文档内容
绝密★本科目考试启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷共 5页，150分．考试时长 120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，
在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分．在每小题列出的四个选项中，
选出符合题目要求的一项．
1. 已知全集U ={x -3< x<3}，集合A={x -2< x£1}，则∁ 𝐴=（ ）
∪
A. (-2,1] B. (-3,-2) U [1,3) C. [-2,1) D.
(-3,-2] (1,3)
U
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：∁ 𝐴={x│-3 N 时，a >0”的（ ）
0 n
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】设等差数列
a
的公差为d，则d ¹0，利用等差数列的通项公式结合充分条
n
件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】设等差数列 a 的公差为d，则d ¹0，记 x 为不超过x的最大整数.
n
若
a
为单调递增数列，则d >0，
n
若a ³0，则当n³2时，a >a ³0；若a <0，则a =a +n-1d，
1 n 1 1 n 1
a é a ù
由a =a +n-1d >0可得n>1- 1 ，取N = 1- 1 +1，则当n> N 时，a >0，
n 1 d 0 ê ë d ú û 0 n
所以，“ a 是递增数列”Þ“存在正整数N ，当n> N 时，a >0”；
n 0 0 n
若存在正整数N ，当n> N 时，a >0，取kÎN*且k > N ，a >0，
0 0 n 0 k
a a
假设d <0，令a =a +n-kd <0可得n>k- k ，且k- k >k ，
n k d d
é a ù
当n> k- k +1时，a <0，与题设矛盾，假设不成立，则d >0，即数列 a 是递增
ê ë d ú û n n
数列.
所以，“ a 是递增数列”Ü“存在正整数N ，当n> N 时，a >0”.
n 0 0 n
所以，“ a 是递增数列”是“存在正整数N ，当n> N 时，a >0”的充分必要条件.
n 0 0 n
故选：C.
7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，
为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关
系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（ ）
第3页 | 共19页A. 当T =220，P =1026时，二氧化碳处于液态
B. 当T =270，P =128时，二氧化碳处于气态
C. 当T =300，P =9987时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当T =360，P =729时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】根据T 与lgP的关系图可得正确的选项.
【详解】当T =220，P =1026时，lgP>3，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当T =270，P =128时，21
3´6
故S的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为p
故选：B
10. 在 ABC中，AC =3,BC =4,ÐC =90°．P为 ABC所在平面内的动点，且
V V
uuur uuur
PC =1，则PA×PB的取值范围是（ ）
A. [-5,3] B. [-3,5] C. [-6,4] D. [-4,6]
【答案】D
第5页 | 共19页【解析】
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设Pcosθ,sinθ
，表示出
u
P
u
A
ur
，
u
P
u
B
ur
，根据数量积
的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C0,0 ，A3,0 ，B0,4
，
因为PC =1，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，
设Pcosθ,sinθ ，qÎ0,2p
，
uuur uuur
所以PA=3-cosq,-sinq，PB=-cosq,4-sinq，
uuur uuur
所以PA×PB=-cosq´3-cosq+4-sinq´-sinq
=cos2q-3cosq-4sinq+sin2q
=1-3cosq-4sinq
3 4
=1-5sinq+j
，其中sinj= ，cosj= ，
5 5
uuur uuur
因为-1£sinq+j£1，所以-4£1-5sinq+j£6，即PA×PBÎ-4,6
；
故选：D
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分．
1
11. 函数 f(x)= + 1-x 的定义域是_________．
x
【答案】
-¥,0È0,1
第6页 | 共19页【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
1 ì1-x³0
【详解】解：因为 f x= + 1-x，所以í ，解得x£1且x¹0，
x îx¹0
故函数的定义域为
-¥,0È0,1
；
故答案为：
-¥,0È0,1
x2 3
12. 已知双曲线 y2 + =1的渐近线方程为y =± x，则m=__________．
m 3
【答案】-3
【解析】
【分析】首先可得m<0，即可得到双曲线的标准方程，从而得到a、b，再跟渐近线方
程得到方程，解得即可；
x2
【详解】解：对于双曲线 y2 + =1，所以m<0，即双曲线的标准方程为
m
x2
y2 - =1，
-m
x2 3
则a =1，b= -m，又双曲线 y2 + =1的渐近线方程为y =± x，
m 3
a 3 1 3
所以 = ，即 = ，解得m=-3；
b 3 -m 3
故答案为：-3
p æpö
13. 若函数 f(x)= Asinx- 3cosx的一个零点为 ，则A=________； f ç ÷ =
3 è12ø
________．
【答案】 ①. 1 ②. - 2
【解析】
π
【分析】先代入零点，求得A的值，再将函数化简为 f(x)=2sin(x- )，代入自变量
3
π
x= ，计算即可.
