2023年高考数学试卷（理）（全国甲卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2023·高考数学真题

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）
理科数学
一、选择题
A={x∣x=3k+1,kÎZ},B={x∣x=3k+2,kÎZ} ð (A B)=
1. 设集合 ，U为整数集， U U （ ）
A. {x|x=3k,kÎZ} B. {x∣x=3k-1,kÎZ}
C. {x∣x=3k-2,kÎZ} D. Æ
【答案】A
【解析】
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集Z=x|x=3k,kÎZ U x|x=3k+1,kÎZ U x|x=3k+2,kÎZ ，U =Z ，所
以，ð U A U B=x|x=3k,kÎZ ．
故选：A．
2. 若复数 a+i1-ai=2,aÎR，则a =（ ）
A. -1 B. 0 · C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为 a+i1-ai=a-a2i+i+a =2a+  1-a2 i=2，
ì2a=2
所以í ，解得：a =1．
î1-a2 =0
故选：C.
3. 执行下面的程序框遇，输出的B=（ ）
第1页 | 共24页A. 21 B. 34 C. 55 D. 89
【答案】B
【解析】
【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．
【详解】当n=1时，判断框条件满足，第一次执行循环体， A=1+2=3，B=3+2=5，n=1+1=2；
当n=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8，B=8+5=13，n=2+1=3；
当n=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，A=8+13=21，B=21+13=34，n=3+1=4；
当n=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出B=34．
故选：B.
4. 向量 a r = b r =1, c r = 2 ，且a r +b r +c r =0 r ，则cosáa r -c r ,b r -c r ñ =（ ）
1 2 2 4
A. - B. - C. D.
5 5 5 5
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
r
【详解】因为a r +b r +c r =0 r ,所以a r + b = - c r ,
即a r2 +b r 2 +2a r ×b r =c r2,即1+1+2a r ×b r =2,所以a r ×b r =0.
如图,设O uu A ur =ar,O uu B ur =b r ,O uu C ur =cr,
第2页 | 共24页由题知,OA=OB=1,OC = 2, OAB是等腰直角三角形,
V
2 2
AB边上的高OD= ,AD= ,
2 2
2 3 2
所以CD=CO+OD= 2+ = ,
2 2
AD 1 3
tanÐACD= = ,cosÐACD= ,
CD 3 10
r
cosáa r -c r ,b -c r ñ =cosÐACB=cos2ÐACD=2cos2ÐACD-1
2
æ 3 ö 4
=2´ ç ÷ -1= .
è 10 ø 5
故选:D.
5. 已知正项等比数列 a  中，a =1,S 为 a  前n项和，S =5S -4，则S =（ ）
n 1 n n 5 3 4
A 7 B. 9 C. 15 D. 30
.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出关于 q 的方程,计算出 q ,即可求出S .
4
【详解】由题知1+q+q2 +q3+q4 =5  1+q+q2 -4,
即q3+q4 =4q+4q2,即q3+q2 -4q-4=0,即(q-2)(q+1)(q+2)=0.
由题知q>0,所以q= 2.
所以S =1+2+4+8=15.
4
故选:C.
6. 有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球
第3页 | 共24页俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
【答案】A
【解析】
【分析】先算出报名两个俱乐部的人数,从而得出某人报足球俱乐部的概率和报两个俱乐部的概率,利用条件
概率的知识求解.
【详解】报名两个俱乐部的人数为50+60-70=40，
记“某人报足球俱乐部”为事件A,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件B，
50 5 40 4
则P(A)= = ,P(AB)= = ，
70 7 70 7
4
P(AB) 7
所以P(B∣A)= = =0.8.
P(A) 5
7
故选:A.
7. “sin2a+sin2b=1”是“sina+cosb=0”的（ ）
A. 充分条件但不是必要条件 B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件 D. 既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
π
【详解】当sin2a+sin2b=1时，例如a= ,b=0但sina+cosb¹0，
2
即sin2a+sin2b=1推不出sina+cosb=0；
当sina+cosb=0时，sin2a+sin2b=(-cosb)2 +sin2b=1，
即sina+cosb=0能推出sin2a+sin2b=1.
