对折后，再对折，共对折 10 次，得到一束线．用剪刀 将这束线束剪成 10 等份，问：可以得到不同长度的短线段各多少 根？ 三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题 15 分，共 30 分） 13.华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年： “猛攻苦战是第一，熟练生出百巧来， 勤能补拙是良训，一分辛劳一分才．” 现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应相同 的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自 然数．如果这 28 个自然数的平均值是 23 ，问“分”字对应的自然 数的最大可能值是多少？ 14.一根长为 L 的木棍，用红色刻度线将它分成 m 等份，用黑色刻 度线将分成 n 等份（m＞n ） ① 设 x 是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：x + 1 是 m 和 n 的公约数； ② 如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到 170 根长 短不等的小棍，其中最长的小棍恰有 100 根．试确定 m 和 n 的 值． 712第十一届“华杯赛”决赛小学组答案 1. 0.1 2. 15/8 3. 丁得 3 分 4. 17 5. 7018 6. 127 7. 5 8. 17 9. 月牙形的 ADBEA 的面积是立方厘米 10. 当爬行运动结束时，蚂蚁甲追上蚂蚁乙 2 次。 11. 图中的阴影部分以 CD 为周旋转一周所得到的立体的体积是 565.2 立 方厘米。 12. 8194 根 13. 最大可能值是 35。 14. （1）略 （2）m=135;n=40第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 总分 第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 初赛试卷（小学组） （ 时间: 2007 年 3 月 24 日 10:00～11:00 ） 装 一、选择题 (每小题 10 分) 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示 正确答案的英文字母写在每题的圆括号内. 1 + 0.25 3×0.5 1. 算式 + 等于（ ）. 3 1 2× - 0.75 1 +3 4 2 （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 2. 折叠一批纸鹤，甲同学单独折叠需要半小时，乙同学单独折叠需要 45 分钟. 则甲、 乙两同学共同折叠需要（ ）. 订 (A) 12分钟 （B）15分钟 （C）18分钟 （D）20分钟 3. 如图 1，将四条长为 16cm，宽为 2cm 的矩形纸条垂直相交平放在桌面上，则桌面 被盖住的面积是（ ）. （A）72 cm2 （B）128 cm2 （C）124 cm2 （D）112 cm2 图1 线 4. 地球表面的陆地面积和海洋面积之比是 29:71，其中陆地的四分之三在北半球. 那 么南、北半球海洋面积之比是（ ）. （A）284: 29 （B）284:87 （C）87:29 （D）171:113 5. 一个长方体的长、宽、高恰好是 3 个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的 所有棱长之和的数值的 2 倍，那么这个长方体的表面积是（ ）. （A）74 （B）148 （C）150 （D）154 1第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 6. 从和为 55 的10 个不同的非零自然数中，取出 3 个数后, 余下的数之和是 55 的 7 ，则取出的三个数的积最大等于（ ）. 11 （A）280 （B）270 （C）252 （D）216 二、填空题 (每小题 10 分) 装 7. 如图2，某公园有两段路AB=175米，BC =125米. 在这两段路上安装路灯, 要求 A， B，C 三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等. 则在这两段路上至少要安 装路灯 _______ 个. 图2 8. 将 5.4 (cid:5) 25 (cid:5) ×0.63 的积写成小数形式是 _______. 订 9. 如图3，有一个边长为 1 的正三角形，第一次去掉三边中点连线围成的那个正三角 形；第二次对留下的三个正三角形，再分别去掉它们中点连线围成的三角形；… 做 到第四次后, 一共去掉了_______ 个三角形, 去掉的所有三角形的边长之和是 _______. 图3 10. 同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图 4 所示. 贝贝要给每个营地 插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同, 则贝贝最少需要 _______ 种颜色的 旗子. 如果贝贝从某营地出发, 不走重复路就 _______（填“能”或“不能”）完成 线 这项任务. 图4 2第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛小学组试题答案 第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛 小 学 组 试 题 答 案 一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D D B A 二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分. 第 9、10 题每空 5 分） 题号 7 8 9 10 195 3 答案 13 3.41 (cid:5) 80 (cid:5) 或 3.418 (cid:5) 01 (cid:5) 40, 12.1875或 或 12 3，不能 16 16总分 第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组） 第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（小学组） （时间2007年4月21日10:00～11:30） 一. 填空(每题 10 分，共 80 分) 1. “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是 “2440”、“4199”和“3088”，将 裝 “华杯赛”的编码取为244041993088 . 如果这个编码从左起的奇数位的数码不 变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1 变8等，那么“华杯赛” 新的编码是______. 1 23 2. 计算：[20.75+(3.74−2 )÷9 ]÷41.75=______. 2 25 3. 如图1所示，两个正方形ABCD和 DEFG的边长都是 整数厘米. 点E在线段CD上，且CE < DE . 线段CF = 5厘米，则五边形ABCFG的面积等于______平方厘米. 图1 131 21 4. 将 , , 0.52 (cid:5) 3 (cid:5) , 0.523 (cid:5) , 0.52 (cid:5) 从小到大排列，第三个数是______. 250 40 订 5. 图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下 半部为圆柱状，底面直径都是10厘米，水瓶高度是 26厘米，瓶中液面的高度为12厘米. 将水瓶倒置后， 如图2b,瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容 图2a 图2b 积等于______立方厘米. (取π=3.14，水瓶壁厚不计) 6. 一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一 个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于______，从这列数的第______个 数开始，每个都大于2007. 7. 一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是_____. 线 8. 用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图3，从 正面看这个立体，如图4，则这个立体的表面积最多是_______. 图3（从上向下看） 图4（从正面看） 1第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组） 二. 简答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程) 9. 如图5，在三角形ABC中，点D在BC上，且 ∠ABC =∠ACB, ∠ADC =∠DAC, ∠DAB =21 (cid:68) , 求 ∠ABC的度数；并且回答：图中哪些三角形是锐角 三角形. 图5 10. 李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里, 看到一辆有30节车厢的货车迎面 驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时， 所记的时间是18秒. 已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头 长10米.问货车行驶的速度是多少？ 11. 图 6 是一个9×9的方格图, 由粗线隔为 9 个横竖各 有3个格子的“小九宫”格, 其中，有一些小方格填 有1至9的数字. 小青在第4列的空格中各填入了一 个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫” 格内的数字都不重复, 然后小青将第 4 列的数字从 上向下写成一个 9 位数.请写出这个 9 位数，并且简 单说明理由. 图6 12. 某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同 学的平均分数是 80 分. 已知全班同学的平均成绩不少于 90 分，问得优的同 学占全班同学的比例至少是多少？ 三. 详答下列各题 (每题15分，共30分, 要求写出详细过程) 13. 如图7，连接一个正六边形的各顶点. 问图中共有多少个等腰三角形（包括等 边三角形）？ 14. 圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1， 2，3，4，5，6，7. 小明首先将第 1 枚白色棋子放入 1 号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第 3 枚白色棋子放入 6 号盒子，……放置了第k −1枚白色 棋子后，小明依顺时针方向向前数了k −1个盒子，并将 图7 第k 枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋 子. 随后, 小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中 放入了300枚红色棋子. 请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子? 每个盒子各 有多少枚棋子? 2第 12 届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题答案（小学组） 一、 填空 1. 254948903981 。 2. 0.5 3. 71平方厘米。 4. 第 3个数是 . 5. 0.523 。 6. 486，8 。 7. 74 。 8. 48 。 二、解答下列各题 9. 图中的三角形ABC与三角形 CAD 是锐角三角形。 10. 火车车速为44千米/小时 。 11. 这个九位数是327468951 。 2 12. 得优的同学占全班同学的比例至少是 。 3 三、解答题 13. 共有 38个等腰三角形。 14. 每个盒子内白，红棋子的数量和棋子的总数量如下表： 盒子号数 1 2 3 4 5 6 7 白色棋子 57 0 58 0 0 29 56 红色棋子 86 85 43 0 0 86 0 总数 143 85 101 0 0 115 56第十三届 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛小学组试题答案 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛 小 学 组 试 题 答 案 一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A B C B D 二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分. 第 10 题每空 5 分） 题号 7 8 9 10 1 答案 1:2或 103 1.8 丙，150 2第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 总分 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 初赛试卷（小学组） （ 时间: 2008 年 3 月 22 日 10:00～11:00 ） 裝 一、选择题（每小题 10 分. 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的. 请将表 示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1．科技小组演示自制的机器人. 若机器人从点 A向南行走1.2 米，再向东行走 1 米， 接着又向南行走1.8 米，再向东行走 2 米，最后又向南行走1 米到达B点. 则B点与A点 的距离是( )米. （A）3 （B）4 （C）5 （D）7 2．将等边三角形纸片按图 1 所示的步骤折迭 3 次（图 1 中的虚线是三边中点的连 线）,然后沿两边中点的连线剪去一角（图 2）. 訂 剪去，不要 图 2 图 1 将剩下的纸片展开、铺平，得到的图形是( ). （A） （B） （C） （D） 3．将一个长和宽分别是 1833 厘米和423 厘米的长方形分割成若干个正方形，则正 線 方形最少是( )个. （A）8 （B）7 （C）5 （D）6 4．已知图3是一个轴对称图形. 若将图中某些黑色的图 形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有 ( )个. （A）9 （B）8 （C）7 （D）6 图 3第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 5. 若a 1515 15333 3，则整数a的所有数位上的数字和等于( ). 1004个15 2008个3 （A）18063 （B）18072 （C）18079 （D）18054 20052006 20062007 20072008 6．若a , b , c ，则有( ). 裝 20072008 20082009 20092010 （A）abc （B）acb （C）acb （D）abc 二、填空题（每小题 10 分，满分 40分. 第 10题每空 5分） 7．如图 4 所示，甲车从A，乙车从 B同时相向而行. 两车第一次相遇后，甲车继续 行驶4 小时到达B，而乙车只行驶了1 小时就到达A. 甲、乙两车的速度比为 . 甲車 乙車 A B 訂 图 4 8．华杯赛网址是www.huabeisai.cn，将其中的字母组成如下算式： www+hua+bei+sai+cn 2008. 如果每个字母分别代表 0～9 这十个数字中的一个，相同的字母代表相同的数字，不同 的字母代表不同的数字，并且w=8，h=6，a=9，c=7，则三位数bei的最小值是 . 9．如图 5 所示，矩形ABCD的面积为24 平方厘米. 三角形ADM 与三角形BCN 的 面积之和为7.8 平方厘米，则四边形PMON的面积是 平方厘米. P D C N 線 M O A B 图 5 10．将一堆糖果全部分给甲、乙、丙三个小朋友. 原计划甲、乙、丙三人所得糖果 数的比为5:4:3. 实际上，甲、乙、丙三人所得糖果数的比为7:6:5，其中有一位小朋 友比原计划多得了15 块糖果. 那么这位小朋友是 （填“甲”、“乙”或“丙”），他 实际所得的糖果数为 块.第十三届 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组） 总 分 第十三届 “华罗庚金杯”少年数学邀 请赛 决赛试卷（小学组） （时间2008 年4 月 19日 10:00～11:30） 一、填空(每题 10 分, 共 80 分) 1 6401494016 2 1. 计算： ______. 1 3401436024 4 1 2. 林林倒满一杯纯牛奶, 第一次喝了 , 然后加入豆浆, 将杯子斟满并搅拌均匀, 3 1 第二次, 林林又喝了 , 继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀, 重复上述过程, 那 3 么第四次后, 林林共喝了一杯纯牛奶总量的____（用分数表示）. 3. 图 1是小明用一些半径为1厘米、2 厘米、 4厘米和8 厘 米的圆、半圆、圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案, 图 中阴影部分的总面积为____平方厘米. 4. 悉尼与北京的时差是3小时, 例如： 悉尼时间12:00时, 北 京时间是 9:00. 某日, 当悉尼时间9: 15时, 小马和小杨分 圖 1 别乘机从悉尼和北京同时出发去对方所在地, 小马于北京时间19:33分到达北京. 小马和小杨路途上所用时间之比为 7:6, 那么小杨到达悉尼时, 当地时间 是 . 5. 将六个自然数 14, 20, 33, 117, 143, 175 分组, 如果要求每组中的任意两个数都互 质, 则至少需要将这些数分成 组. 6. 对于大于零的分数, 有如下 4 个结论： ① 两个真分数的和是真分数； ② 两个真分数的积是真分数； ③ 一个真分数与一个假分数的和是一个假分数； ④ 一个真分数与一个假分数的积是一个假分数. 其中正确结论的编号是_____. - 1 - 件邮子电 话电系联 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密第十三届 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组） 1 3 7 15 1023 7. 记 A      , 那么比A小的最大的自然数是 . 2 4 8 16 1024 8. 黑板上写着1至2008 共2008个自然数, 小明每次擦去两个奇偶性相同的数, 再 写上它们的平均数, 最后黑板上只剩下一个自然数, 这个数可能的最大值和最 小值的差是______. 二、解答下列各题 (每题10分, 共40分, 要求写出简要过程) 9. 小李应聘某公司主任职位时, 要根据下表回答主任的月薪是多少, 请你来回答 这个问题. 职位 会计与出纳 出纳与秘书 秘书与主管 主管与主任 主任与会计 月薪和 3000 元 3200 元 4000 元 5200 元 4400 元 10. 请将四个 4用四则运算符号、括号组成五个算式, 使它们的结果分别等于5、6、 7、8、9. 11. 图 2中, ABCD 和 CGEF 是两个正方形, AG 和CF 相 交于 H, 已知 CH等于 CF 的三分之一, 三角形CHG 的 面积等于6 平方厘米, 求五边形ABGEF 的面积. 圖 2 12. 设六位数abcdef 满足 fabcde f abcdef , 请写出所有这样的六位数. 三、 解答下列各题 (每题15分, 共30分, 要求写出详细过程) 13. 甲乙两人沿一个周长为400米的环形跑道匀速前进, 甲行走一圈需4分钟, 乙行 走一圈需7 分钟, 他们同时同地同向出发, 甲走完 10 圈后, 改为反向行走. 出发 后, 每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时, 二人都击掌示意. 问：当二人第 15 次击 掌时, 甲共走了多少时间？乙走了多少路程？ 14. 右图是一个分数等式：等式中的汉字代表数字1、2、3、 4、5、6、7、8 和 9, 不同的汉字代表不同的数字. 如 果“北”和“京”分别代表1和9. 请写出“奥运会”所代表的所有的三位整数, 并 且说明理由. - 2 -第十三届 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（小学组） 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试题参考答案（小学组） 一、填空(每题 10 分，共80 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 65 答案 2 64 20:39 3 ②, ③ 9 2005 81 注：第6题，每答对1个给5分. 二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程) 9. 答案：2900元. 解答： 根据已知条件，五种职位的月薪分别为：A, B, C, D和E, 那么： A+B=3000……(1) B+C=3200……(2) C+D=4000……(3) D+E=5200……(4) E+A=4400……(5) (5)(1) 得：EB=1400, (4)(3)+(2) 得：E+B=4400. 因此 E=2900（元）. 因此，主任的月薪为 2900 元. 评分参考：①每列对一个方程给1分；② 正确解出方程给5分. 10. 解答： (444)45,4(44)46,44447,44448,44449. 评分参考：答案不唯一,每列对一个算式给2 分. 11. 答案：49.5 cm2. 解答：如图 1，连接 AC，FG，那么四边形 ACGF 是梯形， 三角形ACF 和三角形 CAG 同底同高, 因而面积相等, 因此有 S S （6 cm2）；（2 分） CHG AHF 由于 圖1 1 1 1 1 S  CHCG  CFCG CGCG（6 cm2）. CHG 2 2 3 6 因此，CG6cm；（2 分）因为 - 1 -第十三届 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（小学组） 1 1 1 1 S  FH AD  2CH AD  CFAD  CGAD 2AD 6(cm2),（2 分） AHF 2 2 3 3 因此， AD3cm. 易得 FDCFCDCGAD3cm，所以 1 S S S S 6633 3349.5(cm2). （4 分） ABGEF ABCD CGEF ADF 2 注：不做参考线，通过下面推导同样可以得出S S （6 cm2）, CHG AHF 1 1 1 S  AB(CGBC) ABCG ABBC ABG 2 2 2 1 1 1  BCCF  ABBC  (CF AB)BC S . 2 2 2 ABCF 四边形ABCF 和三角形ABG 有公共的部分四边形ABCH，因此S S （6 cm2） CHG AHF 评分参考：①可依据上述的采分点给分; ② 仅有正确(或猜出)答案，无过程，只给2分. ③ 步骤正确，推导合理，计算错误，适当给分. 12. 答案：111111, 102564. 解答：设abcde x，依题意得100000f x f(10x f).（3 分） 整理得：(10f 1)x f(100000 f)，其中1 f 9.当 f 1时，9x99999，所以 x11111，即abcdef 111111；3 分） 当 f 4时，39x499996，所以x10256，即abcdef 102564；（3 分） 当 f 2,3,5,6,7,8,9时，x无整数解. （5分） 因此,满足条件的六位数是111111 和 102564.（1 分） 评分参考：①列出解式, 给 3 分; ②能给出全部求解过程,并判断正确,共给 11 分; 计算 错误,适当减分; ③最后给出正确答案，给1 分; ④仅给出正确答案，给 5分. 三、解答下列各题 (每题15分，共30分, 要求写出详细过程) 2 59 13. 答案：甲共走了66 分钟, 乙走了3833 米. 11 77 l l 解答：记跑道周长为 l，则甲的速度为 ，乙的速度为 .甲走完10 圈需 40 分钟，乙走 4 7 完 10圈需 70 分钟,同向行进时，甲两次相邻追上乙（同向而行的相邻两次击掌的时间间隔） 所需时间为 l 28  分钟；（2 分）. l l 3  4 7 相向行进时，甲、乙二人相遇（击掌）到下一次相遇所需时间为 - 2 -第十三届 “华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（小学组） l 28  分钟；（2 分）. l l 11  4 7 28 所以在开始40 分钟里，即甲走完10 圈时，二人击掌的次数为小于40 的最大整数次,即 3 4次.（2分） l 40 第 40 分钟时，乙已走过的路程为 40 l，所以甲和乙相距（根据题意，较短的那 7 7 2 段）的路程为 l；（1 分）.从此开始，甲改变行进方向，甲乙相向而行，所以，二人到第5 7 28 2 8 次相遇（击掌）时需   分钟；（1分）.接下来，二人还需要相遇（击掌）10 次， 11 7 11 28 280 8 280 2 需时 10 分钟，（1分）.因此，二人到第 15次相遇（击掌），需要40  66 11 11 11 11 11 分钟.（3分） 2 2 因此，甲行走共享了66 分钟，此时，乙行走也用了66 分钟，因此，乙行走了 11 11 l 2 400 738 59 66   3833 米.（3分） 7 11 7 11 77 评分参考：①可依据上述的采分点给分；② 仅有正确（或猜出）答案，无过程，两问都 对，只给3分. ③ 步骤正确，推导合理，计算错误，适当给分. 14. 答案：647、638 和 836. 解答： ① 因为 “梦”、“想”、“成”和“真”代表2、3、4、5、6、7 和8 中 4个不同的数字， 并且“梦想成真”所代表的四位数能被9 整除，因此它们代表的数字的和也能被9 整除，并 且由于13<“梦”+“想”+“成”+“真”<27，所以“梦”+“想”+“成”+“真”＝18. （5 分） ② 由 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45 和“北”+“京”+“梦”+“想”+“成”+“真” ＝1+9+18=28, 可以得到“奥”＋“运”＋“会”＝17，从而“奥”、“运”和“会”所代表 的 3个不同的数字相应地就应当是：{4,6,7}、{4,5,8}、{3,6,8}和{2,7,8}. （5分） ③ 由{4,6,7}、{4,5,8}、{3,6,8}和{2,7,8}四组数，可以组成 24 个三位数，分别乘9，仅有 647×9＝5823，638×9＝5742，836×9＝7524 符合要求，即算式中的8个数字不同，没有1和 9. 所以，“奥运会”所代表的三位整数是647、638 和 836. （5分） 评分参考：①能给出全部推断过程，分析正确，每步骤给5 分；②推理正确，分析合理， 但计算错误，适当减分；③仅给出正确答案，给5分. - 3 -第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学组） （ 时间: 2009 年 3 月 14 日 10:00～11:00 ） 装 一、选择题（每小题 10 分,满分 60 分. 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确 的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1. 下面的表情图片中， 没有对称轴的个数为（ ）. （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2. 开学前6天，小明还没做寒假数学作业, 而小强已完成了60 道题，开学时，两 人都完成了数学作业. 在这 6 天中，小明做的题的数目是小强的3 倍，他平均 每天做（ ）道题. 订 （A）6 （B）9 （C）12 （D）15 3. 按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～ 55 号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5. 那么，可供每支球队 选择的号码共（ ）个. （A）34 （B）35 （C）40 （D）56 4. 在19、197、2009这三个数中，质数的个数是（ ）. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 5. 下面有四个算式：     ① 0.60.1330.733； 5 线 ② 0.625 ； 8 5 3 35 8 1 ③     ； 14 2 142 16 2 3 1 2 ④ 3 4 14 7 5 5 其中正确的算式是（ ）. （A）①和② （B）②和④ （C）②和③ （D）①和④第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛 6. A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里 的玩具传给另外一个小朋友：AC，BE，C  A，DB，E D. 开始时A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完5 轮时，拿着福娃的小朋 友是（ ）. （A）C与D （B）A与D （C）C与E （D） A与B 二、填空题（每小题 10 分，满分 40分） 装 7. 下面的算式中, 同一个汉字代表同一个数字, 不同的汉字代表不同的数字, 团团×圆圆=大熊猫 则“大熊猫”代表的三位数是 . 8. 从 4个整数中任意选出3个, 求出它们的平均值, 然后再求这个平均值和余下1 1 2 个数的和, 这样可以得到4个数：4、6、5 和4 , 则原来给定的4 个整数的和 3 3 为 . 9. 如下图所示, AB是半圆的直径, O是圆心，AC CD DB, M是CD的中点, H 是弦 CD的中点. 若N 是 OB上一点，半圆的面积等于12 平方厘米, 则图中阴 订 影部分的面积是 平方厘米. 10. 在大于2009 的自然数中，被57 除后，商与余数相等的数共有 个. 线第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷A(小学组) 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学组） （时间: 2009 年 4月 11 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分，共 80 分） 200820072009 200920082010 1. 计算：  = . 200820091 200920101 2. 如图 1所示，在边长为 1的小正方形组成的44方 格图中，共有 25 个格点. 在以格点为顶点的直角三 角形中，两条直角边长分别是1 和 3的直角三角形 共有 个. 3. 将七位数“1357924”重复写 287 次组成一个 2009 位数“13579241357924…”. 删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数） 上的数字组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方 法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 . 4. 如图 2 所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中， 直线l将原图形分为面积相等的两部分. l与 AB 的交点 为 E，与CD的交点为F. 若线段CF 与线段AE 的长度 之和为 91 厘米，那么小正方形的边长是 厘 米. 5. 某班学生要栽一批树苗. 若每个人分配 k 棵树苗，则剩下 38 棵；若每个学生 分配 9棵树苗，则还差 3棵. 那么这个班共有 名学生. 6. 已知三个合数A，B，C 两两互质，且 A×B×C=11011×28，那么 A+B+C 的最大 值为 . 7. 方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表填入方 格中的数，相同的符号表示相同的数. 如图 3 所示， 若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分 别为 36，50，41，37，则第三行的四个数的和 为 . 8. 已知123n（n2）的和的个位数为 3，十 位数为 0，则 n 的最小值是 . 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分 图1 l E A B C D F 图 2 36 50 ◇ ○ ▽ ☆ ○ ○ ○ ☆ 41 ◇ ◇ ○ ☆ ? ◇ ◇ ▽ ◇ 37 图 3第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷A(小学组) 二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程） 1 1 1 1 1 1 9. 六个分数 ， ， ， ， ， 的和在哪两个连续自然数之间？ 2 3 5 7 11 13 10. 2009 年的元旦是星期四，问：在 2009 年中，哪几个月的第一天也是星期四？ 哪几个月有 5个星期日？ 11. 已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公 倍数是 270. 求b与c的最小公倍数. 12. 在50 个连续的奇数1，3，5，…，99中选取k 个数，使得它们的和为1949， 那么 k 的最大值是多少？ 三、解答下列各题 （每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 如图 4所示，在梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC ，BD相交于点O. 已 知 AB＝5，CD＝3, 且梯形 ABCD的面积为4，求三角形OAB的面积. D C O A B 图 4 14. 在图 5所示的乘法算式中，汉字代表1 至 9这 9个数字，不同汉字代表不同 的数字. 若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛” 所代表的整数. 祝贺华杯赛第十四届 图 5第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组) 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学组） （时间: 2009 年 4月 11 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分，共 80 分） 1．计算：（1059510397）(1079310199)= . 2．如图 1所示，在边长为 1 的小正方形组成的44方格图中， 共有 25 个格点. 在以格点为顶点的直角三角形中，两条直 角边长分别是1 和3 的直角三角形共有 个. 3．将七位数“2468135”重复写 287 次组成一个2009 位数 “24681352468135…”. 删去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的 数字后组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法 一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 . 4． A，B，C，D，E，F 六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方 向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：AF ，BD，CE，DB， EA，F C. 开始时， A，B ，C，D，E，F 拿着各自的玩具， 传 递完 2002 轮时，有 个小朋友又拿到了自己的玩具. 5．某班学生要栽一批树苗. 若每个人分配k 棵树苗，则剩下 20棵；若每个学生 分配 9棵树苗，则还差3棵. 那么k  . 6．已知三个合数 A，B，C 两两互质，且 A×B×C=1001×28×11，那么 A+B+C 的 最小值为 . 7．方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代 表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数. 如图 2 所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的 和分别为 36，50，41，37，则第三行的四个数的和 为 . 8. 123n（n2）的和的个位数为3，十位数为 0， 则 n 的最小值是 . 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分 图 1 36 50 ◇ ○ ▽ ☆ ○ ○ ○ ☆ 41 ◇ ◇ ○ ☆ ? ◇ ◇ ▽ ◇ 37 图 2第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B(小学组) 二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程） 1 1 1 1 1 1 9．六个分数 ， ， ， ， ， 的和在哪两个连续自然数之间？ 2 3 5 7 11 13 10．2009 年的元旦是星期四，问：在 2009 年中，哪几个月的第一天也是星期四？ 哪几个月有 5个星期日？ 11．有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的展 开图如图 4 所示. 若把这三个纸 5 盒按图 5 所示摆放在不透明的桌 1 3 6 4 面上，则所有能看到的纸盒面上 的数字之和的最大值和最小值分 2 别是多少？ 图 4 图 5 12．在50 个连续的奇数1，3，5，…，99中选取k 个数，使得它们的和为1949， 那么 k 的最大值是多少？ 三、解答下列各题 （每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．如图 4 所示，在梯形ABCD中，AB//CD，对 D C 角线AC，BD相交于点O. 已知 AB＝6，CD O ＝4，梯形 ABCD的面积为 5，求三角形OBC A B 的面积. 图 4 14．在图 5 所示的乘法算式中，汉字代表1 至 9这 9个数字，不同汉字代表不同 的数字. 若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛” 所代表的整数. 祝贺华杯赛第十四届 图 5第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学组) 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C（小学组） （时间: 2009 年 4月 11 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分，共 80 分） 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 计算：(1  )(   ) (1   )(  )＝ . 2 4 2 4 6 2 4 6 2 4 2. 将七位数“9876543”重复写287次组成一个2009位数“98765439876543…”. 删 去这个数中所有位于奇数位（从左往右数）上的数字后组成一个新数；再删 去新数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一位 数为止，则最后剩下的数字是 . 3. A，B，C，D， E，F 六个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方 向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：AF ，BD，CE，DB， EA，F C. 开始时， A，B ，C，D，E，F 拿着各自的玩具， 传 递完 2002 轮时，有 个小朋友又拿到了自己的玩具. 4. 如图 1所示，直线L 与直线L 相交于点O，且互相 L 2 1 2 A 6 垂直. 点A，A ，A ，…，A 绕点 O按逆时针方 1 2 3 n 向依次落在L 和L 上. 如果 A ，A ，A ，A ，…， 1 2 1 2 3 4 A 2 A 与点O的距离分别是1厘米，2厘米，3厘米，…， n n 厘米，那么以 A ，A ，A 为顶点的三角形 A 7 A 3 O A 1 A 5 L 1 100 101 102 的面积为 平方厘米. A 4 5. 某班学生要栽一批树苗. 若每个人分配 k 棵树苗， 图 1 则剩下 34 棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差 3 棵. 那么学生共有 人. 6. 已知 A，B，C 是三个两两互质的合数，且 A×B×C=1001×4×77，那么 A+B+C 的最小值为 . 7. 方格中的图形符号“◇”，“○”，“▽”，“☆”代表 填入方格中的数，相同的符号表示相同的数. 如图 2所示， 若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为 36，50，41，37，则第三行的四个数的和为 . 8. 已知123n（n2）的和的个位数为 3，十位数 为 0，则n的最小值是 . 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分 36 50 ◇ ○ ▽ ☆ ○ ○ ○ ☆ 41 ◇ ◇ ○ ☆ ? ◇ ◇ ▽ ◇ 37 图 2第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学组) 二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程) 1 1 1 1 1 1 9. 六个分数 ， ， ， ， ， 的和在哪两个连续自然数之间？ 2 3 5 7 11 13 10. 2009 年的元旦是星期四，问：在 2009 年中，哪几个月的第一天也是星期四？ 哪几个月有 5个星期日？ 11. 已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公 倍数是 270. 求b与c的最小公倍数. 12. 图3 是由32 个面积为1 的等边三角形组成的一个大的 平行四边形，这个大的平行四边形内部及边上共有 25 个交叉点. 以这些交叉点为顶点，可以连成多少个等边 图 3 三角形？ 三、解答下列各题 （每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13．如图 4 所示，在梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC ，BD相交于点O. 