2025年高考数学试卷（全国Ⅰ卷）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按年份分类）2008-2025_2025·高考数学真题

2025 年普通高等学校招生全国统一考试（新 1 卷） ★祝大家学习生活愉快★ 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写 在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需 改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. (1+5i)i 1. 的虚部为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为 1+5ii=i+5i2 =-5+i，所以其虚部为1， 故选：C.   2. 设全集U = x x是小于9的正整数 ，集合A={1,3,5}，则ð A中元素个数为（ ） U A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为U =1,2,3,4,5,6,7,8 ，所以ð A=2,4,6,7,8 ， ð A中的元素个数为5， U U 故选：C． 3. 若双曲线C的虚轴长为实轴长的 7 倍，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 2 C. 7 D. 2 2 第1页/共31页 学科网（北京）股份有限公司【答案】D 【解析】 【分析】由题可知双曲线中a,b的关系，结合a2 +b2 =c2和离心率公式求解 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c， 由题知，b= 7a， 于是a2 +b2 =c2 =a2 +7a2 =8a2，则c=2 2a， c 即e= =2 2. a 故选：D æ πö 4. 若点(a,0)(a >0)是函数y =2tan ç x- ÷的图象的一个对称中心，则a的最小值为（ ） è 3ø π π π 4π A. B. C. D. 4 2 3 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. π π kπ 【详解】根据正切函数的性质，y =2tan(x- )的对称中心横坐标满足x- = ,kÎZ， 3 3 2 π æπ kπ ö 即y =2tan(x- )的对称中心是ç + ,0 ÷ ,kÎZ， 3 è3 2 ø π kπ 即a= + ,kÎZ， 3 2 π 又a>0，则k =0时a最小，最小值是 ， 3 π 即a= . 3 故选：C æ 3ö 5. 设 f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2£ x£3时， f(x)=5-2x，则 f ç - ÷ =（ ） è 4ø 1 1 1 1 A. - B. - C. D. 2 4 4 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解. 第2页/共31页 学科网（北京）股份有限公司【详解】由题知 f(x)= f(-x), f(x+2)= f(x)对一切xÎR成立， 3 3 11 11 1 于是 f(- )= f( )= f( )=5-2´ =- . 4 4 4 4 2 故选：A 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风 风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对 应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在 某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s）， 则真风为（ ） 等级 风速大小m/s 名称 2 1.1~3.3 轻风 3 3.4~5.4 微风 4 5.5~7.9 和风 5 8.0~10.1 劲风 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量， 得出真风风速的大小，即可由图1得出结论. 【详解】由题意及图得，  视风风速对应的向量为：n=0,2-3,3=-3,-1， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 第3页/共31页 学科网（北京）股份有限公司u uu 设真风风速对应的向量为n ，船行风速对应的向量为n ， 1 2  u uu uu ∴n=n 1 +n 2 ，船行风速：n 2 =-  3,3-2,0  =-1,-3 ， u  uu ∴n =n-n =-3,-1--1,-3=-2,2， 1 2 u n = -22 +22 =2 2 »2.828， 1 ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 7. 