综上可知，sin2a+sin2b=1是sina+cosb=0成立的必要不充分条件.
故选：B
x2 y2
8. 已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 5，其中一条渐近线与圆(x-2)2 +(y-3)2 =1交于 A，
a2 b2
B两点，则| AB|=（ ）
第4页 | 共24页1 5 2 5 4 5
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
c2 a2 +b2 b2
【详解】由e= 5，则 = =1+ =5，
a2 a2 a2
b
解得 =2，
a
所以双曲线的一条渐近线不妨取y =2x，
|2´2-3| 5
则圆心(2,3)到渐近线的距离d = = ，
22 +1 5
1 4 5
所以弦长| AB|=2 r2 -d2 =2 1- = .
5 5
故选：D
9. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连
续参加两天服务的选择种数为（ ）
A. 120 B. 60 C. 40 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天社区服务的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为a,b,c,d,e，
假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有A2 =12
4
种方法，
同理：b,c,d,e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有5´12=60种.
故选：B.
æ πö π 1 1
10. 已知 f x 为函数 y =cos ç 2x+ ÷向左平移 个单位所得函数，则 y = f x 与y = x- 的交点个
è 6ø 6 2 2
数为（ ）
第5页 | 共24页A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
1 1
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 f x=-sin2x，再作出 f x 与 y = x- 的部分大致图像，
2 2
1 1
考虑特殊点处 f x 与y = x- 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
2 2
æ πö π
【详解】因为 y =cos ç 2x+ ÷向左平移 个单位所得函数为
è 6ø 6
é æ πö πù æ πö
y =cos
ê
2
ç
x+
÷
+
ú
=cos
ç
2x+
÷
=-sin2x，所以 f x=-sin2x，
ë è 6ø 6û è 2ø
1 1 æ 1ö
而y = x- 显然过ç 0,- ÷与 1,0 两点，
2 2 è 2ø
1 1
作出 f x 与y = x- 的部分大致图像如下，
2 2
3π 3π 7π 3π 3π 7π 1 1
考虑2x=- ,2x= ,2x= ，即x=- ,x= ,x= 处 f x 与y = x- 的大小关系，
2 2 2 4 4 4 2 2
3π æ 3πö æ 3πö 1 æ 3πö 1 3π+4
当x=- 时， f ç - ÷ =-sin ç - ÷ =-1，y = ´ ç - ÷ - =- <-1；
4 è 4 ø è 2 ø 2 è 4 ø 2 8
3π æ3πö 3π 1 3π 1 3π-4
当x = 时， f ç ÷ =-sin =1，y = ´ - = <1；
4 è 4 ø 2 2 4 2 8
7π æ7πö 7π 1 7π 1 7π-4
当x= 时， f ç ÷ =-sin =1，y = ´ - = >1；
4 è 4 ø 2 2 4 2 8
1 1
所以由图可知， f x 与y = x- 的交点个数为3.
2 2
故选：C.
11. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，AB=4,PC = PD=3,ÐPCA=45°，则 PBC的面
V
积为（ ）
A. 2 2 B. 3 2 C. 4 2 D. 5 2
第6页 | 共24页【答案】C
【解析】
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得 PDO@ PCO， PDB@ PCA，从而得到
V V V V
PA= PB，再在△PAC中利用余弦定理求得PA= 17 ，从而求得PB= 17，由此在
V
PBC中利用余弦
定理与三角形面积公式即可得解；
1
uuur uuur
法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA= 17 ，cosÐPCB= ，从而求得PA×PC =-3，再利用空
3
间向量的数量积运算与余弦定理得到关于PB,ÐBPD的方程组，从而求得PB= 17，由此在
V
PBC中利用
余弦定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，
因为底面ABCD为正方形，AB =4，所以AC = BD =4 2，则DO =CO =2 2 ，
又PC =PD=3，PO=OP，所以 PDO@ PCO，则ÐPDO=ÐPCO，
V V
又PC =PD=3，AC = BD =4 2，所以 V PDB@ V PCA，则PA= PB，
在△PAC中，PC =3,AC =4 2,ÐPCA=45°，
2
则由余弦定理可得PA2 = AC2 +PC2 -2AC×PCcosÐPCA=32+9-2´4 2´3´ =17，
2
故PA= 17 ，则PB= 17，
故在 PBC中，PC =3,PB= 17,BC =4，
V
PC2 +BC2 -PB2 9+16-17 1
所以cosÐPCB= = = ，
2PC×BC 2´3´4 3
2 2
又0<ÐPCB<π，所以sinÐPCB= 1-cos2ÐPCB = ，
3
第7页 | 共24页1 1 2 2
所以 PBC的面积为S = PC×BCsinÐPCB= ´3´4´ =4 2.