已 知 AB＝5，CD＝3，且梯形 ABCD的面积为4，求三角形OCD的面积. D C O A B 图 4 14. 在图 5所示的乘法算式中，汉字代表1 至 9这 9个数字，不同汉字代表不同 的数字. 若“祝”字和“贺”字分别代表数字“4”和“8”，求出“华杯赛” 所代表的整数. 祝贺华杯赛第十四届 图 5第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学组) 总分 第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 D（小学组） （时间: 2009 年 4月 11 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分，共 80 分） 200820072009 200920082010 1. 计算：  = . 200820091 200920101 2. 如图 1所示，在边长为1的小正方形组成的44方格图中， 共有 25 个格点. 在以格点为顶点的直角三角形中，两条直 角边长分别是1 和3 的直角三角形共有 个. 3. 将七位数“1357924”重复写 287 次组成一个 2009 位数 “13579241357924…”.删去这个数中所有位于奇数位（从左 往右数）上的数字组成一个新数；再删去新数中所有位于奇数位上的数字； 按上述方法一直删除下去直到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字 是 . 4. 某班学生要栽一批树苗. 若每个人分配 k 棵树苗，则剩下 20 棵；若每个学生 分配 9棵树苗，则还差3棵. 那么k  . 5. 已知三个合数A，B，C 两两互质，且 A×B×C=1001×28×11，那么A+B+C的最小 值为 . 6. 方格中的图形符号“◇”,“○”,“▽”,“☆”代表 填入方格中的数，相同的符号表示相同的数. 如图 2 所 示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和 分别为 36，50，41，37，则第三行的四个数的和 为 . 7. 如图 3 所示，直线L 与直线 L 相交于点O，且互 1 2 相垂直. 点A，A ，A ，…，A 绕点 O 按逆时针 1 2 3 n 方向依次落在L 和L 上. 如果 A ，A ，A ，A ，…， 1 2 1 2 3 4 A 与点 O的距离分别是1厘米，2厘米，3厘米，…， n n 厘米，那么以 A ，A ，A 三点为顶点的三角 100 101 102 形的面积为 平方厘米. 8. 已知123n（n2）的和的个位数为 3， 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 圖1 36 50 ◇ ○ ▽ ☆ ○ ○ ○ ☆ 41 ◇ ◇ ○ ☆ ? ◇ ◇ ▽ ◇ 37 圖 2 L 2 A 6 A 2 A 7 A 3 O A 1 A 5 L 1 A 4 圖3第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 D(小学组) 十位数为 0，则 n的最小值是 . 二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程） 1 1 1 1 1 1 9. 六个分数 ， ， ， ， ， 的和在哪两个连续自然数之间？ 2 3 5 7 11 13 10. 2009 年的元旦是星期四，问：在 2009 年中，哪几个月的第一天也是星期四？ 哪几个月有 5个星期日？ 11. 有同样的三个正方体纸盒，每个纸盒的六个面上都写有一个数字，它们的展 开图如图 4 所示. 若把这三个纸 盒按图 5 所示摆放在不透明的桌 5 面上，则所有能看到的纸盒面上 的数字之和的最大值和最小值分 1 3 6 4 别是多少？ 2 圖 4 圖 5 12. 已知a，b，c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60，a与c的最小公 倍数是 270. 求b与c的最小公倍数. 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 在50 个连续的奇数1，3，5，…，99中选取k 个数，使得它们的和为1949， 那么 k 的最大值是多少？ 14. 图 6 是由 32 个面积为 1 的等边三角形组成的一个大的平行四边形，这个大 的平行四边形内部及边上共有25 个交叉点. 以这些交叉点为顶点，可以连成 多少个等边三角形？ 圖6第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题解答（小学组） 一、选择题 1. 如图 A-1 所示, 平行四边形内有两个大小一样的正六边形, 那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ). 1 2 2 5 （A） （B） （C） （D） 2 3 5 12 图 A-1 【答案】A. 【解答】由图可知, 左上角和右上角的阴影部分的面积分别恰等于一个平行 1 四边形内正六边形的面积, 因此阴影部分的面积占平行四边形面积的 . 2 2. 两条纸带, 较长的一条为 23cm, 较短的一条为 15cm. 把两条纸带剪下同 样长的一段后, 剩下的两条纸带中, 要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长 度的两倍, 那么剪下的长度至少是 ( ) cm. (A) 6 （B）7 （C）8 （D）9 【答案】B. 【解答】设剪下的长度为x cm, 那么有： 23x2(15x), 解得x7. 因此, 剪下的长度至少为7 cm. 3. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一 个水池内的金鱼被捞完时, 亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个 水池内的金鱼时, 亮亮比第一次多捞33条, 与红红捞到的金鱼数目比是5:3. 那 么每个水池内有金鱼 ( ) 条. (A) 112 （B）168 （C）224 （D）336 【答案】B.【解答】 解法 1：这是一道工程问题的变形, 每个水池内有金鱼 5 3 33(  ) 168（条）. 53 43 解法 2：可以认为是比例应用题, 设亮亮第一次捞到3n条, 则红红第一次捞 3n33 5 到4n条, 依题意, 有  , 解得 n=24, 因此水池内共有金鱼7n=168 条. 4n33 3 1 1 1 1 1 6 4. 从 , , , , 中去掉两个数, 使得剩下的三个数之和与 最接近, 去 2 3 4 5 6 7 掉的两个数是 ( ). 1 1 1 1 1 1 1 1 （A） , （B） , （C） , （D） , 2 5 2 6 3 5 3 4 【答案】D. 【解答】通分 1 210 1 140 1 105 1 84 1 70 6 360 = , = , = , = , = , = . 2 420 3 420 4 420 5 420 6 420 7 420 显然, 210+84+70=364 最接近360. 5. 恰有20 个因数的最小自然数是 ( ). (A) 120 （B）240 （C）360 （D）432 【答案】B. 【解答】因为 20=2×10=4×5=2×2×5, 因此, 具有 20 个因数的自然数是3 与9 个 2的乘积, 即:3×2×2×2×2×2×2×2×2×2=1536; 或者是3 个 3与 4 个2 的乘积, 即: 3×3×3×2×2×2×2=432; 或者是3, 5与 4 个2 的乘积, 即: 3 ×5×2×2×2×2=240, 因此最小的自然数为240. 6. 如图 A-2 的大正方形格板是由 81 个 1 平方厘米的小正 方形铺成, B, C 是两个格点. 若请你在其它的格点中标出一点 A, 使得△ABC的面积恰等于 3 平方厘米, 则这样的 A 点共有 ( ) 个. 图A-2（A）6 （B）5 （C）8 （D）10 【答案】C. 【解答】 从最上面的水平线开始将水平线分别记为 第1、第 2、…、第10条水平线, 每条水平线均由左至右 判断哪个格点符合题目要求. 以此穷举法可以得到：第1 条水平线上没有格点符合要求, 第 2 条水平线上仅有A 7 符合要求. 如图 A-3 所示, 类似可以得到格点 A ,A ,A 2 1 6 符合要求, 对称地, 可以得到 A ,A ,A ,A 符合要求. 故 5 4 3 8 图 A-3 答案是 C. 二、填空题 2 1 20.3 7 7. 算式  的值为 . 1 1.30.4 0.253 4 8 【答案】1 . 21 2 5 3 1 7 20.3 7 5 5 2 8 【解答】  =  = + =1 . 1 1.30.4 1 3 9 7 3 21 0.253  4 4 4 10 8. “低碳生活”从现在做起, 从我做起. 据测算, 1 公顷落叶阔叶林每年可吸 收二氧化碳 14 吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的 26℃基础上调到 27℃, 相应每年减排二氧化碳 21 千克. 某市仅此项减排就相当于 25000 公顷落叶阔叶 林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按 3 台空调计, 该市家庭约有 万户. (保留整数) 【答案】556. 【解答】 25000141000（213）5555555.6. 9. 从 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中, 选出九个数字, 组成一个两位数、一个三位数和一个四位数, 使这三个数的和等于2010, 那么其中未 被选中的数字是 . 【答案】6. 【解答】由于和为 2010 所以四位数首位只能为 1, 设四位数、三位数、两 位数分别为1abc, def, gh. 设没有被选的数字为x, 那么 100(ad)10(beg)(c f h)1010 . 两 边 同 时 减 去 abcd e f gh , 由 于 abcd e f gh1x45, 则 99(ad)9(beg)966x. 两边都可以被9 整除, 因此x6. 事实上, 由去掉6以后的9个数码0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9可以组成一个两位数, 一个三位数, 一个四位数: 78, 540, 1392, 满足78 + 540 + 1392 = 2010. 【说明】1) 另一解法. 设四位数、三位数、两位数分别为1abc, def, gh, 既 然他们的和是 2010, 三个整数的个位、十位和百位相加, 一定都有进位, 所以进 位的数目至少是 3, 设为 k. 已知：所有加数数字之和＝和的数字之和＋9×k＝3 ＋9k, 由于012 945, 故有： 33 42 3639k 45, 3 k  5, 9 9 所以k 4, 三个整数1abc, def, gh的数字和是39k 39, 因此没有被选的数字 为6. 2) 可以询问：有多少不同的 {1abc, def, gh} 满足它们的和是2010 呢？ 从 条 件 可 知 ： c f h20 或 c f h10 . 如 果 c f h20 , 则 beg 19, 否则c f hbeg 39, 这是不可能的；当c f h10时,beg 9 , 否 则 c f  h b e 9g9  3 7, 也 是 不 可 能 的 , 因 为 abcde f gh38. 故有 c f h20 (1)  beg 9 (2)  ad 9 (3)  用穷举法, (1)的解是{3,8,9},{4,7,9},{5,7,8};(2)的解是{0,2,7},{0,4,5},{2,3,4}；(2) 的解是{0,9},{2,7},{4,5}；8 个数字a,b,c,d,e, f,g,h所取的数字各不相同, 并且 d 0,g 0故有 1. c, f,h{3,8,9}, b,e,g0,2,7,a,d4,5, 有不同的642=48 组解； 2. c, f,h{3,8,9}, b,e,g0,4,5,a,d2,7, 有不同的642=48 组解； 3. c, f,h5,7,8,b,e,g2,3,4,a,d0,9 , 有不同的 661=36 组解, 即当c f h20时共有132 组解. 类似, （1）和（2）交换, 此时ad 8,有 108 组解答. 因此, 共有 240 组答案. 10. 图 A-4 是一个玩具火车轨道, A 点有个变轨开关, 可以连接 B 或者 C. 小圈轨道的周长是 1.5 米, 大圈轨道 的周长是3 米. 开始时, A 连接 C, 火车从A 点出发, 按照 顺时针方向在轨道上移动, 同时变轨开关每隔1分钟变换 图 A-4 一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟 10 米, 则火车第 10 次回到 A 点时用了 分钟. 【答案】 2.1.【解答】根据条件, 在小圈火车行驶一圈用时1.5100.15分钟, 在大圈火 车行驶一圈用时3100.3分钟. 设回到A 点时用时为t分钟, 这样我们有下表： 回到 A 的次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 数 回到 A 点时 0.3 0.6 0.9 1.2 1.35 1.5 1.65 1.8 1.95 2.1 用时 经过的轨道 AC AC AC AB AB AB AB AB AB AC 下面我们给出一个一般的解答. 设玩具火车绕小圈轨道 m 圈, 绕大圈轨道 n 圈, 则玩具火车运动路程是 1.5m3n 1.5m3n S 1.5m3n, 时间是 . 如果 是偶数, 则变轨开关 AC 连通,   10  10  1.5m3n 如果 是奇数, 则变轨开关AC 连通.    10  1.5m3n 我们寻找最小的mn, 使 是偶数. 无妨设 10 1.5m3n10K, 或3m6n20K, 这里K是偶数, 并且有3为约数, 是玩具火车运动的时间, 因此最小的K 是6. 即 求m和n使 m2n40. 3n 当n＝3, 0, 故开始玩具火车绕大圈轨道 4 圈之后进入小圈, 时间是   10 12 7.512 912 1.2（分钟）；当n＝4, m＝5 时, 1, 2, 故玩具火车     10  10   10  1.5m3n 1.5634 绕小圈轨道6之后再次进入大圈轨道, 此时 ＝ 2.1（分钟） 10 10 （可以称为一个拟循环） 将 玩 具 火 车 再 次 进 入 大 圈 运 行 , 运 行 圈 数 记 为 n . n ＝ 3 时, 2 21.5637 3（分钟）, 玩具火车应当再次进入小圈运行, 运行圈数记为m , 既 10 2 1.57 1.56 然 1 , 故玩具火车绕小圈运行 7 圈后, 应再次进入大圈运行, 此 10 10 1.5m3n 1.51337 时  4.05（分钟）. 10 10 将玩具火车再次进入大圈运行, 运行圈数记为n . 既然 3 1.513311 1.513310 5 , 10 10 故玩具火车绕大圈运行4圈后, 应再次进入小圈运行, 此时 1.5m3n 1.513311  5.25（分钟）, 10 10 则玩具火车绕大圈运行5圈后, 1.5m3n 1.518311  6(分钟). 10 10 结论玩具火车第29 次回到 A 时, 变轨开关AC 连通, 即回到原始状态.第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题（小学组） 一、选择题（每小题 10 分，满分60 分. 以下每题的四个选项中，仅有一个是正 确的. 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内） 1. 如图Q-1所示，平行四边形内有两个大小一样的正六边形， 那么阴影部分的面积占平行四边形面积的 ( ). 1 2 2 5 （A） （B） （C） （D） 图 Q -1 2 3 5 12 2. 两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm. 把两条纸带剪下同样长的 一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍,那么 剪下的长度至少是 ( ) cm. (A) 6 （B）7 （C）8 （D）9 3. 两个水池内有金鱼若干条, 数目相同. 亮亮和红红进行捞鱼比赛, 第一个水池 内的金鱼被捞完时，亮亮和红红所捞到的金鱼数目比是3:4；捞完第二个水池内的金鱼 时，亮亮比第一次多捞 33 条，与红红捞到的金鱼数目比是 5:3. 那么每个水池内有金鱼 ( ) 条. (A) 112 （B）168 （C）224 （D）336 1 1 1 1 1 6 4. 从 , , , , 中去掉两个数，使得剩下的三个数之和与 最接近，去掉的两 2 3 4 5 6 7 个数是 ( ). 1 1 1 1 1 1 1 1 （A） , （B） , （C） , （D） , 2 5 2 6 3 5 3 4 5. 恰有 20 个因数的最小自然数是 ( ). (A) 120 （B）240 （C）360 （D）4326. 图Q-2的大正方形格板是由81 个1 平方厘米的小正 方形铺成， B, C 是两个格点. 若请你在其它的格点中标出 一点A，使得△ABC的面积恰等于3平方厘米，则这样的 A 点共有 ( ) 个. （A）6 （B）5 （C）8 （D）10 图 Q-2 二、填空题 (每小题 10 分，满分 40 分) 2 1 20.3 7 7. 算式  的值为 . 1 1.30.4 0.253 4 8. “低碳生活”从现在做起，从我做起. 据测算，1公顷落叶阔叶林每年可 吸收二氧化碳 14 吨. 如果每台空调制冷温度在国家提倡的 26℃基础上调到 27℃，相应每年减排二氧化碳 21 千克. 某市仅此项减排就相当于 25000 公顷落 叶阔叶林全年吸收的二氧化碳；若每个家庭按 3 台空调计，该市家庭约有 万户. (保留整数) 9. 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个数字中，选出九个数字，组成 一个两位数、一个三位数和一个四位数，使这三个数的和等于 2010，那么其中 未被选中的数字是 . 10. 图 Q-3 是一个玩具火车轨道，A 点有个变轨开关， 可以连接B或者 C. 小圈轨道的周长是1.5 米，大圈轨道 的周长是3 米. 开始时，A 连接 C，火车从A 点出发，按 照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1 分钟变 图 Q-3 换一次轨道连接. 若火车的速度是每分钟10 米，则火车第 10次回到 A 点时用了 分钟.第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学组） 一、填空题（每小题 10分，共80 分） 1. 在 10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于 11，不能是 13，也不能是5 的倍数，且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球. 2. 有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品以及五种价格 分别为 1 元、3 元、5 元、7 元、9 元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共有 种不同价格. 3. 汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行 开往甲站, 途中 A与 B相遇 20 分钟后再与C 相遇. 已知 A、B、C 的速度分别 是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km. 1 1 1 1 1 1 4. 将 , , , , , 和这6 个分数的平均值从小到大排列, 则这个平 2 3 4 5 6 7 均值排在第 位. 5. 将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作，经连续若干次 这样的操作后可以变为6的数称为“好数”，那么不超过 2012的“好数”的个 数为 ，这些“好数”的最大公约数是 . 6. 图Q-8所示的立体图形由9个棱长为1的立方块搭成, 这个立体图形 的表面积为 . 图 Q-8 7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各 10 张，任意选出8 张使它们的数字和是33， 则最多有 张是卡片“3”. 1 1 1 1 1 1 8. 若将算式      的值 12 34 56 78 20072008 20092010 化为小数，则小数点后第1 个数字是 .二、解答下列各题 (每题 10 分，共40 分, 要求写出简要过程) 9. 图Q-9中有 5个由 4个 1×1的小正方格组成的 不同形状的硬纸板. 问能用这5 个硬纸板拼成图 Q-9中 4×5 的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 图 Q-9 请简述理由. 10. 长度为L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12 和 18 段， 在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多 少？ 11. 足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜 队得3分，负队得 0分，平局两队各得 1分. 若 A，B，C，D队总分分别是 1， 4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？ 12. 华罗庚爷爷出生于1910 年 11月12 日. 将这些数字排成一个整数, 并且 分解成19101112116316424, 请问这两个数 1163 和16424中有质数吗? 并说 明理由. 三、解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程） 13．图Q-10 中，六边形ABCDEF 的面积是2010 平方厘米. 已 知△ABC，△BCD，△CDE，△DEF，△EFA，△FAB的面积都 等于335 平方厘米，6个阴影三角形面积之和为670 平方厘米. 求 六边形ABC DE F的面积. 1 1 1 1 1 1 图 Q-10 14．已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威” 代表的两位数.第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 解答（小学组） 一、填空题 1. 要在10个盒子中放乒乓球, 球的个数彼此不同, 不能少于11, 不能是13, 也不能是 5 的倍数, 那么至少需要 个乒乓球. 【答案】173. 【解答】至少需要11121416171819212223173(个). 2. 有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品以及五种价格 分别为1元、3元、5元、7元、9元的包装盒, 一个礼品配一个包装盒, 共有 种 不同价格. 【答案】19. 【解答】任意的搭配共有 25种, 其中有价格重复的情况. 由于礼品和包装盒的价格分别是公差为3和2的等差数列, 故当礼品和包装 盒的价格分别差 6 时, 会出现价格重复的情况, 共有 3×2=6 种, 所以不同价格的 礼品共有25619种. 3. 汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行 开往甲站, 途中 A与 B相遇 20 分钟后再与C 相遇. 已知 A、B、C 的速度分别 是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km. 【答案】425. 【解答】设 A与 B出发 t 小时后相遇, 两地距离为s, 则 1 (9080)t s, (6090)(t ) s . 3 解之得 s 1702.5425. 1 1 1 1 1 1 4. 将 , , , , , 和这6 个分数的平均值从小到大排列, 则这个平 2 3 4 5 6 7均数排在第 位. 【答案】 5. 1 1 1 1 1 1 【解答】先从小到大排列这6个分数:      , 因为前三个分 7 6 5 4 3 2 数之和比后三个分数之和小, 因此这 6 个分数的平均值不可能排在它们的中间. 因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       6    =  0, 2 3 4 5 6 7 4 5 7 4 7 20 且 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 6            0 3 2 3 4 5 6 7 4 5 7 1 1 所以这 6个分数的平均值大于 ,小于 . 4 3 即这 6 个分数的平均值排在第5位. 5. 将一个数的各位数字相加得到新的一个数称为一次操作, 经连续若干次 操作后可以变为6的数称为“好数”, 那么不超过2012的“好数”的个数为_______, 这些“好数”的最大公约数是 _______. 【答案】223, 3. 【解答】 易知, 从 1开始, 连续递增的自然数, 经过上述操作最后得到的一 2012 位数是从1 到9 循环地变化的. 因此, 最后变为6 的数一共有[ ]223个. 9 因为经过若干次操作后得到的数是 6, 故这些数都是 3 的倍数. 又因为 6 和 15都是这种数, 而（6, 15）= 3, 所以这些数的最大公约数是3. 6. 图 A-10 所示的立体图形由 9 个棱长为 1 的立方块搭成, 这个立体图 形的表面积为 . 图 A-10 【答案】32. 【解答】从上、下、前、后、左、右看到的这个立体图形的表面的面积分别为 5, 5, 5, 5, 6, 6, 总和为 32 . 7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各 10 张，任意选出8 张使它们的数字和是33， 则最多有 张是卡片“3”. 【答案】3. 【解答】假设摸出的8 张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际 的和33 相差9，这是因为将摸出的卡片“4”、“5”都当成是卡片“3”的缘故. 用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2 和1. 为了使卡 片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”或卡片“4”换卡片“3”，现在9421， 因此可用4 张卡片“5”和 1张卡片“4”换卡片“3”，这样8张卡片的数字之 和正好等于33. 所以最多可能有3 张是卡片“3”. 1 1 1 1 1 1 8. 若将算式      的值 12 34 56 78 20072008 20092010 化为小数, 则小数点后第1 个数字是 . 【答案】4. 【解答】因为 1 1 1 1 1 (  )(  ) 12 34 56 20072008 20092010 1 1 1 9  (  )  0.45, 2 34 56 20 且 1 1 1 1 1 1 1 (  )(  )(  ) 12 34 56 78 20052006 20072008 20092010 1 1 5    0.41, 2 34 12 所以小数点后的第1个数字是 4. 二、解答下列各题 9. 图 A-11 中有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成 的不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成图A-11 图A-11中4×5 的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由. 【答案】不能. 【解答】 假设能拼成4×5 的长方形, 如图A-12小方格黑白相间染色. 其中 黑格、白格各10 个. ① ② ③ ⑤ ④ 图A-12 图 A-13 将五块纸板编号, 如图A-13所示, 除纸板④之外, 其余4张硬纸板每一张都 盖住 2 个黑格, 而④盖住3 个黑格或一个黑格. 这样一来, 由 4个 1×1 的小正方 格组成的不同形状的5 个硬纸板, 只能盖住9或 11 个黑格, 与 10 个黑格不符. 10. 长度为L 的一条木棍, 分别用红、蓝、黑线将它等分为8, 12 和 18 段, 在 各划分线处将木棍锯开, 问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多 少？ L 【答案】28, . 72 【解答】（1）易知 红线与蓝线重合的条数是 (8,12)13； 红线与黑线重合的条数是 (8,18)1211； 蓝线与黑线重合的条数是 (12,18)15； 红线、蓝线、黑线都重合的条数是 (8,12,18)1211. 由红线 7条, 蓝线 11 条, 黑线 17条确定的位置的个数是 71117(315)127.因此, 依不同位置的线条锯开一共得到 27128（段）. （2）最小公倍数 [8,12,18]2[4,3,9]23672. 因此, 将木棍等分成72段时, 至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间, 并 且再短（段数更多）时就做不到了. L 所以锯得的木棍最短的一段的长度是 . 72 11. 足球队 A，B，C，D，E 进行单循环赛（每两队赛一场）, 每场比赛胜 队得3分, 负队得0 分, 平局两队各得 1分. 若 A，B，C，D总分分别是1, 4, 7, 8, 请问：E队至多得几分？最少得几分？ 【答案】7, 5. 【解答】 设 A，B，C，D，E 五队的总分分别是a, b, c, d , e, 五队的 总分为S, 则S abcd e20e. 五队单循环共比赛 10 场, 则S 30. 如果有一场踢平, 则总分S 减少 1 分. 因为 a11000, b411113100, c73310, d 83311, 所以比赛至少有 3 场平局, 至多有 5 场平局. 于是305S 307 , 即 2520e27.故5e7. 事实上, E胜 A, B, 负于 C, 与 D踢平时, e7；E胜 A, 负于 C, 但与B、D 踢平时, e5.所以 E队至少得5 分, 至多得7分. 12. 华罗庚爷爷出生于1910 年 11月12 日. 将这些数字排成一个整数, 并且 分解成19101112116316424, 请问这两个数 1163 和16424中有质数吗? 并说 明理由. 【答案】1163 是质数. 【解答】1163 是质数, 理由如下: （1）显然16424 是大于2 的偶数, 是合数. （2）如果 1163 是合数, 但不是完全平方数, 则至少有 2个不同的质因数, 因 为113 13311163, 所以, 如果 1163 有 3 个以上不同的质因数, 必有一个小于 11. 但是显然2, 3, 5, 7 都不能整除1163, 11 也不能整除1163, 因此 1163 仅有 2 个不同的大于11 的质因数. 大于 11 的质数有: 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, … 既然114731371163372, 1163 的两个不同的质因数一定有一个小于37, 另一个大于31. 计算 13919231163131213101； 17591003116313431779； 1947893116312731967； 2341943116314032361； 29371073116313632947. 所以1163 是质数. 三、解答下列各题 13. 图A-14中，六边形ABCDEF的面积是2010平方厘米. 已 知△ABC, △BCD, △CDE, △DEF, △EFA, △FAB的面积都等于 图 A-14335 平方厘米, 6 个阴影三角形面积之和为 670 平方厘米. 则六边形ABC DE F 1 1 1 1 1 1 的面积是 平方厘米. 【答案】670. 【解答】 如图 A-15, 已知△ABC, △BCD, △CDE, △DEF, △EFA, △FAB的 面积都等于 335 平方厘米, 它们面积之和为33562010平方厘米=六边形 ABCDEF 的面积. 因此, 未被盖住的六边形ABC DE F的面积 1 1 1 1 1 1 = 重叠部分的面积 = S S S S S S . (1) (3) (5) (7) (9) (11) 图 A-15 另一方面, 在△ABC 中, S S 335S , (1) (3) (2) 在△BCD中, S S 335S (3) (5) (4) 在△CDE 中, S S 335S (5) (7) (6) 在△DEF 中, S S 335S (7) (9) (8) 在△EFA 中, S S 335S (9) (11) (10) 在△FAB中, S S 335S (11) (1) (12) 上述6个式子相加, 得     2 S S S S S S 3355 S S S S S S (1) (3) (5) (7) (9) (11) (2) (4) (6) (8) (10) (12) 即  2 S S S S S S 33566701340. (1) (3) (5) (7) (9) (11) 所以 1340 S S S S S S  670. (1) (3) (5) (7) (9) (11) 2 因此, 六边形ABC DE F的面积 1 1 1 1 1 1 =S S S S S S =670 (平方厘米). (1) (3) (5) (7) (9) (11) 14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除, 求出“虎威”代表的两 位数. 【答案】11, 12, 15, 24, 36. 【解答】两位自然数共有 90 个, 一个一个地去试算检验它是不是满足条件, 工作量太大, 显然需要开动脑筋, 缩小试算范围. 设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a, b. 因为ab10ab, 10ab能被ab整除意味着10ab能被 a整除且10ab能 被b 整除. 如果10ab能被 a整除, 说明 b 能被a 整除；如果10ab能被 b整除, 说明10a能被b 整除. 这就是说, 数字 a, b 同时要满足两个条件： （1）a 整除 b, （2）b 整除 10a. 对满足这两个条件的a, b, 进行试算, 可以缩小试算的范围. 若a＝1, 则 10 能被b整除, b的可能值为1, 2, 5, 这时ab＝11, 12, 15, 它们 符合条件； 若a＝2, 则 b是偶数, 且20 能被b 整除, b 的可能值是2, 4. 经检验后知只有 ab＝24 满足条件； 若a＝3, 则 b是 3的倍数, 且30 能被 b整除, b的可能值是3, 6. 经检验后知只有ab＝36 合于要求； 若a＝4, 则 b是 4的倍数, 且40 能被 b整除, b的可能值是4, 8. 经检验后它 们都不合题意. 若 a＝5, 6, 7, 8, 9, 经过同样的检验后知, 没有符合题意的值. 综上所述知：“虎威”代表的两位数 11, 12, 15, 24, 36.第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B 解答（小学组） 一、填空题 1．在10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是 17， 也不能是 6 的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球. 【答案】174. 【解答】至少需要11131415161920212223174(个). 2．有五种价格分别为2元、5 元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价 格分别为3 元、6元、9 元、12 元、15 元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共 有 种不同的价格. 【答案】9. 【解答】任意的搭配共有25种，其中有价格重复的情况. 由于礼品和包装盒的价格都是公差为3的等差数列，故当礼品和包装盒可以 组成一个5 元，8元，11 元，14 元，17 元，20 元，23 元，26 元，29 元，共有 9种不同的价格. 3. 汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行 开往甲站, 途中 A与 B相遇 20 分钟后再与C 相遇. 已知 A、B、C 的速度分别 是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km. 【答案】425. 【解答】设 A与 B出发 t 小时后相遇, 两地距离为 s, 则 1 (9080)t s, (6090)(t ) s . 3 解之得 s 1702.5425. 1 1 1 1 1 1 4. 将 , , , , , 和这6 个分数的平均值从大到小排列, 则这个平 2 3 4 5 6 7 均值排在第 位.【答案】 3. 1 1 1 1 1 1 【解答】先从小到大排列这6个分数:      , 因为前三个分 7 6 5 4 3 2 数之和比后三个分数之和小，因此这6 个分数的平均值不可能排在它们的中间. 因为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1       6    =  0, 2 3 4 5 6 7 4 5 7 4 7 20 且 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 6            0. 3 2 3 4 5 6 7 4 5 7 1 1 所以这 6个分数的平均值大于 ，小于 . 即这六个分数的平均值排在第3位. 4 3 5. 若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有 个. 【答案】9. 【解答】设符合条件的两位数是ab. 两位数ab的平方的十位上的数字等于 2ab 个位上的数与b2的十位上的数字 之和的个位数字，为 0. 因为ab的平方只有十位上的数字为0，所以b0. 当 b取 1～9时, b2的十位上的数字分别为 0、0、0、1、2、3 、4、6、8. 2ab个位上的数字如下： 当 a为 1 时，分别为 2、4、6、8、0、2、4、6、8； 当 a为 2时，分别为 4、8、2、6、0、4、8、2、6； 当 a为 3时，分别为 3、6、9、2、5、8、1、4、7； 当 a为 4时，分别为 8、6、4、2、0、8、6、4、2；当 a为 5时，分别为 0、0、0、1、2、3、4、6、8； 当 a为 6或 7 时，分别与1或 2时相同； 当 a为 8时，分别为 6、2、8、4、0、6、2、8、4； 当 a为 9时，分别为 8、6、4、2、0、8、6、4、2. 所以这样的两位数有47，48，49，51，52，53，97，98，99，共 9个. 6. 图 A-16 所示的立体图形由 10 个棱长为 1 的立方块搭成, 这个立 体图形的表面积为 . 图 A-16 【答案】34. 【解答】 从上、下、前、后、左、右看这个立体图形的表面的面积分别为 6, 6, 5, 5, 6, 6, 总和为 34 . 7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各 10 张，从中任意选出 8张，它们的数字和是 31，则最多有 张是卡片“3”. 【答案】4. 【解答】假设摸出的8 张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际 的和 31 相差 8，这是因为将摸出的卡片“4”、 “5”都当成是卡片“3”的缘 故. 用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2 和 1. 为了 使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”，现在8÷2＝4，因此 可用4张卡片“5”换卡片“3”，这样 8张卡片的数字之和正好等于32. 所以最 多可能有4 张是卡片“3”. 8. 能同时表示成连续 9 个、10 个和 11 个非零自然数的和的最小自然数 是 . 【答案】495. 【解答】设所求的正整数为A，则由题意得： A=(p1)(p2)(p3)(p9)9p45， ①A=(m1)(m2)(m3)(m10)10m55， ② A=(n1)(n2)(n3)(n9)11n66， ③ 其中 p, m, n均为整数. 由①、②可得：9p4510m55，所以 9p10(m1). ④ 由②、③可得：10m5511n66，所以 10m11(n1). ⑤ 因为 10 与 11互质，所以由⑤可知，m是 11 的倍数，由④可知，m1是 9 的倍数，所以m是 11 的倍数，且被 9 除的余数为 8，于是m的最小值为 44，A 的最小值为104455495. 二、解答下列各题 9. 图A-17中有5个由4个1×1的小正方格组成的 不同形状的硬纸板. 问能用这5 个硬纸板拼成图 A-17 中4×5 的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不 图A-17 能, 请简述理由. 【答案】不能. 【解答】 假设能拼成4×5 的长方形, 如图A-18小方格黑白相间染色. 其中 黑格、白格各10 个. ① ② ③ ⑤ ④ 图A-18 图 A-19 将五块纸板编号, 如图A-19所示, 除纸板④之外, 其余4张硬纸板每一张都 盖住 2 个黑格, 而④盖住3 个黑格或一个黑格. 这样一来, 由 4个 1×1 的小正方格组成的不同形状的5 个硬纸板, 只能盖住9或 11 个黑格, 与 10 个黑格不符. 10. 图 A-20 中，ABCD是一个梯形，且 AB//CD，三角形 ABO和三角形 OCD DC 的面积分别是16 和 4，求 . AB 图 A-20 1 【答案】 . 2 【解答】由三角形面积公式， S S OC BCO  OCD  . S S AO ABO AOD 又有S  S ，故 AOD BCO S 4 BCO  . 16 S BCO 所以 S  S 8. BCO BCO 设梯形高为h, 因为 hAB hCD S  , S  ， ABC 2 DAC 2 所以 S CD DAC  . S AB ABC 又因为 S S S 24, S S S 12, ABC ABO BCO DAC OCD AOD 所以 DC 1  . AB 211. 长度为L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12 和 18 段， 在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多 少？ L 【答案】28， . 72 【解答】（1）易知, 红线与蓝线重合的条数是 (8,12)13； 红线与黑线重合的条数是 (8,18)1211； 蓝线与黑线重合的条数是 (12,18)15； 红线、蓝线、黑线都重合的条数是 (8,12,18)1211. 由红线 7条，蓝线11条，黑线 17 条确定的位置的个数是 71117(315)127. 因此，依不同位置的线条锯开一共得到 27128（段）. （2） 最小公倍数 [8,12,18]2[4,3,9]23672. 因此，将木棍等分成72 段时，至少有一段是在上述红、蓝、黑线的某两条之间， 并且再短（段数更多）时就做不到了. L 所以锯得的木棍最短的一段的长度是 . 72 12. 华罗庚爷爷出生于1910 年 11月12 日. 将这些数字排成一个整数, 并且 分解成19101112116316424, 请问这两个数 1163 和 16424 中有质数吗? 