12
π 3 3
【详解】∵ f( )= A- =0，∴A=1
3 2 2
第7页 | 共19页π
∴ f(x)=sinx- 3cosx=2sin(x- )
3
π π π π
f( )=2sin( - )=-2sin =- 2
12 12 3 4
故答案为：1，- 2
ì-ax+1, x0时函数y=-ax+1没有最小值，故 f(x)的最小值只能取
y=(x-2)2的最小值，根据定义域讨论可知-a2 +1³0或-a2 +1³a-22 ， 解得
00时，
当x f(a)=-a2 +1，
0 (0a时， f(x) ={
min (a-2)2 (a³2)
∴-a2 +1³0或-a2 +1³（a-2）2，
解得00，
n
当n=1时，a2 =9，可得a =3；
1 1
9 9 9 9
当n³2时，由S = 可得S = ，两式作差可得a = - ，
n a n-1 a n a a
n n-1 n n-1
9 9 9
所以， = -a ，则 -a =3，整理可得a2 +3a -9=0，
a a n a 2 2 2
n-1 n 2
3 5-3
因为a >0，解得a = <3，①对；
2 2 2
2
æ 9 ö 81
假设数列 a 为等比数列，设其公比为 q ，则a2 =aa ，即ç ÷ = ，
n 2 1 3 S S S
è ø
2 1 3
所以，S2 =S S ，可得a21+q2 =a2 1+q+q2 ，解得q=0，不合乎题意，
2 1 3 1 1
故数列
a
不是等比数列，②错；
n
9 9 9a -a
当n³2时，a = - = n-1 n >0，可得a 0，由已知可得 3sinC =2sinCcosC，
3 p
可得cosC = ，因此，C = .
2 6
【小问2详解】
1 3
解：由三角形的面积公式可得S = absinC = a =6 3，解得a=4 3.
VABC 2 2
3
由余弦定理可得c2 =a2 +b2 -2abcosC =48+36-2´4 3´6´ =12，
2
\c=2 3，
所以， ABC的周长为a+b+c=6 3+6.
V
17. 如图，在三棱柱ABC-ABC 中，侧面BCC B 为正方形，平面BCCB ^平面
1 1 1 1 1 1 1
ABB A ，AB= BC =2，M，N分别为AB ，AC的中点．
1 1 1 1
（1）求证：MN∥平面BCC B ；
1 1
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成
角的正弦值．
条件①：AB^MN；
第10页 | 共19页条件②：BM =MN ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）取AB的中点为K，连接MK,NK，可证平面MKN//平面CBBC ，从而可
1 1
证MN//平面CBBC .
1 1
（2）选①②均可证明BB ^平面ABC，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空
1
间向量可求线面角的正弦值.
