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专题26 解题方法
目录
考点一 高考物理解题思想与方法.................................2
........2
........8
1. 图像法.................................................................8
2. 等效法.................................................................8
3. 极端法.................................................................9
4. 对称法.................................................................9
5. 全过程法...........................................................10
6. 逆向思维法.......................................................10
7. 递推法...............................................................10
..........10
1.题型特训.............................................................10
考向一 图像法的应用...............................................10
考向二 等效法的应用...............................................12
考向三 极端法的应用...............................................12
考向四 对称法的应用...............................................13
考向五 全过程法的应用...........................................14
考向六 逆向思维法的应用.......................................15
考向七 递推法的应用...............................................16
2.专项测试.............................................................18
考情分析
物理思想方法与技巧在高考中的应用十分广泛，它们帮助学生更好地理解物理概念、
规律，以及解决复杂的物理问题。在高考中，选择合适的物理方法解题不仅能够帮助考生
更加深刻地理解物理知识和提高解题效率，还能够增强学生面对新情境、新问题的应对能
力。因此，学生在平时的学习中应当注重对这些物理思想方法和技巧的掌握与应用。
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考点一 高考物理解题思想与方法
1. A、B 两汽车站相距60 km，从A 站每隔10 min 向B 站开出一辆汽车，行驶速度为60 km／h．
试求：(1)如果在A 站第一辆汽车开出时，B 站也有一辆汽车以同样大小的速度开往A 站，问B 站汽车在行
驶途中能遇到几辆从A 站开出的汽车?(2)如果B 站汽车与A 站另一辆汽车同时开出，要使B 站汽车在途中
遇到从A 站开出的车数最多，那么B 站汽车至少应在A 站第一辆车开出多长时间后出发(即应与A 站第几
辆车同时开出)?最多在途中能遇到几辆车?(3)如果B 站汽车与A 站汽车不同时开出，那么B 站汽车在行驶
途中又最多能遇到几辆车?
【考向】图像法的应用
【答案】（1）6 辆（2）1l 辆（3）12 辆
【解析】依题意在同一坐标系中作出分别从A、B 站由不同时刻开出的汽车做匀速运动的s 一t 图像，如图
所示．
从图中可一目了然地看出：
(1)当B 站汽车与A 站第一辆汽车同时相向开出时，B 站汽车的s 一t 图线CD 与A 站汽车的s-t 图线有6 个
交点(不包括在t 轴上的交点)，这表明B 站汽车在途中(不包括在站上)能遇到6 辆从A 站开出的汽车．
(2)要使B 站汽车在途中遇到的车最多，它至少应在A 站第一辆车开出50 min 后出发，即应与A 站第6 辆
车同时开出此时对应B 站汽车的s—t 图线MN 与A 站汽车的s 一t 图线共有11 个交点(不包括t 轴上的交点)，
所以B 站汽车在途中(不包括在站上)最多能遇到1l 辆从A 站开出的车．
(3)如果B 站汽车与A 站汽车不同时开出，则B 站汽车的s-t 图线(如图中的直线PQ)与A 站汽车的s-t 图线
最多可有12 个交点，所以B 站汽车在途中最多能遇到12 辆车．
2．如图所示，ABCD 为表示竖立放在场强为 E＝104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的
BCD 部分是半径为 R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切 A 为水平轨道的一点，而且
＝R＝
0.2m，把一质量 m＝100g、带电 q＝10-4C 的小球，放在水平轨道的 A 点上面由静止开始被释放后，在轨
道的内侧运动。（g＝10m/s2）求：