并说 明理由. 【答案】1163 是质数.【解答】1163 是质数, 理由如下: （1）显然16424 是大于2 的偶数, 是合数. （2）如果 1163 是合数, 但不是完全平方数, 则至少有 2个不同的质因数, 因 为113 13311163, 所以, 如果 1163 有 3 个以上不同的质因数, 必有一个小于 11. 但是显然2, 3, 5, 7 都不能整除1163, 11 也不能整除1163, 因此 1163 仅有 2 个不同的大于11的质因数. 大于 11 的质数有: 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 等等. 既然114731371163372, 1163 的两个不同的质因数一定有一个小于 37, 另一个大于11. 计算 13891157116312611397； 17681156116312411773； 19611159116312731967； 23471081116312192353； 29371073116311892941； 31371143116312713141. 所以1163 是质数. 三、解答下列各题 13. 一批货物重13.5 吨，每包货物重量不超过350 千克，请问：能否用11 辆载重为1.5 吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明. 【答案】能. 【解答】一种方案如下：把11 辆货车顺序编号为1，2，3，…，11. 先把 1 至8 号车装上货物，每车一直装到不超过1.5 吨为上限, 只要再装一包便超过1.5 吨为止，并把这 8个最后一包分成两组，每组4 包，每组重量不超过35041400千克1.5吨，用9，10 号车可将这两组8 包货物运走，这样1 至 10号车共装运 了超过 1.5812（吨）货物，还剩下的货物的重量不超过13.5121.5吨，这 样可以用11 号车把剩下的货物运走. 14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的 两位数. 【答案】11，12，15，24，36. 【解答】两位自然数共有90 个，一个一个地去试算检验它是不是满足条件， 工作量太大，显然需要开动脑筋，缩小试算范围. 设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a，b. 显然a, b不等于0. 因为ab10ab，10ab能被ab整除意味着10ab能被 a整除且10ab能 被b 整除. 如果10ab能被 a整除，说明 b 能被a 整除；如果10ab能被 b整除， 说明10a能被b 整除. 这就是说，数字a，b同时要满足两个条件： （1）a整除 b，（2）b 整除 10a。 对满足这两个条件的a，b，进行试算，可以缩小试算的范围。 若a＝1，则 10 能被b 整除，b 的可能值为1，2，5，这时ab＝11，12，15， 它们符合条件； 若a＝2，则 b是偶数，且 20 能被b 整除，b 的可能值是2，4. 经检验后知, 只 有ab＝24满足条件； 若 a＝3，则 b是 3 的倍数，且 30 能被 b 整除，b 的可能值是 3，6. 经检验 后知只有ab＝36 合于要求； 若 a＝4，则 b是 4 的倍数，且 40 能被 b 整除，b 的可能值是 4，8. 经检验 后它们都不合题意. 若 a＝5，6，7，8，9，经过同样的检验后知，没有符合题意的值. 综上所述知：“虎威”代表的两位数 11，12，15，24，36.第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学组） 一、填空题（每小题 10分，共80 分） 1．在10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中球的个数不能少于11，不能是 17， 也不能是 6 的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球. 2．有五种价格分别为2元、5 元、8元、11元、14元的礼品，以及五种价 格分别为3 元、6元、9 元、12 元、15 元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒，共 有 种不同的价格. 3. 汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行 开往甲站, 途中 A与 B相遇 20 分钟后再与C 相遇. 已知 A、B、C 的速度分别 是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km. 1 1 1 1 1 1 4. 将 , , , , , 和这6 个分数的平均值从大到小排列, 则这个平 2 3 4 5 6 7 均值排在第 位. 5. 若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有 个. 6. 图 Q-11 所示的立体图形由 10 个棱长为 1 的立方块搭成, 这个立体 图形的表面积为 . 图 Q-11 7. 数字卡片“3”、 “4”、 “5”各 10 张，从中任意选出 8 张，它们的数 字和是 31，则最多有 张是卡片“3”. 8. 能同时表示成连续 9 个、10 个和 11 个非零自然数的和的最小自然数 是 . 二、 解答下列各题 (每题 10分，共40 分, 要求写出简要过程) 9. 图Q-12 中有5个由 4个 1×1的小正方格组成的 不同形状的硬纸板. 问能用这5 个硬纸板拼成图 Q-12 中 图 Q-124×5 的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 请简述理由. 10. 图 Q-13 中，ABCD是一个梯形，且AB//CD，三 DC 角形ABO和三角形 OCD的面积分别是16 和4，求 . AB 图 Q-13 11. 长度为L 的一条木棍，分别用红、蓝、黑线将它等分为8，12 和 18 段， 在各划分线处将木棍锯开，问一共可以得到多少段？其中最短的一段的长是多 少？ 12. 华罗庚爷爷出生于1910 年 11月12 日. 将这些数字排成一个整数, 并且 分解成19101112116316424, 请问这两个数 1163 和16424中有质数吗? 并说 明理由. 三、 解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程） 13. 一批货物重13.5 吨，每包货物重量不超过350 千克，请问：能否用11 辆载重为1.5 吨的小货车一次运走？并对你的结论加以说明. 14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的 两位数.第十五届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C（小学组） 一、 填空题（每小题 10分，共80 分） 1. 在10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，也不能是 16，还不能是3 的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球. 2. 有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品，以及五种价 格分别为3 元、5元、7 元、9 元、11元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒， 共 有 种不同的价格. 3. 汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行 开往甲站, 途中 A与 B相遇 20 分钟后再与C 相遇. 已知 A、B、C 的速度分别 是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km. 4. 以100 为分母的所有最简真分数的和等于 . 5. 一个自然数可以表示为两个连续的非零自然数之和，还可以表示为三个 连续的非零自然数之和，就称这个自然数为“好数”，那么不大于 2011 的自然 数中最大的“好数”为 . 6. 在一条 3000m长的新公路的一侧，从一端开始等距离立电线杆，按原设 计，电线杆间隔 50m， 已挖好了坑. 若间隔距离改为 60m， 则需要重新挖 个坑， 有 个原来挖好的坑将废弃不用. 7. 数字卡片“3”、“4”、“5”各10 张，从中任意选出 8张，使它们的数字和是 27，则最多有 张是卡片“3”. 1 1 1 1 1 8. 若将算式      的值化为小数，则小数 12 34 56 78 20072008 点后第 1个数字是 .二、解答下列各题 (每题 10 分，共40 分, 要求写出简要过程) 9. 图Q-14中有5个由4个1×1的小正方格组成的 不同形状的硬纸板. 问能用这 5 个硬纸板拼成图 Q-14 中4×5 的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不 图Q-14 能, 请简述理由. 10. 足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜 队得3分，负队得0 分，平局两队各得 1分. 若 A，B，C，D四支球队的总分分 别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？ 11. 甲、乙两人轮流从1，2，3，…，100，101 这 101 个自然数中每次划掉 9个数，经过 11 次后，还剩下两个数. 如果甲第一个划数，请问甲是否有方法使 得最后剩下的两个数之差是55？并说明理由. 12. 华罗庚爷爷出生于1910 年 11月12 日. 将这些数字排成一个整数, 并且 分解成19101112116316424, 请问这两个数 1163 和16424中有质数吗? 并说 明理由. 三、解答下列各题（每小题 15 分，共30 分，要求写出详细过程） 13. 图 Q-15 中，直角三角形ABC的两条直角边AB和BC的长度分别为3 和 4. 将三角形ABC绕点C顺时针旋转至ABC，使得 AC与BC在直线l上. AA 交 1 1 1 1 AD BC于D，求 . 1 AD 1 图Q-15 14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的 两位数.第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C 解答（小学组） 一、填空题 1. 在10 个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球的个数不能少于11，也不能是 16，还不能是3 的倍数，并且彼此不同，那么至少需要 个乒乓球. 【答案】190. 【解答】至少需要11131417192022232526190(个). 2. 有五种价格分别为 2 元、5 元、8 元、11 元、14 元的礼品，以及五种价 格分别为3 元、5元、7 元、9 元、11元的包装盒. 一个礼品配一个包装盒， 共 有 种不同的价格. 【答案】19. 【解答】任意的搭配共有25种，其中有价格重复的情况. 由于礼品和包装盒的价格分别是公差为3和 2 的等差数列，故当礼品和包装 盒的价格分别差 6 时，会出现价格重复的情况. 共有 3×2=6 种，所以不同价格 的礼品共有25-6=19 种. 3. 汽车 A 从甲站出发开往乙站, 同时汽车 B、C 从乙站出发与 A 相向而行 开往甲站, 途中 A与 B相遇 20 分钟后再与C 相遇. 已知 A、B、C 的速度分别 是每小时90km, 80km, 60km, 那么甲乙两站的路程是 km. 【答案】425. 【解答】设 A与 B出发 t 小时后相遇, 两地距离为s, 则 1 (9080)t s, (6090)(t ) s . 3 解之得 s 1702.5425. 4. 以100 为分母的所有最简真分数的和等于 .【答案】20. p 【解答】令以 100 为分母的最简真分数为 ，且1 p99. 100 p 因为 是最简分数, 所以 p和 100 不能有大于 1 的公因数, 即 p 不能有因 100 数 2 和 5. 以2 为因数小于100 的数(偶数)之和为: 246969849502450. 以5 为因数小于100 的数之和为: 5 510159095 1920950. 2 以10 为因数小于100 的数之和为: 10 102090 910450. 2 小于100 且不以2或 5 为因数的数之和为 24509504502950. 所以以100 为分母的最简真分数的和等于  1 2 99  2950 1 99100 .      29.5 20. 100 100 100 100 100 2 5. 一个自然数可以表示为两个连续的非零自然数之和，还可以表示为三个 连续的非零自然数之和，就称这个自然数为“好数”，那么不大于 2011 的自然 数中最大的“好数”为 . 【答案】2007. 【解答】设“好数”可以表示为m，m1两个非零自然数的和，也可以表 示为n，n1，n2个非零自然数的和. 所以 2m13n3，即 3 m n1. 2 所以2|n.1 因为3n32011，所以 n669 . 因为2|n，所以n的最大值为 668，此 3 时 3n32007. 所以不大于2011 的非零自然数中最大的“好数”为2007. 6. 在一条3000m长的新公路的一侧， 从一端开始等距离立电线杆，按原 设计， 电线杆间隔50m， 已挖好了坑. 若间隔距离改为60m， 则需要重新 挖 个坑， 有 个原来挖好的坑将废弃不用. 【答案】40，50. 3000 【解答】原来挖好坑的个数为 161(个). 50 3000 现需 151(个)，而 50 与 60 的最小公倍数为 300，即每隔 300 米处 60 3000 的坑应该保留，共有 111个坑被保留，故还需要挖511140 个坑, 300 611150个挖好的坑将被废弃. 7. 数字卡片“3”、“4”、“5”各10 张，从中任意选出 8张，使它们的数字和是 27，则最多有 张是卡片“3”. 【答案】6. 【解答】假设摸出的8 张卡片全是数字“3”，则其和为3×8＝24，与实际 的和 27 相差 3，这是因为将摸出的卡片“4”、 “5”都当成是卡片“3”的缘 故. 用一张卡片“5”和“4”换一张卡片“3”，数字和可分别增加2 和 1. 为了 使卡片“3”尽可能地多，应该多用卡片“5”换卡片“3”, 然后多用卡片“4” 换卡片“3”，现在 3=2+1，因此可用 1 张卡片“5”换卡片“3”，因此可用 1 张卡片“4”换卡片“3”. 这样 8张卡片的数字之和正好等于27. 所以最多可能 有6 张是卡片“3”. 1 1 1 1 1 8. 若将算式      的值化为小数，则小数 12 34 56 78 20072008 点后第 1个数字是 .【答案】4. 【解答】因为 1 1 1 1 1 1 1 9 (  )   (  )  0.45， 12 34 56 20072008 2 34 56 20 且 1 1 1 1 1 1 1 1 5 (  )(  ) (  )    12 34 56 78 20052006 20072008 2 34 12 0.41, 所以小数点后的第1个数字是 4. 二、解答下列各题 9. 图A-21 中有5个由4个 1×1的小正方格组成的 不同形状的硬纸板. 问能用这5个硬纸板拼成图A-21中 4×5 的长方形吗？如果能, 请画出一种拼法；如果不能, 图 A-21 请简述理由. 【答案】不能. 【解答】 假设能拼成4×5 的长方形, 如图A-22小方格黑白相间染色. 其中 黑格、白格各10 个. ① ② ③ ⑤ ④ 图A-22 图 A-23 将五块纸板编号, 如图A-23所示, 除纸板④之外, 其余4张硬纸板每一张都 盖住 2 个黑格, 而④盖住3 个黑格或一个黑格. 这样一来, 由 4个 1×1 的小正方 格组成的不同形状的5 个硬纸板, 只能盖住9或 11 个黑格, 与 10 个黑格不符. 10. 足球队A，B，C，D，E进行单循环赛（每两队赛一场），每场比赛胜队得3分，负队得0 分，平局两队各得 1分. 若 A，B，C，D四支球队的总分分 别是1，4，7，8，请问：E队至多得几分？至少得几分？ 【答案】7, 5. 【解答】 设 A，B，C，D，E 五队的总分分别是a, b, c, d , e, 五队的 总分为S, 则S abcd e20e. 五队单循环共比赛 10 场, 则S 30. 如果有一场踢平, 则总分S 减少 1 分. 因为 a11000, b411113100, c73310, d 83311, 所以比赛至少有 3 场平局, 至多有 5 场平局. 所以305S 307 , 即 2520e27. 故5e7. 事实上, E胜 A, B, 负于 C, 与 D踢平时, e7；E胜 A, 负于 C, 但与B、D 踢平时, e5. 所以 E队至少得5 分, 至多得7分. 11. 甲、乙两人轮流从1，2，3，…，100，101 这 101 个自然数中每次划掉 9个数，经过 11 次后，还剩下两个数. 如果甲第一个划数，请问甲是否有方法使 得最后剩下的两个数之差是55？并说明理由. 【答案】是. 【解答】 甲先划去47 至 55这 9 个自然数，于是还剩下1至 46, 56 至 101 这些数. 将这些数分成以下46 组: (1, 56), (2, 57), (3, 58), …, (45,100), (46, 101). ① 每组的两个数之差都是55.接下来, 如果乙只划上述某组中的一个数，甲就划掉该组的另一个数；如果 乙划掉了某组的两个数, 甲就将未划掉数的另外一组划掉. 由此，甲、两人轮流划数，则最后剩下的两个数一定是①描述的一组, 两数 之差为 55. 所以甲可以采取上述的策略使得最后剩下的两个数之差是55. 12. 华罗庚爷爷出生于1910 年 11月12 日. 将这些数字排成一个整数, 并且 分解成19101112116316424, 请问这两个数 1163 和 16424 中有质数吗? 并说 明理由. 【答案】1163 是质数. 【解答】（1）显然16424 是大于2的偶数, 是合数. （2）如果 1163 是合数, 但不是完全平方数, 则至少有 2个不同的质因数, 因 为113 13311163, 所以, 如果 1163 有 3 个以上不同的质因数, 必有一个小于 11. 但是显然2, 3, 5, 7 都不能整除1163, 11 也不能整除1163, 因此 1163 仅有 2 个不同的大于11 的质因数. 大于 11 的质数有: 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 等等. 既然114731371163372, 1163 的两个不同的质因数一定有一个小于 37, 另一个大于11. 计算 13891157116312611397； 17681156116312411773； 19611159116312731967； 23471081116312192353； 29371073116311892941； 31371143116312713141.所以1163 是质数. 三、解答下列各题 13. 图 A-24 中，直角三角形ABC的两条直角边AB和BC的长度分别为3 和4. 将三角形ABC绕点C顺时针旋转至ABC，使得AC与BC在直线l上. 1 1 1 AD AA 交BC于D，求 . 1 1 AD 1 图A-24 8 【答案】 . 5 【解答】参见图A-25, 作三角形ABC关于轴AB对称的三角形A BC ，连结 1 2 AB ，A B和AC . 1 2 2 A B 1 D B C A l 1 A 2 图A-25 则 ACBACB ACB ACBACB A CB 180. 1 1 1 1 2 所以 A 、C、B 三点共线, 且 2 1 AC 5，BC 4，S 2S 12. 2 1 AAC ABC 2S AC 5 48 S AD S AD 进而 AA 2 C  2  ，即S  . 因为 ACD  ，且 ADB 1  ，所以 S BC 4 AB 1 C 5 S AD S AD ABC 1 CDA 1 BAD 1 1 1 1 1 S S AD ACD AB 1 D  . S S AD CDA CAD 1 1 最终 AD 48 1 8    . AD 5 6 5 1 14. 已知两位自然数“虎威”能被它的数字之积整除，求出“虎威”代表的 两位数. 【答案】11，12，15，24，36. 【解答】两位自然数共有90 个，一个一个地去试算检验它是不是满足条件， 工作量太大，显然需要开动脑筋，缩小试算范围. 设“虎”、“威”两个汉字分表代表的数字为a，b. 显然a, b不等于0. 因为ab10ab，10ab能被ab整除意味着10ab能被 a整除且10ab能 被b 整除. 如果10ab能被 a整除，说明 b 能被a 整除；如果10ab能被 b整除， 说明10a能被b 整除. 这就是说，数字a，b同时要满足两个条件： （1）a整除 b，（2）b 整除 10a。 对满足这两个条件的a，b，进行试算，可以缩小试算的范围。 若a＝1，则 10 能被b 整除，b 的可能值为1，2，5，这时ab＝11，12，15， 它们符合条件； 若a＝2，则 b是偶数，且 20 能被b 整除，b 的可能值是2，4. 经检验后知, 只 有ab＝24满足条件； 若 a＝3，则 b是 3 的倍数，且 30 能被 b 整除，b 的可能值是 3，6. 经检验 后知只有ab＝36 合于要求；若 a＝4，则 b是 4 的倍数，且 40 能被 b 整除，b 的可能值是 4，8. 经检验 后它们都不合题意. 若 a＝5，6，7，8，9，经过同样的检验后知，没有符合题意的值. 综上所述知：“虎威”代表的两位数 11，12，15，24，36.“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组) 总分 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学组） （ 时间: 2011 年 3 月19 日 10:00 ~ 11:00 ） 装 一、选择题 (每小题10 分. 以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文 字母写在每题的圆括号内.) 1. 若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ）. （A）100 （B） 101 （C）102 （D）103 2. 用火柴棍摆放数字0～9 的方式如下： 现在，去掉“ ”的左下侧一根，就成了数字“ ”，我们称“ ”对应 1；去掉“ ”的上下两 订 根和左下角一根，就成了数字“ ”，我们称“ ”对应 3. 规定“ ”本身对应0，按照这样的 规则，可以对应出（ ）个不同的数字. （A）10 （B） 8 （C）6 （D）5 3. 两数之和与两数之商都为6，那么这两数之积减这两数之差（大减小）等于（ ）. 4 1 6 6 （A）26 （B） 5 （C） （D） 7 7 7 49 4. 老师问学生：“昨天你们有几个人复习数学了？” 张：“没有人.” 李：“一个人.” 线 王：“二个人.” 赵：“三个人.” 刘：“四个人.” 老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说 的都是假话.那么，昨天这5 个人中复习数学的有（ ）个人. （A）0 （B） 1 （C）2 （D）3 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷(小学组) 5. 如右图所示，在77方格的格点上，有 7 只机器小蚂蚁, 它们以相同 的速度沿格线爬行到格点 M、N、P、Q（图中空心圆圈所表示的四个位 置）中的某个上聚会. 所用时间总和最小的格点是（ ）. （A）M （B）N （C）P （D）Q 6. 用若干台计算机同时录入一部书稿，计划若干小时完成. 如果增加 3 台计算机，则只需原定时 5 间的 75%；如果减少 3 台计算机，则比原定时间多用 小时. 那么原定完成录入这部书稿的时 6 间是（ ）小时. 5 10 5 11 （A） （B） （C） （D） 3 3 6 6 二、填空题(每小题 10 分，满分40 分.) 7. 右图由4个正六边形组成，每个面积是6，以这4 个正六边形的顶点为顶点， 可以连接面积为4的等边三角形有 个. 8. 甲、乙两车分别从 A，B 两地同时出发，相向而行，3 小时相遇后，甲掉头返回A 地，乙继续前 行. 甲到达A地后掉头往B 行驶，半小时后和乙相遇.那么乙从A到B共需 小时. 9. 如右图所示，梯形 ABCD的面积为 117 平方厘米. AD∥BC， EF 13厘米，MN 4厘米，又已知 EF MN 于 O. 那 么 阴 影 部 分 的 总 面 积 为 平方厘米. 10. 在右面的加法竖式中，如果不同的汉字代表不同的数字，使得算 式成立，那么四位数华杯初赛的最大值是 . “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888第十六届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题（小学组）答案 一、选择题（每小题 10 分，满分 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D B B A 二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分.） 题号 7 8 9 10 答案 8 7.2 65 1769 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学组) 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学组） （时间: 2011 年 4月 16 日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1 3 5 7 1. 1 3 5 7  . 2 4 6 8 1 2. 工程队的8 个人用30天完成了某项工程的 , 接着增加了4 个人完成其余的 3 工程, 那么完成这项工程共用了 天. 3. 甲乙两人骑自行车同时从A地出发去B地, 甲的车速是乙的车速的1.2倍. 乙 1 骑了 5 千米后, 自行车出现故障, 耽误的时间可以骑全程的 . 排除故障后, 6 乙的速度提高了 60%, 结果甲乙同时到达B地. 那么 A, B两地之间的距离为 千米. 4. 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟, 在圆形钟面的边界, 每分钟的刻度 处都有一个小彩灯. 晚上 9 时35 分 20 秒时, 在分针与时针所夹的锐角内有 个小彩灯. 5. 在边长为1厘米的正方形ABCD中, 分别以A, B, C, D为 圆心, 1厘米为半径画四分之一圆, 交点E, F, G, H, 如图 所示. 则中间阴影部分的周长为 厘米（. 取圆周率 3.141） 6. 用40 元钱购买单价分别为2元、5 元和11 元的三种练习本, 每种至少买一本, 而且钱恰好花完. 则不同的购买方法有 种. 7. 已知某个几何体的三视图如右图, 根据图中标示的尺寸（单位: 厘米）, 这个几何体的体积是 （立方 厘米）. - 1 - 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学组) 8. 将自然数 1~22 分别填在下面的“□”内(每个“□”只能填一个数), 在形成 的 11 个分数中, 分数值为整数的最多能有 个. 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 长方形 ABCD 的面积是 2011 平方厘米. 梯形 AFGE 的顶点F 在BC 上, D是腰 EG 的中点. 试 求梯形AFGE 的面积. 10. 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数, 其中每个数字是由横竖放置的七支荧光管显示, 如右图所示. 某公交车的数字显示器有两支坏了的荧光管不亮, 显示的线 路号为“351”, 则该公交车的线路号有哪些可能? 11. 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 则这个月的 20 日可能是 星期几? 12. 以[x]表示不超过x 的最大整数, 设自然数n满足  1   2   3  n1  n      2011,           15 15 15  15  15 则 n 的最小值是多少? 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字代表不同的 数字. 问: 满足要求的不同算式共有多少种? 14. 如图, 两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点 A, 而一只 爬虫处在 A 的体对顶点G. 假设蜘蛛和爬虫均以同样 的速度沿正方体的棱移动, 任何时候它们都知道彼此 的位置, 蜘蛛能预判爬虫的爬行方向. 试给出一个两 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 - 2 -第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学组) 只蜘蛛必定捉住爬虫的方案. - 3 -第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组） 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A参考答案（小学组） 一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 23 8000 答案 18 . 70 45 12 2.094 5 10 24 3 二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程) 9. 答案: 2011 平方厘米. 解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H. 则 △DFG 绕点D逆时针旋转180o与△DHE 重合, DF=DH, S  S . AFD ADH 梯形 AEGF 的面积 =△AFH的面积=2×△AFD的面积 =长方形ABCD的面积 =2011（平方厘米）. 10. 答案：13 种可能. 解答. 分几种情形考虑. 第一种情形: 线路号的数字中没有荧光管坏了. 只有 351 一个可能线路号. 第二种情形: 线路号的数字中有1 支荧光管坏了. 坏在第一位数字上, 可能的数字为9, 线路号可能是951; 坏在第二位数字上, 可能的数字为6,9, 线路号可能是361, 391; 坏在第三位数字上, 可能的数字为 7, 线路号可能是357. 第三种情形: 线路号的数字中有2 支荧光管坏了. 都坏在第一位数字上, 可能的数字为8, 线路号可能是851; 都坏在第二位数字上, 可能的数字为8, 线路号可能是381; “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组） 都坏在第三位数字上, 可能的数字为4, 线路号可能是354; 坏在第一、二位数字上, 第一位数字可能的数字为 9，第二位数字可能的 数字为6，9, 线路号可能是961， 991; 坏在第一、三位数字上, 第一位数字可能的数字为 9，第三位数字可能的 数字为7, 线路号可能是957; 坏在第二、三位数字上,第二位数字可能的数字为 6，9, 第三位数字可能 的数字为 7，线路号可能是367, 397. 所以可能的线路号有13 个: 351,354,357,361,367,381,391,397,851,951,957,961,991. 11. 答案: 3, 5. 解答. 设这个月的第一个星期日是 a 日（1a7）, 则这个月内星期日的日期 是7ka, k 是自然数, 7ka31. 要求有三个奇数. 当 a=1 时, 要使7k+1是奇数, k 为偶数, 即k 可取 0, 2, 4 三个值, 此时, 7ka7k1 分别为 1, 15, 29, 这时20 号是星期五. 当a=2时, 要使7k+2是奇数, k为奇数, 即k可取1, 3两个值, 7k+2不可能有 三个奇数. 当 a=3 时, 要使7k+3是奇数, k 为偶数, 即 k 可取 0, 2, 4 三个值, 此时 7ka7k3 分别为 3, 17, 31, 这时20 号是星期三. 当4a7时, 7ka不可能有三个奇数. 12. 答案: 253. 解：令m15k, k 是自然数, 首先考虑满足下式的最大的m, “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组）  1   2   3  m1 m      2011.           15 15 15  15  15 于是  1   2   3  m1 m               15 15 15  15  15 015115215(k 1)15k 15k(k 1) 15k2 13k  k   2011. 2 2 因此 15k2 13k 4022. 又 15172131741144022, 15162131636324022, 得知 k 最大可以取16. 当k 16时, m=240. 注意到这时 15k2 13k 3632 2011 2011 19516123. 2 2 注意到  1   2  16151 1615            15 15  15   15  16151 16152 161512 161513              15   15   15   15  18161613 2024 2011 而  1   2   3  161512    18161612 2008 2011.         15 15 15  15  “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组） 所以 253 是满足题目要求的n 的最小值. 三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程) 13. 答案: 312 解答. 由于2+0+1+1=4 且 0+1+2+3+4+6+7+8+9=40, 4≡40(mod 9), 所以, 九个 不同的汉字代表的数字：0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9. 易知：40-4=36, 36÷9=4（次）, 说明此算式共发生四次进位. “4=2+2=1+1+2=1+2+1” 显然：①华=1, “4=2+2”无解 ②华=1, “4=1+1+2”有解 A:28+937+1046=2011, 可组成算式36 种（6×6×1=36） B：69+738+1204=2011, 可组成算式48 种（6×4×2=48） C：79+628+1304=2011, 可组成算式48种（6×4×2=48） ③华=1, “4=1+2+1”有解 A：46+872+1093=2011, 可组成算式36 种（6×6×1=36） B：98+673+1240=2011, 可组成算式72 种（6×6×2=72） C：97+684+1230=2011, 可组成算式72 种（6×6×2=72） 总计：72×3+96=216+96=312（种）. 14. 解答. 如左下图, 设 M, N, P 分别为棱 GC, GF, GH 的中点, M', N', P' 分别为棱 AE, AD, AB 的中点, O为正方体的中心(长方形 BDHF 的中心). “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案（小学组） (1) 第一只蜘蛛甲可以把爬虫控制在右上图所示的范围内. 首先蜘蛛甲做与爬虫关于点O的对称方向的移动, 不妨设爬虫由G沿棱GC 向点M移动, 蜘蛛甲由A沿棱AE向点M'移动, 爬虫被限制在GM上. 当爬虫到 达点 M 时, 蜘蛛甲也同时到达点M'. 然后蜘蛛甲改变策略, 做与爬虫关于平面 BDHF 对称的方向移动. a) 当爬虫到达点B, D, F, H 时, 蜘蛛甲捉住爬虫. b) 当爬虫未到达点B, D, F, H 时, 爬虫被控制在左上图所示的范围内. (2) 蜘蛛乙先移动到点 G, 由于右上图无环路, 蜘蛛乙可以跟在爬虫后面, 总可 以捉住爬虫. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B(小学组) 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学组） （时间: 2011 年 4月 16 日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 3 5 7 9 1. 3 5 7 9 . 4 6 8 10 2. 将120名男生和140名女生分成若干组, 要求每组中的男生数相同, 女生数也 相同, 则最多可以分成 组. 3. A, B两地相距500 千米, 甲、乙两人同时骑自行车从 A地出发去 B地. 甲每 天骑 30 千米, 乙每天骑 50 千米, 但乙骑一天休息一天. 第 天的行程 结束时, 乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍. 4. 三个牧人在一起, 甲对乙说：“如果把你的羊给我一只, 然后把我的羊总数的 五分之一给你, 我们两个的羊就一样多了.”甲对丙说：“如果把你的羊给我两 只, 然后把我的羊总数的七分之二给你, 我们两个的羊就一样多了. ”那么三 个人羊的总数最少是 . 5. 如右图, 两条线段将边长 10 厘米的正方形分为两个高度 相等的直角梯形S , S 和一个直角三角形, 其中两个梯形 1 2 的面积相差 10 平方厘米. 那么图中所示的直角三角形的 边长x= 厘米. 6. 用同一种颜色对44方格的 6 个格子进行涂色, 如果某列有 涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色, 相邻两列 中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右 图）. 那么共有 种涂色的图案. 7. 已知某个几何体的三视图如右图, 根据图中标示的尺寸（单位: 厘米）, 这个几何体的体积是 （立方 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 - 1 - 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B(小学组) 厘米）. 8. 不能写成3 个不相等的合数之和的最大奇数是 . “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 - 2 -“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B(小学组) 二、解答下列各题 (每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程) 9. 长方形ABCD 的面积是416 平方厘米. 梯形AFGE 的顶点 F 在 BC 上, D 是腰 EG 的中点. 试求梯形 AFGE 的面积. 10. 某年级一、二两个班在植树节进行植树活动, 两个班植树的总棵数相同, 都 在 250～300 棵之间. 两个班都有一人不植树, 为大家送水, 一班的其他人 每人植树 7棵, 二班的其他人每人植树13棵. 求这两个班的总人数. 11. 求所有满足如下条件的四位数n: (1) n的第一位和第三位数字相同; (2) n的 第二位和第四位数字相同; (3) n 的各位数字的乘积是n 2的约数. 12. 100 名运动员的编号是从 1 到 100. 若每个运动员在黑板上写下自己编号中 的最大奇因子, 那么所有运动员在黑板上写下的数的总和是多少? 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 一个长 40、宽 25、高 50 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水，深 度为 a, 其中0a50. 现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面, 问 放入铁块后水深是多少? 14. 在下面的加法竖式中, 不同的汉字可以代表相同的数字, 那么满足要求的 不同算式共有多少种? “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 - 3 -“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B(小学组) “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 - 4 -“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学组） 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B 参考答案（小学组） 一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 43 1000 答案 27 20 15 43 4 7 17 120 3 二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程) 9. 答案: 416. 解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H. 则△ DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o 与△DHE 重合, DF=DH. 梯形 AEGF 的面积 =△AFH的面积=2×△AFD的面积 =长方形ABCD的面积 =416（平方厘米）. 10. 答案：62. 解答. 设一班有x 人，二班有y人. 则 7(x1)13(y1), 所以，13|(x1), 7|(y1). 于是 x13m1, y 7m1, 其中m 是自然数. 因为 2507(x1)13(y1)300, 所以 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学组） 25091m300, 解得 m3. 最终得到 xy 13m17m162. 11. 答案: 1111, 1212, 2424, 3636, 1515. 解答. 设nabab101ab. 依题(3), 有a2b2 |n2，所以ab|n，即ab|101ab. 由于 101 是质数， (ab,101)1，故ab|ab，即ab|(10ab)，于是有 a|b 且 b|10a. 讨论： I. 当ba时，a2 |11aa|11. a b1n 1111 1 II. 当b2a时，2a2 |12a  a|6 i. a 1,b2n 1212 2 ii. a  2,b  4 n  2424 3 iii. a 3,b6n 3636 4 III. 当b5a时，5a2 |15aa|3. a 1,b 5 n 1515. 5 12. 答案: 3344. 解答. 每一个自然数n都可以表示成n  2rg, 其中 r 0, g 是奇数, 是n的最大 奇因子. 现在将自然数1～100 如下分类. 0类 (r 0): 1,3,5,…,99, 和为135992500. 1类 (r 1): 2,6,10,…,98, 奇因子之和为13549625. 2类 (r 2): 4,12,20,…,100, 奇因子之和为13525169. 3类 (r 3): 8,24,40,…,88, 奇因子之和为1351136. 4类 (r 4): 16,48,80, 奇因子之和为1359. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学组） 5类 (r 5): 32,96, 奇因子之和为134. 