V
2 2 3
法二：
连结AC,BD交于O，连结PO，则O为AC,BD的中点，如图，
因为底面ABCD为正方形，AB =4，所以AC = BD =4 2，
在△PAC中，PC =3,ÐPCA=45°，
2
则由余弦定理可得PA2 = AC2 +PC2 -2AC×PCcosÐPCA=32+9-2´4 2´3´ =17，故
2
PA= 17 ，
PA2 +PC2 -AC2 17+9-32 17
所以cosÐAPC = = =- ，则
2PA×PC 2´ 17´3 17
uuur uuur uuur uuur æ 17 ö
PA×PC = PA PC cosÐAPC = 17´3´ç- ÷=-3，
ç ÷
17
è ø
不妨记PB=m,ÐBPD=q，
uuur 1uuur uuur 1uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur2
因为PO= PA+PC = PB+PD ，所以 PA+PC = PB+PD ，
2 2
即
u
P
u
A
ur2
+
u
P
u
C
ur2
+2
u
P
u
A
ur
×
u
P
u
C
ur
=
u
P
u
B
ur2
+
u
P
u
D
ur2
+2
u
P
u
B
ur
×
u
P
u
D
ur
，
则17+9+2´-3=m2 +9+2´3´mcosq，整理得m2 +6mcosq-11=0①，
又在△PBD中，BD2 = PB2 +PD2 -2PB×PDcosÐBPD，即32=m2 +9-6mcosq，则
m2 -6mcosq-23=0②，
两式相加得2m2 -34=0，故PB=m= 17 ，
故在 PBC中，PC =3,PB= 17,BC =4，
V
第8页 | 共24页PC2 +BC2 -PB2 9+16-17 1
所以cosÐPCB= = = ，
2PC×BC 2´3´4 3
2 2
又0<ÐPCB<π，所以sinÐPCB= 1-cos2ÐPCB = ，
3
1 1 2 2
所以 PBC的面积为S = PC×BCsinÐPCB= ´3´4´ =4 2.
V
2 2 3
故选：C.
x2 y2 3
12. 己知椭圆 + =1，F,F 为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cosÐFPF = ，则|PO|=
