数量关系-高频考点及练习_3539.2027北京定向选调_052027行测资料（名师笔记+技巧+必考点）_06行测高频考点集锦_行政能力测试-高频考点-精简版-适合短期突击

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目录
第一章数量关系高频考点....................................................................................3
考点·数学运算之整除思想.................................................................................3
考点·数学运算之普通方程.................................................................................4
考点·数学运算之十字交叉法.............................................................................5
考点·数学运算之等差数列.................................................................................6
考点·数学运算之利润问题.................................................................................8
考点·数学运算之相遇追及问题.........................................................................9
考点·数学运算之基本行程...............................................................................10
考点·数学运算之普通工程...............................................................................11
考点·数学运算之多者合作问题.......................................................................12
考点·数学运算之排列和组合...........................................................................13
考点·数学运算之排列组合常用方法...............................................................13
考点·数学运算之古典型概率...........................................................................14
考点·数学运算之两者容斥...............................................................................16
考点·数学运算之和定最值...............................................................................17
考点·数学运算之最不利原则...........................................................................18
考点·数学运算之浓度问题...............................................................................18
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第二章学而时习..................................................................................................20
第三章考前备考建议..........................................................................................32
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第一章数量关系高频考点
考点·数学运算之整除思想
（一）方法描述
整除法主要通过题干中所给的信息，判断结果应具备的整除特性，从而排除错误选项。
如：
已知甲乙两个班的人数之比为3∶5，……，求甲班人数。根据题干中的比例，可
知甲班的人数一定是3 的倍数，结合选项，可优先排除不是3 的倍数的选项。
（二）常用数字的整除判定
1.局部看
（1）一个数的末位能被2 或5 整除，这个数就能被2 或5 整除；
（2）一个数的末两位能被4 或25 整除，这个数就能被4 或25 整除；
（3）一个数的末三位能被8 或125 整除，这个数就能被8 或125 整除。
2.整体看
（1）整体作和
一个数各位数字之和能被3 或9 整除，这个数就能被3 或9 整除。
（2）整体作差
7、11、13：如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11 或13
整除，那么这个数能被7、11 或13 整除。（适用于四位或者四位以上的大数字）
11：奇数位上数字和与偶数位上数字和之差能被11 整除。
3.其他合数
将该合数进行因数分解，能同时被分解后的互质因数整除，如：12=3×4，3 和4 没有公
约数，互质，则能同时被3 和4 整除的数能被12 整除。
【例1】
光明小学学生人数介于400 与500 人之间，按照5 人、6 人、7 人一组进行分组，均余
1 人，该学校有（
）人。
A.476
B.442
C.431
D.421
【答案】D。中公解析：方法一，所有被5、6、7 除之后余数都为1 的数可以表示为5、
6、7 的最小公倍数的整数倍加1，5、6、7 的最小公倍数为210，则表示为210m+1，由于
人数介于400 与500 之间，则m=2，有421 人，选择D。
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方法二，根据题意选项-1 之后能够分别被5、6、7 整除。442-1=441 不能被5 整除，排
除B 选项。476-1=475 不能被6 整除，排除A 选项。431-1=430 不能被7 整除，排除C 选项，
选择D 选项。
【例2】
甲乙共有图书260 本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有
多少本？
A.67
B.75
C.87
D.174
【答案】C。中公解析：由题可知，甲有专业书13%，则甲的图书总数是100 的倍数，