(1)它到达 C 点时的速度是多大？
(2)它到达 C 点时对轨道压力是多大？
(3)小球所能获得的最大动能是多少？
3
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【考向】等效法的应用
【答案】(1) 2m/s；(2)3N；(3)
J
【解析】（1）、（2）设：小球在C 点的速度大小是Vc，对轨道的压力大小为NC，
则对于小球由A→C 的过程中，应用动能定律列出：
qE .2R−mgR =1
2 mV C
2−0 …………………①
在C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：
N C−qE =m V C
2
R ……………………………②
解得：V C=√
4qER
m
−2gR =2m/s ………③
N C=5qE −2mg =3 N …………………………④
（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B、C 点的连线BC
∴合场势能最低的点在BC 的中点D 如图：……………………⑤
∴小球的最大能动EKM：
……………………………⑥
3. 巡航快艇A 从港口P 出发拦截正以速度VB沿直线MN 航行的船B，港口P 与B 船航线MN 的垂直距离为
a，A 艇启航时B 船离港口的距离为b(b>a)，如图所示．如果略去A 艇启动时的加速过程，认为它始终做匀
速运动，试求A 艇能拦住B 船所需的最小速率．
⌒
4
A
B
P
M
N
v
B
a
b
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【考向】函数求极值法的应用
【答案】
【解析】设A 艇能拦住B 船所需的最小速率为vA，且A 艇在C 处拦截住B 船，则航行方向为PC，
，如图所示．
在△BAC 中，由正弦定理
而
，所以有
由上式可知，当
时，vB最小，且最小值为
4． 如图所示，ab 是半径为R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强大小为E，方向一定．在圆周
平面内，将一带正电q 的小球从a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，
在这些所有的点中，到达c 点时小球的动能最大。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：
（1）电场方向与ac 间的夹角θ 为多大；
（2）若小球在a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好落在c 点，那么初动能为多大。
【考向】对称法的应用
【答案】（1）电场方向与ac 夹角30°；（2）初动能为
【解析】由于从a 点以相同的初动能沿不同方向抛出的小球到达圆周上的各点时，其中到达c 点的小球动
能最大，因此过c 点的切线一定是等势线，由此可以确定电场线的方向，至于从a 点垂直于电场线抛出的
小球可按类平抛运动处理．
（1)用对称性判断电场的方向：由题设条件，在圆周平面内，从a 点以相同的动能向不同方向抛出带正电
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的小球，小球会经过圆周上不同的点，且以经过c 点时小球的动能最大，可知，电场线平行于圆平面．又
根据动能定理，电场力对到达c 点的小球做功最多，为qUac．因此Uac最大，即c 点的电势比圆周上任何一
点的电势都低．又因为圆周平面处于匀强电场中，故连接Oc，圆周上各点的电势对于Oc 对称(或作过c 点
且与圆周相切的线cf 是等势线)，Oc 方向即为电场方向(如图乙所示)，它与直径ab 的夹角为600． (2)小球
在匀强电场中做类平抛运动．小球沿垂直于电场方向抛出，设其初速度为v0，小球质量为m．在垂直于电
场线方向，有：
x ＝v0t ①
在沿电场线方向，有
②
由图中几何关系可得：
x ＝Rcos300 ③
y ＝R(1 十cos600) ④
且：
⑤
将③、④、⑤式代入①、②两式解得：
所以初动能：
．
5. 如图所示，在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的
“U”形光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为m 的匀质金属杆A1和A2，开始时两根金属
杆位于同一竖直面内且杆与轨道垂直．设两导轨面相距为H，导轨宽为L，导轨足够长且电阻不计，金属
杆单位长度的电阻为r．现有一质量为
的不带电小球以水平向右的速度v0撞击杆A1的中点，撞击后小球
反弹落到下层面上的C 点．C 点与A2杆初始位置相距为s．重力加速度大小为g．求：
(1)回路内感应电流的最大值；
(2)整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量；
【考向】全过程法的应用
【答案】(1)
(2)
【解析】⑴对小球和杆A1组成的系统，由动量守恒定律得：
①
又 s＝vt ②
③
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①②③三式联立解得：
④
回路内感应电动势的最大值 E＝BLv1 ⑤
回路内感应电流的最大值
⑥
④⑤⑥三式联立解得：
⑵两棒组成的系统，对它们从开始作用到达到共同速度的全过程由动量守恒定律得：
mv1＝2mv2
由能量守恒定律，整个运动过程中感应电流最多产生热量为：
