2023年高考数学试卷（理）（全国乙卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2023·高考数学真题

2023 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题
2+i
z =
1. 设 1+i2 +i5 ，则z=（ ）
A. 1-2i B. 1+2i C. 2-i D. 2+i
【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
2+i 2+i
i2+i
2i-1
【详解】由题意可得z = = = = =1-2i，
1+i2 +i5 1-1+i i2 -1
则z = 1 + 2i .
故选：B.
     
2 设集合U =R，集合M = x x<1 ，N = x -1< x<2 ，则 x x³2 =（ ）
.
A. ð U M U N B. N U ð U M
C. ð U M I N D. M Èð U N
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为
x|x³2
即可.
【详解】由题意可得M U N =x|x<2 ，则ð U M U N=x|x³2 ，选项A正确；
ð U M =x|x³1 ，则N U ð U M =x|x>-1 ，选项B错误；
M
I
N =x|-1<x<1，则ð
U
M ÇN=x|x£-1或x³1 ，选项C错误；
ð
U
N =x|x£-1或x³2 ，则M
U
ð
U
N = x|x<1或x³2 ，选项D错误；
故选：A.
3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）
第1页 | 共25页A. 24 B. 26 C. 28 D. 30
【答案】D
【解析】
【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.
【详解】如图所示，在长方体ABCD-ABC D 中，AB= BC =2，AA =3，
1 1 1 1 1
点H,I,J,K为所在棱上靠近点B,C ,D,A 的三等分点，O,L,M,N 为所在棱的中点，
1 1 1 1
则三视图所对应的几何体为长方体ABCD-ABC D 去掉长方体ONIC -LMHB 之后所得的几何体，
1 1 1 1 1 1
该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，
其表面积为：2´2´2+4´2´3-2´1´1=30.
故选：D.
xex
4. 已知 f(x)= 是偶函数，则a =（ ）
eax -1
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
第2页 | 共25页【详解】因为 f x=
xex
为偶函数，则 f x- f -x=
xex
-
-xe-x
=
xé
ë
ex -e a-1xù
û =0，
eax -1 eax -1 e-ax -1 eax -1
又因为x不恒为0，可得ex -e a-1x =0，即ex =e a-1x，
则x=a-1x，即1=a-1，解得a=2.
故选：D.
5. 设O为平面坐标系的坐标原点，在区域
x,y1£
x2 + y2 £4

内随机取一点，记该点为A，则直线
π
OA的倾斜角不大于 的概率为（ ）
4
1 1 1
1
A. B. C. D.
8 6 4 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【详解】因为区域 x,y|1£ x2 + y2 £4  表示以O0,0 圆心，外圆半径R=2，内圆半径r =1的圆环，
π π
则直线OA的倾斜角不大于 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角ÐMON = ，
4 4
π
2´
结合对称性可得所求概率 4 1 .
P= =
2π 4
故选：C.
æπ 2πö π 2π
6. 已知函数 f(x)=sin(wx+j)在区间ç , ÷单调递增，直线x= 和x= 为函数y = f x 的图像
è6 3 ø 6 3
æ 5πö
的两条对称轴，则 f ç - ÷ =（ ）
è 12ø
3 1 1 3
A. - B. - C. D.
2 2 2 2
第3页 | 共25页【答案】D
【解析】
5π
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x=- 即可得到答案.
12
æπ 2πö
【详解】因为 f(x)=sin(wx+j)在区间ç , ÷单调递增，
è6 3 ø
T 2π π π 2π
所以 = - = ，且w>0，则T =π，w= =2，
2 3 6 2 T
π π π
当x= 时， f x 取得最小值，则2× +j=2kπ- ，kÎZ，
6 6 2
5π æ 5πö
则j=2kπ- ，kÎZ，不妨取k =0，则 f x=sin ç 2x- ÷，
6 è 6 ø
æ 5πö æ 5πö 3
则 f - =sin - = ，
ç ÷ ç ÷
è 12ø è 3 ø 2
故选：D.
7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有
（ ）
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有C1种情况，
6
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A2种，
5
根据分步乘法公式则共有C1×A2 =120种，
6 5
故选：C.