9 6 1 2 1 2 5
（ ）
2 30 3 35
A. B. C. D.
5 2 5 2
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△PFF 的面积，即可得到点P的坐标，从而得出 OP 的
1 2
值；
2 2
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF PF , PF + PF ，再结合中线的向量公式以及数量积
1 2 1 2
即可求出；
2 2
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 PF + PF ，即可根据中线定理求出．
1 2
π ÐFPF
【详解】方法一：设ÐFPF =2q,0<q< ，所以S =b2 tan 1 2 =b2 tanq，
1 2 2 VPF 1 F 2 2
cos2q-sin2q 1-tan2q 3 1
由cosÐFPF =cos2q= = = ，解得：tanq= ，
1 2 cos2q+sin2q 1+tan2q 5 2
由椭圆方程可知，a2 =9,b2 =6,c2 =a2 -b2 =3，
1 1 1
所以，S = ´ FF ´ y = ´2 3´ y =6´ ，解得：y2 =3，
VPF 1 F 2 2 1 2 p 2 p 2 p
æ 3ö 9 9 30
即x2 =9´ ç 1- ÷ = ，因此 OP = x2 + y2 = 3+ = ．
p è 6ø 2 p p 2 2
故选：B．
方法二：因为 PF + PF =2a =6①， PF 2 + PF 2 -2 PF PF ÐFPF = FF 2 ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
第9页 | 共24页6
2 2
即 PF + PF - PF PF =12②，联立①②，
1 2 5 1 2
15
2 2
解得： PF PF = , PF + PF =21，
1 2 2 1 2
uuur 1uuur uuuur uuur 1 uuur uuuur
而PO= PF +PF ，所以 OP = PO = PF +PF ，
2 1 2 2 1 2
uuur 1 uuur uuuur 1 uuur2 uuur uuuur uuuur2 1 3 15 30
即 PO = PF +PF = PF +2PF ×PF + PF = 21+2´ ´ = ．
2 1 2 2 1 1 2 2 2 5 2 2
故选：B．
方法三：因为 PF + PF =2a =6①， PF 2 + PF 2 -2 PF PF ÐFPF = FF 2 ，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
6
即 PF 2 + PF 2 - PF PF =12②，联立①②，解得： PF 2 + PF 2 =21，
1 2 5 1 2 1 2
 2 2  2 2 30
由中线定理可知， 2 OP + FF =2 PF + PF =42，易知 FF =2 3，解得： OP = ．
1 2 1 2 1 2
2
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常
规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
二、填空题
æ πö
13. 若y =(x-1)2 +ax+sin ç x+ ÷为偶函数，则a =________．
è 2ø
【答案】2
【解析】
æ πö æπö
【分析】利用偶函数的性质得到 f ç - ÷ = f ç ÷，从而求得a=2，再检验即可得解.
è 2ø è2ø
æ πö
【详解】因为y = f
x=x-12
+ax+sin ç x+ ÷
=x-12
+ax+cosx为偶函数，定义域为R ，
è 2ø
æ πö æπö æ π ö 2 π æ πö æπ ö 2 π π
所以 f ç - ÷ = f ç ÷，即 ç - -1 ÷ - a+cos ç - ÷ = ç -1 ÷ + a+cos ，
è 2ø è2ø è 2 ø 2 è 2ø è2 ø 2 2
2 2
æπ ö æπ ö
则πa= +1 - -1 =2π，故a=2，
ç ÷ ç ÷
è2 ø è2 ø
此时 f x=x-12 +2x+cosx= x2 +1+cosx，
第10页 | 共24页所以 f -x=-x2 +1+cos-x= x2 +1+cosx= f x，
又定义域为R ，故 f x 为偶函数，
所以a=2.
故答案为：2.
ì-2x+3y£3
ï
14. 设x，y满足约束条件í3x-2y£3 ，设z =3x+2y，则z的最大值为____________．
ï
x+ y³1
î
【答案】15
【解析】
【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.
【详解】作出可行域，如图，
3 z
由图可知，当目标函数y=- x+ 过点A时，z有最大值，
2 2
ì-2x+3y =3 ìx=3
由í 可得í ，即A(3,3),
î3x-2y =3 îy =3
所以z =3´3+2´3=15.
max
故答案为：15
15. 在正方体ABCD-ABC D 中，E，F分别为CD，AB 的中点，则以EF为直径的球面与正方体每条
1 1 1 1 1 1
棱的交点总数为____________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.
【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O，取AB，BB 中点G,M，侧面BBCC的中心为N ，
1 1 1
连接FG,EG,OM,ON,MN ，如图，
第11页 | 共24页由题意可知，O为球心，在正方体中，EF = FG2 +EG2 = 22 +22 =2 2，
即R= 2，
则球心O到BB 的距离为OM = ON2 +MN2 = 12 +12 = 2 ，
1
所以球O与棱BB 相切，球面与棱BB 只有1个交点，
1 1
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，
所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.