乙有专业书12.5%= 1 ，则乙的图书总数是8 的倍数，由于甲乙共有图书260 本，故甲有100
8
本，乙有160 本，则甲的非专业书有100×（1-13%）=87 本，选C 项。
考点·数学运算之普通方程
（一）概念
未知数的个数等于独立方程的个数。
（二）设未知数的技巧
1.直接设：所求量为基本未知量，就直接设这个基本未知量为X。
2.间接设：所求量为复合未知量，就设基本未知量为X，再间接表示出复合未知量。
（三）列方程技巧——寻找等量关系
1.等量构造法：通过“是”、“比……多（少）”、“等于”等字眼建立等量关系列方程。
2.比较构造法：对同一事物进行两种不同方案的分配，比较两种方案的差别，找出其中
的
等量关系列方程。
（四）解方程技巧
1.消元法
2.换元法
【例1】
荣光公司目前有女职工和男职工的人数之比为1∶9。如果女职工的人数增加4 人，男
职工的人数增加25 人，则两者之比为1∶8，则目前女职工的人数是（
）人。
A.6
B.7
C.9
D.11
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【答案】D。中公解析：设原有女职工x 人，男职工9x 人，则x 4 1
，解得x=7，
9x 25
8
目前女职工的人数是7+4=11 人，选D。
【例2】
一堆棋子中，白棋子的数量是黑棋子的3 倍，从这堆棋子中每次取出白棋子7 颗，黑棋
子5 颗，等黑棋子取完时，白棋子还剩24 颗，请问这堆棋子中白棋子比黑棋子多多少？
A.45 颗
B.40 颗
C.36 颗
D.30 颗
【答案】D。中公解析：方法一，设需要取x 次可以把黑棋子取完，则黑棋子有5x，白
棋子有7x+24，根据题干等量关系，7x+24=3×5x，解得x=3，白棋子比黑棋子多（7x+24）
-5x=2x+24=30，选择D 项。
方法二，由于白棋子数是黑棋子的3 倍，因此如果白棋子和黑棋子按3∶1 的比例取出，
即每次取白棋子15 颗，黑棋子5 颗时，二者可同时取完。现在每次白棋子少取出15-7=8 颗，
最后剩24 颗白棋子，因此取了24÷8=3 次，黑棋子数为5×3=15 颗，白棋子数为15×3=45 颗，
比黑棋子多45-15=30 颗，选择D 项。
考点·数学运算之十字交叉法
（一）方法特征
A
十字交叉法解决的是比值混合问题，比值指的是
B （如平均数、利润率、浓度等），混
A1
合指的是分子、分母可加和；部分比值
B1
A2
、
，整体比值
B2
A1 A2
B1 B2
（二）解题步骤
1.找出各部分的平均量a、b 和总体平均量r；
2.各部分平均量与总体平均量交叉作差分别得到r-b 和a-r（假设a>b）；
3.利用比例关系求解，即
以上内容呈现如下：
r - b
A
=
。
a - r
B
部分平均量
总体平均量
交叉作差
实际量
a
r-b
A
r
b
a-r
B
。
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其中平均量a 对应的实际量是A。实际量对应的是部分平均量实际意义的分母，如浓度
溶质的质量
=
溶液的质量
，那么实际量对应的就是溶液的质量；平均分=
总分数
总人数
，则实际量对应的
就是总人数。
【例1】
甲、乙两队举行智力抢答赛，两队平均得分为92 分，其中甲队平均得分88 分，乙队平
均得分94 分，则甲、乙两队人数之和可能是：
A.20
B.21
C.23
D.25
【答案】B。中公解析：已知整体平均数和各部分平均数，根据十字交叉法可得甲、乙
人数比为（94-92）∶（92-88）=1∶2，则两队人数之和应是3 的倍数，选项中只有B 符合。
【例2】
面包房购买一包售价为15 元/千克的白糖，取其中的一部分加水溶解形成浓度为20%的
糖水12 千克，然后将剩余的白糖全部加入后溶解，糖水浓度变为25%，问购买白糖花了多
少元钱？
A.45
B.48
C.36
D.42
【答案】B。中公解析：
设剩余白糖x 千克，用十字交叉法：
20%
75%
12
25%
100%
5%
x
由75% = 12
5%
x
，可得x=0.8。则购买白糖所花的钱数为（20%×12+0.8）×15=48 元。
考点·数学运算之等差数列
（一）定义
从第二项起，每一项与前一项之差为一个常数，这样的数列称为等差数列，这个常数就
称为
公差，记为d。
（二）常用公式
记第一项为a1 ，第n 项为an，第m 项为am，则有
通项公式：an= a1+（n-1）×d，an = am +（n-m）×d；
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求和公式：S = a n+ n(n 1) d = a1ann =n a 。
n
1
2
2
中
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【例】
某学校组织活动进行队列训练，学生们组成一个25 排的队列，后一排均比前一排多4
个学生，最后一排有125 个学生。则这个队列一共有（
）个学生。
A.1925
B.1875
C.2010
D.1765
【答案】A。中公解析：方法一，这是一个首项a1 未知，公差d=4，项数n=25 的等差
数列，根据最后一排的人数是125，以及等差数列通项公式an = a1 +（n-1）d，可列出下列
式子：a
=a +（25-1）×4=125，解得a =29。根据等差数列前n 项和公式S
= n(a1 an ) ，
25
1
1
n
2
25(29 125)
可得S 25 =
2
=1925，共有1925 个学生，选A。
方法二，a 13 =125-（25-13）×4=77，则一共有25×a 13 =25×77=1925。
考点·数学运算之利润问题
（一）题型特征
研究售价、成本、利润、利润率、折扣之间关系的问题是利润问题。
（二）常用公式
利润=售价-成本。当售价大于成本时，赢利；反之，亏损，此时商品利润用负数
表示。
利润率利润100% 售价- 成本100% 售价-1）100%
（
成本
成本
成本
售价=成本×（1+利润率），成本=
售价
1利润率
折扣= 打折后的售价
打折前的售价
×10= 1打折后的利润率
1打折前的利润率
×10
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【例1】
某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲电脑连续两次提价10%，乙电
脑连续两次降价10%，最后两种电脑均以9801 元售出各一台，与价格不升不降比较，则商
场盈亏情况是（）。
A.不赚不亏
B.少赚598 元
C.多赚980.1 元
D.多赚490.05 元
9801
【答案】B。中公解析：方法一，甲电脑的初始价格为(110%)2 =8100，乙电脑初始
9801
价格为(1－10%)2 =12100，（12100+8100）-2×9801=598，即商场少赚598 元。
方法二，由题干可知价格调整之前，乙电脑价格高于甲电脑，则乙电脑两次降价10%
的部分要大于甲电脑两次提价10%的部分，故调整后两电脑的总价格小于初始价格，商场
少赚，故答案选B。
【例2】
