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铁一月考
一、选择题（本题有 10个小题，每小题 3分，满分 30分，每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的．）
1. 如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
A. B.
C. D.
2. 鲁班锁 鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创．如图是鲁班锁中的一
个部件，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 近来，中国芯片技术获得重大突破，7nm芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技术封锁，
已知7nm=0.0000007cm，则0.0000007用科学记数法表示为（ ）
A. 7×10−7 B. 7×10−6 C. 0.7×10−6 D. 0.7×10−7
4. 如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是 （ ）
A. ∠3=∠4 B. ∠1=∠2 C. ∠D=∠DCE D. ∠D+∠ACD=180
5. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=130°，OA=3，若弦BC∥AO，则 AC的长为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司5π 2π 5π 4π
A. B. C. D.
12 3 6 3
6. 为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为
x ,x ,…,x ，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（ ）
1 2 10
A. 这组数据的平均数 B. 这组数据的方差
C. 这组数据的众数 D. 这组数据的中位数
7. 下面计算中正确的是（ ）
1
A. 3x2 +2x=5x3 B. 32+ 18 =7 2 C. 3× 8÷ =2 2 D. a3b3 ÷(−ab )2 =b
3
8. 如图，O是ABC的外接圆，且AB = AC,∠BAC =36°，在弧AB上取点D（不与点A，B重
合），连接BD,AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A. 60° B. 62° C. 72° D. 73°
9. 如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，设DN =x，AN +MN = y．已知y与x之间的函数
( )
图象如图②所示，点E a,2 5 是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（ ）
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 2 5
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学科网（北京）股份有限公司10. 如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小形的顶点叫做格点，其中点A,B,C在格点上，
则tan∠ACB的值为（ ）
1 3 3 2
A. B. C. D. 3
2 3 2 3
二、填空题（本题有 6个小题，每小题 3分，共 18分．）
11. 因式分解：x2 −xy=__________________.
12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为
__________．
13. 已知一元二次方程x2 −3x+k =0的两个实数根为x,x ，若x x +2x +2x =1，则实数k =
1 2 1 2 1 2
_____________．
14. 如图，CD为Rt△ABC 斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC =8，CD=5，则DE =
___________．
k
15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= (x>0)的图象与半径为10的O交于A,B两点，
x
若∠AOB=60°，则k的值是_________．
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学科网（北京）股份有限公司16. 如图，在ABC中，∠BAC =90°，AB=2，AC =4 2，点 D 是BC边上的动点，连接AD，则
3AD+DC的最小值为_____．
三、解答题（本大题有 9小题，共 72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
−1
1
17. 计算： − 3 −(4−π)0 −2sin60°+ ．
5
18. 如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分
EF，求证：AD是△ABC的角平分线．
3x x−2
19. 先化简，再求值： x− ÷ ，其中x满足x2+x−2024=0．
x+1 x2+2x+1
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A ( 2,−1 ) ,B ( 1,−2 )，C ( 3,−3 ) ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）将ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△ABC ，请画出△ABC ．
1 1 1 1 1 1
（2）请画出ABC关于y轴对称的△A B C ．
2 2 2
（3）将△A B C 着原点O顺时针旋转90°，得到△ABC ，求线段AC 在旋转过程中扫过的面积（结果
2 2 2 3 3 3 2 2
保留π）．
21. 中华文化源远流长，文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中
的典型代表，被称为“四大古典名著”．某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典
名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如下尚不完整的统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是________部，中位数是________部；
（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为________度；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法
求他们恰好选中同一名著的概率．
22. 某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设
第x场产品的销售量为y（台），已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；
（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相
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学科网（北京）股份有限公司加组成，其中基本价保持不变，经过统计，发现第1场—第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场—
第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
x（场） 3 10 25
p（万元） 10.6 12 14.2
（2）求p与x之间满足的函数关系式；
（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
23. 如图，AB为经过圆心O的一条线段，且与O交于E点．
（1）过B在AB的上方作O的切线，切点为D，过A作AC⊥BD，垂足为C，AC与O交于F
点． 请尺规作图，不用写作图的详细步骤．
（2）求证：AD平分∠BAC；
1
（3）若BD=3，tan∠CAD= ，求O的半径．
2
24. 已知抛物线y =ax2 −(a+m)x+m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
1
（1）当C(0,−3)且 a=− m ．
3
①求抛物线的解析式．
②若k ≤ x<0，且k <−1，y的最大值和最小值分别为 p，q，且 p+q=1，求k的值．
③若该抛物线经过M(3n+4,y )，N(2n−1,y )两点，且 y > y ，求n的取值范围．
1 2 1 2
1
（2）当AB= 时，函数y =ax2 −(a+m)x+m有最小值m−1，直接写出a的值．
3
25. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
AD 1
在Rt△ABC 中，∠C =90°,AC = BC，D是AB边上一点，且 = （n为正整数），E是AC边上的
BD n
动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．
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学科网（北京）股份有限公司【初步感知】
2
（1）如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF = AB，请写出证明过程．
2
【深入探究】
（2）①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出
结论并证明；
②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证
明）
【拓展运用】
（3）如图3，连接EF ，设EF 的中点为M．若AB=2 2，求点E从点A运动到点C的过程中，点M
运动的路径长（用含n的代数式表示）．
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学科网（北京）股份有限公司铁一月考
一、选择题（本题有 10个小题，每小题 3分，满分 30分，每小题给出的四个选项中，只有一
个是正确的．）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】C
【10题答案】
【答案】D
二、填空题（本题有 6个小题，每小题 3分，共 18分．）
【11题答案】
【答案】x(x− y)
【12题答案】
【答案】15
【13题答案】
【答案】−5
【14题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】3
【15题答案】
【答案】25
【16题答案】
32 2
【答案】 ##10
3 3
三、解答题（本大题有 9小题，共 72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
【17题答案】
【答案】4
【18题答案】
【答案】见解析
【19题答案】
【答案】x2 +x，2024．
【20题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
13π
（3）
4
【21题答案】
1
【答案】（1）1，2；（2）72°；（3）见解析；（4）见解析，
4
【22题答案】
【答案】（1）y =50−x
0.2x+10, ( 1≤ x≤20 )
（2）P=105 其中x为正整数
+10, ( 21≤ x≤40 )
x
（3）第15场和第35场
（4）第21场获得的利润最大，最大利润为145万元
【23题答案】
【答案】（1）作图见解析；
9
（2）证明见解析； （3） ．
4
【24题答案】
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）①y = x2 +2x−3，②−4，③n<−5或n>−1；
36 36
（2））a的值为 或
25 49
【25题答案】
1 2
【答案】（1）见解析 （2）① AE+ BF = AB ，证明过程略；②当点 F 在射线BC 上时，
2 3
1 2 1 2
AE+ BF = AB，当点F在CB延长线上时，AE− BF = AB
n n+1 n n+1
（3） n2+1
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