故答案为：12
16. 在 ABC中， AB=2，ÐBAC =60°,BC = 6，D 为 BC 上一点，AD 为ÐBAC的平分线，则
V
AD=_________．
【答案】2
【解析】
【分析】方法一：利用余弦定理求出AC，再根据等面积法求出AD；
方法二：利用余弦定理求出AC，再根据正弦定理求出B,C ，即可根据三角形的特征求出．
【详解】
如图所示：记AB=c,AC =b,BC =a，
方法一：由余弦定理可得，22 +b2 -2´2´b´cos60o =6，
因为b>0，解得：b=1+ 3，
由S =S +S 可得，
VABC VABD VACD
第12页 | 共24页1 1 1
´2´b´sin60o = ´2´AD´sin30o + ´AD´b´sin30o，
2 2 2
 
2 3 1+ 3
3b
AD= = =2
解得： ．
b 3+ 3
1+
2
故答案为：2．
方法二：由余弦定理可得，22 +b2 -2´2´b´cos60o =6，因为b>0，解得：b=1+ 3，
6 b 2 6+ 2 2
由正弦定理可得， = = ，解得：sinB= ，sinC = ，
sin60o sinB sinC 4 2
因为1+ 3 > 6 > 2，所以C =45o，B=180o -60o -45o =75o，
又ÐBAD=30o，所以ÐADB=75o，即AD= AB=2．
故答案为：2．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
三、解答题
17. 已知数列 a  中，a =1，设S 为 a  前n项和，2S =na ．
n 2 n n n n
（1）求
a 
的通项公式；
n
ìa +1ü
（2）求数列í n ý的前n项和T ．
î 2n þ n
【答案】（1）a =n-1
n
n
æ1ö
（2）T =2-2+n
ç ÷
n è2ø
【解析】
ìS ,n=1
【分析】（1）根据a =í 1 即可求出；
n S -S ,n³2
î
n n-1
（2）根据错位相减法即可解出．
【小问1详解】
因为2S =na ，
n n
当n=1时，2a =a ，即a =0；
1 1 1
第13页 | 共24页当n=3时，21+a =3a ，即a =2，
3 3 3
当n³2时，2S =n-1a ，所以2S -S =na -n-1a =2a ，
n-1 n-1 n n-1 n n-1 n
a a a
化简得： n-2a =n-1a ，当n³3时， n = n-1 = = 3 =1，即a =n-1，
n n-1 n-1 n-2 L 2 n
当n=1,2,3时都满足上式，所以a =n-1
 nÎN*
．
n
【小问2详解】
a +1 n æ1ö 1 æ1ö 2 æ1ö 3 æ1ö n
因为 n = ，所以T =1´ +2´ +3´ + +n´ ，
2n 2n n ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø L ç è2 ÷ ø
2 3 n n+1
1 æ1ö æ1ö æ1ö æ1ö
T =1´ +2´ + +(n-1)´ +n´ ，
2 n ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø L ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø
两式相减得，
1 é æ1ö nù
´ê1- ç ÷ ú
1 æ1ö 1 æ1ö 2 æ1ö 3 æ1ö n æ1ö n+1 2 êë è2ø úû æ1ö n+1
，
T = + + + + -n´ = -n´
2 n ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø L ç è2 ÷ ø ç è2 ÷ ø 1 è ç 2 ÷ ø
1-
2
æ nöæ1ö n æ1ö n
=1- ç 1+ ÷ç ÷ ，即T =2-2+n ç ÷ ，nÎN*．
è 2øè2ø n è2ø
18. 在三棱柱ABC- ABC 中，AA =2，AC ^底面ABC，ÐACB=90°，A到平面BCC B 的距离为
1 1 1 1 1 1 1 1
1．
（1）求证：AC = AC；
1
（2）若直线AA 与BB 距离为2，求AB 与平面BCC B 所成角的正弦值．
1 1 1 1 1
【答案】（1）证明见解析
13
（2）
13
第14页 | 共24页【解析】
【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得AO^平面BCC B ，再由勾股定理求出O
1 1 1
为中点，即可得证；
（2）利用直角三角形求出AB 的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.