若圆x2 +(y+2)2 =r2(r >0)上到直线 y = 3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是 （ ） A. (0,1) B. (1,3) C. (3,+¥) D. (0,+¥) 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心E0,-2 到直线y = 3x+2的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆x2+y+22 =r2r>0中，圆心E0,-2 ，半径为r ， 到直线y = 3x+2的距离为1的点有且仅有 2个， 0´ 3--2´1+2 ∵圆心E0,-2 到直线y = 3x+2的距离为： d = =2 ，  3 2 +-12 故由图可知， 当r =1时， 第4页/共31页 学科网（北京）股份有限公司圆x2+y+22 =r2r>0上有且仅有一个点（A点）到直线y = 3x+2的距离等于1； 当r =3时， 圆x2+y+22 =r2r>0上有且仅有三个点（B,C,D点）到直线y = 3x+2的距离等于1； 当则r 的取值范围为 1,3 时， 圆x2+y+22 =r2r>0上有且仅有两个点到直线y = 3x+2的距离等于1. 故选：B. 8. 若实数x，y，z满足2+log x=3+log y =5+log z，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） 2 3 5 x> y > z x> z > y A. B. y > x> z y > z > x C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设2+log x=3+log y =5+log z =m，对m讨论赋值求出x,y,z，即可得出大小关系， 2 3 5 利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设2+log x=3+log y =5+log z =m，所以 2 3 5 1 1 令m = 2，则x=1,y =3-1 = ,z =5-3 = ，此时x> y > z，A有可能； 3 125 令m=5，则x=8,y =9,z =1，此时y > x> z，C有可能； 令m=8，则x=26 =64,y =35 =243,z =53 =125，此时y > z > x，D有可能； 故选：B． 法二：设2+log x=3+log y =5+log z =m，所以，x=2m-2,y =3m-3,z =5m-5 2 3 5 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y =2x-2,y =3x-3,y =5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y =2x-2,y =3x-3,y =5x-5的图象与 直线x=m的交点纵坐标，如图所示： 第5页/共31页 学科网（北京）股份有限公司易知，随着m的变化可能出现：x> y > z，y > x> z，y > z > x，z > y > x， 故选：B． 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9. 在正三棱柱ABC-ABC 中，D为BC中点，则（ ） 1 1 1 A. AD^ AC B. BC ^平面AAD 1 1 C. CC //平面AAD D. AD// AB 1 1 1 1 【答案】BC 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与 性质定理即可判断；对于C，利用线面平行的判定定理即可判断；对于D，利用反证法即可判断；法二：根 据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱ABC-ABC 中，AA ^平面ABC， 1 1 1 1 uuu uuu 又ADÌ平面ABC，则AA ^ AD，则AA×AD=0， 1 1 uuu uuu 因为VABC 是正三角形，D为BC中点，则AD^BC，则CD×AD=0 uuu uuu uuu uuu 又AC = AA+ AD+CD， 1 1 uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu2 uuu uuu uuu2 所以AC×AD= AA+ AD+CD ×AD= AA×AD+ AD +CD×AD= AD ¹0， 1 1 1 第6页/共31页 学科网（北京）股份有限公司则AD^ AC不成立，故A错误； 1 对于B，因为在正三棱柱ABC-ABC 中，AA ^平面ABC， 1 1 1 1 又BC Ì平面ABC，则AA ^ BC ， 1 因为VABC是正三角形，D为BC中点，则AD^BC， 又AA 1I AD= A,AA 1 ,ADÌ平面AA 1 D， 所以BC ^平面AAD，故B正确； 1 对于C，因为在正三棱柱ABC-ABC 中，CC //AA 1 1 1 1 1 又AA Ì平面AAD,CC Ì/ 平面AAD，所以CC //平面AAD，故C正确； 1 1 1 1 1 1 对于D，因为在正三棱柱ABC-ABC 中，AB //AB， 1 1 1 1 1 假设AD// AB ，则AD//AB，这与ADÇAB= A矛盾， 1 1 所以AD// AB 不成立，故D错误； 1 1 故选：BC. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为h，     则D0,0,0,A 3,0,0 ,A 3,0,h ,C0,-1,0,C 0,-1,h,B0,1,0,B 0,1,h ， 1 1 1 uuu   uuu   对于A，AD= - 3,0,0 ,AC = - 3,-1,-h ， 1 uuu uuu     则AD×AC = - 3 ´ - 3 +0=3¹0， 1 则AD^ AC不成立，故A错误； 1 uuu uuuu uuu uuu   对于BC，BC =0,-2,0,CC =0,0,h,AA =0,0,h,AD= - 3,0,0 ， 1 1 设平面AAD的法向量为n  =x,y,z ， 1 第7页/共31页 学科网（北京）股份有限公司uuu ì ïAA ×n  =hz =0 则í 1 ，得x= z =0，令y =1，则n  =0,1,0 ， uuu  ïîAD×n =- 3x=0 uuur r uuu 所以BC =0,-2,0=-2n  ，CC ×n=0， 1 则BC ^平面AAD，CC //平面AAD，故BC正确； 1 1 1 uuu   uuuu   对于D，AD= - 3,0,0 ,AB = - 3,1,0 ， 1 1 - 3 0 则 ¹ ，显然AD// AB 不成立，故D错误； 1 1 - 3 1 故选：BC. 3 10. 设抛物线C: y2 =6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交l:x=- 于 2 E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A. |AD|=|AF| B. | AE|=| AB| C. | AB|³6 D. | AE|×|BE|³18 【答案】ACD 【解析】 3 【分析】对于A，先判断得直线l:x=- 为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用 2 三角形相似证得ÐAEB = 90°，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线 2 AB与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得 AE = AF × AB ， 2 BE = BF × AB ，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线C: y2 =6x， 3 æ3 ö 则 p=3，其准线方程为x=- ，焦点F ç ,0 ÷， 2 è2 ø 则 AD 为抛物线上点到准线的距离， AF 为抛物线上点到焦点的距离， 第8页/共31页 学科网（北京）股份有限公司由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确； 对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P， 由题意可知AD^l,EF ^ AB，则ÐADE =ÐAFE =90°， 又|AD|=|AF|，| AE|=| AE|，所以VADE@VAFE， 所以ÐAED=ÐAEF ，同理ÐBEP=ÐBEF， 又ÐAED+ÐAEF +ÐBEP+ÐBEF =180°， 所以ÐAEF+ ÐBEF = 90°，即ÐAEB = 90°， 显然AB为 ABE的斜边，则| AE|<| AB|，故B错误； V 对于C，易知直线AB的斜率不为0， 3 设直线AB的方程为x=my+ ，Ax ,y ,Bx ,y  ， 2 1 1 2 2 ì 3 ïx=my+ 联立í 2，得y2 -6my-9=0， ï îy2 =6x 易知D>0，则y + y =6m,y y =-9， 1 2 1 2 3 3 又x =my + ，x =my + ， 1 1 2 2 2 2 所以| AB|= x +x + p =my + y +3+3=6m2 +6³6， 1 2 1 2 当且仅当m=0时取等号，故C正确； 对于D，在Rt△ABE与Rt AEF 中，ÐBAE =ÐEAF ， V AE AF 所以Rt ABE ~Rt AEF，则 = ，即 AE 2 = AF × AB ， V V AB AE 2 同理 BE = BF × AB ， 第9页/共31页 学科网（北京）股份有限公司æ 3öæ 3ö 又 AF × BF = ç x + ÷ç x + ÷ =my +3my +3 è 1 2øè 2 2ø 1 2 =m2y y +3my + y +9=-9m2 +18m2 +9=9  m2 +1  ， 1 2 1 2 AB =6m2 +6=6  m2 +1  ， 所以 AE 2 × BE 2 = BF × AF × AB 2 =9  m2 +1  ´36  m2 +1 2 ， 1 3 则 AE × BE =3  m2 +1  2 ´6  m2 +1  =18  m2 +1  2 ³18，故D正确. 