6类 (r 6): 64, 奇因子为 1. 因此，所有运动员在黑板上写下的数之和是3344. 三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程) 13. 解答. 由题设知， 水箱底面积S ＝40×25＝1000． 水箱 水箱体积V =1000×50＝50000， 水箱 铁块底面积S ＝10×10＝100． 铁 铁块体积V =10×10×10＝1000. 铁 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为50 时， 1000a＋1000＝50000, 得 a＝49． 所以，当 49≤a≤50时，水深为 50（多余的水溢出）． （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10 时， 1000a＋1000＝10000, 得 a＝9． a×40×25+10×10×10 所以，当 9≤a＜49 时，水深为 = a+1. 40×25 （3）由（2）知，当0＜a＜9时，设水深为x，则 10 1000x＝1000a＋100x．得x＝ a． 9 10 答：当 0＜a＜9时，水深为 a；当 9≤a＜49 时，水深为a+1；当 49≤a≤50 9 时，水深为 50. 14. 答案: 100. 解答. 等式成立时有 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学组） 1793201116949华杯决赛2011160401811. 进而得到, 华=1, 杯=7 或8. (1) 当杯=8 时, 共 72种情况. 10决赛日月201118001604011. ① 决=1 时, 赛, 月, 日中有一个为1, 其它为 0, 共3 种情况. ② 决=0 时, 赛+月+日=11, 赛=0, 月+日=11 有 8种情形; 赛=1, 月+日=10 有 9种情形; 赛分别为2,3,…9时, 对应的情形为10,9, …,3, 计 52 种情形 (2) 当杯=7 时, 共 28种情况. 10决赛日月2011170016040111. 不可能有决9的情况, 否则需要, 赛+月+日要大于30, 所以决=9. 此时 赛+月+日=21, 赛不能小于3, 否则要求, 月+日大于18. 赛分别为3,4,…9时, 对应的情形为1, 2, …, 7, 计 28 种情形 综合上述讨论, 满足要求的不同算式共有100 种. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学组) 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C（小学组） （时间: 2011 年4 月 16日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 3 5 7 1. 3 5 7 = . 4 6 8 2 2. 工程队的 8个人用30 天完成了某项工程的 , 接着增加了4个人完成其余 3 的工程, 那么完成这项工程共用了 天. 3. 甲乙两人骑自行车同时从 A 地出发去 B 地, 甲的车速是乙的车速的 1.2 倍. 1 乙骑了 4 千米后, 自行车出现故障, 耽误的时间可以骑全程的 . 排除故障 6 后, 乙的速度提高了 60%, 结果甲乙同时到达 B 地. 那么 A, B 两地之间的 距离为 千米. 4. 在火车站的钟楼上装有一个电子报时钟, 在圆形钟面的边界, 每分钟的刻 度处都有一个小彩灯. 晚上 9时 37 分20 秒时, 在分针与时针所夹的锐角内 有 个小彩灯. 5. 在边长为 2厘米的正方形ABCD中, 分别以A, B, C, D为 圆心, 2 厘米为半径画四分之一圆, 交点 E, F, G, H, 如图 所示. 则中间阴影部分的周长为 厘米.（取圆周率 3.141） 6. 用同一种颜色对44方格的 7 个格子进行涂色, 如果某列有 涂色的方格则必须从最底下的格子逐格往上涂色, 相邻两列 中左侧的涂色的方格数大于或等于右侧涂色的方格数（如右 图）. 那么共有 种涂色的图案. “华杯赛”组委会办公室- 1 咨- 询电话：4006500888 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学组) 7. 已知某个几何体的三视图如右 图, 根据图中标示的尺寸（单 位: 厘米）, 这个几何体的体积 是_______（立方厘米）. 8. 公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数, 其中每个数字是由横竖放 置的七支荧光管显示, 如下图所示. 某公交车的数字显示器有一支坏了的荧光管不亮, 显示的线路号为“351”, 则可能的线路号有 个. 二、解答下列各题 (每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程) 9. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字可以代表相 同的数字, 使得算式成立. 在所有满足要求的 算式中, 四位数华杯决赛的最小值是多少? 10. 长方形 ABCD 的面积是 70 平方厘米. 梯形 AFGE的顶点F在BC上, D是腰EG的中点. 试 求梯形AFGE 的面积. 11. 求不能写成3个不相等的合数之和的最大奇数. 12. 设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 则这个月的 21 日可能是 星期几? 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 以[x]表示不超过x 的最大整数, 设自然数n满足  1   2   3  n1  n       2000,           15 15 15  15  15 “华杯赛”组委会办公室- 2 咨- 询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学组) 则 n 的最小值是多少? 14. 一个长40、宽25、高60 的无盖长方体容器（厚度忽略不计）盛有水, 深度 为 a, 其中0a60. 现将棱长为 10 的立方体铁块放在容器的底面, 问放 入铁块后水深是多少? “华杯赛”组委会办公室- 3 咨- 询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C参考答案（小学组） 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C 参考答案（小学组） 一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 答案 17 40 36 11 4.188 7 9000 5 24 二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程) 9. 答案: 1000 解答. 因为华杯决赛是四位数, 所以不会小于1000. 当 华杯决赛=1000, 十六届=990, 兔年=21 时题目要求的等式成立. 10. 答案: 70. 解答. 连接FD的直线与AE的延长线相交于H. 则△ DFG 绕点 D 逆时针旋转 180o 与△DHE 重合, DF=DH. 梯形 AEGF 的面积 =△AFH的面积=2×△AFD的面积 =长方形ABCD的面积 =70（平方厘米）. 11. 答案: 17 解答. 合数有： 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，……. 因为4 + 6 + 9 = 19, 所以19 能写成3个不相等的合数之和. 大于 19的奇数n 可 以表示成n=19+2k, k 是非零自然数, 进而 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C参考答案（小学组） n=4+9+(6+2k). 注意6+2k 为大于2 的偶数, 是合数, 所以不小于19的奇数都写成3个不相等的 合数之和. 另外, 17 不能写成3 个不相等的合数之和. 12. 答案: 4, 6. 解答. 设这个月的第一个星期日是 a 日（1a7）, 则这个月内星期日的日期 是7ka, k 是整数, 7ka31. 要求有三个奇数. 当 a=1 时, 要使7k+1是奇数, k 为偶数, 即k 可取 0,2,4 三个值, 此时, 7ka7k1 分别为 1, 15, 29, 这时21 号是星期六. 当a=2时, 要使7k+2是奇数, k为奇数, 即k可取1, 3两个值, 7k+2不可能有 三个奇数. 当 a=3 时, 要使7k+3 是奇数, k 为偶数, 即k 可取 0, 2, 4 三个值, 此时 7ka7k3 分别为 3, 17, 31, 这时21 号是星期四. 当4a7时, 7ka不可能有三个奇数. 三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程) 13. 答案: 252. 解：令m15k, k 是自然数, 首先考虑满足下式的最大的m,  1   2   3  m1 m      2000.           15 15 15  15  15 于是 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C参考答案（小学组）  1   2   3  m1 m               15 15 15  15  15 015115215(k 1)15k 15k(k 1) 15k2 13k  k   2000. 2 2 因此 15k2 13k 4000. 又 15172 131741144000, 15162 131636324000, 得知 k 最大可以取16. 当k 16时, m=240. 注意到这时 15k2 13k 3632 2000 2000 18416118. 2 2 注意到  1   2  16151 1615            15 15  15   15  16151 16152 161511 161512              15   15   15   15  18161612 2008 2000 而  1   2   3  161511    181616111992 2000.         15 15 15  15  所以 252 是满足题目要求的n 的最小值. 14. 解答. 由题设知 水箱底面积S ＝40×25＝1000． 水箱 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C参考答案（小学组） 水箱体积 V =1000×60＝60000， 水箱 铁块底面积S ＝10×10＝100． 铁 铁块体积V =10×10×10＝1000. 铁 （1）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为60 时， 1000a＋1000＝60000, 得 a＝59． 所以，当 59≤a≤60时，水深为 60（多余的水溢出）． （2）若放入铁块后，水箱中的水深恰好为10 时， 1000a＋1000＝10000, 得 a＝9． a×40×25+10×10×10 所以，当 9≤a＜59时，水深为 = a+1. 40×25 （3）由（2）知，当0＜a＜9时，设水深为x，则 10 1000x＝1000a＋100x．得x＝ a． 9 10 答：当 0＜a＜9时，水深为 a；当 9≤a＜59时，水深为a+1；当 59≤a≤60 9 时，水深为 60. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D(小学组) 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 D（小学组） （时间: 2011 年 4月 16 日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 4 6 8 10 1. 3 5 7 9 = . 5 7 9 11 2. 丫丫一家3口, 加上丫丫的表弟, 今年四人年龄之和为95岁. 爸爸比妈妈大4 岁, 丫丫比表弟大3岁. 8年前, 他们的年龄之和为65岁. 则爸爸今年_______ 岁. 3. 两个非零自然数的和是 210, 它们的最小公倍数是 1547, 则它们的乘积 是 . 4. A, B两地相距600 千米, 甲、乙两人同时骑自行车从 A地出发去 B地. 甲每 天骑40 千米, 乙每天骑 60 千米, 但乙骑一天休息一天. 第 天的行程 结束时, 乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍. 5. 如图所示, 四边形ABCD与四边形 CPMN 都是平行四边形, 若三角形DFP与三角形 AEF 的面积分别是 22 和 36, 则三角形 BNE 的面积为_______. 6. 某班植树节植树, 分为 3 个组, 第一组每人植树 5 棵, 第二组每人植树 4 棵, 第三组每人植树 3 棵. 已知第二组人数是第一、三两组人数之和的三分之一, 植树棵数比第一、三两组棵数之和少72 棵, 则该班级至少有_______人. 7. 111011001100011000001111的末8 位数字依次是_______. 8. 在银行 ATM 机取钱时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作, 密码是 000000 到999999 中某一个 6位数码. 某人取钱时忘记了密码, 只记得密码中 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 - 1 - 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D(小学组) 有1, 3, 5, 7, 9 并且没有别的数字. 如果不限制输错密码的次数, 某人最多输 入_______次不同的密码就能进入下一步操作. - 2 -“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D(小学组) 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字可以代 表相同的数字, 使得算式成立. 在所有满 足要求的算式中, 四位数华杯决赛的最大 值是多少? 10. 如 图 所 示 , AB//CE , AC//DE , 且 AB AC 5 , CE  DE 10. 若三角形COD的面积为 10, 求四边形 ABDE的面积. 11. 老师为自己班级的50 名学生做了50 张分别写着 1 到50 的数字卡片, 每张 卡片都是一面红色, 另一面蓝色, 两面都写着相同的数字. 老师把这 50 张 卡片都蓝色朝上地摆在桌上, 对同学们说:“请你们按顺序逐个到前面来翻 卡片, 规则是: 只要卡片上的数字是你自己序号的倍数, 你就把它们都翻过 来, 蓝的就翻成红的, 红的就翻成蓝的.” 那么, 当全体学生都按老师的要 求翻完以后, 红色朝上的卡片有多少张? 12. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体 的棱长最大等于多少？ 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 2011 年4 月 16日是星期六. 求二十一世纪中二月份有五个星期日的年份. 5 14. 两个最简分数, 较大的减去较小的差是 , 两个分子的最大公约数等于两 6 个分子的差, 两个分子的最小公倍数是1050. 求这两个最简分数. “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 - 3 -“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D(小学组) “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 - 4 -“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D参考答案（小学组） 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 D 参考答案（小学组） 一、 填空题 (每小题 10 分，共 80 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 27 1577 42 10829 12 14 32 87654321 1800 3465 二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程) 9. 答案: 1901 解答. 因为华杯决赛是四位数, 十六届是三位数, 兔年是两位数, 所以等式成 立时有 华杯决赛=2011十六届兔年 2011100101901. 当 华杯决赛=1901, 十六届=100, 兔年=10 时题目要求的等式成立. 10. 答案: 52.5. 解答：因为AC//DE，所以S  S . AOE COD OC S OE S S 又  COD ，  AOE  COD ， CE S CE S S CDE EAC EAC OC S 所以  EAC . OE S CDE 因为三角形EAC在边AC上的高和三角形CDE在边DE 上的高相等， “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D参考答案（小学组） OC S AC 1 所以  EAC   . OE S DE 2 CDE S OC 1 因为 COD   , 所以S 2S 20. S OE 2 DOE COD DOE S OC 1 1 1 因为 AOC   , 所以S  S  S 5. S OE 2 AOC 2 AOE 2 COD AOE 所以S  S S 15. ACE AOC AOE S AB 1 因为AB//CE，所以 ABC   ， S CE 2 ACE 1 即S  S 7.5. ABC 2 ACE 所以S  S S S S 52.5. ABCDE ABC ACE COD DOE 11. 答案: 7. 解答. 每张卡片, 所写数字有几个约数就被翻过几次. 被翻了奇数次的卡片红色 面朝上, 而只有完全平方数才能有奇数个约数, 所以本题也就是求写有完全平方 数的卡片有几张, 而 112 22 32 42 52 62 72 50, 所以红色朝上的卡片共有7 张. 12. 答案： 11厘米. 解答. 如图, “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D参考答案（小学组） 球的内接正方体ABCD-A B C D 的顶点在球面上, 它的（体）对角线 AC 就是球 1 1 1 1 1 的直径, 即 AC 21020(厘米). 1 由图形的对称性, 可知 AAC 90, ABC 90. 设正方体的棱长为a 即 1 1 1 1 1 AA  AB  BC a, 连续用勾股定理两次, 得到 1 1 1 1 1 AC2 2a2, AC2  AA2AC2 3a2, 1 1 1 1 1 1 则 400 1 3a2 202 400, a2  133 . 3 3 显然, 只要一个正方体的棱长a为整数, 满足a2 133, 那么这个正方体一定可 以放入球中, 因为 112 121133144122. 故所求的棱长为整数的正方体的 最大棱长等于11 厘米. 三、解答下列各题 (每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程) 13. 答案: 2004, 2032, 2060, 2088. 解答. 根据题意, 符合题意的年份必定是闰年(二月有 29 天), 并且二月一日恰好 是星期日, 所以得先找到二十一世纪第一个二月一日是星期日的年份. 根据题意, 2011 年 4月 16 日是星期六, 可倒推得 2004 年 2月 1日是星期日. 这样可按每隔 47(28)年为一个周期推算, 二十一世纪符合题意的年份有 2004, 2032, 2060 和 2088 年, 共有 4个. 75 70 14. 答案: ， 34 51 am cm 解答. 设这两个最简分数为 和 , 其中: bk dk“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D参考答案（小学组） b,d1； （1） a,c1； （2） am,bk1；cm,dk1. （3） 既然m  amcm, 所以有 ac1. （4） 又因为am,cm1050123557，并结合（4），可得到: ① c14， a15，m5，此时， 75 70 5 15 14 1   ，或   ； （5） bk dk 6 bk dk 6 ② c6， a7，m55，此时， 75 65 1   ； （6） bk dk 6 ③ c5， a6，m57，此时， 67 57 1   ； （7） bk dk 6 ④ c2， a3，m557，此时， 357 257 1   ； （8） bk dk 6 ⑤ c1， a2，m3557，此时， 2357 357 1   . （9） bk dk 6 上面第（6）式中， 75 65  7 6  1  5   ，   bk dk bk dk  6 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题D参考答案（小学组） 15 14 1 结合条件（1），必有5 k，即k有约数5，和（3）矛盾. 即   无解. bk dk 6 同样，(7) ，(8) 和 (9) 中，必有7 k , 均和（3）矛盾，即都无解. 仅考虑（5）， 15 14 1 15 14 15d 14b 1 1   ，     ， （10) bk dk 6 bk dk kbd kbd 6 15d 14b 根据（1），（2）和（3），应当有 b,15d 14b1, d,15d 14b1， 此即意味着： k (15d14b)n， （11） 并且（10）变形为 1 1  ，即n,b,d 只能取1，2，3，6. nbd 123 由（3）和（11），可知：n,151,n,141，因此得n1. 同样，b,151， d,141，因此可得：b2,d 3. 所以 bk 215d 14b34，dk 315d 14b51. 75 70 这两个分数是 和 . 34 51 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷〈小学中年级组网络版) 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学中年级组网络版) 〔时间：2012年3月8日19:30 ~ 20:30 〕 一、选择题（每小题 10 分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的， 请将表示正确答案的英文字母写 在每题的圆括号内.） 1.如下图，时钟上的表针从〔1〕转到（2）最少经过了 〔 〕. (A）2小时30分 （B) 2小时45分 （C）3小时30分 （D） 3小时45分 2.在2012年，1月1日是星期日，并且〔 〕. (A）1月份有5个星期三，2月份只有4个星期三 (B) 1月份有5个星期三，2月份也有5个星期三 (C)1月份有4个星期三，2月份也有4个星期三 (D) 1月份有4个星期三，2月份有5个星期三 3.有大小不同的 4个数，从中任取3个数相加，所得到的和分别是180， 197， 208和 222，那么，第二 小的数所在的和一定不是〔〕. (A）180 (B) 197 (C) 208 （D）222 4.四百米比赛进入冲剌阶段，甲在乙前面30米，丙在丁后面60米，乙在丙前面20 米.这时，跑在最前面的 两位同学相差〔 〕米. (A）10 (B) 20 (C) 50 （D）60 5.在右图所示的两位数的加法算式中，已知A＋B＋C＋D＝22 ，则 X十Y ＝〔 〕. (A）2 (B) 4 (C) 7 （D）13 6.小明在正方形的边上标出若干个点，每条边上恰有3个，那么所标出的点最少有 〔 〉个. (A）12 (B) 10 (C) 8 (D)6 二、填空题(每小题10分，满分40分） 1.如右图，用一条线段把一个周长是30cm的长方形分割成一个正方形和一个小的长方形.如果小长方形的周 长是16cm，则原来长方形的面积是_______cm2 2.将10， 15， 20， 30， 40和60填入右图的圆圈中，使A，B，C三个小三角形顶点上的3个数的积都 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 -- 1 --“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 相等.那么相等的积最 大为_________. 9.用3， 5， 6， 18， 23这五个数组成一个四则运算式，得到的非零自然数最小是________. 10.里山镇到省城的高速路全长189千米，途经县城.县城离里山镇54千米.早上8:30 一辆客车从里山镇开往 县城，9:15到达，停留15分钟后开往省城，午前11:00能 够到达.另有一辆客车于当日早上9:00从省城径 直开往里山镇，每小时行驶60千 米.那么两车相遇时，省城开往里山镇的客车行驶了______分钟. 第十七届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题〔小学中年级组网络版）答案 一、选择题 每小题10分，满分60分) 〔 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A B D C C 二、填空题 每小题10分，满分40分） 〔 题号 7 8 9 10 答案 56 18000 1 72 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 -- 2 --“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷〈小学高年级组网络版） 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学高年级组网络版） 〔时间：2012年3月8日19:30 ~ 20:30 〕 一、选择题(每小题10分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的， 请将表示正确答案的英文字母写在 每题的圆括号内.） 1.右图是一个两位数的加法算式，已知已知A＋B＋C＋D＝22 ，则 X十Y ＝〔 〕. (A）2 (B) 4 (C) 7 （D）13 2.已知甲瓶盐水浓度为87%，乙瓶盐水浓度为57%，混合后浓度为6.2%,那么四分之一 的甲瓶盐水与六分之 一的乙瓶盐水混合后的浓度则为〔 〕. (A）7.5% (B) 5.5% (C) 6% (D)6.5% 3.两个数的最大公约数是20，最小公倍数是100，下面说法正确的有〔 〉个. 〔1〕两个数的乘积是2000^ （2）两个数都扩大10倍，最大公约数扩大100倍. （3）两个数都扩大10倍，最小公倍数扩大10倍. 两个数都扩大10倍，两个数乘积扩大100倍. (A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4 4.将39， 41， 44， 45， 47， 52， 55这7个数重新排成一列，使得其中任意相邻的三个数的和 都为3 的倍数.在所有这样的排列中，第四个数的最大值是〔 〕 (A）44 (B) 45 (C) 47 （D）52 5.如图所示，在5X8的方格中，阴影部分的面积为37cm2，则非阴影部分的面积为〔 〕cm2. (A）43 (B) 74 (C) 80 （D）111 6.在由1,3,4,7,9组成的没有重复数字的数中，是9的倍数的有〔 〉个. (A）1 (B) 2 (C) 3 （D）4 二、填空题（每小题10分，满分40分） 7.满足下列两个条件的四位数共有个_______. （1）任意相邻两位数字之和均不大于2； （2）任意相邻三位数字之和均不小于3. 8.在 17□17□17□17□17 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 -- 1 --“华杯赛”官方网站 www.huabeisai.com.cn 的四个口中填入“＋”“－”“×”“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值 是 ______. 9.右图中，180 是一个钝角三角形,BC=6 厘米，AB=5 厘米，BC 边的高 AD 等于4 厘米.若此三角形以每 秒 3 厘米的速度沿DA的方向向上移动，2秒后，此三 角形扫过的面积是_______平方厘米. 10. 一条路上有A， O，B三个地点，O在A与B之间，A与D相距1360米.甲、乙两人同时分别从A和O 点出发向B点行进.出发后第10分钟，甲、乙两人离O点的距离 相等；第40分钟甲与乙两人在B点相遇. 那么O与B两点的距离是_______米. 第十七届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题〔小学高年级组网络版）答案 一、选择题 每小题10分，满分60分) 〔 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B A A D C C 二、填空题 〔 每小题10分，满分40分） 题号 7 8 9 10 答案 1 305 66 2040 “华杯赛”组委会办公室 咨询电话：4006500888 -- 2 --第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛网络版试卷（小学中年级组） 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛网络版试卷（小学中年级组） 一、填空题（每题 10 分, 共 80 分） 1. 计算: 28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝ . 2. 字母A, B, C 分别代表 1~9中不同的数字. 在使得右图的加法算 式成立的所有情形中, 三个字母A, B, C 都不可能取到的数字的 乘积是 . 3. 鸡兔同笼, 共有头 51 个, 兔的总脚数比鸡的总脚数的 3 倍多 4 只, 那么笼中 共有兔子 只. 4. 抽屉里有若干个玻璃球, 小军每次操作都取出抽屉中球数的一半再放回一个 球. 如此操作了 2012次后, 抽屉里还剩有 2个球. 那么原来抽屉里有 个球. 5. 下图是由1平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片. 图中由格点A, B, C, D 为顶点的四边形 ABCD的面积等于 平方分米. 6. 一只小虫沿右图中的线路从 A 爬到 B. 规定: 图中标 示箭头的边只能沿箭头方向行进，而且每条边在同一 路线中至多通过一次. 那么小虫从A到B的不同路线 有 条. 1第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛网络版试卷（小学中年级组） 7. 有一些自然数， 它们中的每一个与7相乘, 其积的末尾四位数都为2012, 那 么在这些自然数中, 最小的数是 . 8. 将棱长为 1 米的正方体木块分割成棱长为 1 厘米的小正方体积木, 设想孙悟 空施展神力将所有的小积木一个接一个地叠放起来, 成为一根长方体“神棒”, 直指蓝天. 已知珠穆朗玛峰的海拔高度为 8844米, 则“神棒”的高度超过珠 穆朗玛峰的海拔高度 米. 二、回答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 写出答案即可） 9. 已知被除数比除数大 78, 并且商是6, 余数是 3, 求被除数与除数之积. 10. 今年甲、乙俩人年龄的和是 70岁. 若干年前, 当甲的年龄只有乙现在这么大 时, 乙的年龄恰好是甲年龄的一半. 问: 甲今年多少岁? 11. 有三个连续偶数, 它们的乘积是一个五位数, 该五位数个位是 0, 万位是 2, 十位、百位和千位是三个不同的数字, 那么这三个连续偶数的和是多少? 12. 在等式 爱国创新包容厚德北京精神 中, 每个汉字代表 0 ～ 9的一个数字, 爱、国、创、新、包、容、厚、德分 别代表不同的数字. 当四位数北京精神最大时, 厚德为多少? 2第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛网络版试卷 (小学高年级组) 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛网络版试卷（小学高年级组） 一、填空题（每题 10 分, 共 80 分） 3  2  5  5 1 1. 算式   2 1.875   0.8751 3  的值为 ． 2  3  6  6 4 2. 小龙的妈妈比爸爸小 3 岁, 妈妈今年的年龄是小龙今年的 9 倍, 爸爸明年的 年龄是小龙明年的 8倍, 那么爸爸今年 岁. 3. 某水池有A, B两个排水龙头. 同时打开两个龙头排水, 30分钟可将满池的水 排尽; 同时打开两个龙头排水10分钟, 然后关闭A龙头, B龙头继续排水, 30 分钟后也可以将满池的水排尽. 那么单独打开 B 龙头, 需要 分钟才 能排尽满池的水. 4. 如右图，圆O的面积为 32，OCAB，AOE=EOD， COF=FOD，则扇形EOF的面积为 . 5. 算式 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 + + + + + + + + + 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 的值的整数部分为 . 6. 右图中, 正方形 ABCD 的面积为 840 平方厘米， AE=EB， BF=2FC， DF 与 EC 相交于 G. 则四边形 AEGD的面积为 平方厘米. 7. 一个自然数无论从左向右读或从右向左读都是一样的数称之为“回文数”，例 如：909. 那么所有三位回文数的平均数是________. - 1 -第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛网络版试卷 (小学高年级组) 8. 将七个连续自然数分别填在五个圆的交点 A, B, C, D, E, F, G处, 使得每个圆上的数的和都相等. 如果 所填的数都大于 0且不大于10，则填在点 G处的数 是 . 二、回答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 写出答案即可） 9. 一只小虫沿右图中的线路从 A 爬到 B. 规定: 图中标 示箭头的边只能沿箭头方向行进，而且每条边在同一 路线中至多通过一次. 问: 小虫从 A 到 B 的不同路线 有多少条? 10. 下图是由1平方分米的正方形瓷砖铺砌的墙面的残片. 问: 图中由格点A，B， C，D为顶点的四边形 ABCD的面积等于多少平方分米? 11. 在等式 爱国创新包容厚德北京精神 中, 每个汉字代表 0 ～ 9的一个数字, 爱、国、创、新、包、容、厚、德分 别代表不同的数字. 当四位数北京精神最大时, 厚德为多少? 12. 求最小的自然数，它恰好能表示成四种不同的不少于两个的连续非零自然数 之和. - 2 -第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试卷A答案（小学中年级组） 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛笔试试题 A 参考答案 （小学中年级组） 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 48 144 120 15 11 6 7 26 二、解答下列各题（每题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 答案: 1. 10.答案: 200. 11.答案: 112. 12.答案: 7, 61. 1第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试卷 A（小学中年级组） 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛笔试试题 A（小学中年级组） （时间: 2012 年4 月21 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 若将一个边长为 6 厘米的正方形盖在一个三角形上, 则两个图形重叠部分的面积占三角形 面积的一半, 占正方形面积的三分之二. 那么这个三角形的面积是 平方厘米. 2. 右图是两个两位数的减法竖式, 其中A, B, C, D代表不同的数字. 当 被 减 数AB取最大值时, AB(CE)(DF) . 3. 某水池有A, B两个水龙头. 如果 A, B同时打开需要30 分钟可将水池注满. 现在A 和 B同 时打开 10 分钟, 即将 A 关闭, 由 B 继续注水 80 分钟, 也可将水池注满. 如果单独打开 B 龙头注水, 需要 分钟才可将水池注满. 4. 将六个数1, 3, 5, 7, 9, 11 分别填入右图中的圆圈内（每个 圆圈内 仅填一个数）, 使每边上三个数的和都等于 17, 则三角形 三个顶 点处的圆圈内所填三数之和为 . 5. 四年级一班用班费购买单价分别为 3 元、2 元、1 元的甲、乙、丙三种文具. 要求购买乙种 文具的件数比购买甲种文具的件数多 2 件, 且购买甲种文具的费用不超过总费用的一半. 若购买的文具恰好用了66 元, 则甲种文具最多可买 件. 6. 如右图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正 方体的棱 爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有 种不同的 走法.第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试卷 A（小学中年级组） 7. 一个车队以4 米/秒的速度缓慢通过一座长 298 米的大桥, 共用115 秒, 已知 每辆车长6 米, 相临两车间隔20 米, 则这个车队一共有 辆车. 8. 有一个长方形, 如果它的长和宽同时增加 6 厘米, 则面积增加了 114 平方厘 米. 则这个长方形的周长等于 厘米. 二、简答题（每题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 扑克牌的点数如图所示，最大是13, 最小是 1. 现小明手里有3 张点数不同的扑克牌, 第一张和第二张扑克牌点数和是 25, 第二 张和第三张扑克牌点数和是 13, 问: 第三 张扑克牌的点数是多少？ 10. 下图是一个净化水装置, 水流方向为从 A 先流向 B, 再流到 C. 原来容器 A-B 之间有10 个流量相同的管道, B-C 之间也有10 个流量相同的管道. 现 调换了 A-B 与 B-C 之间的一个管道后, 流量每小时增加了 40 立方米. 问: 通过调整管道布局, 从 A到 C的流量最大可增加多少立方米？ 11. 右图中的一个长方形纸板每个角上都被切掉了一个小 长方形（含正方形）, 如果被切掉的小长方形的 8 对对 边的长度分别是一个1, 四个2, 两个3 和一个4, 那么 纸板剩下部分的面积最大是多少？ 12. 有20张卡片, 每张上写一个大于0的自然数, 且任意9张上写的自然数的和 都不大于63. 若称写有大于7 的自然数的卡片为“龙卡”，问：这 20 张卡片 中“龙卡”最多有多少张? 所有“龙卡”上写的自然数的和的最大值是多少?第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A参考答案(小学高年级组) 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛笔试试题 A 参考答案 （小学高年级组） 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 9.3 1:2 40 153 7 18 7 4396 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案：是. 10. 答案：能 11. 答案：2025, 3025, 9801. 12. 答案：1 或2 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 答案：3,9,11,18 14. 答案: 150 - 1 -第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A(小学高年级组) 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛笔试试题 A（小学高年级组） （时间: 2012 年4 月21 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 算式 1010.5  5.214.6  9.25.25.43.74.61.5  的值为 . 2. 箱子里已有若干个红球和黑球, 放入一些黑球后, 红球占全部球数的四分之一；再放入一 些红球后, 红球的数量是黑球的三分之二. 若放入的黑球和红球数量相同, 则原来箱子里 的红球与黑球数量之比为 . 3. 有两个体积之比为 5:8 的圆柱, 它们的侧面的展开图为相同的长方形, 如果把该长方形的 长和宽同时增加6, 其面积增加了114. 那么这个长方形的面积为 . 4. 甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食, 如果从甲粮库调90 袋到乙粮库, 则乙粮库存粮的 袋数是甲粮库的 2 倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库, 则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的 6 倍．那么甲粮库原来最少存有 袋的粮食. 5. 现有211 名同学和四种不同的巧克力, 每种巧克力的数量都超过633 颗. 规定每名同学最 多拿三颗巧克力, 也可以不拿. 若按照所拿巧克力的种类和数量都是否相同分组, 则人数 最多的一组至少有 名同学. 6. 张兵1953 年出生，在今年之前的某一年, 他的年龄是9 的倍数并且是这一年的各位数字之 和，那么这一年他 岁. 7. 右图是一个五棱柱的平面展开图, 图中的正方形边 长都为 2. 按图所示数据, 这个五棱柱的体积等于 . - 1 -第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A(小学高年级组) 8. 在乘法算式 草绿花红了春光明媚 中, 汉字代表非零数字, 不同汉字代表不同的数字, 那么春光明媚所代表 的四位数最小是 . 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 如右图, ABCD 是平行四边形, E为AB延长 线上一点, K为 AD 延长线上一点.连接BK, DE 相交于一点 O. 问: 四边形 ABOD 与四 边形ECKO 的面积是否相等? 请说明理由. 10. 能否用500 个右图所示的12的小长方形拼成一个5200的 大长方形, 使得5200的长方形的每一行、每一列都有偶数 个星? 请说明理由. 11. 将一个 2n 位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数, 如果这两个n位数 之和的平方正好等于这个 2n 位数, 则称这个 2n 位数为卡布列克 (Kabulek) 怪数，例如，(3025)2 3025, 所以3025 是一个卡布列克怪数. 请问在四位 数中有哪些卡布列克怪数? 