1
【小问1详解】
如图，
Q
A
1
C ^底面ABC，BCÌ面ABC，
\AC ^ BC ，又BC ^ AC，AC,AC Ì平面ACC A ，ACÇ AC =C,
1 1 1 1 1
\BC ^平面ACC A ，又BCÌ平面BCC B ，
1 1 1 1
\平面ACC A ^平面BCC B ，
1 1 1 1
过A
1
作A
1
O^CC
1
交CC
1
于O，又平面ACC
1
A 1I平面BCC
1
B
1
=CC
1
，A
1
OÌ平面ACC
1
A
1
，
\AO^平面BCC B
1 1 1
Q
A
1
到平面BCC
1
B
1
的距离为1，\A
1
O=1，
在Rt△ACC 中，AC ^ AC ,CC = AA =2，
1 1 1 1 1 1 1
设CO= x，则CO=2-x，
1
Q
△A
1
OC,△A
1
OC
1
,△A
1
CC
1
为直角三角形，且CC
1
=2，
CO2 + AO2 = AC2，AO2 +OC2 =C A2，AC2 + AC2 =CC2，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
\1+x2 +1+(2-x)2 =4，解得x=1，
\AC = AC = AC = 2，
1 1 1
第15页 | 共24页\AC = AC
1
【小问2详解】
Q AC = A 1 C 1 ,BC ^ A 1 C,BC ^ AC ，
\Rt△ACB≌Rt△ACB
1
\BA= BA ，
1
过B作BD^ AA ，交AA 于D，则D为AA 中点，
1 1 1
由直线AA 与BB 距离为2，所以BD=2
1 1
Q
A
1
D=1，BD=2，\A
1
B= AB= 5，
在Rt△ABC ，\BC = AB2 - AC2 = 3，
延长AC，使AC =CM ，连接C M ，
1
由CM∥AC ,CM = AC 知四边形ACMC 为平行四边形，
1 1 1 1 1 1
\C M∥AC，\C M ^平面ABC，又AM Ì平面ABC，
1 1 1
\C M ^ AM
1
则在Rt△AC M 中，AM =2AC,C M = AC，\AC = (2AC)2 + AC2 ，
1 1 1 1 1
在Rt△ABC 中，AC = (2AC)2 + AC2 ，BC = BC = 3，
1 1 1 1 1 1
\AB = (2 2)2 +( 2)2 +( 3)2 = 13,
1
又A到平面BCC B 距离也为1，
1 1
1 13
所以AB 与平面BCC B 所成角的正弦值为 = .
1 1 1
13 13
19. 为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为两组，分别为对照组（不加药物）和实验组
（加药物）．
（1）设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X ，求X 的分布列和数学期望；
（2）测得40只小鼠体重如下（单位：g）：（已按从小到大排好）
对照组：17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
第16页 | 共24页实验组：5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
（i）求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
<m ³m
对照组
实验组
（ii）根据2×2列联表，能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用．
参考数据：
k 0.10 0.05 0.010
0
Pk2³k  2.706 3.841 6.635
0
【答案】（1）分布列见解析，E(X) =1
（2）（i）m=23.4；列联表见解析，（ii）能
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；
（2）（i）根据中位数的定义即可求得m=23.4，从而求得列联表；
（ii）利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.
【小问1详解】
依题意，X 的可能取值为0,1,2，
C0 C2 19 C1 C1 20 C2 C0 19
则P(X =0)= 20 20 = ，P(X =1)= 20 20 = ，P(X =2)= 20 20 = ，
C2 78 C2 39 C2 78
40 40 40
所以X 的分布列为：
X 0 1 2
19 20 19
P
78 39 78
19 20 19
故E(X)=0´ +1´ +2´ =1.