8. 已知圆锥PO的底面半径为 3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，ÐAOB=120°，若
V
PAB的面
9 3
积等于 ，则该圆锥的体积为（ ）
4
A. p B. 6p C. 3p D. 3 6p
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的高，求出体积作答.
第4页 | 共25页【 详 解 】 在 V AOB中 ， ÐAOB=120o， 而 OA=OB= 3， 取 AC中 点 C， 连 接 OC,PC ， 有
OC ^ AB,PC ^ AB，如图，
3 9 3 1 9 3
∠ABO=30o，OC = ,AB=2BC =3，由
V
PAB的面积为 ，得 ´3´PC = ，
2 4 2 4
3 3 3 3 3
解得PC = ，于是PO= PC2 -OC2 = ( )2 -( )2 = 6 ，
2 2 2
1 1
所以圆锥的体积V = π´OA2´PO= π´( 3)2´ 6 = 6π.
3 3
故选：B
9. 已知 ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角C-AB-D为150°，
V
则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（ ）
1 2 3 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.
【详解】取 AB的中点 E，连接CE,DE，因为 ABC是等腰直角三角形，且 AB为斜边，则有
V
CE^AB，
又△ABD是等边三角形，则DE^AB，从而ÐCED为二面角C-AB-D的平面角，即ÐCED=150o，
第5页 | 共25页显然CEÇDE = E,CE,DE Ì平面CDE，于是AB^平面CDE，又ABÌ平面ABC，
因此平面CDE ^平面ABC，显然平面CDEÇ平面ABC =CE，
直线CDÌ平面CDE，则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，
从而ÐDCE为直线CD与平面ABC所成的角，令AB=2，则CE =1,DE = 3，在 CDE中，由余弦
V
定理得：
3
CD= CE2 +DE2 -2CE×DEcosÐCED = 1+3-2´1´ 3´(- ) = 7，
2
DE CD 3sin150o 3
由正弦定理得 = ，即sinÐDCE = = ，
sinÐDCE sinÐCED 7 2 7
3 5
显然ÐDCE是锐角，cosÐDCE = 1-sin2ÐDCE = 1-( )2 = ，
2 7 2 7
3
所以直线CD与平面ABC所成的角的正切为 .
5
故选：C
10. 已知等差数列 a  的公差为 2p ，集合S =  cosa nÎN* ，若S =a,b ，则ab=（ ）
n 3 n
1
1
A. －1 B. - C. 0 D.
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
2π 2π 2π
【详解】依题意，等差数列{a }中，a =a +(n-1)× = n+(a - )，
n n 1 3 3 1 3
2π 2π
显然函数 y =cos[ n+(a - )]的周期为 3，而 nÎN*，即 cosa 最多 3 个不同取值，又
3 1 3 n
第6页 | 共25页{cosa |nÎN*}={a,b}，
n
则在cosa ,cosa ,cosa 中，cosa =cosa ¹cosa 或cosa ¹cosa =cosa ，
1 2 3 1 2 3 1 2 3
2π 2π π
于是有cosq=cos(q+ )，即有q+(q+ )=2kπ,kÎZ，解得q=kπ- ,kÎZ，
3 3 3
π π 4π π π 1
所以kÎZ，ab=cos(kπ- )cos[(kπ- )+ ]=-cos(kπ- )coskπ=-cos2kπcos =- .
3 3 3 3 3 2
故选：B
y2
11. 设A，B为双曲线x2- =1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
9
A.
1,1
B.
(-1,2)
C.
1,3
D.
-1,-4
【答案】D
【解析】
【分析】根据点差法分析可得k ×k =9，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
AB
对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
æ x +x y + y ö
【详解】设Ax ,y ,Bx ,y  ，则AB的中点M ç 1 2 , 1 2 ÷，
1 1 2 2 è 2 2 ø
y + y
1 2
y - y y + y
2
可得k = 1 2 ,k = = 1 2 ，
AB x -x x +x x +x
1 2 1 2 1 2
2
ì y2
x2 - 1 =1
ï
ï 1 9 y2 - y2
因为A,B在双曲线上，则í ，两式相减得  x2 -x2 - 1 2 =0，
ï y2 1 2 9
x2 - 2 =1
ïî 2 9
y2 - y2
所以k ×k = 1 2 =9.
