（网络收集）2026年全国一卷数学卷高考真题带答案带解析文字版
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据6,8,4,5,12的中位数为
A.5
B.6
C.8
D.9
【答案】B
【解析】本题考查了中位数的计算,属基础题.把数据从小到大排列
4,5,6,8,12,共5个数,中间的数为第3个6∴中位数为6.故选B.
2.已知平面向量 , 不共线,且 ,则
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
【答案】A
【解析】本题考查了平面向量基本定理,属基础题.∵ , 不共线,可以作为平面
内所有向量的一组基底,根据唯一性,可知 , .故选A.
3.已知集合 , ,则
A.
B.
C.D.
【答案】C
【解析】本题考查集合交集的运算,涉及到诱导公式求值.
,
,
故选:C.
4.曲线 在点 处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题考查了导数的几何意义.
切线的斜率为13
切线方程: ,即 .故选:D.
5.已知抛物线 和 均经过点 ,则
的焦点与 的焦点之间的距离为
A.12
B.
C.6
D.
【答案】D【解析】本题考查抛物线的标准方程,焦点坐标,两点间距离公式.
把 代入 得 , ,
把 代入 得 , ,
的焦点 , 的焦点
两焦点的距离为
故选:D
6.已知函数 的最大值为1,则
A.
B.1
C.
D.2
【答案】B
【解析】本题考查利用导数求函数的最值问题.
当 时, , 在 单调递增；
当 时, , 在 单调递减.
在 处取最大值,
即 ,故选:B.
7.一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市,以其独特的建筑格局和深远的历史
文化闻名遐迩.该塔群共有108座塔,依山势自上而下排成12行,将第 行中塔的
座数记为 ,其中 , , ,且 , ,
, 是一个首项为7,公差为2的等差数列.将 , , , 分为6组,每组2个
数.使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为 的等差数列.则
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】B
【解析】本题考查等差数列的应用
∵ 是首项为7、公差为2的等差数列
∴可知12行塔数分别为1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19
其总和为108.
若配6对,且6个和构成公差为d(d>0)的等差数列.
不妨设该数列的首项为m,∴
即2m+5d=36
由选项可知,d为正整数,∴只有m=8,d=4符合题意
此时,(1,7)=8,(3,9)=12,(3,13)=16,(5,15)=20,
(5,19)=24,(11,17)=28,符合题意,公差为4.
故选:B8.设 为空间中64个点构成的集
合.点 ,记样本空间 .从 中随机取一个点.定义随机变量X如
下:对 中的每个点 ,令 .则X的数学期望为
A.
B.
C.0
D.
【答案】A
【解析】本题考查了离散型随机变量的数学期望.
由题意可知, 中每维取 各16次,
每维总和为0,所以64点总和为0,
剔除 后, 中63点的 总和为 .
故选:A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求。
9.设 ,则
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题考查了复数的计算,共轭复数,复数的模.已知 .
A: . A正确；
B: .B错误；
C: .C正确；
D: .故D正确.
10.在空间中, , 为两个定点,动点 到直线 的距离为2,动点 到直线 的
距离为1.若二面角 为 ,则
A.
B.
C.当 时, 平面
D.当 平面 时,
【答案】BC
【解析】本题考查了立体几何二面角、线面垂直、线线垂直的判定以及空间向
量的应用,距离等性质,属于难题.
以A为原点建立空间直角坐标系如图设
则
A:取 ,则
可以小于 ,故A错误.
B:
,B正确.
C:若 ,则 .此时直线 与 的方向向量的数量积为:
, 面 ,故C正确.
D:若 平面 ,则 .此时:
不成立,故D错误.
故选 .11.已知圆 ,圆 ,圆
,直线 与 , , 均有两个交点.记 被 ,
, 截得的弦长分别为 , , ,则
A. 可以取任意实数
B.满足 的直线共有3条
C.满足 的直线l多于3条
D.当 时, 的最大值为
【答案】BCD
【解析】本题考查了圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,圆中的弦长问题
及最值问题.
, ,
三个圆两两外切.
到 的距离为到 的距离为
到 的距离为
令 ,则
,
,
.
A:若 ,则 ；由 得 ,
由 得 ,矛盾,故A错误.
B:由 ,得 ,先由 ,得
或 ,若 ,则 .若 则 .∴三条直线满足割线条件,故B
正确.故A错误.C:取 ,记 ,则 .
令 得. .
平方得. .
解得 或
对应 或 则有四条直线,故C正确.
D:当 时.仍有 . .
令 .则 由柯西不等式: .
当 时取等号、 D正确.
故选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.双曲线 的离心率为______.