故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线C: y2 =6x， 3 æ3 ö 则 p=3，其准线方程为x=- ，焦点F ç ,0 ÷， 2 è2 ø 则 AD 为抛物线上点到准线的距离， AF 为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，|AD|=|AF|，故A正确； 对于B，过点B作准线l的垂线，交于点P， 由题意可知AD^l,EF ^ AB，则ÐADE =ÐAFE =90°， 又|AD|=|AF|，| AE|=| AE|，所以VADE@VAFE， 所以ÐAED=ÐAEF ，同理ÐBEP=ÐBEF， 又ÐAED+ÐAEF +ÐBEP+ÐBEF =180°， 所以ÐAEF+ ÐBEF = 90°，即ÐAEB = 90°， 显然AB为 ABE的斜边，则| AE|<| AB|，故B错误； V 对于C，当直线AB的斜率不存在时， AB =2p=6； 第10页/共31页 学科网（北京）股份有限公司æ 3ö 当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y =k ç x- ÷， è 2ø ì æ 3ö 联立 ï í y =k ç è x- 2 ÷ ø，消去y，得k2x2 -  3k2 +6  x+ 9 k2 =0， 4 ï îy2 =6x 6 9 易知D>0，则x +x =3+ ,x x = ， 1 2 k2 1 2 4 所以 AB = 1+k2 x -x = 1+k2 ´ x +x 2 -4x x 1 2 1 2 1 2 2 æ 6 ö æ 1 ö = 1+k2 ´ 3+ -9 =6 1+ >6， ç ÷ ç ÷ è k2 ø è k2 ø 综上，| AB|³6，故C正确； 对于D，在Rt△ABE与Rt AEF 中，ÐBAE =ÐEAF ， V AE AF 所以Rt ABE ~Rt AEF，则 = ，即 AE 2 = AF × AB ， V V AB AE 2 同理 BE = BF × AB ， 1 当直线AB的斜率不存在时， AB =6， AF = BF = AB =3； 2 所以 AE 2 × BE 2 = BF × AF × AB 2 =3´3´62，即 AE × BE =18； æ 1 ö 当直线AB的斜率存在时， AB =6 ç 1+ ÷， è k2 ø æ 3öæ 3ö 3 9 AF × BF = x + x + = x x + x +x + ç ÷ç ÷ è 1 2øè 2 2ø 1 2 2 1 2 4 9 3æ 6 ö 9 æ 1 ö = + ç 3+ ÷ + =9 ç 1+ ÷， 4 2è k2 ø 4 è k2 ø 2 æ 1 ö æ 1 ö 2 2 2 所以 AE × BE = BF × AF × AB =9 1+ ´36 1+ ， ç ÷ ç ÷ è k2 ø è k2 ø 1 3 æ 1 ö2 æ 1 ö æ 1 ö2 则 AE × BE =3 1+ ´6 1+ =18 1+ >18； ç ÷ ç ÷ ç ÷ è k2 ø è k2 ø è k2 ø 综上， AE × BE ³18，故D正确. 故选：ACD. 第11页/共31页 学科网（北京）股份有限公司1 1 11. 已知VABC的面积为 ，若cos2A+cos2B+2sinC =2,cosAcosBsinC = ，则（ ） 4 4 A. sinC =sin2 A+sin2 B B. AB = 2 6 C. sinA+sinB= D. AC2 +BC2 =3 2 【答案】ABC 【解析】 π 【分析】对cos2A+cos2B+2sinC =2由二倍角公式先可推知A选项正确，然后分情况比较A+B和 2 π 的大小，亦可使用正余弦定理讨论解决，结合正弦函数的单调性可推出 C = ，然后利用 2 1 cosAcosBsinC = 算出A,B取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 4 【详解】cos2A+cos2B+2sinC =2，由二倍角公式，1-2sin2 A+1-2sin2 B+2sinC =2， 整理可得，sinC =sin2 A+sin2 B，A选项正确； 由诱导公式，sin(A+B)=sinπ-C=sinC， 展开可得sinAcosB+sinBcosA=sin2 A+sin2 B， 即sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0， π 若A+B= ，则sinA=cosB,sinB=cosA可知等式成立； 2 π π 若A+B< ，即A< -B，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sinA0,sinB>0，于是sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)<0， π 与条件不符，则A+B< 不成立； 2 π π 若A+B> ，类似可推导出sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)>0，则则A+B> 不成立. 2 2 π π 综上讨论可知，A+B= ，即C = . 