AB x2 -x2
1 2
对于选项A： 可得k =1,k =9，则AB: y =9x-8，
AB
ìy =9x-8
ï
联立方程í y2 ，消去y得72x2 -2´72x+73=0，
x2 - =1
ï
î 9
此时D=-2´722
-4´72´73=-288<0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
第7页 | 共25页9 9 5
对于选项B：可得k =-2,k =- ，则AB: y =- x- ，
AB 2 2 2
ì 9 5
y =- x-
ï
ï 2 2
联立方程í ，消去y得45x2 +2´45x+61=0，
y2
ï x2 - =1
ïî 9
此时D=2´452
-4´45´61=-4´45´16<0，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得k =3,k =3，则AB: y =3x
AB
由双曲线方程可得a =1,b=3，则AB: y =3x为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
9 9 7
对于选项D：k =4,k = ，则AB: y = x- ，
AB 4 4 4
ì 9 7
y = x-
ï
ï 4 4
联立方程í ，消去y得63x2 +126x-193=0，
y2
ï x2 - =1
ïî 9
此时D=1262 +4´63´193>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
12. 已知 e O的半径为1，直线PA与 e O相切于点A，直线PB与 e O交于B，C两点，D为BC的中
uuur uuur
点，若 PO = 2，则PA×PD的最大值为（ ）
1+ 2 1+2 2
A. B.
2 2
C. 1+ 2 D. 2+ 2
【答案】A
【解析】
uuur uuur
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得 PA×PD
1 2 æ pö uuur uuur 1 2 æ pö uuur uuur
= - sin
ç
2a-
÷
，或PA×PD = + sin
ç
2a+
÷
然后结合三角函数的性质即可确定PA×PD
2 2 è 4ø 2 2 è 4ø
的最大值.
【详解】如图所示， OA =1, OP = 2，则由题意可知:ÐAPO=45o，
第8页 | 共25页由勾股定理可得PA= OP2 -OA2 =1
p
当点A,D位于直线PO异侧时，设ÐOPC =a,0£a£ ，
4
uuur uuur uuur uuur æ pö
则：PA×PD =|PA|×|PD|cos ç a+ ÷
è 4ø
æ pö
=1´ 2cosacos a+
ç ÷
è 4ø
æ 2 2 ö
= 2cosaç cosa- sina÷
ç ÷
2 2
è ø
=cos2a-sinacosa
1+cos2a 1
= - sin2a
2 2
1 2 æ pö
= - sin 2a-
ç ÷
2 2 è 4ø
p p p p
0£a£ ，则- £2a- £
4 4 4 4
π π
uuur uuur
\当2a- =- 时，PA×PD有最大值1.
4 4
p
当点A,D位于直线PO同侧时，设ÐOPC =a,0£a£ ，
4
第9页 | 共25页uuur uuur uuur uuur æ pö
则：PA×PD =|PA|×|PD|cos ç a- ÷
è 4ø
æ pö
=1´ 2cosacos a-
ç ÷
è 4ø
æ 2 2 ö
= 2cosaç cosa+ sina÷
ç ÷
2 2
è ø
=cos2a+sinacosa
1+cos2a 1
= + sin2a
2 2
1 2 æ pö
= + sin 2a+
ç ÷
2 2 è 4ø
p p p p
0£a£ ，则 £2a+ £
4 4 4 2
p p uuur uuur 1+ 2
\当2a+ = 时，PA×PD有最大值 .
4 2 2
uuur uuur 1+ 2
综上可得，PA×PD的最大值为 .
2
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
二、填空题
13. 已知点A  1, 5  在抛物线C：y2 =2px上，则A到C的准线的距离为______.
9
【答案】
4
【解析】
5
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为x=- ，最后利
4
用点的坐标和准线方程计算点A到C的准线的距离即可.