【答案】
【解析】本题考查了双曲线的标准方程、求离心率.
已知双曲线方程为
将方程化为标准方程可得 , ,
, .
13.已知 是偶函数, 在区间 单
调递增.则 ______, ______.
【答案】 .1
【解析】本题考查了三角函数的单调性.三角函数的奇偶性.
因为f(x)为偶函数.
f(x)=2sin(ax+θ)(a∈Z,0≤θ<2π)
.
或
或
在 上单调递增,当 时, ,不满足单增(舍)当 时, ,此时 要在
内恒为正,需 或 ,于是
14.设实数 满足:存在数列 ,使得对于任意 ,均有均有
,且 中有某连续9项 是公比为
的等比数列.则 的最大值为______.
【答案】
【解析】本本题考查了数列的性质及等比数列的应用
由题意知:9个连续位置至少含两个相邻的完整三项块,它们在等比九项中相隔3
项,所以相邻完整块和之比就是 ；若含有三个完整块,则
不成等比,排除.
能放进窗口的最早相邻完整块是 ,和为4、6,
故 ,第二到第十项成等比,令
可取等号,故最大值为 .故填 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
15.在正三棱柱 中, , ,且 、 分别为
、 的中点.(1)证明: 平面 ；
(2)设 ,直线 与平面 的夹角为 ,求 到平面 的
距离.
【答案】（1）见解析（2）1
【解析】（1）本题考查了线面平行的判定定理.
证明:如图取 、 的中点 、 ,
连 、 .
为 的中点
为 的中点四边形 为平行四边形
面
面
(2)考查了线面角,直线到平面的距离、空间向量的应用.
在直三棱柱 中.
,
面 ,
以 为原点建立空间直角坐标系,
如图所示.
,设 ,
,
,
,
,
.
.
易知面 的法向量
.
与面 所成的角为面
到面 的距离即为 到面 的距离.
面 到面 的距离等于 .
16.在 中,已知 , , .
(1)求 .
(2)设 , 两点满足: 在 的延长线上, , ．若 ,
求 ．
【答案】（1） （2）
【解析】(1) , ,
.(2)
在 中,17.设整数 .某同学用一个球进行投篮练习,至多投篮 次,当且仅当投中1
次时或 次均未投中时,停止练习.设该同学每次投中的概率为 ,各
次投中与否相互独立.记 为停止练习时该同学的投篮次数.
(1)当 , 时,求 的分布列；
(2)设 均为自然数.
(i)当 时,求 ；
(ii)当 时,证明: .
【答案】（1）
（2）(i) (ii)见解析
【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列,条件概率,相互独立事件的概率.
(1) 的可能取值为
∴X的分布列为:(2)(i) 表示前 次均未投中
(ii).
18.已知椭圆 的左焦点为 ,离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)设 为坐标原点,过 且斜率大于 的动直线 与 交于 , 两点,其中 在第
三象限,直线 与 的另一个交点为 ．
(i)若 的面积为 的面积的 倍,求 的方程；
(ii)求 的最小值.
【答案】(1)
(2)(i)
(ii)
【解析】本题主要考查椭圆标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系,及点到线
的距离,基本不等式求最值.
(1)由题意得 , , ,又 .
的方程为
(2)设直线 的斜率为 ,则 ,
(i)由 ,得在第三象限, 在第一象限 ,
由题知 与 关于原点对称,
到 的距离为 , 到 的距离为
, ,
把 代入化简得 ,解得
的方程为:
ii)由(1)知
当且仅当 ,即 时取等号
的最小值为 .
19.已知函数 的定义域为 ,且当 时, .对于任意 ,定义
集合 .
(1)若当 时, ,求 ；
(2)若 是奇函数, ,且 ,证明: ；(3)设 满足:①若 ,则 ；②当 时,
．
(ⅰ)证明: ；
(ⅱ)证明: 在区间 单调递增．
【答案】（1） （2）见解析
（3）(ⅰ)见解析(ⅱ)见解析
【解析】本题考查了集合与函数的新定义,考查了抽象函数.
函数的单调性,属于压轴难题,对于逻辑推理和抽象思维能力要求极高.
(1) .
由
①当 ,即 时,
此时
②当 ,即 时,
此时 , .即集合 .
(2) 为奇函数 时, ,作出 的大致图像如
图.
(i)若 ,由 ,此时
即 , ,且
,同理
若 同理得出.
若 ,则此时
若 ,即 ,此时 或
由 ,
且
综上:
(3)(i)若 ,则
与 矛盾
(ii)
则
与 为增函数矛盾
若 则
,取而 矛盾.
取
单增.