12. 已知 98 个互不相同的质数 p , p ,, p , 记 N  p2  p2  p2 , 问: N 1 2 98 1 2 98 被3 除的余数是多少？ 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 小李和小张在一个圆形跑道上匀速跑步, 两人同时同地出发, 小李顺时针 跑,每72秒跑一圈; 小张逆时针跑, 每80秒跑一圈. 在跑道上划定以起点为 1 中心的 圆弧区间, 那么两人同时在划定的区间内所持续的时间为多少秒? 4 14. 把一个棱长均为整数的长方体的表面都涂上红色, 然后切割成棱长为 1 的 小立方块, 其中, 两面有红色的小立方块有 40 块, 一面有红色的小立方块 有66 块, 那么这个长方体的体积是多少? - 2 -第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题B参考(小学高年级组) 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛笔试试题 B 参考答案 （小学高年级组） 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 52 2 答案 1 10:08 805.4 231 11 1 165 8 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案：能 10. 答案：0 或1 11. 答案: 一分：1375 枚; 二分：825 枚; 五分：495 枚; 一角：290 枚. 12. 答案: 不能. 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 答案: 41 和271, 82 和542, 123 和813.. 14. 答案: 99950 - 1 -第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题B(小学高年级组) 第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛笔试试题 B（小学高年级组） （时间: 2012 年4 月21 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 46  5 11 12 1. 算式    的值为 ． 75 12 15 55 2. 设ab 和ab分别表示取 a 和 b 两个数的最小值和最大值, 如, 343, 344. 那么 对于不同的数x, 5  4  x4  的取值共有 个. 3. 里山镇到省城的高速路全长 189 千米, 途经县城, 里山镇到县城 54 千米. 早上 8:30, 一辆 客车从里山镇开往县城, 9:15到达, 停留15分钟后开往省城, 11:00到达. 另有一辆客车于 同天早上 8:50 从省城径直开往里山镇, 每小时行驶 60 千米. 那么两车相遇的时间 为 . 4. 有高度相同的一段方木和一段圆木, 体积之比是1：1. 如果将 方木加 工成尽可能大的圆柱, 将圆木加工成尽可能大的长方体, 则得 到的圆 柱体积和长方体的体积的比值为 . 5. 用[x]表示不超过x 的最大整数, 记{x} x[x], 则算式 20121 20122 20123 20122012       5   5   5   5  的值为 . 6. 某个水池存有其容量的十八分之一的水. 两条注水管同时向水池注水, 当水池的水量达到 九分之二时, 第一条注水管开始单独向水池注水, 用时 81 分钟, 所注入的水量等于第二条 注水管已注入水池内的水量. 然后第二条注水管单独向水池注水 49 分钟, 此时, 两条注水 管注入水池的总水量相同. 之后, 两条注水管都继续向水池注水. 那么两条注水管还需要 一起注水 分钟, 方能将水池注满. - 1 -第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题B(小学高年级组) 7. 有16位选手参加象棋晋级赛, 每两人都只赛一盘. 每盘胜者积1分, 败者积 0 分. 如果和棋, 每人各积 0.5 分. 比赛全部结束后, 积分不少于 10 分者晋 级. 那么本次比赛后最多有 位选手晋级. 8. 平面内有5个点, 其中任意3个点均不在同一条直线上, 以这些点为端点连 接线段, 则除这5 个点外, 这些线段至少还有 个交点. 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 能否用540个右图所示的12的小长方形拼成一个6180的大长方形, 使得6180的长方形的每一行、每一列都有奇数个星? 请说明理由. 10. 已知 100 个互不相同的质数 p , p ,, p , 记 N  p2  p2  p2 , 问: 1 2 100 1 2 100 N被3 除的余数是多少？ 11. 王大妈拿了一袋硬币去银行兑换纸币, 袋中有一分、二分、五分和一角四种 3 3 硬币, 二分硬币的枚数是一分的 , 五分硬币的枚数是二分的 , 一角硬币 5 5 3 的枚数是五分的 少 7 枚. 王大妈兑换到的纸币恰好是大于 50 小于 100 的 5 整元数. 问这四种硬币各有多少枚? 12. 右图是一个三角形网格, 由 16 个小的等边三角形构成. 将 网格中由3 个相邻小三角形构成的图形称为“3-梯形”. 如 果在每个小三角形内填上数字 1～9 中的一个, 那么能否给 出一种填法, 使得任意两个“3-梯形”中的3 个数之和均不 相同？如果能, 请举出一例；如果不能, 请说明理由. 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 请写出所有满足下面三个条件的正整数 a 和b: 1) ab; 2) ab是个三位 数, 且三个数字从小到大排列等差; 3) ab是一个五位数, 且五个数字相 同. 14. 记一百个自然数x, x1, x2,, x99的和为a, 如果a 的数字和等于50, 则x 最小为多少? - 2 -咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 A（小学中年级组） （时间: 2013 年 3 月 23 日10:00 ~ 11:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.) 1. 45与40的积的数字和是（ ）. （A）9 （B）11 （C）13 （D）15 2. 在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、 平移得到的是图（ ）中的三角形. （A） （B） （C） （D） 3. 小东、小西、小南、小北四个小朋友在一起做游戏时, 捡到了一条红领巾, 交 给了老师. 老师问是谁捡到的？小东说不是小西；小西说是小南；小南说小 东说的不对；小北说小南说的也不对. 他们之中只有一个人说对了, 这个人 是（ ）. （A）小东 （B）小西 （C）小南 （D）小北 4. 2013年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说：这是我有生以来遇到的第一个没 有重复数字的年份. 已知小明哥哥出生的年份是 19 的倍数, 那么 2013 年小 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 明哥哥的年龄是（ ）岁. （A）16 （B）18 （C）20 （D）22 5. 如右图, 一张长方形的纸片, 长20厘米, 宽16厘米. 如果从 这张纸上剪下一个长10厘米, 宽5厘米的小长方形, 而且至 少有一条边在原长方形的边上, 那么剩下纸片的周长最大 是（ ）厘米. （A）72 （B）82 （C）92 （D）102 6. 张老师每周的周一、周六和周日都跑步锻炼 20分钟, 而其余日期每日都跳绳 20分钟. 某月他总共跑步5小时, 那么这个月的第10天是（ ）. （A）周日 （B）周六 （C）周二 （D）周一 二、填空题 (每小题 10 分, 满分 40 分) 7. 如右图, 一个正方形被分成了 4 个相同的长方形, 每个长方形的周 长都是20厘米. 则这个正方形的面积是 平方厘米. 8. 九个同样的直角三角形卡片, 拼成了如右图所示的平面图形. 这种三角形卡片中的两个锐角较大的一个是 度. 9. 幼儿园的老师给班里的小朋友送来 55个苹果, 114块饼干, 83 块巧克力. 每样都平均分发完毕后, 还剩3个苹果, 10块饼干, 5块巧克力. 这 个班最多有 位小朋友. 10. 如下图, 将长度为 9 的线段 AB 九等分, 那么图中所有线段的长度的总和 是 . 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 B（小学中年级组） （时间: 2013 年 3 月 23 日10:00 ~ 11:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.) 1. 下面图形中, 恰有 2条对称轴的图形是（ ）. （A） （B） （C） （D） 2. 三个自然数A、B、C 之和是111, 已知 A、B 的平均数是31, A、C 的平均数 是37.那么B、C 的平均数是（ ）. （A）34 （B）37 （C）43 （D）68 3. 由若干个相同的正方体木块搭成的立体, 从正面和左面看到的图形都是 右图, 搭这样的立体, 最少用（ ）个这样的木块. （A）4 （B）5 （C）6 （D）8 4. 在七个三角形的所有内角中, 有两个直角, 三个钝角. 那么这些三角形中有 （ ）个锐角三角形. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 5. 把自然数按右图所示的方法排列, 那么排在第10行第 5列的数是（ ）. （A）79 （B）87 （C）94 （D）101 6. 如右图, 一张长方形的纸片, 长20厘米, 宽16厘米. 如果从这 张纸上剪下一个长 8厘米, 宽4厘米的小长方形, 而且至少有 一条边在原长方形的边上, 那么剩下纸片的周长最大是（ ） 厘米. （A）72 （B）80 （C）88 （D）96 二、填空题 (每小题 10 分, 满分 40 分) 7. 如右图, 一个正方形被分成了 4 个相同的长方形, 每个长方形的 周长都是20厘米. 则这个正方形的面积是 平方厘米. 8. 计算：2013201020072004963 . 9. 在除以7余1、除以 11也余1的自然数中, 大于1的最小自然数是 . 10. 九个同样的直角三角形卡片, 拼成了如右图所示的平面图形. 这种三角形卡片中的两个锐角较小的一个是 度. 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 A（小学高年级组） （ 时间: 2013 年3月23 日10:00 ~ 11:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.) 1. 2012.25×2013.75－2010.25×2015.75＝（ ）. （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 2. 2013 年的钟声敲响了, 小明哥哥感慨地说: 这是我有生以来第一次将要渡过 一个没有重复数字的年份. 已知小明哥哥出生的年份是19的倍数, 那么2013 年小明哥哥的年龄是（ ）岁. （A）16 （B）18 （C）20 （D）22 3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就 会下滑1米, 下滑 1米的时间是向上爬3 米所用时间的三分之一. 8点17分 时, 青蛙第二次爬至离井口 3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时 间为（ ）分钟. （A）22 （B）20 （C）17 （D）16 4. 一个盒子里有黑棋子和白棋子若干粒, 若取出一粒黑子, 则余下的黑子数与 白子数之比为 9:7, 若放回黑子, 再取出一粒白子, 则余下的黑子数与白子数 之比为7:5, 那么盒子里原有的黑子数比白子数多（ ）个. （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 5. 右图ABCD是平行四边形, M是DC的中点, E和F分 别位于 AB 和 AD 上, 且 EF 平行于 BD. 若三角形 MDF 的面积等于 5 平方厘米, 则三角形 CEB 的面积 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 等于（ ）平方厘米. （A）5 （B）10 （C）15 （D）20 6. 水池A和B同为长 3 米, 宽2米, 深1.2 米的长方体. 1号阀门用来向 A池注 水, 18分钟可将无水的A池注满; 2号阀门用来从A池向B池放水, 24分钟可 将A池中满池水放入B池. 若同时打开1号和2号阀门, 那么当A池水深0.4 米时, B池有（ ）立方米的水. （A）0.9 （B）1.8 （C）3.6 （D）7.2 二、填空题(每小题 10 分, 满分 40 分) 7. 小明、小华、小刚三人分 363 张卡片, 他们决定按年龄比来分. 若小明拿 7 张, 小华就要拿 6 张；若小刚拿 8 张, 小明就要拿 5 张. 最后, 小明拿了 ________张；小华拿了________张；小刚拿了________张. 8. 某公司的工作人员每周都工作 5 天休息 2 天, 而公司要求每周从周一至周日, 每天都至少有32 人上班, 那么该公司至少需要________名工作人员. 9. 右图中, AB 是圆 O 的直径, 长 6 厘米, 正方形 BCDE 的一个 顶点 E 在圆周上, ABE  45. 那么圆 O 中非阴影部分的 面积与正方形BCDE中非阴影部分面积的差等于________平 方厘米（取π3.14）. 10. 圣诞老人有36个同样的礼物, 分别装在8个袋子中. 已知8个袋子中礼物的 个数至少为 1 且各不相同. 现要从中选出一些袋子, 将选出的袋子中的所有 礼物平均分给 8 个小朋友, 恰好分完（每个小朋友至少分得一个礼物）. 那 么, 共有________种不同的选择. 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 B（小学高年级组） （时间: 2013 年3月23 日10:00 ~ 11:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.) 1. 一个四位数, 各位数字互不相同, 所有数字之和等于6, 并且这个数是11的倍 数, 则满足这种要求的四位数共有（ ）个. （A）6 （B）7 （C）8 （D）9 2. 2232332333233的个位数字是（ ）.  9个3 （A）2 （B）8 （C）4 （D）6 3. 在下面的阴影三角形中, 不能由右图中的阴影三角形经过旋转、 平移得到的是图（ ）中的三角形. （A） （B） （C） （D） 4. 某日, 甲学校买了 56 千克水果糖, 每千克 8.06 元. 过了几日, 乙学校也需要 买同样的56千克水果糖, 不过正好赶上促销活动, 每千克水果糖降价0.56元, 而且只要买水果糖都会额外赠送 5% 同样的水果糖. 那么乙学校将比甲学校 第 1 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 少花（ ）元. （A）20 （B）51.36 （C）31.36 （D）10.36 5. 甲、乙两仓的稻谷数量一样, 爸爸, 妈妈和阳阳单独运完一仓稻谷分别需要 10天, 12天和15 天. 爸爸妈妈同时开始分别运甲、乙两仓的稻谷, 阳阳先帮 妈妈, 后帮爸爸, 结果同时运完两仓稻谷, 那么阳阳帮妈妈运了（ ）天. （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 6. 如图, 将长度为 9 的线段 AB 分成 9 等份, 那么图中所有线段的长度的总和是（ ）. （A）132 （B）144 （C）156 （D）165 二、填空题(每小题 10 分, 满分 40 分) 7. 将乘积 0.2  43  0.32  5233  化为小数, 小数点后第 2013位的数字是________. 8. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就 会下滑 1 米, 下滑 1 米的时间是向上爬 3 米所用时间的三分之一. 8 点 17 分 时, 青蛙第二次爬至离井口 3 米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时 间为________分钟. 9. 一个水池有三个进水口和一个出水口. 同时打开出水口和其中的两个进水口, 注满整个水池分别需要 6小时、5小时和 4小时; 同时打开出水口和三个进水 口, 注满整个水池需要 3 小时. 如果同时打开三个进水口, 不打开出水口, 那 么注满整个水池需要________小时. 10. 九个同样的直角三角形卡片, 用卡片的锐角拼成一圈, 可 第 2 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 以拼成类似右图所示的平面图形. 这种三角形卡片中的两个锐角中较小的一 个的度数有________种不同的可能值. （右图只是其中一种可能的情况） 第 3 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 C（小学高年级组） （ 时间: 2013 年3月23 日8:00 ~ 9:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内. ) 20132013 n 1. 如果  （其中m与n为互质的自然数）, 那么 m+n的值 201420142012 m 是（ ）. （A）1243 （B）1343 （C）4025 （D）4029 2. 甲、乙、丙三位同学都把 25克糖放入100 克水中混合成糖水, 然后他们又分 别做了以下事情: 再加入50克含糖 再加入 20 克糖 再加入 100 克糖与水的比是 率20%的糖水. 和30克水. 2:3的糖水. 最终,（ ）得到的糖水最甜. （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙和丙 3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就 会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分 时, 青蛙第二次爬至离井口 3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时 第 1 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 间为（ ）分钟. （A）22 （B）20 （C）17 （D）16 4. 已知正整数A分解质因数可以写成A235, 其中、、 是自然数. 如果A的二分之一是完全平方数, A的三分之一是完全立方数, A的五分之一 是某个自然数的五次方, 那么++的最小值是（ ）. （A）10 （B）17 （C）23 （D）31 5. 今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条 两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、 乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开 始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都 有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图 形中有（ ）个三角形. （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 6. 从1～11这11个整数中任意取出 6个数, 则下列结论正确的有（ ）个. ① 其中必有两个数互质; ② 其中必有一个数是其中另一个数的倍数; ③ 其中必有一个数的 2倍是其中另一个数的倍数. （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 二、填空题(每小题 10 分, 满分 40 分) 7. 有四个人去书店买书, 每人买了 4 本不同的书, 且每两个人恰有 2 本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书. 8. 每天, 小明上学都要经过一段平路 AB、一段上坡路 BC 和一段下坡路 CD （如右图）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 第 2 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为 3:2:4. 那么小明上学与放学 回家所用的时间比是 . 9. 黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的 数字,并且把没擦掉的第四种数字多写 2个. 例如: 某次操作擦掉 1个1, 1 个 2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而 且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积 是 . 10. 如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果 DG = 5, 那么正方形 ABCD面积是 . 第 3 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学中年级组） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.) 1. 两个正整数的和小于100, 其中一个是另一个的两倍, 则这两个正整数的和的 最大值是（ ）. （A）83 （B）99 （C）96 （D）98 2. 现有一个正方形和一个长方形, 长方形的周长比正方形的周长多4厘米, 宽比 正方形的边长少2厘米, 那么长比正方形的边长多（ ） 厘米. （A）2 （B）8 （C）12 （D）4 3. 用8个3和1个0组成的九位数有若干个, 其中除以4余1的有（ ）个. （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 4. 甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克, 甲有自己的固定座位. 如果乙 和丁的座位不能相邻, 那么共有（ ）种不同的围坐方法. （A）10 （B）8 （C）12 （D）16 5. 新生开学后去远郊步行拉练, 到达A地时比原计划时间10点10分晚了6分钟, 到达C地时比原计划时间13点10分早了6分钟, A, C之间恰有一点B是按照原 计划时间到达的, 那么到达B点的时间是（ ）. （A）11点35分 （B）12点5分 （C）11点40分 （D）12点20分 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 6. 右图中的正方形的边长为10, 则阴影部分的面积为（ ）. （A）56 （B）44 （C）32 （D）78 二、填空题 (每小题 10 分, 满分 40 分) 7. 爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄, 爷爷与爸爸的 年龄差是小林年龄的 5倍. 那么小林的年龄是 岁. 8. 五个小朋友A, B, C, D和E参加“快乐读拼音”比赛, 上场时五个人站成一 排．他们胸前有每人的选手编号牌, 5个编号之和等于 35. 已知站在E, D, A, C 右 边的选手的编号的和分别为 13, 31, 21 和 7. 那么 A, C, E 三名选手编号之和是 ________． 9. 用左下图的四张含有 4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形. 若在右下图 的16个方格分别填入 1, 3, 5, 7（每个方格填一个数）, 使得每行、每列的四个数 都不重复, 且每个纸板内四个格子里的数也不重复, 那么A, B, C, D四个方格中 数的平均数是________． 10. 在一个平面上, 用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个 正方形相邻的图形, 右图是一示例. 现在用 20根单位长的小木 棍摆出一个图形, 要求除第一行的方格外, 下面几行方格构成 一个长方形, 那么这样的图形中最多有________个单位边长的 正方形. 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题答案（小学中年级组） 一、选择题 （每小题 10 分，满分 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D B C C A 二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分） 题号 7 8 9 10 答案 9 24 4 7 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学高年级A组） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.) 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分, 则这四条直线中至多有（ ） 条直线互相平行． （A）0 （B）2 （C）3 （D）4 2. 某次考试有50道试题, 答对一道题得3分, 答错一道题扣1分, 不答题不得 分．小龙得分120分, 那么小龙最多答对了（ ）道试题． （A）40 （B）42 （C）48 （D）50 3. 用左下图的四张含有4个方格的纸板拼成了右下图所示的图形. 若在右下图 的16个方格分别填入1, 3, 5, 7（每个方格填一个数）, 使得每行、每列的四个 数都不重复, 且每个纸板内四个格子里的数也不重复, 那么A, B, C, D四个方 格中数的平均数是（ ）． ． （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 4. 小明所在班级的人数不足40人, 但比30人多, 那么这个班男、女生人数的比不 可能是（ ）． （A）2:3 （B）3:4 （C）4:5 （D）3:7 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 5. 某学校组织一次远足活动, 计划10点10分从甲地出发, 13点10分到达乙地, 但出发晚了 5 分钟, 却早到达了 4 分钟. 甲乙两地之间的丙地恰好是按照计划时 间到达的, 那么到达丙地的时间是（ ）． （A）11点40 分 （B）11点50分 （C）12点 （D）12点10分 6. 如右图所示, AF 7cm, DH 4cm, BG5cm, AE1cm. 若正方形 ABCD 内的四边形 EFGH 的面积为 78 cm2, 则正方形的 边长为（ ）cm. （A）10 （B）11 （C）12 （D）13 二、填空题 (每小题 10 分, 满分 40 分) 7. 五名选手A, B, C, D, E 参加“好声音”比赛, 五个人站成一排集体亮相. 他们 胸前有每人的选手编号牌, 5个编号之和等于 35．已知站在E右边的选手的编号 和为13；站在D右边的选手的编号和为 31；站在 A右边的选手的编号和为 21； 站在C右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是_____． 8. 甲乙同时出发, 他们的速度如下图所示, 30 分钟后, 乙比甲一共多行走了 ________米． 米/分 米/分 100 100 80 80 60 60 40 40 20 20 分 分 5 10 15 20 2530 5 10 15 20 2530 甲 乙 9. 四个黑色 1×1×1 的正方体和四个白色 1×1×1 的正方体可以组成________ 种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种情况）． 10. 在一个圆周上有 70 个点, 任选其中一个点标上 1, 按顺时针方向隔一个点的 点上标2, 隔两个点的点上标3, 再隔三个点的点上标4, 继续这个操作, 直到1, 2, 3, …, 2014 都被标记在点上．每个点可能不只标有一个数, 那么标记了 2014 的 点上标记的最小整数是________． 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题答案（小学高年级组） 一、选择题 （每小题 10 分，满分 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A D B C 二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分） 题号 7 8 9 10 答案 11 300 7 5 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学高年级B组） （时间:2014年3月15日8:00～9:00） 一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有 一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在答题卡相应题处．） 1. 平面上的四条直线将平面分割成八个部分, 则这四条直线中至多有（ ） 条直线互相平行． （A）0 （B）2 （C）3 （D）4 2. 在下列四个算式中：ABCD2，EF 0，GH 1，IJ 4 A～J代表0～9中的不同数字，那么两位数AB不 ． 可 ． 能 ． 是（ ）． （A）54 （B）58 （C）92 （D）96 3. 淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲）， 笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙）， 在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指 的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面 几种说法中正确的是（ ）． 甲 乙 （A）淘气的剪法利用率高 （B）笑笑的剪法利用率高 甲 （C）两种剪法利用率一样 （D）无法判断 4. 小华下午2点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了4分钟，他特意 在上午10点时对好了表．当小华按照自己的表于下午2点到少年宫时，实际早 到了（ ）分钟． （A）14 （B）15 （C）16 （D）17 5. 甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是72岁．几年前（至少一年）甲是22岁时， 乙是16岁．又知道，当甲是19岁的时候，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1 岁）．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（ ） 种情况． （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 6. 有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七 位数 2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分 2 张．他们各说了一句话： 甲：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是8的倍数” 乙：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是9的倍 数” 丙：“如果交换我卡片上的 2 个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是 10 的倍 数” 丁：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是11的倍数” 已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（ ）． （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分．） 3 3 1 1 1  32  4 4 4 3 7. 算式1007 19的计算结果是________． (12345)522 （请将答数填入答题卡中第 7-1题处） 8. 海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子 来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩 下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只 猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下 一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后， 把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等 分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有 ________个． （请将答数填入答题卡中第 8-1题处） 9. 甲、乙二人同时从 A地出发匀速走向B地，与此同时丙从 B地出发匀速走向 A 地．出发后 20 分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即调头；甲调头后 10 分钟与 乙相遇，然后甲再次调头走向 B 地．结果当甲走到 B 地时，乙恰走过 A、B 两地中点105米，而丙离 A地还有315米．甲的速度是乙的速度的________ 倍，A、B两地间的路程是________米． （请将答数依次填入答题卡中第 9-1题、第 9-2题处） 10. 从 1,2,3,…,2014 中取出 315 个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组 成的等差数列中包含 1的有________种取法；总共有________种取法． （请将答数依次填入答题卡中第 10-1题、第 10-2题处） 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题答案（小学高年级 B 组） 一、选择题 （每小题 10 分，满分 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D A B B C 二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分） 题号 7 8 9 10 答案 4 253 3，1890 6，5490 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（小学中年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 用□和○表示两个自然数, 若□○42, 则□4   ○3  ________. 2. 计算: 1098765654321987876543432________. 3. 将学生分成35组, 每组3人. 其中只有1个男生的有10组, 不少于2个男生 的有 19 组, 有 3 个男生的组数是有 3 个女生的组数的 2 倍. 则男生有 ________人. 4. 从1~8这八个自然数中取三个数, 其中有连续自然数的取法有________种. 5. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数0～6分别填到七个部 分中, 使得每个圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大 值是________. 6. 若干自然数的乘积为 324, 则这些自然数的和最小为________. 7. 在嫦娥三号着月过程中, 从距离月面 2.4 千米到距离月面 100 米这一段称为 接近段. 下面左图和右图分别是它到距月面 2.4 千米和月面 100 米处时, 录 像画面截图. 则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是________秒（录像时间的 表示方法：30:28/2:10:48表示整个录像时间长为 2小时10分钟 48秒, 当 前恰好播放到第 30分钟28秒处）. 第 1 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 8. 将 1~6 这六个自然数分成甲、乙两组, 则甲组数的和与乙组数的和的乘积最 大是________. 二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 如下图, 将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作）, 再将 每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）. 这样继续操 作下去, 完成第 5 次操作后得到若干个小三角形纸板. 甲和乙在这些小三角 形纸板上涂色, 每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色, 谁最后涂完 谁赢. 在甲先涂的情况下, 请设置一个方案使得甲赢. 10. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘 米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮 廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线 上）, 则这个剪影的面积为多少平方厘米? 11. 从一块正方形土地上, 划出一块宽为10 米的长方形土 地（如右图）, 剩下的长方形土地面积是 1575平方米. 那么, 划出的长方形土地的面积是多少？ 第 2 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 12. 三位数中, 有些数本身是该数的数字和的19倍, 如19019(190), 请 写出所有这样的三位数. 第 3 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案 （小学中年级组） 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 56 132 60 36 15 16 114 110 二、解答下列各题（每题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 解答. 所以甲要赢, 一种方案为：甲先涂一个小三角形纸板, 以后每次涂的小三角形纸 板数 11乙涂的小三角形纸板数.乙不管怎样涂, 甲都会赢. 10. 答案: 56.5（平方厘米） 11. 答案: 450 (平方米). 12. 答案: 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285, 399. 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 如右图, 边长为 12 米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边 A, B, C, D处各有一根木桩, 且ABBCCD3米. 现用长4米 的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上. 为了使羊在草地上 活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 2. 在所有是 20 的倍数的正整数中, 不超过 2014 并且是 14 的倍数的数之和 是 . 3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小 线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这 个剪影的面积为 平方厘米. ○ 7 4 5. 如果   成立, 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最 11 □ 5 大为 . 6. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数 0～6 分别填到七个部分 中, 使得每个圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大值 是 . 7. 学校组织1511人去郊游, 租用42座大巴和25座中巴两种汽车. 如果要求恰 好每人一座且每座一人, 则有 种租车方案. 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 8. 平面上的五个点A, B, C, D , E 满足: AB = 8厘米, BC = 4厘米, AD = 5厘米, DE = 1厘米, AC = 12厘米, AE = 6厘米. 如果三角形EAB的面积为24平方厘 米, 则点 A 到 CD 的距离等于 厘米 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 把 n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方 形（含正方形）组成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自 在某个下层的正方形纸片一边的中点上. 下图给出了n 6时所有的不同放 置方法, 那么n 9时有多少种不同放置方法? 10. 有一杯子装满了浓度为 16%的盐水. 有大、中、小铁球各一个, 它们的体积比 为10:4:3. 首先将小球沉入盐水杯中, 结果盐水溢出 10%, 取出小球; 其次 把中球沉入盐水杯中, 又将它取出; 接着将大球沉入盐水杯中后取出; 最后在 杯中倒入纯水至杯满为止. 此时杯中盐水的浓度是多少？（保留一位小数） 11. 清明节, 同学们乘车去烈士陵园扫墓. 如果汽车行驶 1 个小时后, 将车速提高 五分之一, 就可以比预定时间提前20分钟赶到; 如果该车先按原速行驶72千 米, 再将速度提高三分之一, 就可以比预定时间提前 30 分钟赶到. 那么从学 校到烈士陵园有多少千米？ 12. 如右图, 在三角形 ABC 中, D 为 BC 的中点, AF2BF, EP CE 3AE. 连接 CF交DE于P点, 求 的值. DP 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 从连续自然数1, 2, 3, …, 2014中取出n 个数, 使这n个数满足: 任意取其中 两个数, 不会有一个数是另一个数的5倍. 试求n的最大值, 并说明理由. a 6 b 14. 