【小问1详解】
取AB的中点为K，连接MK,NK，
由三棱柱ABC-ABC 可得四边形ABB A 为平行四边形，
1 1 1 1 1
而BM =MA,BK = KA，则MK//BB ，
1 1 1
而MK Ë平面CBBC ，BB Ì平面CBBC ，故MK//平面CBBC ，
1 1 1 1 1 1 1
而CN = NA,BK = KA，则NK//BC，同理可得NK//平面CBBC ，
1 1
而NK MK = K,NK,MK Ì平面MKN，
I
故平面MKN//平面CBBC ，而MN Ì平面MKN，故MN//平面CBBC ，
1 1 1 1
【小问2详解】
因为侧面CBBC 为正方形，故CB^ BB ，
1 1 1
而CBÌ平面CBBC ，平面CBBC ^平面ABB A ，
1 1 1 1 1 1
平面CBBC Ç平面ABB A = BB ，故CB^平面ABB A ，
1 1 1 1 1 1 1
因为NK//BC，故NK ^平面ABB A ，
1 1
因为ABÌ 平面ABB A ，故NK ^ AB，
1 1
若选①，则AB^MN，而NK ^ AB，NK MN = N ，
I
故AB^平面MNK，而MK Ì平面MNK，故AB^MK，
所以AB^ BB ，而CB^ BB ，CBÇAB= B，故BB ^平面ABC，
1 1 1
故可建立如所示的空间直角坐标系，则B0,0,0,A0,2,0,N1,1,0,M 0,1,2
，
uuur uuur uuuur
故BA=0,2,0,BN =1,1,0,BM =0,1,2，
r
设平面BNM 的法向量为n=x,y,z，
第11页 | 共19页r uuur
ì ïn×BN =0 ìx+ y =0 r
则í ，从而í ，取z =-1，则n=-2,2,-1，
r uuuur
ïîn×BM =0 îy+2z =0
设直线AB与平面BNM 所成的角为q，则
r uuur 4 2
sinq= cos n,AB = = .
2´3 3
若选②，因为 NK//BC，故NK ^平面ABB A ，而KM Ì平面MKN，
1 1
故NK ^ KM ，而BM = BK =1,NK =1，故BM = NK ，
1 1
而B
1
B=MK =2，MB=MN，故V BB
1
M @
V
MKN，
所以ÐBBM =ÐMKN =90°，故AB ^ BB ，
1 1 1 1
而CB^ BB ，CBÇAB= B，故BB ^平面ABC，
1 1
故可建立如所示的空间直角坐标系，则B0,0,0,A0,2,0,N1,1,0,M 0,1,2
，
uuur uuur uuuur
故BA=0,2,0,BN =1,1,0,BM =0,1,2，
r
设平面BNM 的法向量为n=x,y,z，
r uuur
ì ïn×BN =0 ìx+ y =0 r
则í ，从而í ，取z =-1，则n=-2,2,-1，
r uuuur
ïîn×BM =0 îy+2z =0
设直线AB与平面BNM 所成的角为q，则
r uuur 4 2
sinq= cos n,AB = = .
2´3 3
18. 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9．50m以上
（含9．50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、
乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
第12页 | 共19页甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（2）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望
E（X）；
（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证
明）
7
【答案】（1）0.4 （2）
5
（3）丙
【解析】
【分析】(1) 由频率估计概率即可
(2) 求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.
(3) 计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估
计值最大.
【小问1详解】
由频率估计概率可得
甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，
故答案为0.4
【小问2详解】
设甲获得优秀为事件A ,乙获得优秀为事件A ，丙获得优秀为事件A
1 2 3
3
P(X =0)= P(A A A )=0.6´0.5´0.5= ，
1 2 3 20
P(X =1)= P(A A A )+P(AA A )+P(A A A )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
8
=0.4´0.5´0.5+0.6´0.5´0.5+0.6´0.5´0.5= ，
20
P(X =2)= P(AA A )+P(A A A )+P(AA A )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
7
=0.4´0.5´0.5+0.4´0.5´0.5+0.6´0.5´0.5= ，
20
2
P(X =3)= P(AA A )=0.4´0.5´0.5= .
1 2 3 20
∴X的分布列为
第13页 | 共19页X 0 1 2 3
3 8 7 2
P
20 20 20 20
3 8 7 2 7
∴E(X)=0´ +1´ +2´ +3´ =
20 20 20 20 5
【小问3详解】
丙夺冠概率估计值最大.
1
因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为 ，甲获得
4
1 1
9.80的概率为 ，乙获得9.78的概率为 .并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛
10 6
次数越多，对丙越有利.
