年高考模拟考试
2026
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
8 5 40
合题目要求的。
1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.D 7.C 8.B
二、选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
3 6 18
求。全部选对的得 分,部分选对得部分分,有选错的得 分。
6 0
9.ACD 10.ABD 11.BCD
三、填空题:本题共 小题,每小题 分,共 分。
3 5 15
5 n 注:其它等价形式也得分 . 1 e
12. 13.-2 +1( ) 14 (0,e ]
2
四、解答题:本题共 小题,共 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
5 77
分
15.(13 )
解 x- 25 y- 250 5 x2 5 xy
:(1)∵ = =5, = =50, i∑ i =145, i∑ i i =1390;,
5 5 =1 =1
5
xy x- y-
b∧
i∑
=1
i i -5 ·
1390-5×5×50 分
∴ = 5 = 2 =7,…………………………………………… 3
x i 2 x-2 145-5×5
i∑ -5
=1
a∧ y- b∧x- 分
= - =50-7×5=15 ………………………………………………………………… 4
经验回归方程为 y∧ x 分
∴ =7 +15,…………………………………………………………… 5
当x 时
y
∴ =9 , =7×9+15=78,
预测每周锻炼频次为 次的同学的身体素质指标为 . 分
∴ 9 78 ……………………………… 7
X 的所有可能取值有 分
(2) 1,2,3, ………………………………………………………… 8
C1C2
P X 3 2 3 分
=1 = C3 = ,…………………………………………………………………… 9
5 10
C2C1
P X 3 2 6 3 分
=2 = C3 = = ,……………………………………………………………… 10
5 10 5
C3C0
P X 3 2 1 分
=3 = C3 = ,…………………………………………………………………… 11
5 10
所以 随机变量X 的分布列为
,
X
1 2 3
P 3 3 1
10 5 10
所以 随机变量X 的数学期望E X 3 3 1 18 9. 分
, =1× +2× +3× = = …………… 13
10 5 10 10 5
数学试题参考答案 第 页 共 页
1 ( 5 ). 分
16 (15 )
解 因为a C c A b B
:(1) cos + cos =2cos
由正弦定理得 A C C A B B 分
,sin cos +sin cos =2sin cos ……………………………………… 2
A C B B
sin( + )=2sin cos
因为A B C
+ + =π
所以 A C B B B B 分
,sin( + )=sin(π- )=sin =2sin cos ……………………………………… 4
又 B
0< <π
所以 B 所以 B 1
sin >0, cos =
2
所以 B π 分
, = ………………………………………………………………………………… 6
3
因为AB BC 由 知 B π 所以 ABC为正三角形
(2) = , (1) , = , △
3
又S 1AD CD D D 分
△ ADC = · sin =4sin , …………………………………………………… 8
2
在 ACD 中 由余弦定理得
△ ,
AC2 AD2 CD2 AD CD D D 分
= + -2× × ×cos =20-16cos ……………………………… 9
平面四边形ABCD 面积S S S 3AC2 D 分
∴ = △ ABC + △ ADC = +4sin …………………… 10
4
3 D D
= 20-16cos +4sin
4
D π D 分
=53+8sin - ,0< <π ……………………… 12
3
D π π 2π 则 D π 3
∴ - ∈ - , , sin - ∈ - ,1
3 3 3 3 2
分
…………………………………… 14
所以当D π π 即 5π时 四边形ABCD 面积取最大值 . 分
- = , D= , 53+8 …………… 15
3 2 6
. 分
17 (15 )
解 取AF的中点M AB的中点N 连接MN ME ND
:(1) , , , ,
则MN BF MN 1BF 分
// , = ………………………………… 1
2
因为BF和DE都垂直于平面ABCD
,
所以 BF DE
, //
又BF DE
=2
所以 MN DE MN DE
, // , =