2 2 方法二：sinC =sin2 A+sin2 B时，由CÎ(0,π)，则sinCÎ(0,1]， 于是1´sinC =sin2 A+sin2 B³sin2C ， 由正弦定理，a2 +b2 ³c2， π 由余弦定理可知，cosC ³0，则CÎ(0, ]， 2 第12页/共31页 学科网（北京）股份有限公司π π 1 若CÎ(0, )，则A+B> ，注意到cosAcosBsinC = ，则cosAcosB>0， 2 2 4 æ πö 于是cosA>0,cosB>0（两者同负会有两个钝角，不成立），于是A,BÎ ç 0, ÷， è 2ø π π π æπ ö 结合A+B> Û A> -B，而A, -B都是锐角，则sin A>sin ç -B ÷ =cosB>0， 2 2 2 è2 ø 于是sinC =sin2 A+sin2 B>cos2 B+sin2 B=1，这和sinC £1相矛盾， π π 故CÎ(0, )不成立，则C = 2 2 1 π 1 由cosAcosBsinC = =cosAcosB，由A+B= ，则cosB=sinA，即sin AcosA= ， 4 2 4 1 1 则sin2A= ，同理sin2B= ，注意到A,B是锐角，则2A,2BÎ(0,π)， 2 2 π 5π π 5π 不妨设A10.828= x ， 800´200´800´200 0.001 根据小概率值a=0.001的c2独立性检验，我们推断H 不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该 0 推断犯错误的概率不超过0.001. a a 1 16. 设数列 a  满足a =3， n+1 = n + n 1 n n+1 n(n+1) （1）证明： na  为等差数列； n （2）设 f(x)=a x+a x2 +L +a xm，求 f¢(-2)． 1 2 m 【答案】（1）证明见解析； 7 3m+7-2m （2） f¢-2= - 9 9 【解析】 a a 1 【分析】（1）根据题目所给条件 n+1 = n + 化简，即可证明结论； n n+1 nn+1 （2）先求出 a  的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x，作差并利用等比数列前n项和得出导 n 函数表达式，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意证明如下，nÎN*， a a 1 在数列 a  中，a =3， n+1 = n + ， n 1 n n+1 nn+1 ∴ n+1a =na +1，即 n+1a -na =1， n+1 n n+1 n ∴ na  是以a =3为首项，1为公差的等差数列. n 1 【小问2详解】 由题意及（1）得，nÎN*， 第18页/共31页 学科网（北京）股份有限公司在数列 na  中，首项为3，公差为1， n 2 ∴na =3+1´n-1 ，即a =1+ ， n n n 在 f x=a 1 x+a 2 x2 + L +a m xm中， æ 2 ö f x=3x+2x2 + L + ç 1+ ÷ xm， f¢x=3+4x+ L +m+2xm-1 è mø ìïf¢x=3+4x+ L +m+2xm-1 ∴í ， ïî xf¢x=3x+4x2 + L +m+2xm 当x¹1且x¹0时， x1-xm-1 ∴1-x f¢x=3+x+x2 + +xm-1-m+2xm =3+ -m+2xm， L 1-x 3 x  1-xm-1 m+2xm ∴ f¢x= + - 1-x 1-x2 1-x 3 -2  1--2m-1  m+2-2m ∴ f¢-2= + - 1--2 1--2 2 1--2   -21--2m-1 m+2-2m   =1+ - 9 3 2 -2m m+2-2m =1- - - 9 9 3 7 3m+7-2m = - . 9 9 17. 如图所示的四棱锥P-ABCD中，PA^平面ABCD，BC∥AD,AB^ AD． （1）证明：平面PAB ^平面PAD； （2）PA= AB= 2,AD=1+ 3,BC =2，P，B，C，D在同一个球面上，设该球面的球心为O． 第19页/共31页 学科网（北京）股份有限公司（i）证明：O在平面ABCD上； （ⅱ）求直线AC与直线PO所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析； 2 （ii） . 3 【解析】 【分析】（1）通过证明AP^ AB，AP^ AD，得出AB^平面PAD，即可证明面面垂直； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设P,B,C,D在同一球面O上，在平面xAy 中，得出点O坐标，进而得出点O在空间中的坐标，计算出 OP = OB = OC = OD ，即可证明结论； 法二：作出△BCD的边BC和CD的垂直平分线，找到三角形的外心O ，求出PO ，求出出外心O 到P， 1 1 1 B，C，D的距离相等，得出外心O 即为P，B，C，D所在球的球心，即可证明结论； 1 （ii）法一：写出直线AC和PO的方向向量，即可求出余弦值. 法二：求出AC的长，过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C ，连接AC ，PC ，利用勾股定理求出 1 1 1 AC 的长，进而得出PC 的长，在△POC 中由余弦定理求出cosÐPOC ，即可求出直线AC与直线PO 1 1 1 1 所成角的余弦值. 