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2023 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学
本试卷满分 150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项.
1. 已知集合 M ={x∣x+2³0},N ={x∣x-1<0} ，则M ÇN =（ ）
A. {x∣-2£ x<1} B. {x∣-2< x£1}
C. {x∣x³-2} D. {x∣x<1}
2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1, 3)，则z的共轭复数z =（ ）
A 1+ 3i B. 1- 3i
.
C. -1+ 3i D. -1- 3i
3. 已知向量a r，b r 满足a r +b r =(2,3),a r -b r =(-2,1)，则|a r |2 -|b r |2=（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
4. 下列函数中，在区间(0,+¥)上单调递增的是（ ）
1
A. f(x)=-lnx B. f(x)=
2x
1
C. f(x)=- D. f(x)=3|x-1|
x
5
æ 1ö
5. ç 2x- ÷ 的展开式中x的系数为（ ）．
è xø
A. -80 B. -40 C. 40 D. 80
6. 已知抛物线C: y2 =8x的焦点为F ，点M 在C上．若M 到直线x=-3的距离为5，则|MF |=
（ ）
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
7. 在 ABC中，(a+c)(sin A-sinC)=b(sin A-sinB)，则ÐC =（ ）
V
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
第1页 | 共5页y x
8. 若xy ¹0，则“x+ y =0”是“ + =-2”的（ ）
x y
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之
美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若
AB=25m,BC = AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正
14
切值均为 ，则该五面体的所有棱长之和为（ ）
5
A. 102m B. 112m
C 117m D. 125m
.
1
10 . 已知数列 a n 满足a n+1 = 4 a n -63 +6(n=1,2,3, L )，则（ ）
A. 当a =3时， a 为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a >M 恒成立
1 n n
B. 当a =5时， a 为递增数列，且存在常数M £6，使得a 6，使得a >M 恒成立
1 n n
D. 当a =9时， a 为递增数列，且存在常数M >0，使得a b，则tana> tanb．能说明p为假命题的一组a,b的值
为a=__________，b= _________．
14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环
权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列
a
，该数列的前3项成等差数
n
第2页 | 共5页列，后7项成等比数列，且a =1,a =12,a =192，则a =___________；数列 a 所有项的和为
1 5 9 7 n
____________．
ìx+2,x<-a,
ïï
15. 设a>0，函数 f(x)=í a2 -x2,-a£ x£a,，给出下列四个结论：
ï
ïî - x -1,x>a.
① f(x)在区间(a-1,+¥)上单调递减；
②当a³1时， f(x)存在最大值；
③设M x , f x x £a,N x , f x x >a ，则|MN |>1；
1 1 1 2 2 2
④设P x , f x x <-a,Q x , f x x ³-a ．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是
3 3 3 4 4 4
æ 1ù
ç 0, ú ．
è 2û
其中所有正确结论的序号是____________．
三、解答题：本题共 6小题，共 85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 如图，在三棱锥P-ABC 中，PA^平面ABC，PA= AB= BC =1，PC = 3．
（1）求证：BC^平面PAB；
（2）求二面角A-PC-B的大小．
æ πö
17. 设函数 f(x)=sinwxcosj+coswxsinj ç w>0,|j|< ÷．
è 2ø
3
（1）若 f(0)=- ，求j的值．
2
é π 2πù æ2πö
（2）已知 f(x)在区间 ê - , ú 上单调递增， f ç ÷ =1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
ë 3 3 û è 3 ø
选择一个作为已知，使函数 f(x)存在，求w,j的值．
第3页 | 共5页æπö
条件①： f ç ÷ = 2；
è3ø
æ πö
条件②： f ç - ÷ =-1；
è 3ø
é π πù
条件③： f(x) 在区间
ê
- ,-
ú
上单调递减．
ë 2 3û
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在
描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一
天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；
（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这
4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”
和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
x2 y2 5
19. 已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E
a2 b2 3
的左、右顶点，| AC|=4．
（1）求E的方程；
（2）设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M ，直线PA与直线 y = -2交于点
N ．求证：MN //CD．
20. 设函数 f(x)= x-x3eax+b，曲线y= f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y =-x+1．
（1）求a,b的值；
第4页 | 共5页（2）设函数g(x)= f¢(x)，求g(x)的单调区间；
（3）求 f(x)的极值点个数．
21. 已知数列 a n ,b n 的项数均为m(m>2)，且a n ,b n Î{1,2, L ,m}, a n ,b n 的前n项和分别为
A n ,B n ，并规定A 0 = B 0 =0．对于kÎ0,1,2, L ,m ，定义r k =maxi∣B i £ A k ,iÎ{0,1,2, L ,m} ，其
中，maxM 表示数集M中最大的数.
（1）若a =2,a =1,a =3,b =1,b =3,b =3，求r ,r,r ,r 的值；
1 2 3 1 2 3 0 1 2 3
（2）若a 1 ³b 1 ，且2r j £r j+1 +r j-1 , j =1,2, L ,m-1,，求r n ；
（3）证明：存在 p,q,s,tÎ0,1,2,
L
,m ，满足 p>q,s>t, 使得A
p
+B
t
= A
q
+B
s
．
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