x2 y2
19. 已知椭圆：E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，焦距为2 3．
a2 b2
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与
x轴交于点M，N，当|MN |=2时，求k的值．
x2
【答案】（1） + y2 =1
4
（2）k =-4
【解析】
ìb=1
ï
【分析】（1）依题意可得í2c=2 3 ，即可求出a，从而求出椭圆方程；
ï c2 =a2 -b2
î
（2）首先表示出直线方程，设Bx ,y 、Cx ,y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦
1 1 2 2
达定理，由直线AB、AC的方程，表示出x 、x ，根据 MN = x -x 得到方程，
M N N M
解得即可；
【小问1详解】
解：依题意可得b=1，2c=2 3，又c2 = a2 -b2，
x2
所以a=2，所以椭圆方程为 + y2 =1；
4
【小问2详解】
第14页 | 共19页解：依题意过点P-2,1 的直线为y-1=kx+2 ，设Bx ,y 、Cx ,y ，不妨令
1 1 2 2
-2£ x < x £2，
1 2
ìy-1=kx+2
ï
由íx2 ，消去y整理得 1+4k2 x2 + 16k2 +8k x+16k2 +16k =0，
ï + y2 =1
î 4
所以D= 16k2 +8k 2 -4 1+4k2 16k2 +16k >0，解得k <0，
16k2 +8k 16k2 +16k
所以x +x =- ，x ×x = ，
1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
y -1 x
直线AB的方程为y-1= 1 x，令y=0，解得x = 1 ，
x M 1- y
1 1
y -1 x
直线AC的方程为y-1= 2 x，令y=0，解得x = 2 ，
x N 1- y
2 2
x x
所以 MN = x -x = 2 - 1
N M 1- y 1- y
2 1
x x
= 2 - 1
1-ékx +2+1ù 1-ékx +2+1ù
ë 2 û ë 1 û
x x
= 2 + 1
-kx +2 kx +2
2 1
x +2x -x x +2
= 2 1 2 1
kx +2x +2
2 1
2 x -x
= 1 2 =2，
k x +2x +2
2 1
所以 x -x = k x +2x +2 ，
1 2 2 1
即 x +x 2 -4x x = k éx x +2x +x +4ù
1 2 1 2 ë 2 1 2 1 û
2
æ 16k2 +8k ö 16k2 +16k é16k2 +16k æ 16k2 +8k ö ù
即 ç- ÷ -4´ = k ê +2ç- ÷+4ú
è
1+4k2
ø
1+4k2
ë
1+4k2
è
1+4k2
ø û
即
8 2k2 +k 2 - 1+4k2 k2 +k = k é16k2 +16k-2 16k2 +8k +4 1+4k2ù
1+4k2 1+4k2 ë û
整理得8 -k =4 k ，解得k =-4
第15页 | 共19页20. 已知函数 f(x)=exln(1+x)．
（1）求曲线y= f(x)在点(0, f(0))处的切线方程；
（2）设g(x)= f¢(x)，讨论函数g(x)在[0,+¥)上的单调性；
（3）证明：对任意的s,tÎ(0,+¥)，有 f(s+t)> f(s)+ f(t)．
【答案】（1）y = x
（2）g(x)在[0,+¥)上单调递增.
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令m(x)= f(x+t)- f(x)，(x,t >0)，即证m(x)>m(0)，由第二问结论可知m(x)
在[0,+∞）上单调递增，即得证.
【小问1详解】
解：因为 f(x)=exln(1+x)，所以 f 0=0，
即切点坐标为
0,0
，
1
又 f¢(x)=ex(ln(1+x)+ )，
1+x
∴切线斜率k = f¢(0)=1
∴切线方程为：y = x
【小问2详解】
1
解：因为g(x)= f¢(x)=ex(ln(1+x)+ )，
1+x
2 1
所以g¢(x)=ex(ln(1+x)+ - )，
1+x (1+x)2
2 1
令h(x)=ln(1+x)+ - ，
1+x (1+x)2
1 2 2 x2 +1
则h¢(x)= - + = >0，
1+x (1+x)2 (1+x)3 (1+x)3
∴h(x)在[0,+¥)上单调递增，
∴h(x)³h(0)=1>0
∴g¢(x)>0在[0,+¥)上恒成立，
∴g(x)在[0,+¥)上单调递增.