某人将一套房屋以购入价的3 倍在房产中介处放盘。他告诉中介，一周内签约的买家其
成交价能比放盘价再便宜5 万元，并愿意在支付成交价3%中介费的基础上，再多支付1 万
元给中介。若该房屋在一周内以100 万元的价格成交，那么，此人在这套房屋上盈利（
）
万元。
A.66
B.65
C.61
D.58
【答案】C。中公解析：因在一周内成交，所以放盘价为100+5=105 万元，故购入价为
105÷3=35 万元。最终到手的钱为100×（1-3%）-1=96 万元。所以，盈利96-35=61 万元，故
答案选C。
考点·数学运算之相遇追及问题
（一）相遇问题
研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题。
一般可以描述为甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后甲、乙在途中相遇，实质上
是两人共同走了A、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么就有A、B 两地间的路程=
（甲的速度+乙的速度）×相遇时间=速度和×相遇时间。
A
B
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（二）追及问题
研究同向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题。
一般可以描述为甲从A 地到C 地，乙从甲的前方位置B 地到C 地，甲速大于乙速，最
后甲追上乙，实质上是甲比乙多走了AB 之间这段路程，如果两人同时出发，那么就有A、
B 两地间的路程=（甲的速度-乙的速度）×追及时间=速度差×追及时间。
甲
乙
A
B
【例1】
A、B 两架飞机同时从相距1755 公里的两个机场起飞相向飞行，经过45 分钟后相遇，
如果A 机的速度是B 机的1.25 倍，那么两飞机的速度差是每小时（
）。
A.250 公里
B.260 公里
C.270 公里
D.280 公里
【答案】B。中公解析：45 分钟相当于0.75 小时，A、B 速度和为1755÷0.75=2340 公
里/ 小时。而A 与B 的速度之比为1.25 ∶1=10 ∶8 ，则两飞机的速度差为
2340 （10-8）=2340÷9=260 公里/小时。
10 8
【例2】
两辆汽车同时从两地相向开出，甲车每小时行驶60 千米，乙车每小时行驶48 千米，两
车在离两地中点48 千米处相遇，则两地相距（
）千米。
A.192
B.224
C.432
D.864
【答案】D。中公解析：方法一，相遇地点距离两地中点48 千米，则甲车比乙车多走
了48×2=96 千米，而甲每小时行驶60 千米，乙车每小时行驶48 千米，所以每小时甲比乙
多走12 千米，则两车行驶了96÷12=8 小时，两地相距8×（60+48）=864 千米，选D。
方法二，设经过t 小时两人相遇，此时甲行驶的距离为（60+48）t÷2+48=60t，t=8，两
地相距8×（60+48）=864 千米。
考点·数学运算之基本行程
（一）基本公式
路程=速度×时间，即S=vt
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（二）正反比关系
路程S 一定，速度v 与时间t 成反比；
时间t 一定，路程S 与速度v 成正比；
速度v 一定，路程S 与时间t 成正比。
【例】
A、B 两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60 千米。邮递员骑车从A 村到B 村，
用了3.5 小时；再沿原路返回，用了4.5 小时。已知上坡时邮递员车速是12 千米/小时，则
下坡时邮递员的车速是（）。
A.10 千米/小时
B.12 千米/小时
C.14 千米/小时
D.20 千米/小时
【答案】D。中公解析：由题意可知往返共花了3.5+4.5=8 小时，其中上坡、下坡均有
60 千米。上坡用时为60÷12=5 小时，故下坡用时为8-5=3 小时，因此下坡速度为60÷3=20
千米/小时。
考点·数学运算之普通工程
（一）基本公式
工作量=工作效率×工作时间
（二）正反比关系
工作量一定，工作效率与工作时间成反比；
工作时间一定，工作量与工作效率成正比；
工作效率一定，工作量与工作时间成正比。
【例1】
甲、乙两队从两端向中间修一长330 米的公路，甲队每天修15 米，修2 天后，乙队也
来修，共同修了10 天后，两队还相距30 米，乙队每天修多少米？
A.16
B.10
C.15
D.12
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【答案】D。中公解析：甲、乙两队10 天共同修了330-15×2-30=270 米，故乙队每天修
270÷10-15=12 米。
【例2】
A、B 两个工程队合作修一条总长为600 米的路，第一天A、B 各修了30 米，第二天加
快速度，A 提高了20%，B 提高50%，一共需几天？
A.10
B.9
C.8
D.7
【答案】C。中公解析：第一天A、B 各修了30 米，共修了60 米，还剩下600-60=540
米。提高效率后，A 每天修30×（1+20%）=36 米，B 每天修30×（1+50%）=45 米。540÷
（36+45）=6……54，所以共需1+6+1=8 天。
考点·数学运算之多者合作问题
（一）问题描述
多者合作指在一项工程实施过程中有多人参与合作的情况。合作方式有几人同时工作，
几
人不同时工作，或二者混合。
（二）解题核心
合作时的总效率等于各部分效率之和。
（三）解题方法
特值法。已知时间，可设工作量为几个时间的公倍数，进而求效率；已知效率之间的比
例关
系，可直接设效率的最简比为特值。
【例】
甲、乙、丙三人共同完成一项工作需要6 小时，如果甲与乙的效率比为1∶2，乙与丙
的效率比为3∶4，则乙单独完成这项工作需要多少小时？
A.10
B.17
C.24
D.31
【答案】B。中公解析：由题可知，甲、乙、丙的工作效率之比为3∶6∶8，则可设甲、
乙、丙的工作效率分别为3、6、8，故总工作量为（3+6+8）×6，因此乙单独完成这项工作
需要（3+6+8）×6÷6=17 小时。
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n
n
n
3
考点·数学运算之排列和组合
（一）定义
排列：从n 个不同元素中取出m（m≤n）个元素排成一排，称为从n 个不同元素中取
出m（m n）个元素的一个排列。
排列数：从n 个不同元素中，任取m（m n）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元
素中取出m 个元素的排列数，用Am 表示。
组合：从n 个不同元素中取出m（m n）个元素组成一组，称为从n 个不同元素中取
出m（m n）个元素的一个组合。
组合数：从n 个不同元素中，任取m（m n）个元素的所有组合的个数叫做从n 个元
素中取出m 个元素的组合数，用Cm 表示。
（二）常用公式
Am n （n-1）（n- 2）（n- m 1）
Cm n （n-1）（n- 2）（n- m 1）
n
m!