在右边的算式中, 字母a, b, c, d和“□”代表十个数字  4 c d 0到9中的一个. 其中a, b, c, d四个字母代表不同的 □ □ □ □ 数字, 求a, b, c, d代表的数字之和.  □ □ □ 2 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 8 答案 B 14700 20 56.5 77 15 2 4 13 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案: 25 10. 答案: 10.7% 11. 答案: 216 12. 答案: 3 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 【答案】1679 14. 答案: 10, 18, 19 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A, B, C, D 处各有一根木桩, 且ABBCCD3米. 现用长 4 米的 绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上（不计打结处）. 为使羊 在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 2. 在所有是 20 的倍数的自然数中, 不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和 是 . 3. 从1～8这八个自然数中, 任取三个数, 其中没有连续 自然数的取法有 种. 4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方 厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马 的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在 格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米. ○ 7 4 5. 如果   成立, 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最 11 □ 5 大为 . 6. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数 1～7 分别填到七个部分 中, 要求每个圆内的四个数字的和都相等. 那么和的最大值 是 . 7. 学校组织 482 人去郊游, 租用 42 座大巴和 20 座中巴两种汽车. 如果要求每 人一座且每座一人, 则有 种租车方案. 8. 平面上的五个点 A, B, C, D, E 满足: AB = 16厘米, BC = 8厘米, AD = 10厘 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 米, DE = 2厘米, AC = 24厘米, AE = 12 厘米. 如果三角形EAB 的面积为96 平方厘米, 则点 A 到 CD 的距离等于 厘米. 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 把 n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方 形（含正方形）组成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自 在某个下层的正方形纸片一边的中点上. 下图给出了n 6时所有的不同放 置方法, 那么n8时有多少种不同放置方法? 10. 有一杯子装满了浓度为 15% 的盐水. 有大中小铁球各一个, 它们的体积比 为10:5:3. 首先将小球沉入盐水杯中, 结果盐水溢出 10%, 取出小球; 其次 把中球沉入盐水杯中, 又将它取出; 接着将大球沉入盐水杯中后取出; 最后 在杯中倒入纯水至杯满为止. 此时杯中盐水的浓度是多少？ 11. 清明节, 同学们乘车去烈士陵园扫墓. 如果汽车行驶 1 个小时后, 将车速提 高五分之一, 就可以比预定时间提前 10 分钟赶到; 如果该车先按原速行驶 60千米, 再将速度提高三分之一, 就可以比预定时间提前20分钟赶到. 那么 从学校到烈士陵园有多少千米？ 12. 如右图, 在三角形 ABC 中, AF2BF , CE 3AE , EP CD2BD. 连接 CF交DE于P点, 求 的值. DP 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） a 5 b 13. 在右边的算式中, 字母a, b, c, d和“□”代表十个  4 c d 数字0到9中的一个, 其中a, b, c, d四个字母代表 □ □ □ □  □ □ □ 不同的数字, 求 a, b, c, d代表的数字之和. 2 14. 从连续自然数1, 2, 3, …, 2014中取出n 个数, 使这n个数满足: 任意取其中 两个数, 不会有一个数是另一个数的7倍. 试求n的最大值, 并说明理由. 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 3 答案 C 32340 20 56 77 19 2 9 13 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案：17 10. 答案：10% 9 11. 答案： 2 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 12. 答案：19, 20 13. 答案：1763 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C（小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 3.22.95 20.3 1. 计算:  . 1 2 0.252 2.31 4 5 2. 在右边的算式中, 每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个, 相 2 0 2 4  数学竞赛 同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字. 则“数学竞赛” 竞赛 所代表的四位数是. 3. 如右图, 在直角三角形 ABC 中, 点 F 在 AB 上且 AF2FB, 四边形 EBCD 是平行四边形, 那么FD:EF为. 4. 右图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立 体的正视图, 上面标出了若干个点. 一只蚂蚁从立体 的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面. 如果蚂 蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米, 向下爬行的速度为 每秒3厘米, 水平爬行的速度为每秒4厘米, 则蚂蚁至 · · 少爬行了________秒. 5. 设 a, b, c, d, e 均是自然数, 并且 abcd e, a2b3c4d 5e300, 则 ab的最大值为________. 6. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池. 一台 A 型水泵单独向甲水池注水, 一 台B型水泵单独向乙水池注水, 一台A型和一台B型水泵一起向丙水池注水. 已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多 4 个小时, 注满甲水池比注满乙水 池所需时间多5 个小时, 则注满丙水池的三分之二需要________个小时. 7. 用八块棱长为1 cm 的小正方块堆成一立体, 其俯视图如右图所示, 问 共有种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）。 8. 如 右 图 , 在 三 角 形 ABC 中 , AF2BF , CE 3AE , 第 1 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn EP CD4BD.连接 CF交DE于P点, 求 的值. DP 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 有三个农场在一条公路边, 分别在下图所示的 A, B 和 C 处. A 处农场年产 小麦50吨, B处农场年产小麦10吨, C处农场年产小麦60吨. 要在这条公路 边修建一个仓库收买这些小麦. 假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元, 从C 到A方向是每吨每千米 1元. 问仓库应该建在何处才能使运费最低？ 1 2 2012 2013 10. 把 , ,, , 中的每个分数都化成最简分数, 最后得到的 2014 2014 2014 2014 以2014为分母的所有分数的和是多少？ 11. 上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的 (a), (b) 和 (c). 现有5 块一颗星, 2块两颗星和1块三颗星的积木, 如果用若干个这些积木组成一个 五颗星的长条, 那么一共有多少种不同的摆放方式？(下图 (d) 是其中一种 摆放方式). 12. 某自然数减去39是一个完全平方数, 减去144也是一个完全平方数, 求此自 然数. 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 如右图, 圆周上均匀地标出十个点. 将1～10这十个自然数分别 放到这十个点上. 用过圆心的一条直线绕圆心旋转, 当线上没有 标出的点时, 就把 1～10分成两组. 对每种摆放方式, 随着直线 的转动有五种分组方式. 对于每种分组都有一个两组数和的乘积, 记五个积中最小的值为 K. 问所有的摆放中, K 最大为多少? 第 2 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn n 14. 将每个最简分数 （其中m, n为互质的非零自然数）染成红色或蓝色, 染色 m 规则如下: 1) 将1染成红色; 2)相差为1的两个数颜色不同, 3) 不为1的数与 2013 2 其倒数颜色不同. 问: 和 分别染成什么颜色? 2014 7 第 3 页 共 3 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 15 答案 1 1962 2:1 40 35 4 10 8 （小学高年级组） 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案：A处 10. 答案：468 11. 答案：13 12. 答案：160, 208, 400, 2848 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 答案：756 14. 答案: 蓝, 红 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 D（小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A, B, C, D 处各有一根木桩, 且ABBCCD3米. 现用长 4 米的 绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上（不计打结处）. 为使羊 在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 2. 在所有是 20 的倍数的自然数中, 不超过 3000 并且是 14 的倍数的数之和 是 . 3. 从1～8这八个自然数中, 任取三个数, 其中没有连续 自然数的取法有 种. 4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方 厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马 的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在 格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米. ○ 7 4 5. 如果   成立, 则“○”与“□”中可以填入的非零自然数之和最 11 □ 5 大为 . 6. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数 1～7 分别填到七个部分 中, 要求每个圆内的四个数字的和都相等. 那么和的最大值 是 . 学校组织482人去郊游, 租用42座大巴和 20座中巴两种汽车. 如果要求每 人一座且每座一人, 则有 种租车方案. 7. 长为4的线段AB上有一动点C, 等腰三角形ACD和等腰三角形BEC在过 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn AB的直线同侧, AD DC, CE  EB, 则线段DE的长度最小为 . 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 8. 把 n 个相同的正方形纸片无重叠地放置在桌面上, 拼成至少两层的多层长方 形（含正方形）组成的图形, 并且每一个上层正方形纸片要有两个顶点各自 在某个下层的正方形纸片一边的中点上. 下图给出了n 6时所有的不同放 置方法, 那么n8时有多少种不同放置方法? 9. 有一杯子装满了浓度为 15% 的盐水. 有大中小铁球各一个, 它们的体积比 为10:5:3. 首先将小球沉入盐水杯中, 结果盐水溢出 10%, 取出小球; 其次 把中球沉入盐水杯中, 又将它取出; 接着将大球沉入盐水杯中后取出; 最后 在杯中倒入纯水至杯满为止. 此时杯中盐水的浓度是多少？ 10. 清明节, 同学们乘车去烈士陵园扫墓. 如果汽车行驶 1 个小时后, 将车速提 高五分之一, 就可以比预定时间提前 10 分钟赶到; 如果该车先按原速行驶 60千米, 再将速度提高三分之一, 就可以比预定时间提前20分钟赶到. 那么 从学校到烈士陵园有多少千米？ 11. 如右图, 在三角形 ABC 中, AF2BF , CE 3AE , EP CD2BD. 连接 CF交DE于P点, 求 的值. DP 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） a 5 b 12. 在右边的算式中, 字母a, b, c, d和“□”代表十个  4 c d 数字0到9中的一个, 其中a, b, c, d四个字母代表 □ □ □ □  □ □ □ 不同的数字, 求 a, b, c, d代表的数字之和. 2 13. 从连续自然数1, 2, 3, …, 2014中取出n 个数, 使这n个数满足: 任意取其中 两个数, 不会有一个数是另一个数的7倍. 试求n的最大值, 并说明理由. 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500888 www.huabeisai.cn 第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 D 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C 32340 20 56 77 19 2 2 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案：17 10. 答案：10% 11. 答案：180 9 12. 答案： 2 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 答案：19, 20 14. 答案：1763 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 组（小学中年级组） （时间: 2015年4月11日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 计算: 3752 (39  2) 5030 (39 10) ________. 2. 右图中, ABCDFG 等于 ________度. 3. 商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡, 共卖14.57元. 若每张的售价相 同, 且不超过买入价格的两倍, 则商店赚了________元. 4. 两个班植树, 一班每人植3棵, 二班每人植5棵, 共植树115棵. 两班人数之 和最多为________. 5. 某商店第一天卖出一些笔, 第二天每支笔降价 1元后多卖出100 支, 第三天 每支笔比前一天涨价 3元后比前一天少卖出 200支. 如果这三天每天卖得的 钱相同, 那么第一天每支笔售价是________元. 6. 一条河上有A, B 两个码头, A在上游, B在下游. 甲、乙两人分别从 A, B同时 出发, 划船相向而行, 4小时后相遇. 如果甲、乙两人分别从A, B 同时出发, 划船同向而行, 乙16小时后追上甲. 已知甲在静水中划船的速度为每小时 6 千米, 则乙在静水中划船每小时行驶________千米. 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 7. 某个两位数是2的倍数, 加1是3的倍数, 加2是4的倍数, 加3是5的倍数, 那么这个两位数是________. 8. 在三个词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中, 每个汉字代表 1 至 8 之间的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数 字. 如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是 19, 且“尽”>“山”>“力”, 则“水”最大等于________. 二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 有一批作业, 王老师原计划每小时批改6本. 批改了2小时后, 他决定每小时 批改8本, 结果提前 3小时批改完. 那么这批作业有多少本？ 10. 用五种不同的颜色涂正方体的六个面. 如果相邻的两个面不能涂同种颜色, 则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法 才被认为是不同的） 11. 如右图所示, 有一个圆圈填了数字1. 请在空 白圆圈内填上 2, 3, 4, 5, 6中的一个数字, 要 求无重复数字, 且相邻圆圈内的数字的差至 少为2. 问共有几种不同的填法？ 12. 边长分别为8 cm 和6 cm 的两个正方形 ABCD 与BEFG如右图并排放在一起. 连接DE交BG 于P, 则图中阴影部分 APEG的面积是多少? 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B 组（小学中年级组） （时间: 2015年4月11日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 计算: 3752 (39  2) 5030 (39 10) ________. 2. 右图中, ABCDFG 等于 ________度. 3. 商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡, 共卖14.57元. 若每张的售价相 同, 且不超过买入价格的两倍, 则商店赚了________角. 4. 两个班植树, 一班每人植3棵, 二班每人植5棵, 共植树115棵. 两班人数之 和最多为________人. 5. 某商店第一天卖出一些笔, 第二天每支笔降价 1元后多卖出100 支, 第三天 每支笔比前一天涨价 3元后比前一天少卖出 200支. 如果这三天每天卖得的 钱相同, 那么第一天每支笔售价是________元. 6. 一条河上有A, B 两个码头, A在上游, B在下游. 甲、乙两人分别从 A, B同时 出发, 划船相向而行, 4小时后相遇. 如果甲、乙两人分别从A, B 同时出发, 划船同向而行, 乙16小时后追上甲. 已知甲在静水中划船的速度为每小时 6 千米, 则乙在静水中划船每小时行驶________千米. 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 7. 某个两位数是2的倍数, 加1是3的倍数, 加2是4的倍数, 加3是5的倍数, 那么这个两位数是________. 8. 在三个词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中, 每个汉字代表 1 至 8 之间的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数 字. 如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是 19, 且“尽”>“山”>“力”, 则“水”最大等于________. 二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 有一批作业, 王老师原计划每小时批改6本. 批改了2小时后, 他决定每小时 批改8本, 结果提前 3小时批改完. 那么这批作业有多少本？ 10. 用五种不同的颜色涂正方体的六个面. 如果相邻的两个面不能涂同种颜色, 则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法 才被认为是不同的） 11. 如右图所示, 有一个圆圈填了数字1. 请在空 白圆圈内填上 2, 3, 4, 5, 6中的一个数字, 要 求无重复数字, 且相邻圆圈内的数字的差至 少为2. 问共有几种不同的填法？ 12. 边长分别为8 cm 和6 cm 的两个正方形 ABCD 与BEFG如右图并排放在一起. 连接DE交BG 于P, 则图中阴影部分 APEG的面积是多少? 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C（小学中年级组） （时间: 2015年4月11日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 计算: 3752 (39  2) 5030 (39 10) ________. 2. 右 图 中 , ABCDFG 等 于 ________度. 3. 商店以每张2角1分的价格进了一批贺年卡, 共卖14.57元. 若每张的售价相 同, 且不超过买入价格的两倍, 则商店共赚了________分钱. 4. 两个班植树, 一班每人植3棵, 二班每人植5棵, 共植树115棵. 两班人数之 和最多为________. 5. 某商店第一天卖出一些笔, 第二天每支笔降价 1元后多卖出100 支, 第三天 每支笔比前一天涨价 3元后比前一天少卖出 200支. 如果这三天每天卖得的 钱相同, 那么第一天每支笔售价是________元. 6. 一条河上有A, B 两个码头, A在上游, B在下游. 甲、乙两人分别从 A, B同时 出发, 划船相向而行, 4小时后相遇. 如果甲、乙两人分别从A, B 同时出发, 划船同向而行, 乙16小时后追上甲. 已知甲在静水中划船的速度为每小时 6 千米, 则乙在静水中划船每小时行驶________千米. 第 1 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 7. 某个两位数是2的倍数, 加1是3的倍数, 加2是4的倍数, 加3是5的倍数, 那么这个两位数是________. 8. 在三个词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中, 每个汉字代表 1 至 8 之间的数字, 相同的汉字代表相同的数字, 不同的汉字代表不同的数 字. 如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是 19, 且“尽”>“山”>“力”, 则“水”最大等于________. 二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 有一批作业, 王老师原计划每小时批改6本. 批改了2小时后, 他决定每小时 批改8本, 结果提前 3小时批改完. 那么这批作业有多少本？ 10. 用五种不同的颜色涂正方体的六个面. 如果相邻的两个面不能涂同种颜色, 则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法 才被认为是不同的） 第 2 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 11. 如右图所示, 有一个圆圈填了数字1. 请在空 白圆圈内填上 2, 3, 4, 5, 6中的一个数字, 要 求无重复数字, 且相邻圆圈内的数字的差至 少为2. 问共有几种不同的填法？ 12. 边长分别为8 cm 和6 cm 的两个正方形 ABCD 与BEFG如右图并排放在一起. 连接DE交BG 于P, 则图中阴影部分 APEG的面积是多少? 第 3 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 组参考答案 （小学中年级组） 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 61 360 4.7 37 4 10 62 7 二、解答下列各题（每题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 答案: 84本 解答. 解：据题意，王老师加快批改速度后，他8小时能节约2小时. 因为王老师节约了3 小时，所以他以每小时批改8本的速度批改了9小时（按照原计划需要12小时）. 因 此，这批作业有84本. 10.答案: 30种. 解答. 由题意，涂有相同颜色的2个面相对，总可以将相同颜色的2个面置于上下底面，有 5种涂法. 固定1种涂法，即上下底的颜色后，总可以在保持上下底的颜色条件下，通过转 动将余下4种颜色中1种固定为正面的涂色.余下3种颜色涂后面、左右侧面，共有6种涂 法. 所以，共有30种涂法. 11. 答案: 3种. 解答. 如右图，b只能取3，4，5或者6. 1) b=3， a=5，此时 c只能填 6，d只能填 2，e只能填4； 2) b=3， a=6，c，d，e只能填 2，4，5，不可能； 3) b=4， a=6，c，d，e只能填 2，3，5，不可能； 4) b=5， a=3，c=2，d=6，e=4； 5) b=5， a=3，c=2，d=4，e=6； 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 6) b=6， a=3，c，d，e只能填 2，4，5，不可能； 7) b=6， a=4，c，d，e只能填 2，3，5，不可能. 共有3种填法. 12. 答案: 18 cm2. 解答. 连接DG，连接HG和PI.下面说明三角形DPG的面积和三角形APG的面积相等.实 际上，三角形DPG的面积等于矩形DCPI的面积减去三角形DPI的面积和三角形DGC的 面积；三角形APG的面积等于矩形HGBA的面积减去三角形HGA的面积和三角形ABP的 面积.假设GP的长度为厘米，则它们的面积都为4平方厘米. 因 此, 阴影部分AGEP的面积=三角形DEG的面积 1 1 1 82 62  (86)8 (86)8 62 18. 2 2 2 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案 （小学中年级 B 组） 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 61 360 47 37 4 10 62 7 二、解答下列各题（每题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 答案: 84本 解答. 解：据题意，王老师加快批改速度后，他8小时能节约2小时. 因为王老师节约了3 小时，所以他以每小时批改8本的速度批改了9小时（按照原计划需要12小时）. 因 此，这批作业有84本. 10.答案: 30种. 解答. 由题意，涂有相同颜色的2个面相对，总可以将相同颜色的2个面置于上下底面，有 5种涂法. 固定1种涂法，即上下底的颜色后，总可以在保持上下底的颜色条件下，通过转 动将余下4种颜色中1种固定为正面的涂色.余下3种颜色涂后面、左右侧面，共有6种涂 法. 所以，共有30种涂法. 11. 答案: 3种. 解答. 如右图，b只能取3，4，5或者6. 1) b=3， a=5，此时 c只能填 6，d只能填 2，e只能填4； 2) b=3， a=6，c，d，e只能填 2，4，5，不可能； 3) b=4， a=6，c，d，e只能填 2，3，5，不可能； 4) b=5， a=3，c=2，d=6，e=4； 5) b=5， a=3，c=2，d=4，e=6； 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 6) b=6， a=3，c，d，e只能填 2，4，5，不可能； 7) b=6， a=4，c，d，e只能填 2，3，5，不可能. 共有3种填法. 12. 答案: 18 cm2. 解答. 连接DG，连接HG和PI.下面说明三角形DPG的面积和三角形APG的面积相等.实 际上，三角形DPG的面积等于矩形DCPI的面积减去三角形DPI的面积和三角形DGC的 面积；三角形APG的面积等于矩形HGBA的面积减去三角形HGA的面积和三角形ABP的 面积.假设GP的长度为厘米，则它们的面积都为4平方厘米. 因 此, 阴影部分AGEP的面积=三角形DEG的面积 1 1 1 82 62  (86)8 (86)8 62 18. 2 2 2 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C 组参考答案 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 61 360 470 37 4 10 62 7 二、解答下列各题（每题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 答案: 84本 解答. 解：据题意，王老师加快批改速度后，他8小时能节约2小时. 因为王老师节约了3 小时，所以他以每小时批改8本的速度批改了9小时（按照原计划需要12小时）. 因 此，这批作业有84本. 10.答案: 30种. 解答. 由题意，涂有相同颜色的2个面相对，总可以将相同颜色的2个面置于上下底面，有 5种涂法. 固定1种涂法，即上下底的颜色后，总可以在保持上下底的颜色条件下，通过转 动将余下4种颜色中1种固定为正面的涂色.余下3种颜色涂后面、左右侧面，共有6种涂 法. 所以，共有30种涂法. 11. 答案: 3种. 解答. 如右图，b只能取3，4，5或者6. 1) b=3， a=5，此时 c只能填 6，d只能填 2，e只能填4； 2) b=3， a=6，c，d，e只能填 2，4，5，不可能； 3) b=4， a=6，c，d，e只能填 2，3，5，不可能； 4) b=5， a=3，c=2，d=6，e=4； 5) b=5， a=3，c=2，d=4，e=6； 6) b=6， a=3，c，d，e只能填 2，4，5，不可能； 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 7) b=6， a=4，c，d，e只能填 2，3，5，不可能. 共有3种填法. 12. 答案: 18 cm2. 解答. 连接DG，连接HG和PI.下面说明三角形DPG的面积和三角形APG的面积相等.实 际上，三角形DPG的面积等于矩形DCPI的面积减去三角形DPI的面积和三角形DGC的 面积；三角形APG的面积等于矩形HGBA的面积减去三角形HGA的面积和三角形ABP的 面积.假设GP的长度为厘米，则它们的面积都为4平方厘米. 因此, 阴影部分AGEP的面积=三角形DEG的面积 1 1 1 82 62  (86)8 (86)8 62 18. 2 2 2 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学高年级组） （时间: 2015年4月11日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 4 5 1. 计算：84 1.375105 0.9= . 19 19 2. 右图是用六个正方形、六个三角形、一个正六边形组成的图 案, 正方形边长都是 2 cm, 这个图案的周长是 cm. 1 3. 某项工程需要100天完成. 开始由10个人用30天完成了全部工程的 , 随后 5 再增加10个人来完成这项工程, 那么能提前 天完成任务. 4. 王教授早上 8 点到达车站候车, 登上列车时, 站台上时钟的时针和分针恰好 左右对称．列车 8 点 35 分出发, 下午 2 点 15 分到达终点站．当王教授走下 列车时, 站台上时钟的时针和分针恰好上下对称, 走出车站时恰好3点整．那 么王教授在列车上的时间共计 分钟． 5. 由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326, 则这些四 位数中最大的是 , 最小的是 . 6. 如右图所示, 从长、宽、高分别为 15 cm, 5 cm, 4 cm 的长方体中切割走一块长、宽、高分别为ycm, 5cm, xcm 的长方体（x, y 为整数）, 余下部分的体积为 120 cm3, 那么x为 cm, y为 cm. 7. 一次数学竞赛有A, B, C三题, 参赛的39个人中, 每人至少答对了一道题. 在 答对A的人中, 只答对A的比还答对其它题目的多5人; 在没答对A的人中, 答对B的是答对 C 的2倍; 又知道只答对 A的等于只答对B的与只答对 C 的人数之和. 那么答对 A的最多有 人. 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 8. 甲、乙进行乒乓球比赛, 三局两胜制. 每局比赛中, 先得11 分且对方少于 10 分者胜; 10平后多得 2 分者胜. 甲、乙二人得分总和都是30分, 在不计比分 先后顺序时, 三局的比分共有 种情况. 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 两个自然数之和为 667, 它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于 120. 求这两个数. 10. 酒店有100个标准间, 房价为400元/天, 但入住率只有50%. 若每降低20元 的房价, 则能增加 5间入住. 求合适的房价, 使酒店收到的房费最高. 11. 如图, 长方形ABCD的面积是56 cm2. BE 3cm, DF 2cm. 请你回答：三角形AEF 的面积是多少？ 12. 当n取遍1, 2, 3 ,… , 2015中所有的数时, 形如 3n n3的数中能够被 7整除的有多少个？ 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 在右图中, ABCD 是平行四边形, AM = MB, DN=CN, BE=EF=FC, 四边形EFGH的面积是 1, 求平行四边形 ABCD的面积. 14. “虚有其表”,“表里如一”,“一见如故”,“故弄玄虚”四个成语中每个汉 字代表11个非零连续自然数中的一个, 相同的汉字代表相同的数, 不同的汉 字代表不同的数, 且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”, 且各个成语中 四个汉字所代表的数的和都是 21. 则“弄”可以代表的数最大是多少？ 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学高年级组） （时间: 2015年4月11日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 8 184 1 1. 计算: 57.6 28.8 14.48010  . 5 5 2 2. 甲、乙、丙、丁四人共植树 60棵. 已知, 甲植树的棵数是其余三人的二分之 一, 乙植树的棵数是其余三人的三分之一, 丙植树的棵数是其余三人的四分 之一, 那么丁植树 棵. 3. 当时间为5点8 分时, 钟表面上的时针与分针成 度的角. 4. 某个三位数是2的倍数, 加1是3的倍数, 加2是4的倍数, 加3是5的倍数, 加4是6的倍数, 那么这个数最小为 . 5. 贝塔星球有七个国家, 每个国家恰有四个友国和两个敌国, 没有三个国家两 两都是敌国．对于一种这样的星球局势, 共可以组成 个两两都是友 国的三国联盟． 6. 由四个互不相同的非零数字组成的没有重复数字的所有四位数之和为 106656, 则这些四位数中最大的是 , 最小的是 . 7. 见右图, 三角形 ABC 的面积为 1, DO:OB1:3, EO:OA4:5, 则三角形DOE的面积为 . 8. 三个大于 1000 的正整数满足: 其中任意两个数之和的个位数字都等于第三 个数的个位数字, 那么这3个数之积的末尾3位数字有 种可能数值. 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 将 1234567891011 的某两位的数字交换能否得到一个完全平方数? 请说明 理由. 10. 如右图所示, 从长、宽、高为15, 5, 4 的长方体中切 割走一块长、宽、高为 y, 5, x的长方体（x, y为整数）, 余下部分的体积为 120, 求x和 y. 11. 圆形跑道上等距插着2015面旗子, 甲与乙同时同向从某个旗子出发, 当甲与 乙再次同时回到出发点时, 甲跑了 23 圈, 乙跑了 13 圈. 不算起始点旗子位 置, 则甲正好在旗子位置追上乙多少次? 12. 两人进行乒乓球比赛, 三局两胜制, 每局比赛中, 先得 11 分且对方少于 10 分者胜; 10平后多得 2分者胜. 两人的得分总和都是31分, 一人赢了第一局 并且赢得了比赛, 那么第二局的比分共有多少种可能? 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 如右图所示, 点M是平行四边形ABCD的边CD上 的一点, 且DM:MC 1:2, 四边形 EBFC 为平行 四边形, FM与BC交于点G. 若三角形FCG的面积 与三角形MED的面积之差为13cm2, 求平行四边形 ABCD的面积. 14. 设“一家之言”、“言扬行举”、“举世皆知”、“知行合一”四个成语中的每个 汉字代表11个连续的非零自然数中的一个, 相同的汉字代表相同的数, 不同 的汉字代表不同的数. 如果每个成语中四个汉字所代表的数之和都是 21, 则 “行”可以代表的数最大是多少? 试题说明：决赛试题小高 B组，各地第一题数据略有不同。网站上只是公布 了其中的一套试题。 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C（小学高年级组） （时间: 2015年4月11日 10:00～11:30） 一、 填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 10.75 40.3+0.1 1. 计算：  = ( ). 1 2 1.252 1.8 4 5 2. 将自然数1至8分为两组，使两组的自然数各自之和的差等于16，共有（ ） 种不同的分法. 3. 将2015的十位、百位和千位的数字相加，得到的和写在2015个位数字之后， 得到一个自然数 20153；将新数的十位、百位和千位数字相加，得到的和写 在20153个位数字之后，得到 201536；再次操作 2次，得到201536914，如 此继续下去，共操作了 2015 次，得到一个很大的自然数，这个自然数所有 数字的和等于（ ）. 4. 图 1 中，四边形 ABCD 是边长为 11 厘米的正方形，G 在 CD 上，四边形 CEFG 是边长为 9 厘米的正方形，H 在AB上，∠EDH是直角，三角形EDH的面积是（ ） 平方厘米. 图1 5. 图2是网格为 的长方形纸片，长方形纸片正面是灰 色，反面是红色，网格是相同的小正方形.沿网格线将长方形裁剪 为两个形状相同的卡片，如果形状和正反面颜色相同，则视为相同 类型的卡片，则能裁剪出（ ）种不同类型的卡片. 图2 6. 一个长方体，棱长都是整数厘米，所有棱长之和是 88 厘米，问这 个长方体总的侧面积最大是( )平方厘米. 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn  1 7. x 3x5 ，这里x表示不超过x的最大整数，则x=（ ）.    2 8. 右边是一个算式，9 个汉字代表数字1 至 9， 不同的汉字代表不同的数字，则该算式可能的 最大值是( ). 二、 解答下列各题（每小题10分, 共40分, 要求写出简要过程） 9. 已知C 地为A, B两地的中点. 上午7点整，甲车从A出发向B行进，乙车 和丙车分别从B和C 出发向A行进. 甲车和丙车相遇时，乙车恰好走完全程 3 的 ，上午 10 点丙车到达 A 地，10 点 30 分当乙车走到 A 地时，甲车距离 8 B地还有84千米，那么 A和 B两地距离是多少千米？ 1 1 1 1 1 1 10. 将 2015 个分数 , , , , , 化成小数，共有多少个有限小 2 3 4 2014 2015 2016 数？ a b 11. a, b为正整数, 小数点后第3位经四舍五入后，式子  1.51，求a + b =？ 5 7 12. 已知算式abcd aade, 式中不同字母代表不同的数码，问四位数abcd最大 值是多少？ 三 解答下列各题（每题 15 分, 共30分, 要求写出详细过程） 13. 在图3中，ABCD 是平行四边形，F在AD上,△AEF 的面积=8cm2，△DEF的面积=12cm2，四边形 BCDF 的面积=72cm2，求出△CDE的面积？ 14. 将 530 本书分给 48 名学生，至少有几名学生分到的 图3 书的数量相同？ 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 D（小学高年级组） （时间: 2015年4月11日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 4 5 1. 计算：84 1.375105 0.8= . 19 19 2. 右图是用六个正方形、六个三角形、一个正六边形组成的图 案, 正方形边长都是 2 cm, 这个图案的周长是 cm. 1 3. 某项工程需要100天完成. 开始由10个人用30天完成了全部工程的 , 随后 5 再增加10个人来完成这项工程, 那么能提前 天完成任务. 4. 王教授早上 8 点到达车站候车, 登上列车时, 站台上时钟的时针和分针恰好 左右对称．列车 8 点 35 分出发, 下午 2 点 15 分到达终点站．当王教授走下 列车时, 站台上时钟的时针和分针恰好上下对称, 走出车站时恰好3点整．那 么王教授在列车上的时间共计 分钟． 5. 由四个非零数字组成的没有重复数字的所有四位数的和为73326, 则这些四 位数中最大的是 . 6. 如右图所示, 从长、宽、高分别为 15 cm, 5 cm, 4 cm 的长方体中切割走一块长、宽、高分别为 ycm, 5cm, xcm 的长方体（x, y为整数）, 余下 部分的体积为120 cm3, 那么x＋y＝ . 第 1 页 共 4 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 7. 一次数学竞赛有A, B, C三题, 参赛的39个人中, 每人至少答对了一道题. 