 2
【详解】由题意可得： 5 =2p´1，则2p=5，抛物线的方程为 y2 = 5x ，
5 æ 5ö 9
准线方程为x=- ，点A到C的准线的距离为1- ç - ÷ = .
4 è 4ø 4
9
故答案为： .
4
第10页 | 共25页ìx-3y£-1
ï
14. 若x，y满足约束条件í x+2y£9 ，则z =2x- y的最大值为______.
ï
3x+ y³7
î
【答案】8
【解析】
【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.
【详解】作出可行域如下图所示：
z =2x- y，移项得y =2x-z，
ìx-3y =-1 ìx=5
联立有í ，解得í ，
îx+2y =9 îy =2
设A5,2 ，显然平移直线y =2x使其经过点A，此时截距-z最小，则z最大，
代入得z =8，
故答案为：8.
15. 已知 a  为等比数列，a a a =a a ，a a =-8，则a =______.
n 2 4 5 3 6 9 10 7
【答案】-2
【解析】
【分析】根据等比数列公式对 a a a =a a 化简得 aq =1，联立 a a =-8求出 q3 =-2，最后得
2 4 5 3 6 1 9 10
a =aq×q5 =q5 =-2.
7 1
【详解】设 a  的公比为qq ¹0 ，则a a a =a a =a q×a q，显然a ¹0，
n 2 4 5 3 6 2 5 n
则a =q2，即aq3 =q2，则aq =1，因为a a =-8，则aq8×aq9 =-8，
4 1 1 9 10 1 1
则q15 =  q53 =-8=-23 ，则q3 =-2，则a =aq×q5 =q5 =-2，
7 1
故答案为：-2.
第11页 | 共25页16. 设aÎ0,1 ，若函数 f x=ax +1+ax 在 0,+¥ 上单调递增，则a的取值范围是______.
é 5-1 ö
【答案】ê ,1÷
÷
2
ë ø
【解析】
【分析】原问题等价于 f¢x=axlna+1+ax ln1+a³0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，
æ1+a ö x lna
可得ç ÷ ³ - ，由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定实
è a ø ln1+a
数a的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 f¢x=axlna+1+ax ln1+a³0在区间 0,+¥ 上恒成立，
æ1+a ö x lna
则1+ax ln1+a³-axlna，即ç ÷ ³ - 在区间 0,+¥ 上恒成立，
è a ø ln1+a
0
æ1+aö lna
故ç ÷ =1³- ，而a+1Î1,2 ，故ln1+a>0，
è a ø ln1+a
ìlna+1³-lna ìaa+1³1
5-1
故í 即í ，故 £a<1，
î0<a<1 î0<a<1 2
é 5-1 ö
结合题意可得实数a的取值范围是ê ,1÷.
÷
2
ë ø
é 5-1 ö
故答案为：ê ,1÷.
÷
2
ë ø
三、解答题
17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质
相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的
伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x ，y （i =1,2,×××10），试验结果如下
i i
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率x 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
i
伸缩率y 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
i
记z
i
= x
i
- y
i
(i =1,2,
L
,10)，记z
1
，z
2
，…，z
10
的样本平均数为z，样本方差为s2，
第12页 | 共25页（1）求z，s2；
（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
s2
z ³2 ，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，
10
否则不认为有显著提高）.
【答案】（1）z =11，s2 =61；
（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【解析】
【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出x,y，再得到所有的z 值，最后计算出方差即可；
i
s2
（2）根据公式计算出2 的值，和z比较大小即可.
10
【小问1详解】
545+533+551+522+575+544+541+568+596+548
x = =552.3，
10
536+527+543+530+560+533+522+550+576+536
y = =541.3，
10
z = x - y =552.3-541.3=11，
z = x - y 的值分别为: 9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12，
i i i
(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2
故s2 = =61
10
【小问2详解】
s2 s2
由（1）知:z =11，2 =2 6.1= 24.4，故有z ³2 ,
10 10
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
18. 在 ABC中，已知ÐBAC =120°，AB=2，AC =1.
V
（1）求sinÐABC ；
（2）若D为BC上一点，且ÐBAD=90°，求△ADC的面积.