【例】
某公司销售部拟派3 名销售主管和6 名销售人员前往3 座城市进行市场调研，每座城市
派销售主管1 名，销售人员2 名。那么，不同的人员派遣方案有：
A.540 种
B.1080 种
C.1620 种
D.3240 种
【答案】A。中公解析：3 个销售主管分别前往3 座城市共有A3 =6 种情况；6 名销售人
员分成不同的3 组共有C2C2C2 =90 种情况。故不同的派遣方案有6×90=540 种情况，选择
6 4 2
A。
考点·数学运算之排列组合常用方法
（一）优限法
适用于有绝对限制条件的元素（或位置）的排列组合问题，在解题时优先考虑这些元素
（或位置），再去解决其它元素（或位置）。
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（二）捆绑法
适用于某几个元素要求相邻的排列组合问题，在解题时先整体考虑，将需要相邻的元素
视
作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间的顺序。
（三）插空法
适用于某几个元素要求不相邻的排列组合问题，在解题时先将其他元素排好，再将所指
定
的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置。
（四）间接法
适用于有些题目所给的特殊条件较多或者较复杂，直接考虑需要分许多类，讨论起来很
麻
烦，而它的对立面却往往只有一种或者两种情况，很好计算，此时，我们只需算出总情况
数再减
去对立面情况数即可。
【例1】
从1、2、3、4 中任取3 个数组成没有重复的三位数的偶数，取法种数为（
）。
A.13
B.12
C.10
D.11
【答案】B。中公解析：偶数的个位一定是偶数，先确定其个位，则只能选2 或4，有
2 种选法；剩下两位数由于不能有重复数字，则有3×2=6 种选法。根据乘法原理共有2×6=12
种取法。
【例2】
现有2 本艺术类、3 本教育类和4 本医药类书籍需要并排放到同一层书架上，要求同类
书籍必须放在一起。问共有多少种可能的放置方式？
A.24
B.288
C.1728
D.6912
【答案】C。中公解析：要求同类书籍必须放在一起，则将同类书籍捆绑放在一起，所
以整体相当于3 个元素，3 个元素有A 3 种排列。各类书籍内部进行排列分别有A 2 种、A 3
3
2
3
种、A 4 种，所求为A 3 × A 2 × A 3 × A 4 =6×2×6×24=1728 种。
4
3
2
3
4
考点·数学运算之古典型概率
（一）概率的定义
概率，又称或然率、机会率或机率、可能性，是数学概率论的基本概念，是一个在0
到1 之间的实数，是对随机事件发生的可能性的度量。表示一个事件发生的可能性大小的数，
叫做该事件的概率。
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（二）概率的核心
概率的核心：发生的方法数
。
总的方法数
（三）古典型概率（等可能事件概率）
1.概念：
如果试验中可能出现的结果有n 个，而事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率
m
为P（A）=
。
n
2.特征：
①有限性：所有基本事件是有限个。
②等可能性：各基本事件发生的可能性相等。
3.方法：
I.枚举: PAm 中的m 和n 都是通过枚举的方法数出来的。
n
II.排列数和组合数: PAm 中的m 和n 都是通过排列或组合的方法求出来的。
n
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15
15
【例1】
某种密码锁的界面是一组汉字键，只有不重复并且不遗漏地依次按下界面上的汉字才能
打开，其中只有一种顺序是正确的。要使得每次对密码锁进行破解的成功率在万分之一以下，
则密码锁的界面至少要设置（
）个汉字键。
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】D。中公解析：设置x 个汉字，密码可有x！种，要令破解率在万分之一以下，
则x！>10000，即x（x-1）（x-2）……1>100000，代入选项可知x=8 满足，选择D。
【例2】
桌子上有光盘15 张，其中音乐光盘6 张、电影光盘6 张、游戏光盘3 张，从中任取3
张，其中恰好有音乐、电影、游戏光盘各1 张的概率是（
）。
4
A.
B.
91
1
108
108
C.
455
414
D.
455
【答案】C。中公解析：由题意可知，从15 张音乐盘中任取3 张，有C3 种取法，取音
C1C1C1
乐、电影、游戏光盘各1 张有C1 ×C1 ×C1 种取法，所求概率为=
6
6
3 = 108 。
6
6
3
3
455
考点·数学运算之两者容斥
（一）问题描述
如果被计数的事物有A、B 两类，那么，A 类、B 类元素个数总和=属于A 类元素个数
+属于B 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数，即A∪B=A+B-A∩B。
（二）文氏图
I 代表总量，x 既不属于A 也不属于B，则有I=A+B-A∩B+x。
I
【例】
B
A
A∩B
x
C
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一批游客中每人都去了A、B 两个景点中至少一个。只去了A 的游客和没去A 的游客
数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3 倍。则只去一个景点的人数占游客总人数
的比重为（）。
2
3
A.
B.
3
4
4
5
C.
D.