【小问1详解】 由题意证明如下， 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB^ AD， ABÌ平面ABCD，ADÌ平面ABCD， ∴AP^ AB，AP^ AD， ∵APÌ平面PAD，ADÌ平面PAD，APÇAD= A， ∴AB^平面PAD， ∵ABÌ平面PAB， ∴平面PAB ^平面PAD. 【小问2详解】 （i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥P-ABCD中，AP^ AB，AP^ AD，AB^ AD，BC∥AD， 第20页/共31页 学科网（北京）股份有限公司PA= AB= 2，AD=1+ 3， 建立空间直角坐标系如下图所示，         ∴A0,0,0,B 2,0,0 ,C 2,2,0 ,D 0,1+ 3,0 ,P 0,0, 2 ， 若P，B，C，D在同一个球面上， 则 OP = OB = OC = OD ， 在平面xAy中，       ∴A0,0,B 2,0 ,C 2,2 ,D 0,1+ 3 ， æ 2 3+3ö ∴线段CD中点坐标Fç , ÷， ç ÷ 2 2 è ø 1+ 3-2 3-1 直线CD的斜率：k = =- ， 1 0- 2 2 2 6+ 2 直线CD的垂直平分线EF 斜率：k = = ， 2 3-1 2 第21页/共31页 学科网（北京）股份有限公司3+3 6+ 2 æ 2 ö ∴直线CD的方程：y- = çx- ÷， ç ÷ 2 2 2 è ø 6+ 2 æ 2 ö 3+3 即y = çx- ÷+ ， ç ÷ 2 2 2 è ø 6+ 2 æ 2 ö 3+3 当y =1时，1= çx - ÷+ ，解得：x =0， 2 ç O 2 ÷ 2 O è ø ∴O0,1 在立体几何中，O0,1,0 ， ì  2 OP = 02 +12 + 0- 2 ï ï ï  2 OB = 0- 2 +12 +02 ï ∵í ï OC =  0- 2 2 +1-22 +02 ï ï  2 ïOD = 02 + 1-1- 3 +02 î 解得： OP = OB = OC = OD = 3， ∴点O在平面ABCD上. 法二： ∵P，B，C，D在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在△BCD中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出BC和CD的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， 1 OE = AB= 2 ，BE =CE = AO =GO = BC =1，OD= AD-AO = 3 1 1 1 2 1 1 第22页/共31页 学科网（北京）股份有限公司 2 BO =CO = 12 + 2 = 3， 1 1 ∴OD= BO =CO ， 1 1 1 ∴点O 是△BCD的外心， 1 在Rt V AOP中，AP^ AD，AP = 2 ， 由勾股定理得，  2 PO = AP2 + AO2 = 2 +12 = 3 1 1 ∴PO = BO =CO =OD= 3， 1 1 1 1 ∴点O 即为点P，B，C，D所在球的球心O， 1 此时点O在线段AD上，ADÌ平面ABCD， ∴点O在平面ABCD上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， uuu   uuu   AC = 2,2,0 ,PO= 0,1,- 2 ， 设直线AC与直线PO所成角为q， 第23页/共31页 学科网（北京）股份有限公司uuu uuu AC×PO 0+2´1+0 2 cosq= = = ∴ uuu uuu . AC PO  2  2 3 2 +22 +0´ 0+12 + - 2 法2： 由几何知识得，PO= 3， AB^ AD，BC∥AD， ∴AB^ BC， 在RtVABC中，AB = 2 ，BC =2，由勾股定理得，  2 AC = AB2 +BC2 = 2 +22 = 6 ， 过点O作AC的平行线，交BC的延长线为C ，连接AC ，PC ， 1 1 1 则OC = AC = 6 ，直线AC与直线PO所成角即为△POC 中ÐPOC 或其补角. 1 1 1 ∵PA^平面ABCD，AC Ì平面ABCD，PA AC = A， 1 I 1 ∴PA^ AC ， 1 在RtV ABC 1 中，AB = 2 ，BC 1 = BC+CC 1 =2+1=3，由勾股定理得，  2 AC = AB2 +BC2 = 2 +32 = 11， 1 1 在RtV APC 1 中，PA= 2 ，由勾股定理得，  2  2 PC = PA2 + AC2 = 2 + 11 = 13， 1 1 在△POC 中，由余弦定理得， 1 PC2 = PO2 +OC2 -2PO×OC cosÐPOC ， 1 1 1 1  2  2  2 即： 13 = 3 + 6 -2 3´ 6cosÐPOC 1 第24页/共31页 学科网（北京）股份有限公司2 解得：cosÐPOC =- 1 3 2 ∴直线AC与直线PO所成角的余弦值为： cosÐPOC = . 1 3 x2 y2 2 2 18. 设椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，| AB|= 10 ． a2 b2 3 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 AR × AP =3． （i）设P(m,n)，求点R的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，M 是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PM |的最大 值． x2 【答案】（1） + y2 =1 9 æ 3m n+2-m2 -n2 ö   （2）(ⅰ) ç , ÷ (ⅱ) 3 3+ 2 ç m2 +n+12 m2 +n+12 ÷ è ø 【解析】 【分析】（1）根据题意列出a,b,c的关系式,解方程求出a,b,c,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设Rx ,y  ,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； 0 0 (ⅱ) 根据斜率关系可得到点P的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运 算即可解出. 【小问1详解】 ì a2 +b2 = 10 ï ï c 2 2 由题可知,A0,-b,Ba,0 ，所以íe= = ，解得a2 =9,b2 =1,c2 =8， a 3 ï ïc2 =a2 -b2 î x2 故椭圆的标准方程为 + y2 =1； 9 【小问2详解】 (ⅰ)设Rx ,y  ，易知m¹0， 0 0 第25页/共31页 学科网（北京）股份有限公司n+1 y +1 n+1 法一：所以k = ，故 0 = ，且mx >0． AP m x m 0 0 因为A0,-1 ， AR AP =3，所以 x2 +y +12 ´ m2 +n+12 =3， 0 0  æn+1ö 2 3m n+2-m2 -n2 即ê ê 1+ ç è m ÷ ø ú ú x 0 m=3，解得 x 0 = m2 +n+12 ，所以y 0 = m2 +n+12 ， æ 3m n+2-m2 -n2 ö 所以点R的坐标为ç , ÷. ç m2 +n+12 m2 +n+12 ÷ è ø 法二：设 u A u R u =l u A u P u ,l>0，则 AR AP =3Þlm2 +n+12 =3，所以   3 uuu uuu æ 3m 3n+1 ö l= ，AR=lAP=lm,n+1=ç , ÷，故 m2 +n+12 ç m2 +n+12 m2 +n+12 ÷ è ø æ 3m n+2-m2 -n2 ö 点R的坐标为ç , ÷. ç m2 +n+12 m2 +n+12 ÷ è ø n+2-m2 -n2 m2 +n+12 n+2-m2 -n2 n (ⅱ)因为k = = ,k = ,由k =3k ,可得 OR 3m 3m OP m OR OP m2 +n+12 3n n+2-m2 -n2 = ,化简得m2 +n2 +8n-2=0,即m2 +n+42 =18m¹0, m 3m 所以点P在以N0,-4 为圆心,3 2为半径的圆上（除去两个点）, PM 为M 到圆心N 的距离加上半径, max 法一：设M 3cosq,sinq ,所以 MN 2 =3cosq2 +sinq+42 =9cos2q+sin2q+8sinq+16 =8cos2q+1+8sinq+16 第26页/共31页 学科网（北京）股份有限公司=8  1-sin2q  +8sinq+17 =-8sin2q+8sinq+25 æ 1ö 2 1 =-8 sinq- +27£27,当且仅当sinq= 时取等号, ç ÷ è 2ø 2   所以 PM = 27 +3 2 =3 3+ 2 . max x2 法二：设M x ,y  ，则 M + y2 =1， M m 9 M MN 2 = x2 +y +42 =9-9y2 + y2 +8y +16=-8y2 +8y +25 M M M M M M M æ 1ö 2 1 =-8 y - +27£27，当且仅当y = 时取等号, ç è M 2 ÷ ø M 2   故 PM = 27 +3 2 =3 3+ 2 . max 19. 设函数 f(x)=5cosx-cos5x．  π （1）求 f(x)在 ê 0, ú 的最大值；  4 （2）给定qÎ(0,π)，设a为实数，证明：存在yÎ[a-q,a+q]，使得cosy£cosq； （3）若存在j使得对任意x，都有5cosx-cos(5x+j)£b，求b的最小值． 【答案】（1）3 3 （2）证明见解析 （3）3 3 【解析】 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用 均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑t =0,π时b的范围，对于tÎ0,π 时，可利用（2）中的结论结合特值法求得b³3 3，从而可得 b的最小值；或者先根据函数解析特征得b³0，再结合特值法可得b³3 3，结合（1）的结果可得b的最 小值. 