21
【答案】（1） ；
14
3
（2） .
10
第13页 | 共25页【解析】
5 7
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BC = 7，然后由余弦定理可得cosB= ，最后由同
14
21
角三角函数基本关系可得sinB= ；
14
S 1
(2)由题意可得 △ABD =4，则S = S ，据此即可求得△ADC的面积.
S △ACD 5 △ABC
△ACD
【小问1详解】
由余弦定理可得：
BC2 =a2 =b2 +c2 -2bccosA
=4+1-2´2´1´cos120o =7，
a2 +c2 -b2 7+4-1 5 7
则BC = 7，cosB= = = ，
2ac 2´2´ 7 14
25 21
sinB= 1-cos2 B = 1- = .
28 14
【小问2详解】
1
´AB´AD´sin90o
S
2
由三角形面积公式可得 △ABD = =4，
S 1
△ACD ´AC´AD´sin30o
2
1 1 æ1 ö 3
则S = S = ´ ç ´2´1´sin120o÷ = .
△ACD 5 △ABC 5 è2 ø 10
19. 如图，在三棱锥P-ABC 中，AB^BC ，AB=2，BC =2 2，PB= PC = 6，BP，AP，BC
的中点分别为D，E，O，AD= 5DO，点F在AC上，BF ^ AO.
（1）证明：EF //平面ADO；
第14页 | 共25页（2）证明：平面ADO^平面BEF；
（3）求二面角D-AO-C的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
2
（2）证明见解析； （3） .
2
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）由（1）的信息，结合勾股定理的逆定理及线面垂直、面面垂直的判定推理作答.
（3）由（2）的信息作出并证明二面角的平面角，再结合三角形重心及余弦定理求解作答.
【小问1详解】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1uuur
连接 DE,OF ，设 AF =tAC，则 BF = BA+ AF =(1-t)BA+tBC， AO=-BA+ BC， BF ^ AO，
2
uuur uuur uuur uuur uuur 1uuur uuur2 1 uuuur
则BF×AO=[(1-t)BA+tBC]×(-BA+ BC)=(t-1)BA + tBC2 =4(t-1)+4t =0，
2 2
1
解得t = ，则F 为AC的中点，由D,E,O,F 分别为PB,PA,BC,AC的中点，
2
1 1
于是DE//AB,DE = AB,OF //AB,OF = AB，即DE//OF,DE =OF ，则四边形ODEF 为平行
2 2
四边形，
EF //DO,EF = DO，又EF Ë平面ADO,DOÌ平面ADO，
所以EF //平面ADO.
【小问2详解】
6 30
由（1）可知EF//OD，则AO= 6,DO= ，得AD= 5DO= ，
2 2
15
因此OD2 + AO2 = AD2 = ，则OD^ AO，有EF ^ AO，
2
又AO^ BF,BF
I
EF = F ，BF,EF Ì平面BEF，
则有AO ^平面BEF，又AOÌ平面ADO，所以平面ADO^平面BEF .
第15页 | 共25页【小问3详解】
过点O作OH //BF 交AC于点H ，设AD
I
BE =G，
1
由AO^ BF ，得HO^ AO，且FH = AH ，
3
又由（2）知，OD^ AO，则ÐDOH 为二面角D-AO-C的平面角，
因为D,E分别为PB,PA的中点，因此G为 PAB的重心，
V
1 1 1 3
即有DG = AD,GE = BE，又FH = AH ，即有DH = GF，
3 3 3 2
3 15
4+ -
2 2
4+6-PA2
6
cosÐABD= = ，解得PA= 14 ，同理得BE = ，
6 2´2´ 6 2
2´2´
2
2 2
æ1 6 ö æ 6 ö 5
于是BE2 +EF2 = BF2 =3，即有BE ^ EF ，则GF2 =ç ´ ÷ +ç ÷ = ，
ç ÷ ç ÷
3 2 2 3
è ø è ø
15 3 15 15
从而GF = ，DH = ´ = ，
3 2 3 2
1 3 6 15
在△DOH 中，OH = BF = ,OD= ,DH = ，
2 2 2 2
6 3 15
+ -
4 4 4 2 æ 2 ö 2 2
于是cosÐDOH = =- ，sinÐDOH = 1-ç- ÷ = ，
6 3 2 ç 2 ÷ 2
2´ ´ è ø
2 2
2
所以二面角D-AO-C的正弦值为 .