5
6
【答案】B。中公解析：这批游客可分为3 种人：一是只去了A，二是只去了B，三是
既去了A 又去了B。没去A 的游客就是只去了B 的游客，所有游客就是只去了A 的游客和
3
没去A 的游客，再加上两个景点都去了的游客。故所求比重为3÷（3+1）= 4
。
考点·数学运算之和定最值
（一）问题描述
多个数的和一定，求其中某个数的最大值或最小值。
（二）解题原则
采用逆向求值的思想，若要求最大值，则让其他量尽可能地小；求最小值，则让其他量
尽可
能地大。如：
甲、乙两人的年龄是互不相同的正整数，和为50 岁，且甲比乙大，求甲的年龄最大为
多少岁？最小为多少岁？
要使甲的年龄最大，则乙的年龄应尽可能小，最小为1 岁，则甲的年龄最大为50-1=49
岁；要使甲的年龄最小，乙的年龄应尽可能大，则甲、乙两人的年龄尽可能接近，甲、乙年
龄分
别为26 和24 时，满足题意，所以甲的年龄最小为26 岁。
【例1】
5 名学生参加某学科竞赛，共得91 分，已知每人得分各不相同，且最高是21 分，则最
低分最低是：
A.14
B.16
C.13
D.15
【答案】C。中公解析：要想最低分最低，则其他4 人成绩尽可能高，且每人得分各不
相同，所以其他3 人分数分别为20、19、18。故最低分至少为91-（21+20+19+18）=13。
【例2】
现有26 株树苗，要分植于5 片绿地上，若使每片绿地上分得的树苗数各不同，则分得
树苗最多的绿地至少可以分得几株树苗？
A.8
B.7
C.6
D.5
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【答案】A。中公解析：题目所求为“最多至少”，想让多的尽量少，则少的要尽量多，
所以
它们要尽量平均26÷5=5……1，那么五片绿地上按照树苗多少排序，中间一片要种5 棵，分别
为7，6，5，4，3 棵，这样剩余的一棵只能种在最多的那片绿地上，即最多的那片绿地至少种
8 棵，所以答案是A。
考点·数学运算之最不利原则
（一）题型特征
当题目中出现“至少……才能保证……”类似问法时，利用最不利原则解题。
（二）解题思路
最不利原则主要考虑与成功一线之差的情况。如：
现有足够多的红、白、黄3 种颜色的小球，则至少取多少个小球才能保证取到2 个颜色
相同的球？
考虑与成功一线之差的情况，即每种颜色的小球各取1 个，此时，只要再取1 球，此球
一定会和已取出的3 个小球中的一个颜色相同，即至少取3+1=4 个小球，才能保证取到2
个颜色相同的球。
【例】
一个袋子里有45 粒玻璃弹子，其中白色的2 粒，绿色的5 粒，黄色的6 粒，棕色的7
粒，黑色的11 粒，透明的14 粒，如果每次从中取弹子1 粒，那么要得到2 粒同色的弹子，
最多要取几次？
A.2
B.6
C.7
D.8
【答案】C。中公解析：考虑最差情况：当每种颜色的都取出1 粒后，只要再任取1 粒，
则必然可得到2 粒同色的弹子，即最多取6+1=7 次。
考点·数学运算之浓度问题
（一）相关概念
溶度问题即溶液配比问题，核心是溶质与溶液的变化。
溶剂：一种可以溶化固体、液体或气体溶质的液体，日常生活中最普遍的溶剂是水。
溶
质：溶液中被溶剂溶解的物质。
溶液：溶质和溶剂的混合物共同组成的液体。
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（二）基本公式
溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量
浓度溶质质量100%
溶液质量
溶质质量=溶液质量×浓度
溶液质量=溶质质量÷浓度
【例1】
现有浓度为20%的食盐水与浓度为5%的食盐水各1000 克，分别倒出若干配成浓度为
15%的食盐水1200 克。问若将剩下的食盐水全部混合在一起，得到的盐水浓度为：
A.10%
B.6.25%
C.7.5%
D.8.75%
【答案】D。中公解析：根据题意，食盐水中共有食盐1000×20%+1000×5%=250 克，
1200 克15%的食盐水中含有食盐1200×15%=180 克，则剩下的食盐水的浓度为（250-180）
÷（1000+1000-1200）×100%=8.75%，选D。
【例2】
某饮料店有纯果汁（即浓度为100%）10 千克，浓度为30%的浓缩还原果汁20 千克。
若取纯果汁、浓缩还原果汁各10 千克倒入10 千克纯净水中，再倒入10 千克的浓缩还原果
汁，则得到的果汁浓度为：
A.40%
B.37.5%
C.35%
D.30%
【答案】A。中公解析：混合后果汁总量为40 千克，其中纯果汁含量为10+30%×20=16
千克，则得到果汁的浓度为16÷40×100%=40%，选择A。
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第二章学而时习
1.某班级的一次期中考试平均分为97.5 分。但后来发现老师错把一名同学的79 分误写
成了97 分，再次计算后，得出该班级的平均分为97.14 分，则该班级的学生人数为（
）。
A.48
B.49
C.50
D.51
2.甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行50 公里，乙车每小时行40 公里，两
车开了2 小时后还相距30 公里，则两地间的距离为（
）公里。
A.210
B.420
C.310
D.520
3.某中学高二年级有6 个理科班，共有3 名生物教师任教，如果其中一名教师教3 个班，
一名教师教2 个班，一名教师教1 个班，那么共有（
）种分配方法。
A.18
B.24
C.120
D.360
4.昨天小明跑步速度是平时的一半，但比周六的时候快一倍。请问如果他平时的速度是
4 千米/小时，那么他周六每小时跑（
）千米。
A.1
B.1.5
C.2
D.8
5.钟面上12 时30 分时，时针和分针组成的最小的角是多少度？
A.160
B.165
C.170
D.175
6.甲、乙、丙3 个人一起玩骰子游戏，每个人5 个骰子，已知3 人各掷一次，甲掷出1
个1 点、2 个6 点，问三人掷出1 点或6 点的骰子的总数最可能为几个？
A.5 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
7.某学校学生排成一个方阵，方阵最外层人数为60 人，则这个方阵共有学生（
）人。
A.225
B.240
C.256
D.272
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8.五对夫妻排坐一长桌，要求夫妻相邻而坐，且同性别的相间而坐，问有多少种坐法？
A.24
B.120
C.240
D.14400
9.甲、乙、丙翻译一篇论文，甲、乙一起翻译需要10 小时，乙、丙一起翻译需要12 小
时，现在，先甲、丙翻译这篇论文4 小时，剩下的乙翻译需要12 小时，问乙单独翻译需要
多少时间？
A.15 小时
B.18 小时
C.20 小时
D.25 小时
10. 某投资者以2 万元购买甲乙两种股票，甲股票的价格为8 元/股，乙股票的价格为4
元/股，它们的投资额之比是4∶1，在甲乙股票价格分别为10 元/股和3 元/股时，该投资者
全部抛出，这两种股票他共获利（
）。
A.3000 元