78 39 78
第17页 | 共24页【小问2详解】
（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数
据的平均数，
由于原数据已经排好，所以我们只需要观察对照组第一排数据与实验组第二排数据即可，
可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4,19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6, L，
故第20位为23.2，第21位数据为23.6，
23.2+23.6
所以m= =23.4，
2
故列联表为：
<m ³m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
40´(6´6-14´14)2
（ii）由（i）可得，K = =6.400>3.841，
20´20´20´20
所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
20. 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2 =2px(p>0)交于A,B两点，且| AB|=4 15．
（1）求 p；
uuur uuur
（2）设C的焦点为F，M，N为C上两点，MF×NF =0，求
V
MNF 面积的最小值．
【答案】（1） p =2
（2）12-8 2
【解析】
【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出 p；
（2）设直线MN ：x=my+n，M x 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ,利用M uuu F r × u N u F ur =0，找到m,n的关系，以及 V MNF
的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值．
【小问1详解】
设Ax ,y ,Bx ,y  ，
A A B B
第18页 | 共24页ìx-2y+1=0
由í 可得，y2 -4py+2p=0，所以y + y =4p,y y =2p，
îy2 =2px A B A B
所以 AB = x -x 2 +y - y 2 = 5 y - y = 5´ y + y 2 -4y y =4 15，
A B A B A B A B A B
即2p2 - p-6=0，因为 p >0，解得： p =2．
【小问2详解】
因为F1,0
，显然直线MN 的斜率不可能为零，
设直线MN ：x=my+n，M x ,y ,Nx ,y  ，
1 1 2 2
ìy2 =4x
由í 可得，y2 -4my-4n=0，所以，y + y =4m,y y =-4n，
îx=my+n 1 2 1 2
D=16m2 +16n>0Þm2 +n>0，
因为M uuu F r × u N u F ur =0，所以 x -1x -1+ y y =0，
1 2 1 2
即 my +n-1my +n-1+ y y =0，
1 2 1 2
亦即  m2 +1  y y +mn-1y + y +n-12 =0，
1 2 1 2
将y + y =4m,y y =-4n代入得，
1 2 1 2
4m2 =n2 -6n+1，4  m2 +n  =n-12 >0，
所以n¹1，且n2 -6n+1³0，解得n³3+2 2或n£3-2 2 ．
n-1
设点F 到直线MN 的距离为d，所以d = ，
1+m2
MN = x -x 2 +y - y 2 = 1+m2 y - y = 1+m2 16m2 +16n
1 2 1 2 1 2
=2 1+m2 4  n2 -6n+1  +16n =2 1+m2 n-1，
1 1 n-1
所以 MNF 的面积S = ´ MN ´d = ´ ´2 1+m2 n-1 =n-12 ，
V
2 2 1+m2
而n³3+2 2或n£3-2 2 ，所以，
 2
当n=3-2 2时，
V
MNF 的面积S = 2-2 2 =12-8 2．
min
【点睛】本题解题关键是根据向量的数量积为零找到m,n的关系，一是为了减元，二是通过相互的制约关
系找到各自的范围，为得到的三角形面积公式提供定义域支持，从而求出面积的最小值.
第19页 | 共24页sinx æ πö
21. 已知 f(x)=ax- ,xÎ ç 0, ÷
cos3 x è 2ø
（1）若a= 8，讨论 f(x)的单调性；
（2）若 f(x)<sin2x恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析.
（2）(-¥,3]
【解析】
【分析】（1）求导,然后令t =cos2 x,讨论导数的符号即可;
（2）构造g(x)= f(x)-sin2x,计算g¢(x)的最大值,然后与0比较大小,得出a的分界点,再对a讨论即可.
【小问1详解】
cosxcos3 x+3sinxcos2 xsinx
f¢(x)=a-
cos6 x
cos2 x+3sin2 x 3-2cos2 x
=a- =a-
cos4 x cos4 x
令cos2 x=t,则tÎ(0,1)
3-2t at2 +2t-3
则 f¢(x)= g(t)=a- =
t2 t2
8t2 +2t-3 (2t-1)(4t+3)
当a=8, f¢(x)= g(t)= =
t2 t2
æ 1ö æπ πö
当tÎ
ç
0, ÷,即xÎ
ç
,
÷
, f¢(x)<0.
è 2ø è4 2ø
æ1 ö æ πö
当tÎ
ç
,1 ÷,即xÎ
ç
0,
÷
, f¢(x)>0.