2
y2 x2 5
20. 已知椭圆C： + =1a >b>0的离心率为 ，点A-2,0 在C上.
a2 b2 3
（1）求C的方程；
第16页 | 共25页（2）过点
-2,3
的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段
MN的中点为定点.
y2 x2
【答案】（1） + =1
9 4
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求解a,b,c，进而可得结果；
y + y
（2）设直线PQ的方程，进而可求点M,N 的坐标，结合韦达定理验证 M N 为定值即可.
2
【小问1详解】
ì
ï b=2 ìa=3
ï ï ï
由题意可得ía2 =b2 +c2 ，解得íb=2 ，
ï ï
ï
c 5 îc= 5
e= =
ïî a 3
y2 x2
所以椭圆方程为 + =1.
9 4
【小问2详解】
由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ: y =kx+2+3,Px ,y ,Qx ,y  ，
1 1 2 2
ìy =kx+2+3
联立方程 ï íy2 x2 ，消去y得：  4k2 +9  x2 +8k2k+3x+16  k2 +3k  =0，
ï + =1
î 9 4
则Δ=64k22k+32 -64  4k2 +9  k2 +3k  =-1728k >0，解得k <0，
8k2k+3 16  k2 +3k 
可得x +x =- ,x x = ，
1 2 4k2 +9 1 2 4k2 +9
y
因为A-2,0 ，则直线AP: y = 1 x+2 ，
x +2
1
2y
æ 2y ö
令x=0，解得y= 1 ，即Mç0, 1 ÷,
x +2 è x +2ø
1 1
æ 2y ö
同理可得Nç0, 2 ÷，
è x +2ø
2
第17页 | 共25页2y 2y
1 + 2
则 x 1 +2 x 2 +2 = é ë kx 1 +2+3ù û + é ë kx 2 +2+3ù û
2 x +2 x +2
1 2
ékx +2k+3ùx +2+ékx +2k+3ùx +2 2kxx +4k+3x +x +42k+3
= ë 1 û 2 ë 2 û 1 = 1 2 1 2
x +2x +2 xx +2x +x +4
1 2 1 2 1 2
32k  k2+3k  8k4k+32k+3
- +42k+3
4k2+9 4k2+9 108
= = =3，
16  k2+3k  16k2k+3 36
- +4
4k2+9 4k2+9
所以线段PQ的中点是定点 0,3 .
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；
也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
æ1 ö
21. 已知函数 f(x)= ç +a ÷ ln(1+x).
è x ø
（1）当a=-1时，求曲线y = f x 在点  1, f 1 处的切线方程；
æ1ö
（2）是否存在a，b，使得曲线y = f ç ÷关于直线x=b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明
è xø
第18页 | 共25页理由.
（3）若 f x 在 0,+¥ 存在极值，求a的取值范围.
【答案】（1） ln2x+ y-ln2=0；
1 1
（2）存在a = ,b=- 满足题意，理由见解析.
2 2
æ 1ö
（3）ç 0, ÷.
è 2ø
【解析】
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求
解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可
得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的a,b是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数gx=ax2 +x-x+1lnx+1
，然后对函数求
1 1
导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a£0，a³ 和0<a< 三中情况即可求得实数a的取值
2 2
范围.
【小问1详解】
æ1 ö
当a=-1时， f x= ç -1 ÷ lnx+1 ，
è x ø
1 æ1 ö 1
则 f¢x=- ´lnx+1+ ç -1 ÷ ´ ，
x2 è x ø x+1
据此可得 f 1=0, f¢1=-ln2，
函数在  1, f 1 处的切线方程为y-0=-ln2x-1 ，
即 ln2x+ y-ln2=0.