B.3889 元
C.4000 元
D.5000 元
11. 某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90 分以上的学生为80%，第
二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都得90 分以上的学生至少
是多少？
A.40%
B.30%
C.20%
D.10%
12. 一块正方形玻璃，一边截去15 厘米，另一边截去10 厘米，剩下的长方形玻璃比原
来的面积减少1750 平方厘米，求原来正方形玻璃的边长。
A.73厘米
B.74 厘米
C.75 厘米
D.76 厘米
13. 箱内有6 种颜色的手套各20 只（不分左右手），至少抓多少只才能保证有三副颜色
都不同的手套？
A.18
B.61
C.41
D.45
14. 公园只售两种门票：个人票每张5 元，10 人一张的团体票每张30 元，购买10 张以
上的团体票可优惠10%。甲单位45 人逛公园，按以上规定买票，最少应该付（）元。
A.145
B.110
C.150
D.135
2
1
15.有一个分数，分母加2 等于5 ，分母减3 等于2 ，这个分数分子和分母的和为（
）。
A.33
B.11
C.30
D.19
16. 一满杯纯牛奶，喝去20%后用水加满，再喝去60%。此时杯中的纯牛奶占杯子容积
的百分数为（
）。
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A.52%
B.48%
C.42%
D.32%
17. 有一1500 米的环形跑道，甲，乙二人同时同地出发，若同方向跑，50 分钟后甲比乙
多跑一圈，若以反方向跑，2 分钟后二人相遇。问：乙的速度是多少米/分钟？
A.330
B.375
C.360
D.390
18. 某水池有甲、乙、丙3 个放水管，每小时甲能放水10 升，乙能放水12.5 升。现在先
使用甲放水，2 小时后，又开始使用乙，一段时间后再开丙，让甲、乙、丙3 管同时放水，
直到把水放完。计算甲、乙、丙管的放水量，发现它们恰好相等。则水池中原有（
）升
水。
A.150
B.200
C.250
D.300
19. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9 中任意选三个数，使他们的和为偶数，则有（）
种选法。
A.40
B.42
C.44
D.46
20. 某商场促销，晚上八点以后全场商品在原来折扣基础上再打9.5 折，付款时满400
元再减100 元，已知某鞋柜全场8.5 折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋，花了384.5
元，问这双鞋的原价为多少元钱？
A.550
B.600
C.650
D.700
21. 某经理出差时对秘书说：“我出差一周，日期和恰好为84。”则该经理该月（）
日回来。
A.14
B.15
C.16
D.17
22. 甲、乙两车同时分别从A、B 两地相向而行，两车在距A 地72 千米处第一次相遇，
相遇后继续前进，若甲车到达B 地、乙车到达A 地后均按原路立即返回，两车在距A 地48
千米处第二次相遇。A 和B 两地之间的距离是：
A.96
B.112
C.124
D.132
23. 一个瓶子的瓶内容积为204cm 3（见下图），瓶口向上正放时，瓶内水的高度为14cm，
瓶口向下倒放时，剩余部分的高度为3cm，则瓶内的水的体积是（）cm 3 。
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A.168
B.178
C.188
D.198
24.某班级有84 名学生，其中男生的年龄之和是女生的3 倍，3 年后，男生的年龄之和
比女生年龄之和3 倍少36 岁，问该年级男生有多少人？
A.48
B.54
C.60
D.66
25. 一次考试共有5 道试题，做对第1、2、3、4、5 题的分别占参加人数的95%、80%、
79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？
A.75%
B.70%
C.72%
D.71%
26. 五个同学在一起练习投篮，共投进41 个球，那么至少有一人进了（
）个球。
A.6
B.7
C.8
D.9
27. 大毛、二毛、三毛和大明四个人进行象棋比赛，每两个人都需要进行两局比赛，若
大毛已经比了6 局，二毛比了5 局，三毛比了4 局，则大明最多比了多少局？
A.3
B.4
C.5
D.6
28. 草地上插了若干根旗杆，已知旗杆的高度在1 至5 米之间，且任意两根旗杆的距离
都不超过它们高度差的10 倍。如果用一根绳子将所有旗杆都围进去，在不知旗杆数量和位
置的情况下，最少需要准备多少米长的绳子？
A.40
B.60
C.80
D.100
29. 在我国民间常用十二生肖进行纪年，十二生肖的排列顺序是：鼠、牛、虎、兔、龙、
蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。2011 年是兔年，那么2050 年是（
）。
A.虎年
B.龙年
C.马年
D.狗年
30. 有一种红砖，长24 厘米，宽12 厘米，高5 厘米。问至少用多少块这种砖才能拼成
一个实心的正方体？
A.600 块
B.800 块
C.1000 块
D.1200 块
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31.骑自行车从甲地到乙地，以10 千米/时的速度行进，下午1 时到；以15 千米/时的速
度行进，上午11 时到。如果希望中午12 时到，那么应以怎样的速度行进？
A.11 千米/时
B.12 千米/时
C.12.5 千米/时
D.13.5 千米/时
32. 某船以设计航速从上游A 港开往B 港，实际航速为每小时16 公里，共用了10 小时，
已知水的流速为每小时4 公里，假设该船保持设计航速，问从B 港返回A 港需要多少小时？
A.12
B.5
C.18
D.20
33. 某工程，甲队单独做所需天数是乙、丙两队合做天数的a 倍，乙队单独做所需天数
是甲、丙两队合做天数的b 倍，丙队单独做所需天数是甲、乙两队合做天数的c 倍，则
1
a 1
1
+ b 1
+ 1
c 1
的值是：
A.1
B.2
C.3
D.4
34.某展览馆计划4 月上旬接待5 个单位来参观，其中2 个单位人较多，分别连续参观3
天和2 天，其他单位只参观1 天，且每天最多只接待1 个单位。问：参观的时间安排共（
）
种。
A.30
B.120
C.2520
D.30240
35. 某商店将某种DVD 按进价提高35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50 元出租车费”
的广告，结果每台仍旧获利208 元，那么每台DVD 的进价是（
）元。
A.1200
B.1000
C.800
D.600
36. 某班共有50 名学生参加数学和外语两科考试，已知数学成绩及格的有40 人，外语
成绩及格的有25 人，据此可知数学成绩及格而外语成绩不及格者（
）。
A.至少有10 人
B.至少有15 人
C.有20 人
D.至多有30 人
37.