在 答对A的人中, 只答对A的比还答对其它题目的多5人; 在没答对A的人中, 答对B的是答对 C 的2倍; 又知道只答对 A的等于只答对B的与只答对 C 的人数之和. 那么答对 A的最多有 人. 8. 甲、乙进行乒乓球比赛, 三局两胜制. 每局比赛中, 先得11 分且对方少于 10 分者胜; 10平后多得 2 分者胜. 甲、乙二人得分总和都是30分, 在不计比分 先后顺序时, 三局的比分共有 种情况. 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 两个自然数之和为 667, 它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于 120. 求这两个数. 10. 酒店有100个标准间, 房价为400元/天, 但入住率只有50%. 若每降低20元 的房价, 则能增加 5间入住. 求合适的房价, 使酒店收到的房费最高. 第 2 页 共 4 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 11. 如图, 长方形ABCD的面积是56 cm2. BE 3cm, DF 2cm. 请你回答：三角形AEF 的面积是多 少？ 12. 当n取遍1, 2, 3 ,… , 2015中所有的数时, 形如3n n3的数中能够被7整除的 有多少个？ 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 在右图中, ABCD是平行四边形, AM = MB, DN=CN, BE=EF=FC, 四边形EFGH的面积 是1, 求平行四边形 ABCD的面积. 第 3 页 共 4 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 14. “虚有其表”,“表里如一”,“一见如故”,“故弄玄虚”四个成语中每个汉 字代表11个非零连续自然数中的一个, 相同的汉字代表相同的数, 不同的汉 字代表不同的数, 且“表”>“一”>“故”>“如”>“虚”, 且各个成语中 四个汉字所代表的数的和都是 21. 则“弄”可以代表的数最大是多少？ 第 4 页 共 4 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 210 5321, 答案 19 24 10 360 3,12 23 8 1235 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9.【答案】这两个自然数是552, 115或232, 435. 【解答】 1202335, 667  1 23  29. （*） 设这两个自然数是da和db, 其中a和b是互质, d是这两个自然数的最大公约数, d是667 的因子, 且大于1, 小于667. 无妨设ab,则有： （1）当d=23时, 由（*）, ab29, ab2335, 此时易得：a24, b5, 这 两个自然数是435, 232. （2）当d=29时, 由（*）, ab23, ab2335, 此时易得：a 15, b8, 这 两个自然数是552, 115. 10. 【答案】300元/天 【解答】设房间的降价次数为m（m是非负整数）, 则收到的房租是： (100  50%  5m)(400  20m)  20000  1000m 100m2  100 (200  10m m2) （1） m=0, 房租=20000； 第 1 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn （2） m=1, 房租=20900； （3） m=2, 房租=21600； （4） m=3, 房租=22100； （5） m=4, 房租=22400； （6） m=5, 房租=22500； （7） m=6, 房租=22400； （8） m=7, 房租=22100； （9） m=8, 房租=21600； （10） m=9, 房租=20900； （11） m=10, 房租=20000. 所以, 当m为5时酒店收到的房租费最高, 此时的房价为300元/天. 11.【答案】三角形AEF 的面积是25 cm2. 【解答】如图,设ABCDx, ADBC  y, 则 CF  x2,BE y3.且xy56. 依题意, 三角形AEF的面积 1 1 1  xy 3x 2y (x2)(y3) 2 2 2 1 1  xy 3x2yxy2y3x6 xy (xy6) 2 2 1 1  xy6 (566)25. 2 2 12.【答案】能够被7整除的有288个. 【解答】3n被7除的余数为3, 2, 6, 4, 5, 1, 每6个一循环； n3被7除的余数为1,1,6,1,6,6,0, 每7个一循环, 6和7互质, 3n,n3被7除的余数和每42个一循环.列表如下: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 第 2 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 3n 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 n3 0 1 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 0 n 15 16 17 18 19 20 21 22 29 3n 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 n3 1 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 0 1 n 30 44 3n 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 n3 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 0 1 1 每42个数中，有6个数被7整除. 2015被42除商47余41，所以共有288个数被7整 除. 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 8 13. 【答案】平行四边形ABCD的面积是8 . 9 【解答】设ABCD的面积是w,用S表示面积. 如图a,连接MN和NE,由三角形面积公式和已知条件 AM=MB,DN=CN,BE=EF=FC,易知： 1 1 1 1 S  w, S   w w, MNB 4 ENB 3 4 12 1 1 1 图a S   w w. BEM 6 2 12 再由共边定理（可由三角形面积公式推出）,可得： 1 w S S 4 BHM  MNB  3, S S 1 BEM ENB w 12 故 图b 第 3 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 1 w 1 S S S 12 S  w. BHM 1 BHM BEH  4, BEH 48 S S S BEH BEH BEH 如图b, 连接CG, 设S  x, S  y, 由已知条件DN=CN, BE=EF=FC, 可以得到： CNG CFG  1  1 x3y  w x  w    4  20  , 可得： . 1 1 2x y  w y  w  6  15 所以, 1  2 1  1 27 8 1 S  S S 2y w  w  w, w=8 EFGH BFG BEH 48 15 48 3 80 9 14．【答案】“弄”可以代表的数最大是9. 【解答】将四个成语共 16个汉字代表的数字相加，总和是 84，若11个非 零连续自然数中最小的一个不小于 2，则其和不小于 77，则四个成语中，“虚”、 “一”、“故”、“如”和“表”都出现两次， “虚”+“一”+“故”+“如”+“表”≤84-77=7， （*） 因为“虚”+“一”+“故”+“如”+“表”≥2+3+4+5+6=20，和（*）矛盾，故11个非零连续自然数 中最小的一个是1，和为66. 此时， “虚”+“一”+“故”+“如”+“表”=84-66=18. （**） 因为“虚”、“一”、“故”、“如”与“表”不可能全为偶数，否则，其 和不小于30,它们之中有一个偶数,四个奇数或者两个奇数,三个偶数. （1）对于一个偶数,四个奇数的情形. 结合条件“表”>“一”>“故”>“如”> “虚” （**）有解： （**）的第 1个解：“表”=7,“一”=5, “故”=3, “如”=2, “虚” =1. 此时,“表”+“里”+“如”+“一”=14+“里”=21,“里”=7,不可能. （2）对于两个奇数,三个偶数的情形,可以断定最小的奇数必为 1.否则,因为 三个偶数之和大于等于12,这样5个数之和将不小于20,不可能.且另外一个奇数 第 4 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 不可能大于5,否则，“虚”+“一”+“故”+“如”+“表”≥12+1+7=20，也不 可能.类似可以断定，最小的偶数必为 2.此时，结合条件“表”>“一”>“故”> “如”>“虚”，（2）有解： （**）的第2个解：“虚”=1，“如”=2，“故”=3，“一”=4，“表”=8； （**）的第3个解：“虚”=1，“如”=2，“故”=4，“一”=5，“表”=6, 将（**）的第2个解代入成语 “一见如故”，“一”+“见”+“如”+“故”= 9+“见”=21， 不可能； 将（**）的第3个解代入4个成语， 代入“表里如一”， “表”+“里”+ “如”+“一”=6+“里”+2+5, 得到“里”=8; 代入“一见如故”，“一”+“见”+“如”+“故”=5+“见”+2+4, 得到“见”=10; 代入“虚有其表”，“虚”+“有”+“其”+“表”=1+“有”+“其”+6, “有”+“其”=14; 得到{“有”，“其”}={11，3}； 代入“故弄玄虚”，“故”+“弄”+“玄”+“虚”=4+“弄”+“玄”+1, “弄”+“玄” =16, 得到{“弄”,“玄”}=9, “玄”=7. 所以，“弄”可以代表的数最大是 9. 第 5 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 11 答案 略 13 106 122 7 9421, 1249 4 135 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案: 不能 解答. 对于 1234567891011以及交换其某两位得到的数, 它们的各位数字之和都 为 1239101148. 因此它们是3的倍数到不是 9的倍数, 都不可能是完全平方数. 10. 答案: 3, 12 解答. 将“L”形物体补上立方体 M 后, 整个长方体体积为 1554300, 那么M 的体积为 300-120180. 侧面N的的面积为 180536. 又 第 1 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 36=136=218=312=49=66, 只有 x, y分别为3, 12 符合题意. 11. 答案: 5 解答. 根据题意, 甲与乙的速度之比为23:13. 设跑道的长度为2015, 甲的速度 为23m, 乙的速度为 13m, 第k次甲追上乙的时刻为 t, 则有: 2015 403 (2313)mt 2015k, k 1,2, ,10 , t  k  k. 10m 2m 甲追上乙时, 甲跑的距离是： 2015 23403 23m k  k. 10m 2 按题意, k 10, 且当k = 2, 4, 6, 8, 10时, 甲跑的距离是整数, 5个追及点分别在5 个旗子处. 12. 答案: 8 解答. 由两人的得分总和都是 31分的条件可知: 赢者胜两局负一局. 设赢者三局得分分别为x , x , x , 负者三局比分为 y , y , y , 则 1 2 3 1 2 3 x  x  x 31, y  y  y 31, 1 2 3 1 2 3 且 x , x 11, x 9, y 11, 1 3 2 2 y  y 20. () 1 3 首先, x 9. 否则, x  x 11, 因为 y , y 9, ()不成立. 所以, x 8. 2 1 3 1 3 2 其次, x 8. 否则, x , x 只能一个是11, 另一个为12, 此时, y  y 19, 2 1 3 1 3 ()不成立. 所以, x 8. 2 第 2 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 当x 8时, 其它两局的得分可以是 2 x 11, x 20 x , y 2x , y 18x , 1 3 2 1 2 3 2 满足()式. 所以, 第二局的比分共有8种情况, 分别为 11:0 到11:7 . 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 答案: 60 cm2 解答. 设 S  x. 因为 DM :MC 1:2, 所以 S 2x . EDM EMC 连接BD. 因为AD//BC, 所以S  S 2x. 进而 DBM EMC EM :MB  S :S 1:2. EDM DBM 所以 S 4x, S  S S 6x. BCM CBF BCM CEM 由 BM //FC 得S S , 所以 MGC FGB CG S S S S S S 3  FCM  MGC FCG  FGB FCG  CBF  . GB S S S S S S 2 MBF MBG FGB MBG MGC BCM 因为 S CG 3 FCG   , S GB 2 FGB 所以 3 18 S  S  x. FCG 5 CBF 5 因为三角形FCG的面积与三角形 MED的面积之差为13cm2, 所以 第 3 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 18 xx 13, 5 解得x 5. 最终得 S 6x 30 (cm2), EBC S 2S 60 (cm2). ABCD EBC 14. 答案: 8 解答. 在这四个成语里, 五个汉字“一”、“言”、“行”、“举”和“知”都 出现两次. 因为5个不同的非零自然数之和最小的两个为15, 20, 11 个连续非零 自然数之和最小的两个为66, 77, 因此这11 个连续自然数只可能为 1至11. 因为66加上“一”、“言”、“行”、“举”与“知”所代表的数之和为 84, 所以 “一”“言”“行”“举”“知”18. () 因为五个汉字所代表的数不可能全为偶数（否则其和等于 30）, 它们之中有 两个奇数、三个偶数或者一个偶数、四个奇数. 对于两个奇数, 三个偶数的情形, 可以断定最小的奇数必为 1, 否则, 因为 三个偶数之和大于等于12, 这样5个数之和将不小于20, 不可能. 又因为另外一 个奇数不可能大于 5, 所以得出下列两种情形, 情形1): 1, 2, 3, 4, 8; 情形2): 1, 2, 4, 5, 6. 对于一个偶数, 四个奇数的情形. 因为四个奇数之和大于等于 16, “一”、 “言”、“行”、“举”与“知”所代表的数只有一种可能, 情形3): 1, 2, 3, 5, 7. 在所有的情形下, “行”可能代表的数最大不会超过 8. 第 4 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 由() 式以及“言扬行举”、“知行合一”两个成语中的四个汉字所代表的 数之和都是21得到 “合”“扬”24“行”. () 当“行”为8时, 由 () 得“合”与“扬”取自{11, 5}, {10, 6}或{9, 7}. 若 取自{11,5}, 则要将 1, 2, 3, 4分成两组, 每组两个数, 一组的数之和是 2, 另一组 的为8. 不可能. 当“合”与“扬”分别为 10 与 6 时, “举”、“言”、“知” “一”分别为1, 2, 4, 3, {“世”,“皆”}与{“之”,“家”}一组是{11, 5}, 另一 组的为{9, 7}. 当“合”与“扬”分别为 9与 7时, “举”、“言”、“知”“一” 分别为1, 3, 4, 2, {“世”,“皆”}与{“之”,“家”}一组是{11, 5}, 另一组的为 {10, 6}. 综上, “行”可以代表的数最大是 8. 第 5 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 322或 答案 1 8 8479 101 8 2 8569 242 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案: 336千米 解答.设A和B两地距离是 336千米 （1）乙车上午 7点从B出发，10点30 分到 A地，说明乙车走完全程需要 3小时30分；丙车上午 7点从中点C 出发，10点丙车到达A地，说明丙车走半 丙速 3.5 7 程需要3小时，走完全程需要6小时，所以，乙速3.5=丙速6，   ； 乙速 6 12 3 （2）当甲车和丙车相遇时，乙车恰好走完全程的 ，所以， 8 1 甲速丙速 4 甲速 4 7 9 3 2   ，结合（1），可知：    = ； 乙速 3 3 乙速 3 12 12 4 8 （3）当乙车走到 A地时，甲车距离B地还有 84千米， 甲的速度 AB84  ，AB484336(千米). 乙的速度 AB 10. 答案: 33 解答. 注意，可化为有限小数的分数的分母的质因数只能是 2和 5. 第 1 页 共 4 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 1 1 1 1 1 1 2015个分数 ， ， ，…， , ， 中， 2 3 4 2014 2015 2016 1 1 1 1 1 （1） 分母只有质因数 2的分数： ， ， ， = ，10个； 2 22 23 210 1024 1 1 1 1 1 （2） 分母只有质因数 5的分数： ， ， ， = ，4个； 5 52 53 54 625 （3） 分母只有质因数 2和5的分数： 1 1 1 1 1 ， ， ，， = ， 25 225 235 285 1280 1 1 1 1 1 ， ， ，， = ， 252 2252 2352 2652 1600 1 1 1 1 1 1 1 ， ， ， = ， = ，19个. 253 2253 2353 2453 2000 254 1250 所以，共有10+4+8+6+4+1=33 个有限小数. 11. 答案: 9 解答. a+ b =9. a b 7a5b 通分，   . 5 7 35 由小数点第3位经四舍五入，故有： 52.675=1.505357a5b1.51535=53.025, 既然a,b为正整数，537a5b53，即： 7a5b53. 解出a4，b5，故 a+ b =9. 12. 答案: 3015. 解答. 四位数abcd最大值是 3015. 显然，e0，d 5. 并设e10 f ，这里 f 1，故有： abc5aa5e，abc5aa50aa5 f ，所以，bc5a50aa5 f . 上式右端a50大于aa5 f ，所以f=1， bc550a5，得到：b=0和ac4. 第 2 页 共 4 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 所以abcd最大值是 3015. 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 答案: 35 cm2. 解答.△CDE的面积是35 cm2. 连接BD，见图 3a，由共边定理， S 8 2 ABF   . （1） S 12 3 DBF 由已知条件ABCD是平行四边形和三角形面积公式， 可知： 图3a 1 S S  72S ，（2） ABF DBF 2 ABF 由（1）和（2），得到，S 18cm2.所以S 18810cm2. ABF ABE 平行四边形ABCD 的面积=（72+18）=90（cm2）， 1 1 S S  S  9045， BCE AED 2 平行四边形ABCD 2 S 45S 45S S 45812=25. BCE AED AEF DEF 所以，△CDE的面积=72-25-12=35cm2. 14. 答案: 3名 解答. 至少有3名学生分到的书的数量相同. 如果48名学生分到的书籍的数量不同，则书籍总数是： 4748 0123 47 1128（本）， 2 1128大于530，显然会有 2名以上学生分到的书籍的数量相同. 将 48 名学生分成 24 组，每组有 2 名学生，如果允许每组内的两名学生分 到相同数量的书籍，但是不同组的学生分到的书籍数量不相同，则书籍的总数是： 20123 232324552， 552仍然大于530，希望最多仅有两名学生分到的书籍的数量相同是做不到的. 第 3 页 共 4 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 所以，至少有三名学生分到的书籍的数量相同.现在将 530 本书分给 48 名学 生，相当于拆分一个自然数 530， 53020123 2224. 上式的含义是有23 组共46名学生，同一组内的学生分到相同数量的书籍，但是 不同组的的学生分到的书籍数量不同，则一共有 20123 22506(本)， 余下的24本书分给第 24组的2名学生，则至少有一个学生分到的书籍的数量不 大于22. 所以，一定有3 名学生分到相同数量的书籍. 第 4 页 共 4 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 D 参考答案 （北京小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 200 24 10 360 5321 15 23 8 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9.【答案】这两个自然数是552, 115或232, 435. 【解答】 1202335, 667  1 23  29. （*） 设这两个自然数是da和db, 其中a和b是互质, d是这两个自然数的最大公约数, d是667 的因子, 且大于1, 小于667. 无妨设ab,则有： （1）当d=23时, 由（*）, ab29, ab2335, 此时易得：a24, b5, 这 两个自然数是435, 232. （2）当d=29时, 由（*）, ab23, ab2335, 此时易得：a 15, b8, 这 两个自然数是552, 115. 10. 【答案】300元/天 【解答】设房间的降价次数为m（m是非负整数）, 则收到的房租是： (100  50%  5m)(400  20m)  20000  1000m 100m2  100 (200  10m m2) （1） m=0, 房租=20000； （2） m=1, 房租=20900； 第 1 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn （3） m=2, 房租=21600； （4） m=3, 房租=22100； （5） m=4, 房租=22400； （6） m=5, 房租=22500； （7） m=6, 房租=22400； （8） m=7, 房租=22100； （9） m=8, 房租=21600； （10） m=9, 房租=20900； （11） m=10, 房租=20000. 所以, 当m为5时酒店收到的房租费最高, 此时的房价为300元/天. 11.【答案】三角形AEF 的面积是25 cm2. 【解答】如图,设ABCDx, ADBC  y, 则 CF  x2,BE y3.且xy56. 依题意, 三角形AEF的面积 1 1 1  xy 3x 2y (x2)(y3) 2 2 2 1 1  xy 3x2yxy2y3x6 xy (xy6) 2 2 1 1  xy6 (566)25. 2 2 12.【答案】能够被7整除的有288个. 【解答】3n被7除的余数为3, 2, 6, 4, 5, 1, 每6个一循环； n3被7除的余数为1,1,6,1,6,6,0, 每7个一循环, 6和7互质, 3n,n3被7除的余数和每42个一循环.列表如下: n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3n 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 第 2 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn n3 0 1 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 0 n 15 16 17 18 19 20 21 22 29 3n 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 n3 1 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 0 1 n 30 44 3n 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 n3 1 6 1 6 6 0 1 1 6 1 6 6 0 1 1 每42个数中，有6个数被7整除. 2015被42除商47余41，所以共有288个数被7整 除. 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 8 13. 【答案】平行四边形ABCD的面积是8 . 9 【解答】设ABCD的面积是w,用S表示面积. 如图a,连接MN和NE,由三角形面积公式和已知条件 AM=MB,DN=CN,BE=EF=FC,易知： 1 1 1 1 S  w, S   w w, MNB 4 ENB 3 4 12 1 1 1 图a S   w w. BEM 6 2 12 再由共边定理（可由三角形面积公式推出）,可得： 1 w S S 4 BHM  MNB  3, S S 1 BEM ENB w 12 图b 故 第 3 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 1 w 1 S S S 12 S  w. BHM 1 BHM BEH  4, BEH 48 S S S BEH BEH BEH 如图b, 连接CG, 设S  x, S  y, 由已知条件DN=CN, BE=EF=FC, 可以得到： CNG CFG  1  1 x3y  w x  w    4  20  , 可得： . 1 1 2x y  w y  w  6  15 所以, 1  2 1  1 27 8 1 S  S S 2y w  w  w, w=8 EFGH BFG BEH 48 15 48 3 80 9 14．【答案】“弄”可以代表的数最大是9. 【解答】将四个成语共 16个汉字代表的数字相加，总和是 84，若11个非 零连续自然数中最小的一个不小于 2，则其和不小于 77，则四个成语中，“虚”、 “一”、“故”、“如”和“表”都出现两次， “虚”+“一”+“故”+“如”+“表”≤84-77=7， （*） 因为“虚”+“一”+“故”+“如”+“表”≥2+3+4+5+6=20，和（*）矛盾，故11个非零连续自然数 中最小的一个是1，和为66. 此时， “虚”+“一”+“故”+“如”+“表”=84-66=18. （**） 因为“虚”、“一”、“故”、“如”与“表”不可能全为偶数，否则，其 和不小于30,它们之中有一个偶数,四个奇数或者两个奇数,三个偶数. （1）对于一个偶数,四个奇数的情形. 结合条件“表”>“一”>“故”>“如”> “虚” （**）有解： （**）的第 1个解：“表”=7,“一”=5, “故”=3, “如”=2, “虚” =1. 此时,“表”+“里”+“如”+“一”=14+“里”=21,“里”=7,不可能. （2）对于两个奇数,三个偶数的情形,可以断定最小的奇数必为1.否则,因为 三个偶数之和大于等于12,这样5个数之和将不小于20,不可能.且另外一个奇数 第 4 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 不可能大于5,否则，“虚”+“一”+“故”+“如”+“表”≥12+1+7=20，也不 可能.类似可以断定，最小的偶数必为 2.此时，结合条件“表”>“一”>“故”> “如”>“虚”，（2）有解： （**）的第2个解：“虚”=1，“如”=2，“故”=3，“一”=4，“表”=8； （**）的第3个解：“虚”=1，“如”=2，“故”=4，“一”=5，“表”=6, 将（**）的第2个解代入成语 “一见如故”，“一”+“见”+“如”+“故”= 9+“见”=21， 不可能； 将（**）的第3个解代入4个成语， 代入“表里如一”， “表”+“里”+ “如”+“一”=6+“里”+2+5, 得到“里”=8; 代入“一见如故”，“一”+“见”+“如”+“故”=5+“见”+2+4, 得到“见”=10; 代入“虚有其表”，“虚”+“有”+“其”+“表”=1+“有”+“其”+6, “有”+“其”=14; 得到{“有”，“其”}={11，3}； 代入“故弄玄虚”，“故”+“弄”+“玄”+“虚”=4+“弄”+“玄”+1, “弄”+“玄” =16, 得到{“弄”,“玄”}=9, “玄”=7. 所以，“弄”可以代表的数最大是 9. 第 5 页 共 5 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 总分 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学中年级组） （时间: 2015年12月12日10:00—11:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 共 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个 是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 1. 计算: 124+129+106+141+237500113=（ ）. （A）350 （B）360 （C）370 （D）380 2. 如右图所示, 韩梅家的左右两侧各摆了2盆花. 每次, 韩 梅按照以下规则往家中搬一盆花: 先选择左侧还是右侧, 然后搬该侧离家最近的. 要把所有的花搬到家里, 共有 （ ）种不同的搬花顺序. （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 3. 在桌面上, 将一个边长为1的正六边形纸片与一个边长为1的正三角形纸片拼接, 要求无重叠, 且拼接的边完全重合, 则得到的新图形的边数为（ ）. （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 4. 甲、乙、丙、丁四支足球队进行比赛. 懒羊羊说: 甲第一, 丁第四; 喜羊羊说: 丁 第二, 丙第三; 沸羊羊说: 丙第二, 乙第一. 每个的预测都只对了一半, 那么, 实 际的第一名至第四名的球队依次是（ ）. （A）甲乙丁丙 （B）甲丁乙丙 （C）乙甲丙丁 （D）丙甲乙丁 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 5. 如右图, 在55的空格内填入数字, 使每行、每列及每个粗线 框中的数字为1, 2, 3, 4, 5, 且不重复. 那么五角星所在的空格 内的数字是（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 6. 在除法算式中, 被除数为 2016, 余数为7, 则满足算式的除数共有（ ）个． （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 二、填空题 (每小题 10 分, 共 40 分) 7. 动物园里有鸵鸟和梅花鹿若干, 共有腿 122 条．如果将鸵鸟与梅花鹿的数目 互换, 则应有腿 106条, 那么鸵鸟有 只, 梅花鹿有 头． 8. 某年, 端午节距离儿童节和父亲节的天数相同, 在 月历中与六月最后一天同列, 父亲节是六月的第三 个星期日, 则该年的父亲节是六月 日．（右 图是某个月的月历示意图） 9. 在一个六位数中, 任何3个连续排列的数字都构成能被6或7整除的三位数, 则这个六位数最小是 . 10. 小虎用6个边长均为1的等边三角形在桌面上无重叠地拼接图 形, 每个三角形都至少有一条边与另一个三角形的一条边完全 重合, 右图是拼接出的两个图形. 那么, 在所有拼接出的图形 中, 最小的周长是 . 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题答案（小学中年级组） 一、选择题 (每小题 10 分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正 确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B D C A B 二、填空题（每小题 10 分，共40分） 题号 7 8 9 10 答案 15, 23 17 112642 6 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 总分 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 B（小学中年级组） （ 时间: 2015年12月12 日 15:00～16:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 共 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个 是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内. ) 1. “凑 24 点”游戏规则是: 从一副扑克牌中抽去大小王剩下 52 张, （如果初练也 可只用1～10这 40张牌）任意抽取4张牌（称牌组）, 用加、减、乘、除（可加 括号）把牌面上的数算成 24. 每张牌必须用一次且只能用一次, 并不能用几张牌 组成一个多位数, 如抽出的牌是 3, 8, 8, 9, 那么算式为 (98)83或 (988)3等. 在下面4个选项中, 唯一无法凑出 24点的是（ ）. （A）1, 2, 3, 3 （B）1, 5, 5, 5 （C）2, 2, 2, 2 （D）3, 3, 3, 3 2. 在右图的乘法算式中, 每个汉字代表0至9中的一个数字, 不同汉字代 表不同数字, 当算式成立时, “好”字代表的数字是（ ）. （A）1 （B）2 （C）4 （D）6 3. 如右图, 边长分别为10厘米和7厘米的正方形部分重叠, 重叠部分 的面积是 9 平方厘米. 图中两个阴影部分的面积相差（ ）平 方厘米. （A）51 （B）60 （C）42 （D）9 4. 库里是美国NBA 勇士队当家球星, 在过去的 10场比赛中已经得了 333分的高分, 他在第11场得（ ）分就能使前11场的平均得分达到34分. 第 1 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn （A）35 （B）40 （C）41 （D）47 第 2 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 5. 如右图, 木板上有 10 根钉子, 任意相邻的两根钉子距离都相等. 以这些钉子 为顶点, 用橡皮筋可套出（ ）个正三角形. （A）6 （B）10 （C）13 （D）15 6. 在桌面上, 将一个边长为 1 的正六边形纸片与一个边长为 1 的正三角形纸片 拼接, 要求无重叠, 且拼接的边完全重合, 则得到的新图形的边数为（ ）. （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 二、填空题（每小题 10 分, 共 40 分） 7. 计算: 1987201519862016 . 8. 学校打算组织同学们去秋游. 每辆大巴车有39个座位, 每辆公交车有27个座 位, 大巴车比公交车少2辆. 如果所有学生和老师都乘坐大巴, 每辆大巴车上 有2位老师, 则多出3个座位; 如果都乘坐公交车, 每辆公交车都坐满并且各 有1位老师, 则多出3位老师. 那么共有 位老师, 名同学参 加这次秋游. 9. 于2015年10月29日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策. 笑笑的爸爸看到当天的新闻后跟笑笑说: 我们家今年的年龄总和是你年龄的 7 倍, 如果明年给你添一个弟弟或者妹妹, 我们家 2020 年的年龄总和就是你 那时年龄的6倍. 那么笑笑今年 岁. 10. 教育部于 2015 年 9 月 21 日公布了全国青少年校园足球特色学校名单, 笑笑 所在的学校榜上有名. 为了更好地备战明年市里举行的小学生足球联赛, 近 期他们学校的球队将和另 3 支球队进行一次足球友谊赛. 比赛采用单循环制 （即每两队比赛一场）, 规定胜一场得 3 分, 负一场得 0 分, 平局两队各得 1 分; 以总得分高低确定名次, 若两支球队得分相同, 就参考净胜球、相互胜负 关系等因素决定名次. 笑笑学校的球队要想稳获这次友谊赛的前两名, 至少 要得 分. 第 3 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 B 答案（小学中年级组） 一、选择题 (每小题 10 分, 共 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有 一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内. ) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B A C D D 二、填空题（每小题 10 分，共40分） 题号 7 8 9 10 10位老师, 答案 29 11 7 182名同学 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 总分 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学高年级组） （时间: 2015年12月12日 10:00—11:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 共 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有 一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 1. 算式99999999的结果中含有（ ）个数字0．   2016个 2016个 （A）2017 （B）2016 （C）2015 （D）2014 2. 已知A, B两地相距 300米．甲、乙两人同时分别从 A, B两地出发, 相向而行, 在距 A 地 140 米处相遇; 如果乙每秒多行 1 米, 则两人相遇处距 B 地 180 米．那么乙原来的速度是每秒（ ）米． 3 4 1 （A）2 （B）2 （C）3 （D）3 5 5 5 3. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除 的三位数, 则这个七位数最大是（ ）． （A）9981733 （B）9884737 （C）9978137 （D）9871773 4. 将1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 这8个数排成一行, 使得8的两边各数之和相等, 那么 共有（ ）种不同的排法． （A）1152 （B）864 （C）576 （D）288 第 1 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 5. 在等腰梯形 ABCD中, AB 平行于CD, AB 6, CD14, AEC 是直角, CE CB , 则 AE2等于 （ ）． （A）84 （B）80 （C）75 （D）64 6. 从自然数1, 2, 3, , 2015, 2016中, 任意取n个不同的数, 要求总能在这n个 不同的数中找到 5个数, 它们的数字和相等. 那么n的最小值等于（ ）． （A）109 （B）110 （C）111 （D）112 二、填空题 (每小题 10 分, 共 40 分) 7. 两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米, 如果这样的一对正方形的边长都 是整数厘米, 那么满足上述条件的所有正方形共有 对． 4 2 8. 如下图, O, P, M是线段AB上的三个点, AO  AB, BP  AB, M是AB的 5 3 中点, 且OM 2, 那么PM长为 ． 9. 设q是一个平方数. 如果q2和q2都是质数, 就称q为 P 型平方数. 例如, 9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大 P型平方数是 ． 10. 有一个等腰梯形的纸片, 上底长度为 2015, 下底长度为 2016. 用该纸片剪出 一些等腰梯形, 要求剪出的梯形的两个底边分别在原来梯形的底边上, 剪出 的梯形的两个锐角等于原来梯形的锐角, 则最多可以剪出 个同样的 等腰梯形． 第 2 页 共 2 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题答案（小学高年级组） 一、选择题 (每小题 10 分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正 确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D B A A B 二、填空题（每小题 10 分，共40分） 题号 7 8 9 10 10 答案 12 441 4029 9 第 1 页 共 1 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷 B（小学高年级组） （ 时间: 2015年12月12 日 10:00～11:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 共 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个 是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内. ) 1. “凑 24 点”游戏规则是: 从一副扑克牌中抽去大小王剩下 52 张（如果初练也可 只用 1～10 这 40 张牌）, 任意抽取 4 张牌（称牌组）, 用加、减、乘、除（可加 括号）把牌面上的数算成 24. 每张牌必须用一次且只能用一次, 并不能用几张牌 组成一个多位数, 如抽出的牌是 3, 8, 8, 9, 那么算式为 (98)83 或 (988)3等. 在下面4个选项中, 唯一无法凑出 24点的是（ ）. （A）1, 2, 2, 3 （B）1, 4, 6, 7 （C）1, 5, 5, 5 （D）3, 3, 7, 7 2. 有一种数, 是以法国数学家梅森的名字命名的, 它们就是形如2n 1（n 为质数） 的梅森数, 当梅森数是质数时就叫梅森质数, 是合数时就叫梅森合数. 例如: 22 13就是第一个梅森质数. 第一个梅森合数是（ ）. （A）4 （B）15 （C）127 （D）2047 3. 有一种饮料包装瓶的容积是 1.5 升. 现瓶里装了一些饮料, 正放 时饮料高度为20厘米, 倒放时空余部分的高度为5厘米, 如右图. 那么瓶内现有饮料（ ）升. （A）1 （B）1.2 （C）1.25 （D）1.375 4 1 1 4. 已知a, b为自然数,   , 那么ab的最小值是（ ）. 15 a b 第 1 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn （A）16 （B）20 （C）30 （D）6 第 2 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 5. 