【小问2详解】
æ1ö æ1 ö
由函数的解析式可得 f ç ÷ =x+aln ç +1 ÷，
è xø è x ø
1 x+1
函数的定义域满足 +1= >0，即函数的定义域为 -¥,-1È0,+¥ ，
x x
1 1
定义域关于直线x=- 对称，由题意可得b=- ，
2 2
第19页 | 共25页æ 1 ö æ 1 öæ 1ö
由对称性可知 f ç - +m ÷ = f ç - -m ÷ç m> ÷，
è 2 ø è 2 øè 2ø
3
取m= 可得 f 1= f -2 ，
2
1 1
即a+1ln2=a-2ln ，则a+1=2-a，解得a= ，
2 2
1 1 1 1
经检验a = ,b=- 满足题意，故a = ,b=- .
2 2 2 2
1 1
即存在a = ,b=- 满足题意.
2 2
【小问3详解】
æ 1 ö æ1 ö 1
由函数的解析式可得 f¢x= ç - ÷ lnx+1+ ç +a ÷ ，
è x2 ø è x ø x+1
由 f x 在区间 0,+¥ 存在极值点，则 f ¢x 在区间 0,+¥ 上存在变号零点;
æ 1 ö æ1 ö 1
令ç - ÷ lnx+1+ ç +a ÷ =0，
è x2 ø è x ø x+1
则-x+1lnx+1+  x+ax2 =0，
令gx=ax2 +x-x+1lnx+1
，
f x 在区间 0,+¥ 存在极值点，等价于gx 在区间 0,+¥ 上存在变号零点，
1
g¢x=2ax-lnx+1,g¢¢x=2a-
x+1
当a£0时，g¢x<0，gx
在区间
0,+¥
上单调递减，
此时gx< g0=0，gx
在区间
0,+¥
上无零点，不合题意;
1 1
当a³ ，2a³1时，由于 <1，所以g''x>0,g¢x 在区间 0,+¥ 上单调递增，
2 x+1
所以g¢x> g¢0=0，gx
在区间
0,+¥ 上单调递增，gx> g0=0，
所以gx
在区间
0,+¥
上无零点，不符合题意；
1 1 1
当0<a< 时，由g''x=2a- =0可得x= -1，
2 x+1 2a
æ 1 ö
当xÎ ç 0, -1 ÷时，g¢¢x<0，g¢x 单调递减，
è 2a ø
æ 1 ö
当xÎ ç -1,+¥ ÷时，g¢¢x>0，g¢x 单调递增，
è2a ø
第20页 | 共25页æ 1 ö
故g¢x 的最小值为g¢
ç
-1
÷
=1-2a+ln2a，
è2a ø
-x+1
令mx=1-x+lnx0< x<1 ，则m¢x= >0，
x
函数mx 在定义域内单调递增，mx<m1=0，
据此可得1-x+lnx<0恒成立，
æ 1 ö
则g¢
ç
-1
÷
=1-2a+ln2a<0，
è2a ø
-2x2 +x+1
令hx=lnx-x2 +xx>0 ，则h¢x= ，
x
当xÎ0,1 时，h¢x>0,hx
单调递增，
当xÎ1,+¥ 时，h¢x<0,hx
单调递减，
故hx£h1=0，即lnx£ x2 -x(取等条件为x=1)，
所以g¢x=2ax-lnx+1>2ax-éx+12 -x+1ù =2ax-  x2 +x  ，
ë û
g¢2a-1>2a2a-1-é2a-12 +2a-1ù =0，且注意到g¢0=0，
ë û
根据零点存在性定理可知:g¢x
在区间
0,+¥
上存在唯一零点x .
0
当xÎ0,x  时，g¢x<0，gx
单调减，
0
当xÎx ,+¥时，g¢x>0，gx 单调递增，
0
所以gx < g0=0.