所以 四边形DEMN 为平行四边形
,
所以 ME ND 分
, // …………………………………………………………………………… 3
又因为AB CD AB CD
// , =2
所以 BN CD BN CD
, // , =
数学试题参考答案 第 页 共 页
2 ( 5 )所以 四边形BCDN 为平行四边形
,
所以 BC ND 分
, // …………………………………………………………………………… 4
所以 BC ME
, //
因为ME 平面AEFBC 平面AEF
⊂ , ⊄
所以 BC 平面AEF 分
, // ……………………………………………………………………… 7
以A 为坐标原点 以AB AD 所在直线为x轴 y 轴 过A 点与DE平行的直线为z轴
(2) , 、 、 , ,
建立如图所示的空间直角坐标系 设AD aDE b
, = , =
则A B C a D a E ab F b 分
(0,0,0), (4,0,0), (2,,0), (0,,0), (0,,), (4,0,2 )……………… 8
所以 AC→ a BD→ a
, =(2,,0), =(-4,,0),
因为AC BD
⊥
所以 AC→ BD→
, · =0
即 a2 所以a 分
-8+ =0, =22 ……………………………………………………………… 9
所以 AE→ b AF→ b AC→
, =(0,22,), =(4,0,2 ), =(2,22,0)
设平面AEF的法向量为n→ xyz
=( , ,)
则
AE→
·
n
=0 即 22 y + bz =0 令z 则解得x by b
AF→ n , x bz , =-22, = 2 , = ,
· =0 4 +2 =0
所以n bb 分
=(2 ,,-22)………………………………………………………………… 10
因为AC与平面AEF所成角的正弦值为2 30
15
b b
所以 nAC→ 22 +22 2 30
,cos< , > = =
b2
15
3 +8× 12
解得b 分
=2 ………………………………………………………………………………… 12
因为BF 平面ABCD AC 平面ABCD
⊥ , ⊂
所以 AC BF
, ⊥
又AC BD BF BD BBD 平面BDEFBF 平面BDEF
⊥ , ∩ = , ⊂ , ⊂
所以AC 平面BDEF 分
⊥ …………………………………………………………………… 13
又 BAD ADC AB CD AD
∠ =∠ =90°, =2 =4, =22
所以 AC AD2 CD2 BD AD2 AB2
, = + =23, = + =26
四边形BDEF的面积为S 1 BF DE BD
= ( + )× =66
2
所以 多面体ABCDEF的体积为1S AC 1 . 分
, × = ×66×23=122 ……………… 15
3 3
. 分
18 (17 )
c
=2
解 由 c
:(1) 1
a=
2
得 a b
,=4,=23
x2 y2
所以 E的方程为 . 分
, + =1 ……………………………………………………………… 3
16 12
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3 ( 5 )由题意知直线l的斜率不为 设直线l的方程为x my 分
(2) 0, = +2 ……………………… 4
x2 y2
联立 + =1
16 12
x my
= +2
消去x得 m2 y2 my
, ,(3 +4) +12 -36=0
显然
,△>0
设M x y N x y 其中 y y
( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ), 1>0, 2<0
m
则 y y 12 yy 36 分
1+ 2=- m2 , 1 2=- m2 ………………………………………………… 5
3 +4 3 +4
m2 m2
所以 MN m2 144 144 m2 24 +1 48
, = +1· m2 2+ m2 = +1· m2 =
(3 +4) 3 +4 3 +4 7
解得 m 分
, =±1 ……………………………………………………………………………… 7
所以 直线l的方程为x y 或x y . 分
, - -2=0 + -2=0 …………………………………… 8
由 知 G x y 设Px y
(3) (2) , (-
2
,-
2
), (
0
,
0
)
x x
所以 直线GF 的方程为x 2+2y 直线MF 的方程为x 1+2y 分
, 2 = y +2, 1 = y -2 …… 10
2 1
x
x 2+2y
= y +2
联立 2
x
x 1+2y
= y -2
1
yy
解得 y 1 2 分
, =y y ………………………………………………… 12
2- 1
m2
由 知 y y y y 2 yy -24 +1