如右图, 平面上有25个点, 每个点上都钉着钉子, 形成5×5的正 方形钉阵. 现有足够多的橡皮筋, 最多能套出（ ）种面积不 同的正方形. （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 6. 在一个七位整数中, 任何三个连续排列的数字都构成一个能被 11 或 13 整除 的三位数, 那么这个七位数最大是（ ）． （A）9981733 （B）9884737 （C）9978137 （D）9871773 二、填空题（每小题 10 分, 共 40 分） 7. 计算: 20152 20162 2014201620152017 . 8. 在右边的算式中, 相同汉字代表相同数字, 不同汉 字代表不同数字. 当杯代表 5 时, 华杯赛所代表的 三位数是 . 9. 于2015年10月29日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策. 笑笑的爸爸看到当天的新闻后跟笑笑说: 我们家今年的年龄总和是你年龄的 7 倍, 如果明年给你添一个弟弟或者妹妹, 我们家 2020 年的年龄总和就是你 那时年龄的6倍. 那么笑笑今年 岁. 10. 教育部于 2015 年 9 月 21 日公布了全国青少年校园足球特色学校名单, 笑笑 所在的学校榜上有名. 为了更好地备战明年市里举行的小学生足球联赛, 近 期他们学校的球队将和另 4 支球队进行一次足球友谊赛. 比赛采用单循环制 （即每两队比赛一场）, 规定胜一场得 3 分, 负一场得 0 分, 平局两队各得 1 分; 以总得分高低确定名次, 若两支球队得分相同, 就参考净胜球、相互胜负 关系等因素决定名次. 笑笑学校的球队要想稳获这次友谊赛的前三名, 至少 要得 分. 第 3 页 共 3 页咨询电话4006500666 www.huabeisai.cn 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷B 答案（小学高年级组） 一、选择题 (每小题 10 分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正 确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D B A C B 二、填空题（每小题 10 分，共40分） 题号 7 8 9 10 答案 2 153 11 8 第 1 页 共 1 页第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学中年级组） （时间: 2016年3 月12日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 计算: (98766798)(246252533)________. 2. 从1, 2, 3, 4, 5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中 □ + □ > □ + □, 有________种不同的填法使式子成立.（提示: 1523和5123是不 同的填法.） 3. 将下图左边的大三角形纸板剪3刀, 得到4个大小相同的小三角形纸板 (第一 次操作), 见下图中间. 再将每个小三角形纸板剪 3 刀, 得到 16 个大小相同的 更小的三角形纸板 (第二次操作), 见下图右边. 这样继续操作下去, 完成前 六次操作共剪了________刀. 4. 一个两位数与 109的乘积为四位数, 它能被23整除且商是一位数, 这个两位 数最大等于________. 5. 右图中的网格是由6个相同的小正方形构成. 将其中4个小正方形 涂上灰色, 要求每行每列都有涂色的小正方形. 经旋转后两种涂 色的网格相同, 则视为相同的涂法, 那么有________种不同的涂 色方法. 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 (小学中年级组) 6. 有若干个连续的自然数, 任取其中4个不同的数相加, 可得到385个不同的和, 则这些自然数有________个. 7. 在44方格网的每个小方格中都填有一个非零自然数, 每 行、每列及每条对角线上的 4 个数之积都相等. 右图给出 了几个所填的数, 那么五角星所在的小方格中所填的数是 ________. 8. 甲、乙两人在一条长 120 米的直路上来回跑, 甲的速度是 5 米/秒, 乙的速度 是3米/秒. 若他们同时从同一端出发跑了15分钟, 则他们在这段时间内共迎 面相遇________次（端点除外）. 二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 右图中有一个边长为6厘米的正方形ABCD与一个斜边长为 8厘米的等腰直角三角形AEF, E在AB的延长线上, 则图中 阴影部分的面积为多少平方厘米? 10. 有10个两两不同的自然数, 其中任意5个的乘积是偶数, 全部10个数的和是 奇数. 则这10个自然数的和最小是多少？ 11. 在1到200这200个自然数中任意选数, 至少要选出多少个才能确保其中必 有2个数的乘积等于 238？ 12. 最初, 盒子中有三张卡片, 分别写着数1, 2, 3. 每次, 从盒子里取出两张卡片, 将上面的数之和写到另一张空白卡片上, 再把三张卡片放回盒子. 如此 5 次 后, 除了最后一张写数的卡片外, 其它的卡片都至少取出过一次, 不超过两 次. 问: 此时盒子里面卡片上的数最大为多少？第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题答案（小学中年级组） 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案 （小学中年级组） 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1 48 4095 69 7 100 1 23 二、解答下列各题（每题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 【答案】22平方厘米 10. 【答案】 51 11. 【答案】 198 12. 【答案】28第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学中年级组） （时间: 2016 年 3月 12 日10:00～11:30） 一、 填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1、 计算：20162016―20152016=________. 2、 计算：1+2+4+5+7+8+10+11+13+14+16+17+19+20=________. 3、 用一条线段把一个周长是 30 cm 的长方形分割成一个正 方形和一个小的长方形，见右图. 如果小长方形的周长是 16 cm, 则原来长方形的面积是________cm2. 4、 某月里，星期五、星期六和星期日各有 5 天，那么这个 月的第1 日是星期________. 5、 从 1、3、5、7、9 这 5个数中选出4 个不同的数填入下面4个方格中，使式子 成立:□ + □ > □  □. 两种填法，如果应用加法交换律和乘法交换律后， 式子相同，则认为是相同填法，则共有________种不同的填法. 6、 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向匀速行进, 在距 A 地 60 千米处 相遇. 相遇后, 两车继续行进，分别到达B，A后，立即原路返回, 在距 B地 50 千米处再次相遇. 则A，B两地的路程是________千米. 7、 黑板上先写下一串数：1，2，3，…，50，每次都擦去最前面的4个，并在这 串数的最后再写上擦去的4 个数的和，得到新的一串数，再做同样的操作， 直到黑板上剩下的数不足4 个. 问：(1) 最后黑板上剩下的这些数的和是 ________，(2) 最后 1个所写的数是________. 8、 一个整数有2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数 字相加，则最后的这个和数可能的最大值是________. - 1 - 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B (小学中年级组) 二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9、 某商店搞了一次钢笔促销活动，促销办法是：顾客买的钢笔中，每2 支送1 只小熊玩具，不足2 支不送. 卖出 1 支钢笔的利润是7 元，1只小熊玩具的进 价是2元，这次促销活动共赚了2011元，该商店此次促销共卖出多少支钢笔？ 10、 右图是一个三角形纸片折叠后的平面图形，折痕 为 DE，已知：B74，A70，CEB20，那 么ADC等于多少度？ 11、 将自然数1,2,3,4,从小到大无间隔地排列起来， 得到：1234567891011121314 ，这串数码中，当偶 数数码首次连续出现5个时，其中的第一个（偶）数码所在位置从左数是第 多少位？ 12、 从 1到 200 这 200 个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中 必有 2个数的和是5 的倍数？ - 2 -第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B答案（小学中年级组） 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案 （小学中年级组）B 一、填空（每题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 1275 答案 2016 147 56 五 12 130 36 755 二、解答下列各题（每题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程） 9. 答案：335 10. 答案：920 11. 答案：490 位 12. 答案：81 个 1第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学高年级组） （时间: 2016 年3月12日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1  2  7 1. 计算: 7 2.41 41  . 3  3  10 2. 中国北京在 2015 年 7 月 31 日获得了 2022 年第 24 届冬季奥林匹克运动会的 主办权. 预定该届冬奥会的开幕时间为 2022年2 月4日, 星期 .（今 天是2016 年3月12日, 星期六） 3. 右图中, AB5厘米, ABC 85, BCA45, DBC 20, 则AD 厘米. 4. 在99的格子纸上, 11小方格的顶点叫做格点. 如右图, 三角形ABC的三个顶点都是格点. 若一个格点P使得三角 形PAB与三角形PAC的面积相等, 就称P点为“好点”. 那 么在这张格子纸上共有 个“好点”. 5. 对于任意一个三位数n, 用n表示删掉n中为0的数位得到的数. 例如n102 时 n12.那么满足 nn且 n 是n的约数的三位数 n有 个. 6. 共有12 名同学玩一种扑克游戏, 每次4人参加, 且任意2位同学同时参加的 次数不超过 1. 那么他们最多可以玩 次. 7. 如果238能表示成k个连续正整数的和, 则k的最大值为 . 8. 两把小尺与一把大尺组成套尺, 小尺可以沿着大尺滑动. 大尺上每一个单位 都标有自然数, 第一把小尺将大尺上的 11个单位等分为 10, 第二把小尺将大 尺上9个单位等分为10, 两把小尺的起点都为0, 都分别记为1至10. 现测量 A, B两点间距离, A点在大尺的 0单位处, B点介于大尺的 18与19单位之间; 将第一把小尺的0单位处于B点时, 其单位3恰好与大尺上某一单位相合. 如 果将第二把小尺的 0 单位处置于 B 点, 那么第二把小尺的第 个单位 恰好与大尺上某一单位相合. 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A (小学高年级组) 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 复活赛上, 甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额. 投票人 数固定, 每票必须投给甲乙二人之一. 最后, 乙的得票数为甲的得票数的 20 , 甲胜出. 但是, 若乙得票数至少增加 4 票, 则可胜甲. 请计算甲乙所得 21 的票数. 10. 如右图, 三角形 ABC 中, AB180 厘米, AC 204 厘米, D, F是AB 上的点, E, G是AC 上的点, 连结 CD, DE, EF, FG, 将三角形ABC分成面积相等的五 个小三角形. 则AF  AG为多少厘米? 11. 某水池有甲、乙两个进水阀. 只打开甲注水, 10 小时可将空水池注满; 只打 开乙, 15 小时可将空水池注满. 现要求 7个小时将空水池注满, 可以只打开 甲注水若干小时, 接着只打开乙注水若干小时, 最后同时打开甲乙注水. 那 么同时打开甲乙的时间是多少小时? 12. 将一个五边形沿一条直线剪成两个多边形, 再将其中一个多边形沿一条直 线剪成两部分, 得到了三个多边形, 然后将其中一个多边形沿一条直线剪 成两部分, , 如此下去. 在得到的多边形中要有 20 个五边形, 则最少剪 多少次? 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 如右图, 有一张由四个11的小方格组成的凸字形 纸片和一张56的方格纸. 现将凸字形纸片粘到方 格纸上, 要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格 纸的某个小方格重合,那么可以粘出多少种不同的 图形? (两图形经旋转后相同看作相同图形) 14. 设n是正整数. 若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a, b, c, d 使得abcd能被20整除, 则n的最小值是多少?第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A参考答案(小学高年级组) 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 2 五 5 6 93 9 108 7 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 【答案】甲、乙得票分别为 126, 120或 147, 140 10. 【答案】172.5 11. 【答案】5 12. 【答案】38 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 【答案】31 14. 【答案】9 - 1 -第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B（小学高年级组） （时间: 2016年 3月12日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）  3    1 11 4 5 1. 计算:     2.4 .  7 7  3 13   6  9  5 2. 如右图, 30 个棱长为1的正方体粘成一个四层的立体, 这个立 体的表面积等于 . 3. 有一片草场, 10头牛8天可以吃完草场上的草; 15头牛, 如果从第二天开始每天 少一头, 可以 5天吃完. 那么草场上每天长出来的草够 头牛吃一天. 4. 如右图所示, 将一个三角形纸片 ABC 折叠, 使得点 C 落在三 角形 ABC 所在平面上, 折痕为 DE. 已知 ABE 74 , DAB 70, CEB 20, 那么CDA等于 . 5. 甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发, 背向而行. 已知甲骑行一 圈的时间是 70分钟, 出发后第 45分钟甲、乙二人相遇, 那么乙骑行一圈的时间 是 分钟. 6. 如右图, 正方形 ABCD的边长为 5, E, F为正方形外两点, 满足AE CF 4, BE DF 3, 那么EF2  . 7. 如果238能表示成k个连续正整数的和, 则k的最大值为 . 8. 现有算式: 甲数□乙数○１, 其中□, ○是符号, , , 中的某两个. 李雷对四组甲数、乙数进行了计算, 结果 见右表, 那么, A○B  . 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B (小学高年级组) 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 计算: 1 1 1  2 2 2         2 3 2016 3 4 2016 3 3 3  2014 2014 2015       . 4 5 2016 2015 2016 2016 10. 商店春节促销, 顾客每次购物支付现金时, 每 100 元可得一张价值 50 元的代金 券. 这些代金券不能兑成现金, 但可以用来购买商品, 规则是: 当次购物得到的 代金券不能当次使用; 每次购物支付的现金不少于购买商品价值的一半. 李阿 姨只有不超过1550元的现金, 她能买到价值2300元的商品吗? 如果能, 给她设 计一个购物方案; 如果不能, 说明理由. 11. 如右图, 等腰直角三角形 ABC 与等腰直角三角形DEF 之 间的面积为20, BD2, EC 4, 求三角形ABC的面积. 12. 试找出这样的最大的五位正整数, 它不是 11的倍数, 通过划去它的若干数字也 不能得到可被11 整除的数. 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 如右图, 正方形ABCD的面积为1, M是CD边的中点, E, F是 BC 边上的两点, 且BE EF FC. 连接 AE, DF 分别交 BM 分别于H, G. 求四边形 EFGH的面积. 14. 现有下图左边所示的“四连方”纸片五种, 每种的数量足够多. 要在如下图右边 所示的55方格网上, 放“四连方”, “四连方”可以翻转, “四连方”的每个 小方格都要与方格网的某个小方格重合, 任意两个“四连方”不能有重叠部分. 那么最少放几个“四连方”就不能再放了?第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案(小学高年级组) 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 B 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 177 答案 4.1 72 5 92 126 98 108 15 187 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 【答案】1015560 10. 【答案】能 13 11. 【答案】23 36 12. 【答案】98765 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 23 13. 【答案】 210 14. 【答案】3 - 1 -第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C（小学高年级组） （时间: 2016 年 3 月12日 10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1 2 0.25 20.5 4 1. 计算:  =______. 3 1 1 2 2  2  4 2 5 5 2. 某月里，星期五、星期六和星期日各有5天，那么该月的第1日是星期______. 1 1 3. 大于 且小于 的真分数有______个. 2016 2015 4. 哥哥和弟弟各买了若干个苹果， 哥哥对弟弟说：“若我给你一个苹果, 咱俩的 苹果个数一样多”，弟弟想了想，对哥哥说：“若我给你一个苹果, 你的苹果数 将是我的2 倍”, 则哥哥与弟弟共买了______个苹果. 5. 图1 中，AB AD, DBC 21，ACB 39， 则ABC ______度. 图1 6. 已知抽水机甲和抽水机乙的工作效率比是3:4，如两台抽水机 同时抽取某水池，15小时抽干水池. 现在，乙抽水机抽水9 小时后关闭，再 将甲抽水机打开，要抽干水池还需要______小时. 7. n为正整数，形式为2n 1的质数称为梅森数，例如：22 13, 2317是梅 森数. 最近，美国学者刷新了最大梅森数，n=74207281，这个梅森数也是目 前已知的最大的质数，它的个位数字是______. 8. 图2 中，ABCD是直角梯形，上底 AD＝2，下底 BC＝6，E 是 DC 上一点，三角形 ABE 的面积是 15.6，三角形 AED 的面积 是4.8，则梯形ABCD的面积是______. - 1 - 号证赛参 _________名姓 ____________校学 题 答 勿 请 内 线 封 密 总分 图2第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 C (小学高年级组) 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步. 已知甲的速度是每 分钟 180m，乙的速度是每分钟 240m，在 30 分钟内，它们相遇了 24 次， 问跑道的长度最多是多少米？ 10. 一筐苹果分成甲乙两份，甲的个数和乙的苹果个数比是 27:25，甲多乙少， 若从甲中至少取出4 个，加入乙中，则乙多甲少，问这筐苹果有多少个？ 11. 图 3 是一个等边三角形，等分为4 个小的等边三角形，用红和 黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能 涂一种颜色. 涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同， 则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？ 图 3 12. 三台车床 A，B，C 各以一定的工作效率加工同一种标准件，A车床比 C 车 床早开机 10 分钟，C 车床比B车床早开机5分钟，B车床开机10 分钟后， B，C 车床加工的标准件的数量相同. C 车床开机30分钟后，A，C 两车床 加工的标准件个数相同. B车床开机多少分钟后就能与A车床加工的标准件 的个数相同？ 三、解答下列各题（每小题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 黑板上先写下一串数：1，2，3，…，100，如果每次都擦去最前面的6个， 并在这串数的最后再写上擦去的6 个数的和，得到新的一串数，再做同样 的操作，直到黑板上剩下的数不足6个. 问：(1) 最后黑板上剩下的这些数 的和是多少？(2) 最后所写的那个数是多少？ 14. 数学竞赛，填空题 8 道，答对 1 题，得 4 分，未答对，得 0 分；问答题 6 道，答对 1 道，得 7 分，未答对，得 0 分. 参赛人数 400 人，至少有多少 人的总分相同？第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C参考答案(小学高年级组) 第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 C 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 2 答案 1 五 0 12 81 23 1 24 3 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 答案：525 米 10.答案：156 个 11.答案：24 种 12.答案：15 分钟 三 解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13.答案：5050，2394 14.答案：8 人 - 1 -第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题答案（小中组） 一、选择题 (每小题 10 分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正 确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D D C B C 二、填空题（每小题 10 分，共40分） 题号 7 8 9 10 答案 600 250,100 130 3,42017/9/26 2017年第22届小高组华杯初赛真题 2017年第22届小高组华杯初赛真题 杯赛备考建议 第1步：真题刷题——十一国庆假期 （感知真题形式，适应出题方式，寻找真题规律） ； 第2步：备考讲座——10月8日 （整体把脉杯赛，明确备考重心，制定备考方案）； 第3步：初赛集训营——10月、11月每周一次 （重点模块精讲，夯实提升训练，差缺补漏 答疑） 第4步：全真模考、最后冲刺——11月底。 一、选择题（每题10分，共60分） 【例题1】 两个有限小数的整数部分分别是 和 ，那么这两个有限小数的积的整数部分有 种 可能的取值。 A. B. C. D. 【例题2】 小明从家出发，乘地铁到学校需要 分钟，乘公交车到学校需要 分钟，某天小明因故先 乘地铁，再换乘公交车，用了 分钟到达学校，其中换乘用了 分钟，那么这天小明乘坐 公交车用了 分钟． A. B. C. D. http://paper.haibian.com/paper/#!/preview/subject/2/grade/1/id/8614d0675b4045a3ba3920b379333575 1/72017/9/26 2017年第22届小高组华杯初赛真题 【例题3】 将长方形 对角线平均分成 段．连接成右图．长方形 内部空白部分面积总 和是 平方厘米，那么阴影部分面积总和是 平方厘米． A. B. C. D. 【例题4】 请在图中的每个方框中填入适当的数字，使得乘法竖式成立．那么乘积是 ． A. B. C. D. http://paper.haibian.com/paper/#!/preview/subject/2/grade/1/id/8614d0675b4045a3ba3920b379333575 2/72017/9/26 2017年第22届小高组华杯初赛真题 【例题5】 在序列 中，从第 个数字开始，每个数字都是前面 个数字和的个位数．这样的序 列可以一直写下去．那么从第 个数字开始，该序列中一定不会出现的数组是 ． A. B. C. D. 【例题6】 从 至 中选择四个不同的数字分别填入下方的四个括号中，共有 种填法使得下面这 句话是正确的． 这个话里有（ ）个数大于 ，有（ ）个数大于 ，有（ ）个数大于 ，有（ ）个数大 于 ． A. B. C. D. 二、填空题（每题10分，共40分） 【例题7】 若 ，那么 的值是 ． http://paper.haibian.com/paper/#!/preview/subject/2/grade/1/id/8614d0675b4045a3ba3920b379333575 3/72017/9/26 2017年第22届小高组华杯初赛真题 【例题8】 右图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表 这五个不同的数字．将各线段两端点的数字 相加得到五个和，共有 种情况使得这五个和恰为五个连续自然数． 【例题9】 图中， 是平行四边形， 为 的中点， 和 的交点为 ， 和 的交点为 ， 和 的交点为 ，四边形 的面积是 平方厘米，则 的面积 是 平方厘米． http://paper.haibian.com/paper/#!/preview/subject/2/grade/1/id/8614d0675b4045a3ba3920b379333575 4/72017/9/26 2017年第22届小高组华杯初赛真题 【例题10】 若 ， 与 除以 的余数均为 ，那么 的最大值是 ． http://paper.haibian.com/paper/#!/preview/subject/2/grade/1/id/8614d0675b4045a3ba3920b379333575 5/72017/9/26 2017年第22届小高组华杯初赛真题 三、课后练习 【练习1】 ． A. B. C. D. 【练习2】 春季开学后，有不少同学都将部分压岁钱捐给山区的贫困学生；事后，甲、乙、 丙、丁 位同学有如下的对话： 甲：“丙、丁之中至少有 人捐了款” 乙：“丁、甲之中至多有 人捐了款” 丙：“你们 人中至少有 人捐了款” 丁：“你们 人中至多有 人捐了款” 己知这 位同学说的都是真话且其中恰有 位同学捐了款，那么这 位同学是（ ）． A. 甲、乙 B. 丙、丁 C. 甲、丙 D. 乙、丁 【练习3】 水池 和 同为长 米，宽 米，深 米的长方体，一号阀门用来向 池注水， 分钟可将 无水的 池注满，二号阀门用来从 池向 池放水， 分钟可将 池中满池水放入 池．若 同时打开一号和二号阀门，那么当 池水深 米时， 池有（ ）立方米的水． A. B. C. D. http://paper.haibian.com/paper/#!/preview/subject/2/grade/1/id/8614d0675b4045a3ba3920b379333575 6/72017/9/26 2017年第22届小高组华杯初赛真题 【练习4】 于 年 月 日闭幕的党的十八届五中全会确定了允许普遍二孩的政策，笑笑爸爸看到 当天的新闻后跟笑笑说：我们家今年的年龄总和是你年龄的 倍，如果明年给你添了一个弟 弟或妹妹，我们家 年的年龄总和就是你那时年龄的 倍，那么笑笑今年 岁． http://paper.haibian.com/paper/#!/preview/subject/2/grade/1/id/8614d0675b4045a3ba3920b379333575 7/7第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试题答案（小高组） 一、选择题 (每小题 10 分, 共60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正 确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C A D B B 二、填空题（每小题 10 分，共40分） 题号 7 8 9 10 答案 4 10 180 35 说明：各地使用试卷小高组第 7题不完全相同，具体情况说明如下： 7. 若  1 5 3 2 ，那么A的值是________． − × ÷ +2.25=4   5 9 5 3   2 3   1+ 24   7 4  A  （把式子中的24的分子24修改为6, 12, 18, …,6k,…, 修改后的答案为k） A 答：4 （24修改为6k后的答案为k） 解：  1 5 3 2 − × ÷ =1.75   5 9 19 15     1+ 24   7 4  A   1 5 21 8 7 − × ÷ =   5 9 19 15 4   24   1+    A 1 5 7 19 8 38 − = × × = 5 9 4 21 15 45 24 1+ A 1 38 5 7 = + = 5 45 9 5 24 1+ A 5 5 = 24 7 1+ A 24 1+ =7 A A=4www.huabeisai.cn 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A（小学高年级组） （时间: 2017年3月11 日10:00～11:30） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 1. 用x表示不超过x的最大整数, 例如 3.14  3, 则 20173 20174 20175 20176 20177 20178                   11   11   11   11   11   11 的值为 ． 2. 从4个整数中任意选出3个, 求出它们的平均值, 然后再求这个平均值和余 2 1 下1个数的和, 这样可以得到4个数：8, 12, 10 和9 , 则原来给定的4 3 3 个整数的和为 . 3. 在33的网格中（每个格子是个11的正方形）放两枚相同的棋子, 每个格子最多放一枚棋子, 共有 种不同的摆放方法.(如果 两种放法能够由旋转而重合, 则把它们视为同一种摆放方法）. 4. 甲从A地出发去找乙, 走了80千米后到达 B地, 此时, 乙已于半小时前离 开B地去了C 地, 甲已离开A地2小时, 于是, 甲以原来速度的2倍去C 地, 又经过了2小时后, 甲乙两人同时到达C地, 则乙的速度是 千米 /小时. 5. 某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组, 已知两个小组都参加的人数是只参 2 1 加书法小组人数的 , 是只参加朗诵小组人数的 , 那么书法小组与朗诵 7 5 小组的人数比是_______. 6. 右图中, ABC的面积为100平方厘米, ABD的面积为 72平方厘米. M 为CD边的中点, MHB90. 已知 AB 20厘米. 则MH的长度为 厘米. 7. 一列数a ,a ,,a ,, 记S(a )为a 的所有数字之和, 如S(22)224. 1 2 n i i 若a 2017, a 22, a S(a )S(a ), 那么a 等于 . 1 2 n n1 n2 2017 第 1 页 共 2 页www.huabeisai.cn 8. 如右图, 六边形的六个顶点分别标志为A, B, C, D, E, F. 开 华 赛 A F 始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于 罗B E 杯 A, B, C, D, E, F顶点处. 将六个汉字在顶点处任意摆放, 最 C D 终结果是每个顶点处仍各有一个汉字, 每个字在开始位置 庚 金 的相邻顶点处, 则不同的摆放方法共有 种． 二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 平面上有5条不同的直线, 这5条直线共形成n个交点, 则n有多少个不同的 数值？ 10. 某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果, 用作课间加餐。每名学生至少选 择一种, 也可以多选. 统计结果显示：70%的学生选择苹果, 40%的学生选 了香蕉, 30%的学生选了梨. 那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是 百分之几. 11. 箱子里面有两种珠子, 一种每个19克, 另一种每个17克, 所有珠子的重量为 2017克, 求两种珠子的数量和所有可能的值. 3n2 12. 使 不为最简分数的三位数n之和等于多少. 5n1 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 班上共有60位同学, 生日记为某月某号. 问每个同学两个同样的问题：班上 有几个人与你生日的月份相同? 班上有几个人与你生日的号数相同（比如生 日为1月12日与12月12日的号数是相同的）. 结果发现, 在所得到的回答中 包含了由0到14的所有整数, 那么, 该班至少有多少个同学生日相同? 14. 将1至9填入右图的网格中, 要求每个格子填一个整数, 不 同格子填的数字不同, 且每个格子周围的格子（即与该格 子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的 整数倍. 已知左右格子已经填有数字4和5, 问：标有字母 x的格子所填的数字最大是多少？ 第 2 页 共 2 页www.huabeisai.cn 第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题 A 参考答案 （小学高年级组） 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 6048 20 10 64 3:4 8.6cm 10 4 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程） 9. 【答案】9 10. 【答案】20 11. 【答案】107,109,111,113,115,117. 12. 【答案】70950 三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程） 13. 【答案】2 14. 【答案】6 第 1 页 共 1 页第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛模拟… 一、选择题（每小题10分，共60分） 1 （10分）甲乙丙丁四个人比赛，赛前预测一下结果． 甲说：“我拿不到冠军”． 乙说：“丙会得冠军”． 丙说：“冠军会是甲或者丁”． 丁说：”乙说的对“． 比赛结束，结果出来，发现只有两个人说对了，并且只有一个冠军．请问，冠军是谁？ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 答案 D 解析 乙和丁只有可能全对或者全错，如果全对，则丙是冠军，甲也对，不符合题意．如果全 错，则甲和丙全对，丙说冠军会是甲或丁，甲说，甲不是冠军，则冠军是丁． 考点 杂题 逻辑推理 假设法 2 （10分）已知甲瓶酒精浓度为10%，乙瓶酒精浓度为5%，全部混合后浓度为6%．那么二 分之一的甲瓶酒精与十六分之三的乙瓶酒精混合后的浓度则为（ ）． A. 5.5% B. 6% C. 6.5% D. 7% 答案 D 解析 本题用到十字交叉方法： 10% 1% 6%5% 4% 所以甲溶液质量与乙溶液质量比为 ： ，把甲溶液看成 千克，则乙溶液 千克．第二 次取甲溶液二分之一，即 千克，乙溶液十六分之三，即 千克． 10% 2 a 5% 3 求得： a = 7% 考点 应用题 分数、百分数应用题 浓度问题 3 （10分）小明在日历里选择了一个四排四列的正方形数表，如图所示，小明在数表中选择 四个数，这四个数，任意两个都不在同一排，且不在同一列．请问这四个数乘积的最大值 是（ ） A. B. C. D. 答案 B 解析 这四个数和一定，差小积大，则尽可能选择接近的四个数．即选择 ， ， ， ，这四 个数，积为 ． 考点 杂题 数列与数表 时间与日期4 （10分）在右图所示的算式中，每个字代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字， 则和的最大值是（ ）． A. B. C. D. 答案 A 解析 九个数字和为 ，由弃九法可知，前六个字母数字和和后三个字母数字和，差为 的倍 数，所以后三个字母数字和，一定是 的倍数，并且小于（45÷2），所以是 ，或者 ．所以和最大为 ．可以通过 ，构造出来． 考点 计算 数字谜 竖式谜 加减法竖式谜 5 （10分）一个三位数，组成它的所有数字都是奇数，并且这个数是 的倍数，请问，这样 的三位数有（ ）个？ A. B. C. D. 答案 C 解析 一共五个奇数 ， ， ， ， ．将所有奇数按照除 余数，分为（ ， ），（ ， ），（ ）三组． 如果只用一个奇数， 种． 如果用两个奇数，只有可能是用第一组或者第二组，考虑到顺序．选择有2×2×3=12 种． 如果用三个奇数，只能一二三组各取一个，考虑到顺序，选择有 种． 总共 种．考点 数论 位值原理与进制 位值原理运用 6 （10分）甲乙丙三个人，甲每分钟走 米，乙每分钟走 米，丙每分钟走 米．甲乙两人 同时从东镇出发去西镇，同时丙从西镇出发去东镇．丙遇到乙后，再过 分钟遇到甲．请问 东西两镇之间的距离是（ ）米． A. B. C. D. 答案 A 解析 甲丙相遇，路程比是 ： ，乙丙相遇，路程比是 ： ．将总路程设为 份，则第一次相 遇，丙走 份，第二次相遇，丙走 份，差 份．是丙走三分钟的路程，是 米．总共 份，是 米． 考点 行程问题 相遇与追及问题 多人相遇与追及问题 二、填空题（每小题10分，共40分） 7 （10分）计算: ． 答案 解析 考点 计算 裂项 分数裂项8 （10分）设 除以 的余数是 ， 除以 的余数是 ， 除以 的余数是 ， 除以 的余数是 ，那么 ． 答案 解析 根据奇偶位和作差知， ． 11是 的因数，因此可用两位截段求和判断余数， ． 根据三位截段作差知， ． 11是 的因数，因此可用四位截段求， 所以 考点 数论 余数问题 9 （10分）一次射击比赛中有如图所示排列的 个靶子，一位神枪手，每次射击前先选定一 列，然后打掉这列最下面的一个靶子，重复上述过程直到打光靶子为止．那么打光这些靶 子有 种不同的顺序． 答案 解析 方法一：本题看上去非常复杂，但是实际上我们考虑每一列内部，被击落的顺序一定是 从下到上被击落，所以只需要考虑这一列靶子分别在哪几次被选中即可．所以先考虑第 一列，有 （种），再看第二列，从剩下的 个位置选 个，有 （种），此时剩下的 个位置已经确定了．所以一共有 （种） 方法2：每个顺序固定，那么先乱排有9!种，再除去重复的次数，分别是2!、3!、4!，所 以一共是 （种） 考点 计数 排列组合 10 （10分）三角形 是直角三角形，BM= BC，四边形 是正方形， 在 上， 在 上．如果， 的长度是 厘米， 的长度是 厘米．那么，正方形 的面积是 平方厘米． 答案 解析 构造弦图如下： 由BM= BC，则DM= AC=3，BD= AB=4， ，故DN=AD-AN=AD-DM=5 考点 几何 四边形弦图与勾股定理第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛模拟… 一、选择题（每小题10分，共60分） 1 （10分）甲乙丙丁四个人比赛，赛前预测一下结果． 甲说：“我拿不到冠军”． 乙说：“丙会得冠军”． 丙说：“冠军会是甲或者丁”． 丁说：”乙说的对“． 比赛结束，结果出来，发现只有两个人说对了，并且只有一个冠军．请问，冠军是谁？ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 2 （10分）已知甲瓶酒精浓度为10%，乙瓶酒精浓度为5%，全部混合后浓度为6%．那么二 分之一的甲瓶酒精与十六分之三的乙瓶酒精混合后的浓度则为（ ）． A. 5.5% B. 6% C. 6.5% D. 7% 3 （10分）小明在日历里选择了一个四排四列的正方形数表，如图所示，小明在数表中选择 四个数，这四个数，任意两个都不在同一排，且不在同一列．请问这四个数乘积的最大值 是（ ） A. B. C. D. 4 （10分）在右图所示的算式中，每个字代表一个非零数字，不同的字母代表不同的数字，则和的最 大值是（ ）． A. B. C. D. 5 （10分）一个三位数，组成它的所有数字都是奇数，并且这个数是 的倍数，请问，这样 的三位数有（ ）个？ A. B. C. D. 6 （10分）甲乙丙三个人，甲每分钟走 米，乙每分钟走 米，丙每分钟走 米．甲乙两人 同时从东镇出发去西镇，同时丙从西镇出发去东镇．丙遇到乙后，再过 分钟遇到甲．请问 东西两镇之间的距离是（ ）米． A. B. C. D. 二、填空题（每小题10分，共40分） 7 （10分）计算: ． 8 （10分）设 除以 的余数是 ， 除以 的余数是 ， 除以 的余数是 ， 除以 的余数是 ，那么 ． 9 （10分）一次射击比赛中有如图所示排列的 个靶子，一位神枪手，每次射击前先选定一 列，然后打掉这列最下面的一个靶子，重复上述过程直到打光靶子为止．那么打光这些靶 子有 种不同的顺序．10 （10分）三角形 是直角三角形，BM= BC，四边形 是正方形， 在 上， 在 上．如果， 的长度是 厘米， 的长度是 厘米．那么，正方形 的面积是 平方厘米．华数之星2020.08.01 小中组试题华数之星2020.08.01 小高组试题