è2 ø è 4ø
æ πö æπ πö
所以 f(x)在ç 0, ÷上单调递增,在ç , ÷上单调递减
è 4ø è4 2ø
【小问2详解】
设g(x)= f(x)-sin2x
at2 +2t-3 2 3
g¢(x)= f¢(x)-2cos2x= g(t)-2  2cos2 x-1  = -2(2t-1)=a+2-4t+ - 设
t2 t t2
第20页 | 共24页2 3
j(t)=a+2-4t+ -
t t2
2 6 -4t3-2t+6 2(t-1)(2t2 +2t+3)
j¢(t)=-4- + = =- >0
t2 t3 t3 t3
所以j(t)<j(1)=a-3.
1°若aÎ(-¥,3],g¢(x)=j(t)<a-3£0
æ pö
即g(x)在ç 0, ÷上单调递减,所以g(x)< g(0)=0.
è 2 ø
所以当aÎ(-¥,3], f(x)<sin2x,符合题意.
2°若aÎ(3,+¥)
2
2 3 æ1 1ö 1
当t ®0, - =-3
ç
-
÷
+ ®-¥,所以j(t)®-¥.
t t2 èt 3ø 3
j(1)=a-3>0.
æ pö
所以$t Î(0,1),使得jt =0,即$x Î
ç
0, ÷,使得g¢x =0.
0 0 0 è 2ø 0
当tÎt ,1,j(t)>0,即当xÎ0,x ,g¢(x)>0,g(x)单调递增.
0 0
所以当xÎ0,x ,g(x)> g(0)=0,不合题意.
0
综上,a的取值范围为(-¥,3].
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性t =cosx在定义域内是减函数,若t =cosx ,当
0 0
tÎt ,1,j(t)>0,对应当xÎ0,x ,g¢(x)>0.
0 0
四、选做题
ìx=2+tcosa
22. 已知P(2,1)，直线l:í （t为参数），a为l的倾斜角，l与x轴，y轴正半轴交于A，B两
îy =1+tsina
点，|PA|×|PB|=4．
（1）求a的值；
（2）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l的极坐标方程．
3π
【答案】（1）
4
第21页 | 共24页（2）rcosa+rsina-3=0
【解析】
【分析】（1）根据t的几何意义即可解出；
（2）求出直线l的普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可解出．
【小问1详解】
π
因为l与x轴，y轴正半轴交于A,B两点，所以 <a< π，
2
2 1
令x=0，t =- ，令y=0，t =- ，
1 cosa 2 sina
2 4
所以 PA PB = t t = = =4，所以sin2a=±1，
21 sinacosa sin2a
π π 1
即2a= +kπ，解得a= + kπ,kÎZ，
2 4 2
π 3π
因为 <a< π，所以a= ．
2 4
【小问2详解】
由（1）可知，直线l的斜率为tana=-1，且过点 2,1 ，
所以直线l的普通方程为：y-1=-x-2 ，即x+ y-3=0，
由x=rcosa,y =rsina可得直线l的极坐标方程为rcosa+rsina-3=0．
23. 已知 f(x)=2 x-a -a,a >0．
（1）求不等式 f x< x的解集；
（2）若曲线y = f x 与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a．
æa ö
【答案】（1）ç ,3a ÷
è3 ø
2 6
（2）
3
【解析】
【分析】（1）分x£a和x>a讨论即可;
（2）写出分段函数,画出草图,表达面积解方程即可.
【小问1详解】
若x£a,则 f(x)=2a-2x-a< x,
第22页 | 共24页a a
即3x>a,解得x> ,即 < x£a,
3 3
若x>a,则 f(x)=2x-2a-a< x,
解得x<3a,即a < x <3a ,
æa ö
综上,不等式的解集为ç ,3a ÷.
è3 ø
【小问2详解】
ì-2x+a,x£a
f(x)=í .
î2x-3a,x>a
画出 f(x)的草图,则 f(x)与坐标轴围成△ADO与 ABC
V
æa ö æ3a ö
V
ABC的高为a,D(0,a),A
ç
,0
÷
,B
ç
,0 ÷,所以| AB|=a
è2 ø è 2 ø
1 1 3 2 6
所以S +S = OA ×a+ AB ×a = a2 =2,解得a=
VOAD VABC 2 2 4 3
第23页 | 共24页第24页 | 共24页