盖住？
一个半径为r
r
的圆用一些半径为2 的圆去覆盖，至少要用几个小圆才能将大圆完全
A.5 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
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38.母亲的年龄是儿子年龄的4 倍，三年前母子年龄之和是49 岁，则母亲现在年龄多少
岁？
A.43 岁
B.45 岁
C.40 岁
D.44 岁
39. 某学生参加了六次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2 分，比后两次
的平均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分，那么第四次比第三次多得几分？
A.1
B.2
C.3
D.4
40. 一个高度是8 厘米的蛋糕，切5 刀最多可以切成多少块？
A.13
B.14
C.16
D.以上均不正确
41. A，B，C，D 四支球队进行循环赛（即每两队赛1 场），比赛进行一段时间后，A
赛了3 场，B 赛了2 场，C 赛了1 场，这时，D 赛了（）场。
A.1
B.2
C.3
D.4
42. 一个小电影院有4 排座位，每一排都是相连的15 个座位。小李和小张去电影院看电
影，若小李与小张挨着坐，无论怎么坐都会与别的观众相邻，则小李和小张来之前至少有多
少名
观众已就坐？
A.20
B.16
C.18
D.12
43. 甲、乙、丙三人共处理文件48 份，已知丙比甲多处理8 份，乙比甲多处理4 份，则
甲、乙、丙处理文件的比是（）。
A.2∶5∶4
B.3∶5∶4
C.4∶2∶5
D.3∶4∶5
44. 现有26 株花卉，要分植于5 个花坛里，若使每个花坛上分得的花卉数各不同，则分
得花卉最多的花坛至少可以分得多少株花卉？
A.8
B.16
C.6
D.12
45. 某水库共有10 个泄洪闸，当10 个泄洪闸全部打开时，8小时可将水位由警戒水位降
至安全水位；只打开6 个泄洪闸时，这个过程为24 个小时，如水库每小时的入库量稳定，
问如果打开8 个泄洪闸时，需要多少小时可将水位降至安全水位？
A.10
B.12
C.14
D.16
46. 0、1、2、3、4、5、8 这七个数字能够组成多少个能被125 整除且无重复数字的五
位数？
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A.9
B.12
C.21
D.24
47. 10 个完全一样的杯子，其中6 个杯子各装有10 克纯酒精，4个杯子装有10 克纯水。
如果从中随机地拿出4 个杯子并将其中的液体进行混合，问最终得到50%酒精溶液的可能性
是得到75%酒精溶液的可能性的多少倍？
3
4
6
9
A.
B.
C.
D.
2
3
5
8
48. 某单位有本科生和研究生共55 人，非本科学历的有105 人。问非研究生学历的人中
非本科学历比本科学历人数多多少人？
A.30
B.45
C.50
D.65
49. 地球陆地总面积相当于海洋总面积的41%，南半球的陆地面积相当于其海洋面积的
23%，那么，北半球的海洋面积相当于其陆地面积的多少倍？（精确到小数点两位）
A.1.36
B.1.48
C.1.54
D.1.57
50. 一条路上依次有A、B、C 三个站点，加油站M 恰好位于AC 的中点，加油站N 恰
好位于BC 的中点。若想知道M 和N 两个加油站之间的距离，只需要知道哪两点之间的距
离？
A.CN
B.BC
C.AM
D.AB
1
1
51. 今年，小张的年龄是他祖父的6 ，几年后，是其祖父的5 ，过几年小张的年龄是其
1
祖父的4
。小张今年（
）岁。
A.10
B.12
C.14
D.16
52. 某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同。如果每辆车坐20 人，还剩下
2名员工；如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。问该单位共有员工多少名？
A.224
B.220
C.242
D.244
53. 某公司共有60 名员工，公司对员工进行年底考核，平均成绩88 分，按成绩将员工
分为优秀与非优秀两类，优秀员工的平均成绩为93 分，非优秀员工的平均成绩是81 分，则
优秀员工有多少人？
A.25
B.30
C.35
D.40
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54. 乒乓球世界杯锦标赛上，中国队、丹麦队、日本队和德国队分在一个小组。每两个
队之间都要比赛1 场，已知日本队已比赛了1 场，德国队已比赛了2 场，中国队已比赛了3
场，则丹麦队还有几场比赛未比？
A.0
B.1
C.2
D.3
55. 从1、2、3、4、5、……、N 中，任取57 个数，使这57 个数必有2 个数的差是13，
则N 的最大值为：
A.106
B.107
C.108
D.109
56.师徒二人做工，师傅每天做50 个，徒弟每天做30 个，他们共做1200 个，平均每天
做40 个，问徒弟做多少天？
A.10
B.12
C.15
D.20
57. 若干学生住若干房间，如果每间住4 人，则有20 人没地方住，如果每间房住8 人，
则有一间房只有4 人住，问共有多少学生？
A.30
B.34
C.40
D.44
58. 将矩形的宽增加4 米，长减少5 米，得到的正方形面积比原来的矩形面积增加了6
平方米，问原矩形的面积为多少平方米？
A.190
B.196
C.250
D.256
59. 甲、乙两人同地同向直线行走，其速度分别为7 千米/时、5 千米/时。乙先走两小时
后甲才开始走，则甲追上乙需（）。
A.4 小时
B.5 小时
C.6 小时
D.7 小时
60. 某校下午2 点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1 小时。该劳模在下午1 点整就
离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2 点40 分到达。问汽
车的速度是劳模的步行速度的几倍？
A.5 倍
B.6 倍
C.7 倍
D.8 倍
61. 如图所示为两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1 号蜂房开始去8 号蜂房，假设只朝右