第16页 | 共19页【小问3详解】
解：原不等式等价于 f(s+t)- f(s)> f(t)- f(0)，
令m(x)= f(x+t)- f(x)，(x,t >0)，
即证m(x)>m(0)，
∵m(x)= f(x+t)- f(x)=ex+t ln(1+x+t)-exln(1+x)，
ex+t ex
m¢(x)=ex+t ln(1+x+t)+ -exln(1+x)- = g(x+t)-g(x)，
1+x+t 1+x
1
由（2）知g(x)= f¢(x)=ex(ln(1+x)+ )在 0,+¥ 上单调递增，
1+x
∴g(x+t)> g(x)，
∴m¢(x)>0
∴m(x)在 0,+¥ 上单调递增，又因为x,t >0，
∴m(x)>m(0)，所以命题得证.
21. 已知Q:a 1 ,a 2 , L ,a k 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的nÎ{1,2, L ,m}，
在Q中存在a
i
,a
i+1
,a
i+2
,
L
,a
i+j
(j ³0)，使得a
i
+a
i+1
+a
i+2
+
L
+a
i+j
=n，则称Q为
m - 连续可表数列．
（1）判断Q:2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；
（2）若Q:a
1
,a
2
,
L
,a
k
为8-连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（3）若Q:a
1
,a
2
,
L
,a
k
为20-连续可表数列，且a
1
+a
2
+
L
+a
k
<20，求证：k ³7．
【答案】（1）是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．
（2）证明见解析． （3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）直接利用定义验证即可；
（2）先考虑k £3不符合，再列举一个k =4合题即可；
（3）k £5时，根据和的个数易得显然不行，再讨论k =6时，由a
1
+a
2
+
L
+a
6
<20可
知里面必然有负数，再确定负数只能是-1，然后分类讨论验证不行即可．
【小问1详解】
a =1，a =2，a +a =3，a =4，a +a =5，所以Q是5-连续可表数列；易
2 1 1 2 3 2 3
知，不存在i, j使得a
i
+a
i+1
+
L
+a
i+j
=6，所以Q不是6-连续可表数列．
【小问2详解】
若k £3,设为Q: a,b,c,则至多a+b,b+c,a+b+c,a,b,c，6个数字，没有8个，矛盾；
第17页 | 共19页当k =4时,数列Q:1,4,1,2，满足a =1，a =2，a +a =3，a =4，a +a =5，
1 4 3 4 2 1 2
a +a +a =6，a +a +a =7，a +a +a +a =8， \k =4．
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【小问3详解】
Q:a ,a , ,a ，若i = j最多有k种，若i ¹ j，最多有C2种，所以最多有
1 2 L k k
kk+1
k+C2 = 种，
k 2
55+1
若k £5，则a ,a ,… ,a 至多可表 =15个数，矛盾,
1 2 k
2
6(6+1)
从而若k<7,则k =6，a,b,c,d,e, f 至多可表 =21个数，
2
而a+b+c+d +e+ f <20，所以其中有负的，从而a,b,c,d,e, f 可表1~20及那个负数
（恰 21个），这表明a~ f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在a~ f 中绝对值最小，同
时a~ f 中没有两数相同,设那个负数为-m(m³1) ，
则所有数之和³m+1+m+2+ +m+5-m=4m+15，4m+15£19Þm=1，
L
\{a,b,c,d,e, f}={-1,2,3,4,5,6}，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，
1=-1+2 （仅一种方式），
Q
\-1与2相邻，
若-1不在两端,则"x,-1,2,__,__,__"形式，
若x=6，则5=6+(-1)（有2种结果相同，方式矛盾），
\x¹6， 同理x¹5,4,3 ，故-1在一端，不妨为"-1,2, A, B, C,D"形式，
若A=3,则5=2+3 （有2种结果相同，矛盾），A=4同理不行，
A=5，则6=-1+2+5 （有2种结果相同，矛盾），从而A=6，
由于7=-1+2+6,由表法唯一知3,4不相邻,、
故只能-1,2,6,3,5,4，①或-1,2,6,4,5,3，②
这2种情形，
对①：9=6+3=5+4，矛盾，
对②：8=2+6=5+3，也矛盾，综上k ¹6
\k ³7．
【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m - 可表数列核心就是是否存在连续的几项（可
以是一项）之和能表示从1到m中间的任意一个值．本题第二问k £3时，通过和值可能个
数否定k £3；第三问先通过和值的可能个数否定k £5，再验证k =6时，数列中的几项如
果符合必然是{-1,2,3,4,5,6}的一个排序，可验证这组数不合题．
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