0
令nx=lnx- 1æ ç x- 1ö ÷，则n¢x= 1 - 1æ ç 1+ 1 ö ÷ = -x-12 £0，
2è xø x 2è x2 ø 2x2
则nx 单调递减，注意到n1=0，
1æ 1ö 1æ 1ö
故当xÎ1,+¥ 时，lnx- ç x- ÷ <0，从而有lnx< ç x- ÷，
2è xø 2è xø
所以gx=ax2 +x-x+1lnx+1
1é 1 ù
>ax2 +x-x+1´ x+1-
ê ú
2ë x+1û
第21页 | 共25页æ 1ö 1
= ç a- ÷ x2 + ，
è 2ø 2
æ 1ö 1 1 æ 1 ö
令ç è a- 2 ÷ ø x2 + 2 =0得x 2 = 1-2a ，所以gç ç è 1-2a ÷ ÷ ø >0，
所以函数gx
在区间
0,+¥
上存在变号零点，符合题意.
æ 1ö
综合上面可知:实数a得取值范围是ç 0, ÷.
è 2ø
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等
函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利
用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
四、选做题
【选修 4-4】（10分）
22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程
1
æπ πö ìx=2cosa p
为r=2sinq ç £q£ ÷ ，曲线C ：í （a为参数， <a<p）.
è4 2ø 2 îy =2sina 2
（1）写出C 的直角坐标方程；
1
（2）若直线y = x+m既与C 没有公共点，也与C 没有公共点，求m的取值范围.
1 2
【答案】（1）x2 +y-12 =1,xÎ0,1,yÎ1,2
 
（2） -¥,0 U 2 2,+¥
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意x,y的取值范围；
（2）根据曲线C ,C 的方程，结合图形通过平移直线 y = x+m分析相应的临界位置，结合点到直线的距
1 2
离公式运算求解即可.
【小问1详解】
因为r=2sinq，即r2 =2rsinq，可得x2 + y2 =2y，
整理得x2 +y-12 =1，表示以 0,1 为圆心，半径为1的圆，
第22页 | 共25页又因为x=rcosq=2sinqcosq=sin2q,y =rsinq=2sin2q=1-cos2q，
π π π
且 £q£ ，则 £2q£π，则x=sin2qÎ0,1,y =1-cos2qÎ1,2 ，
4 2 2
故C :x2 +y-12 =1,xÎ0,1,yÎ1,2 .
1
【小问2详解】
ìx=2cosa π
因为C :í （a为参数， <a< π），
2 îy =2sina 2
整理得x2 + y2 =4，表示圆心为O0,0 ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，
如图所示，若直线y = x+m过 1,1 ，则1=1+m，解得m=0；
ì m
ï =2
若直线y = x+m，即x- y+m=0与C 相切，则í 2 ，解得m=2 2 ，
2
ï
îm>0
若直线y = x+m与C ,C 均没有公共点，则m>2 2 或m<0，
1 2
 
即实数m的取值范围 -¥,0 U 2 2,+¥ .
【选修 4-5】（10分）
23. 已知 f x=2 x + x-2 .
（1）求不等式 f x£6-x的解集；
ìf(x)£ y
（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组í 所确定的平面区域的面积.
îx+ y-6£0
【答案】（1）[-2,2]；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.
第23页 | 共25页（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.
【小问1详解】
ì3x-2,x>2
ï
依题意， f(x)=íx+2,0£ x£2，
ï
-3x+2,x<0
î
ìx>2 ì0£ x£2 ìx<0
不等式 f(x)£6-x化为：í 或í 或í ，
î3x-2£6-x îx+2£6-x î-3x+2£6-x
ìx>2 ì0£ x£2 ìx<0
解í ，得无解；解í ，得0£ x£2，解í ，得-2£ x<0，因此
î3x-2£6-x îx+2£6-x î-3x+2£6-x
-2£ x£2，
所以原不等式的解集为：[-2,2]
【小问2详解】
ìf(x)£ y
作出不等式组í 表示的平面区域，如图中阴影 ABC，
V
îx+ y-6£0
ìy =-3x+2 ìy = x+2
由í ，解得A(-2,8)，由í , 解得C(2,4)，又B(0,2),D(0,6)，
îx+ y =6 îx+ y =6
1 1
所以 ABC的面积S = |BD|´ x -x = |6-2|´|2-(-2)|=8.
V VABC 2 C A 2
第24页 | 共25页第25页 | 共25页