上或右下逐个爬行，则不同的走法有（）。
A.16 种
B.18 种
C.21 种
D.24 种
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62.商店促销某种商品，一次购买不超过10 件，每件5 元；超过10 件，超过部分每件3
元。甲、乙两人分别购买此种商品，甲比乙多付19 元，则甲、乙共买了多少件？
A.22
B.21
C.20
D.19
63. 有40 名学生到碧海山庄公园春游，16 名学生买了过索桥的票，15 人买了汽枪打靶
的票，20 人买了舞票，其中有3 人既买了过索桥的票又买了汽枪打靶的票，有5 人既买了
汽枪打靶的票又买了舞票，有7 人既买了舞票又买了过索桥的票，有2 个人三种票都买了。
40 名学生中有多少人这三种票都没买到？
A.2
B.3
C.4
D.5
64.下图矩形ABCD 中，AB=3，阴影部分的面积是（
）。
A.3
B.4.5
C.6
D.9
65. 有老师和甲、乙、丙三个学生，现在老师的年龄刚好是三个学生的年龄和；9 年后，
老师年龄为甲、乙两个学生的年龄和；又3 年后，老师年龄为甲、丙两个学生的年龄和；再
3 年后，老师年龄为乙、丙两个学生的年龄和。那么老师现在的年龄是（
）岁。
A.33
B.35
C.36
D.39
66.某村农民小周培育30 亩新品种，每培育成功一亩获利800 元，如果失败倒赔200 元，
年终小周共获利18000 元，问他培育成功多少亩新品种？
A.25
B.24
C.23
D.22
67. 一串数字共15 个，前10 个的平均数是23，后10 个的平均数是35，中间5 个的平
均数是26，这15 个数字的平均数是多少？
A.33
B.31.5
C.30
D.29
68. 有一数学计算程序，给定一个数，输入加号时，变为原来的3 倍，输入除号时，该
数的末尾数字消失，例如给出10，输入加号得30，输入除号得1，如果开始给的数是23，
为了得到数字16，那么除了输入若干次加号外，至少要输入除号（）次。
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A.1
B.2
C.3
D.4
69. A、B、C、D、E、F 六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A、
B、C、D、E 五个队分别赛了5、4、3、2、1 场，可知还没与F 队比的是：
A.E
B.D、E
C.C、D、E
D.C、E
70. 甲、乙、丙三人一起打乒乓球（单打），他们约定每一局输的一方下一局休息，由
这一局休息的一方加入。结束时计算，甲休息了2 局，乙共打了8 局，丙共打了5 局。那么
参加第9 局比赛的是：
A.甲和乙
B.甲和丙
C.乙和丙
D.以上皆有可能
71. 三位专家为10 幅作品投票，每位专家分别都投出了5 票，并且每幅作品都有专家投
票。如果三位专家都投票的作品列为A 等，两位专家投票的作品列为B 等，仅有一位专家
投票的作品列为C 等，则下面说法正确的是（）。
A.A 等和B 等共6 幅
B.B 等和C 等共7 幅
C.A 最多有5 幅
D.A 等比C 等少5 幅
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72. 甲乙丙三名羽毛球选手训练共用了48 个羽毛球，其中甲比乙多用了4 个，乙比丙多
用了4 个，他们三个用的羽毛球数之比为（
）。
A.5∶4∶3
B.6∶5∶4
C.4∶3∶2
D.3∶2∶1
73. 将参与社会活动的108 名学生均分成若干小组，每组人数在8-30 人之间，有多少种
不同的分法？
A.3
B.4
C.5
D.6
74. 汽车分别以每小时40 千米和60 千米往返于甲乙两地，往返一次的平均时速为（
）
千米/小时。
A.45
B.50
C.48
D.55
75. 一套家具进货价5000 元，原售价打八折后每套家具可赚600 元，则原来利润率是
（）。
A.20%
B.40%
C.60%
D.75%
76. 某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3∶4∶5。甲队单独完成A 工程需要
25 天，丙队单独完成B 工程需要9 天。现由甲队负责B 工程，乙队负责A 工程，而丙队先
帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙
队工
作多少天？
A.6
B.7
C.8
D.9
77. 一个书柜共六层，小张计划选择相邻的两层，一层放哲学书，一层放历史书，则他
可选择的放法有（
）种。
A.3
B.6
C.10
D.l5
78. 在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，折叠该纸片，使点A 与点B 重
合，折痕与AB、AC 分别交于D、E，折痕DE 的长度是（
）。
A.1
B.2
C.3
D.4
79. 某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工资，工人每做出一个合
格零件能得到工资10 元，每做一个不合格零件将被扣除5 元，已知某人一天共做了12 个零
件，得工资90 元，那么他在这一天做了多少个不合格零件？
A.2
B.3
C.4
D.6
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80. 书架上有很多本书，有经济、法律、政治、人物传记、艺术和哲学共六类，若要保
证小明能取出10 本同类的书，他至少应该取出多少本？
A.54
B.55
C.56
D.57
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第三章考前备考建议
备考建议如下：
数量关系只考查数学运算一种题型。
（1）掌握常考题型的题型特征和解题思路。备考前期要熟练掌握计算问题、利润问题、
行程问题、工程问题、排列组合问题、容斥问题、极值问题、几何问题的题型特征、出题规律，
这样才能在考试时快速识别题型，找到会做的题目并快速求解。
（2）考生熟练运用一定的解题方法可以提高做题速度，例如：方程法、代入排除法、
特值比例法、整除法。考生不但需要掌握这些方法的核心本质，还要熟记它们的应用环境。
（3）数学运算需要进行大量练题，寻找最优答题策略。只有见识过足够多的题目所暗
含的各种知识点，才能在考试中不慌不乱，游刃有余。