(2) 2- 1=- ( 1+ 2 )-4 1 2= m2
3 +4
36
yy - m2
所以 y 1 2 3 +4 3 分
, 0=y
2-
y
1
=
m2
=
m2
………………………………………… 14
24 +1 2 +1
- m2
3 +4
因为m R 所以 m2
∈ , +1≥1
所以 y 3
,0< 0≤
2
所以 PFF 的面积S 1 y 分
,△ 1 2 △ PFF = ×4× 0≤3 ……………………………………… 16
1 2
2
则 PFF 面积的最大值为 . 分
△ 1 2 3 ………………………………………………………… 17
. 分
19 (17 )
解 当a 时 fx x xx -1
:(1) =1 , =ln +1 + e ,
所以 f'x 1 x -1 xx -1
, =x +e + e ,
+1
所以 f' 1 5 分
, 1 = +1+1= ,……………………………………………………………… 2
2 2
又
f
1 =ln2+1,
所以 y 5 x
, = ( -1)+ln2+1,
2
所以切线方程为 x y 注:其它等价形式也得分 分
5 -2 +2ln2-3=0( ) …………………… 3
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4 ( 5 )a
f'x x x -1 x
(2)(ⅰ) =x + +1 e ,( >-1)
+1
当a 时 f'x fx 在 㐰 上单调递增 且 f
≥0 , >0,∴ -1,+ , 0 =0,
fx 有唯一零点x 不符合题目条件 分
∴ =0, ;……………………………………………… 5
a
当a 时 记 f″x 为 f'x 的导函数 f″x x x -1
<0 , ( ) ( ) , =- x 2+ +2 e >0,
+1
f'x 在 㐰 上单调递增 分
∴ -1,+ , ……………………………………………………… 6
当x 时 f'x 当x 㐰时 f'x
→-1 , <0; →+ , >0,
f'x 存在唯一x 㐰 使得 f'x 分
∴ 0∈ -1,+ , 0 =0,…………………………………… 7
当x x 时 f'x fx 在 x 上单调递减
∴ ∈ -1, 0 , <0,∴ -1, 0 ,
当x x 㐰 时 f'x fx 在 x 㐰 上单调递增 分
∈ 0 ,+ , >0,∴ 0 ,+ , …………………… 8
又因为 f 若函数 fx 存在零点x 且x 则 f' 分
0 =0, 1 , 1>0, 0 <0, ………………… 9
f' a 1
∴ 0 = + <0,
e
所以 a 1 分
,<- ; …………………………………………………………………………… 10
e
由 可知 x x 且 fx 在 x 㐰 上单调递增
(ⅱ) (ⅰ) : 1> 0>0, 0 ,+ ,
要证 x x
2 0> 1 ,
只需证 f x fx 分
2 0 > 1 =0, …………………………………………………………… 11
x
即证a x x 2 0 -1
ln 2 0+1 +2 0e >0,
a
x x
又因为 f'x 即 x 0 -1 所以a x 2 0 -1 分
0 =0, x + 0+1 e =0, =- 0+1 e , ……… 12
0+1
x x
即证 x 2 0 -1 x x 2 0 -1
- 0+1 e ln 2 0+1 +2 0e >0,
x
只需证 x 2 x x 0 分
- 0+1 ln 2 0+1 +2 0e >0,…………………………………………… 13
令 gx x 2 x xx x
=- +1 ln 2 +1 +2 e , >0,
g'x x x x 2 2 x x x
∴ =-2 +1 ln 2 +1 - +1 x +2 +1 e , >0,
2 +1
x
g'x x x +1 x
∴ =2 +1 -ln 2 +1 - x +e
2 +1
x 分
, >0 ……………………………… 14
x
令hx x +1 x x
=-ln 2 +1 - x +e , >0
2 +1
x
h'x 2 1 x 4 +1 x x
=- x + x 2+e =- x 2+e , >0,
2 +1 2 +1 2 +1
x x
4 +1 x h'x 4 +1 x 分
∵0< x 2<1,e >1, =- x 2+e >0, …………………………… 15
2 +1 2 +1
hx 在 㐰 上单调递增
∴ 0,+ ,
又因为h hx 即 g'x 分
0 =0,∴ >0, >0,…………………………………………… 16
gx 在 㐰 上单调递增
∴ 0,+ ,
又因为 g gx
0 =0,∴ >0,
综上 x x . 分
,2 0> 1 …………………………………………………………………………… 17
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5 ( 5 )