【小问1详解】 第27页/共31页 学科网（北京）股份有限公司法1： f¢x=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x， æ πö æ πö 因为xÎ ç 0, ÷，故2xÎ ç 0, ÷，故sin2x>0， è 4ø è 2ø π 当0< x< 时，cos3x>0即 f¢x>0， 6 π π 当 2kπ+2π-q且a+q<2kπ+2π+q，此时a无解， 矛盾，故无解；故存在kÎZ，使得 2kπ-q,2kπ+qÇa-q,a+q¹Æ， 法2：由余弦函数的性质知cosy£cosq的解为  2kπ+q,2k+1π-q  kÎZ ， 若每个2kπ+q,2k+1π-q与 a-q,a+q 交集都为空，   则对每个kÎZ，必有2k+1π-qa+q之一成立. a a  a a  此即k < -1或k > ，但长度为1的闭区间 -1, 上必有一整数k，该整数k不满足条件，矛盾. ê ú 2π 2π 2π 2π 故存在yÎa-q,a+q ，使得cosy£cosq成立. 【小问3详解】 法1：记h(x)=5cosx-cos5x+t ， 因为h(x+2π)=5cosx+2π-cos5x+10π+t=hx ， 故hx 为周期函数且周期为2π,故只需讨论xÎ0,2π,tÎ0,π 的情况. 当t = π时，h(x)=5cosx-cos5x+π=6cosx£6， 当t =0时，h(x)=5cosx-cos5x， 此时h¢x=-5sinx+5sin5x=10cos3xsin2x,xÎ0,2π ， π π 5π 7π 3π 11π 令h¢(x)=0，则x= , , ,π, , , ， 6 2 6 6 2 6 π 11π π 3π 5π 7π 而h( )=h( )=3 3,h( )=h( )=0,h( )=h( )=-3 3,h(π)=-4， 6 6 2 2 6 6 π 11π h(0)=h(2π)=4，故h(x) =h( )=h( )=3 3， max 6 6 当tÎ0,π ，在（2）中取a=t，则存在yÎt-q,t+q ，使得cosy£cosq， 第29页/共31页 学科网（北京）股份有限公司5π 3 y-t æ q qö y-t æ p pö 取q= ，则cosy£- ，取x= Î ç - , ÷即x= Î ç - , ÷， 6 2 5 è 5 5ø 5 è 6 6 ø 5 3 故5cosx³ ，故5cosx-cos5x+t³3 3， 2 π 综上b³3 3，可取x= ，t = 0使得等号成立. 6 综上，b =3 3. min 法2：设g x=5cosx-cos5x+t . t ①一方面，若存在t，使得 g x=5cosx-cos5x+t£b对任意 x恒成立，则对这样的t，同样有 t g x=-g x+π³-b. t t 所以 g x £b对任意x恒成立，这直接得到b³0. t t π 设 - =m，则根据 g x £b恒成立，有 6 6 t æ t πö æ t πö æt 5πö æt πö æt πö æt πö b³ g ç- + ÷ = 5cosç- + ÷-cosç + ÷ = 5cosç - ÷+cosç - ÷ = 6cosç - ÷ =6cosm t è 6 6ø è 6 6ø è6 6 ø è6 6ø è6 6ø è6 6ø æ t πö æ t πö æt 5πö æt πö æt πö æt πö æ πö b³ g tç è - 6 - 6 ÷ ø = 5cosç è - 6 - 6 ÷ ø -cosç è6 - 6 ÷ ø = 5cosç è6 + 6 ÷ ø +cosç è6 + 6 ÷ ø = 6cosç è6 + 6 ÷ ø =6cosç è m+ 3 ÷ ø æ t πö æ t πö æt 5πö æt πö æt πö æt πö æ πö b³ g tç è - 6 + 2 ÷ ø = 5cosç è - 6 + 2 ÷ ø -cosç è6 + 2 ÷ ø = 5cosç è6 - 2 ÷ ø +cosç è6 - 2 ÷ ø = 6cosç è6 - 2 ÷ ø =6cosç è m- 3 ÷ ø æ πö æ πö b 所以 cosm , cos ç m+ ÷ , cos ç m- ÷ 均不超过 ， è 3ø è 3ø 6 2 再结合cos2x=2 cosx -1， æ 2πö æ 2πö æbö 2 b2 就得到cos2m,cos ç 2m+ ÷ ,cos ç 2m- ÷均不超过2 ç ÷ -1= -1. è 3 ø è 3 ø è6ø 18  2 b2 3 3 1 假设b<3 3，则 ， -1< -1= 18 18 2 æ 2πö æ 2πö  1ö 故cos2m,cos ç 2m+ ÷ ,cos ç 2m- ÷ Î ê -1, ÷. è 3 ø è 3 ø  2ø 2π 2π 但这是不可能的，因为三个角2m,2m+ ,2m- 和单位圆的交点将单位圆三等分，这三个点不可能都 3 3 1 在直线x= 左侧. 2 第30页/共31页 学科网（北京）股份有限公司所以假设不成立，这意味着b³3 3. ②另一方面，若b=3 3，则由（1）中已经证明 f x£3 3， 知存在t = 0，使得 5cosx-cos5x+t=5cosx-cos5x= f x£3 3 =b. 从而b=3 3满足题目要求. 综合上述两个方面，可知b的最小值是3 3. 第31页/共31页 学科网（北京）股份有限公司