6. 如图，A 为位于一定高度处的质量为m、带电荷量为+q 的小球，B 为位于水平地面上的质量为M 的用
特殊材料制成的长方形空心盒子，且M=2m，盒子与地面间的动摩擦因数为
（n 取自然数），盒内存
在着竖直向上的匀强电场，场强大小
，盒外没有电场。盒子的上表面开有一系列略大于小球的小
孔1、2、3.…，孔间距满足一定的关系，使得小球进出盒子的过程中始终不与盒子接触。当小球A 以v0的
速度从孔1 进入盒子的瞬间，盒子B 恰以6 v0的速度向右滑行。已知盒子通过电场对小球施加的作用力与
小球通过电场对盒子施加的作用力大小相等方向相反。设盒子足够长，小球恰能顺次从各个小孔进出盒子。
试求：
（1）小球A 从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；
（2）小球A 从第一次进入盒子到第二次进入盒子的过程中，盒子的位移；
（3）小球A 从第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程。
【考向】递推法的应用
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】小球A 从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间分为两部分，A 在盒子内运动时运动牛
顿第二定律求出加速度，再用运动学基本公式求出时间，A 在盒子外运动的时间根据运动学基本公式即可
求得，时间之和即为经历的总时间；分别求出盒子在每个周期内通过的距离，观察数据得特点，通过数学
等差数列知识求出盒子通过的总路程。
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【详解】（1）A 在盒子内运动时，有qE-mg=ma，
由以上两式得a=g
在盒子内运动的时间为
A 在盒子外运动的时间为
A 从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间为
（2）球在盒子内运动，盒子的加速度
球在盒子外运动时盒子的加速度
小球第一次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离
小球第一次从盒子出来时，盒子的速度
球第一次在盒子外运动时
由以上三式解得
（3）小球第一次在盒内运动的过程中，盒子前进的距离为
小球第一次从盒子出来时，盒子的速度为
小球第一次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为
小球第二次进入盒子时，盒子的速度为
小球第二次在盒子内运动的过程中，盒子前进的距离为
小球第二次从盒子出来时，盒子的速度
小球第二次在盒外运动的过程中，盒子前进的距离为
分析上述各组数据可知，盒子在每个周期内通过的距离为一等差数列，公差
项数是2n 项，最后一
项是
所以总路程为
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1. 图像法
Ⅰ、方法简介：
图像法是根据题意把抽像复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为
几何关系，运用图像直观、形像、简明的特点，来分析解决物理问题，由此达到化难为易、化繁为简的目
的．
高中物理学习中涉及大量的图像问题，运用图像解题是一种重要的解题方法．在运用图像解题的过程
中，如果能分析有关图像所表达的物理意义，抓住图像的斜率、截距、交点、面积、临界点等几个要点，
常常就可以方便、简明、快捷地解题．
Ⅱ、关注点
①把握图像斜率的物理意义：在v-t 图像中斜率表示物体运动的加速度，在s-t 图像中斜率表示物体运
动的速度，在U-I 图像中斜率表示电学元件的电阻，不同的物理图像斜率的物理意义不同．
②抓住截距的隐含条件：图像中图线与纵、横轴的截距是另一个值得关注的地方，常常是题目中的隐
含条件．
③挖掘交点的潜在含意：一般物理图像的交点都有潜在的物理含意，解题中往往又是一个重要的条件，
需要我们多加关注．如：两个物体的位移图像的交点表示两个物体“相遇”．
④明确面积的物理意义：利用图像的面积所代表的物理意义解题，往往带有一定的综合性，常和斜率
的物理意义结合起来，其中v 一t 图像中图线下的面积代表质点运动的位移是最基本也是运用得最多的．
⑤寻找图中的临界条件：物理问题常涉及到许多临界状态，其临界条件常反映在图中，寻找图中的临
界条件，可以使物理情景变得清晰．
⑥把握图像的物理意义
2. 等效法
Ⅰ、方法介绍
等效法是科学研究中常用的思维方法之一，它是从事物的等同效果这一基本点出发的，它可以把复杂
的物理现象、物理过程转化为较为简单的物理现象、物理过程来进行研究和处理，其目的是通过转换思维
活动的作用对象来降低思维活动的难度，它也是物理学研究的一种重要方法．
用等效法研究问题时，并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果．因此一定要明
确不同事物在什么条件、什么范围、什么方面等效．在中学物理中，我们通常可以把所遇到的等效分为：
物理量等效、物理过程等效、物理模型等效等．
Ⅱ、典例应用
①物理量等效：在高中物理中，小到等效劲度系数、合力与分力、合速度与分速度、总电阻与分电阻
等；大到等效势能、等效场、矢量的合成与分解等，都涉及到物理量的等效．如果能将物理量等效观点应
用到具体问题中去，可以使我们对物理问题的分析和解答变得更为简捷．
②物理过程等效：对于有些复杂的物理过程，我们可以用一种或几种简单的物理过程来替代，这样能
够简化、转换、分解复杂问题，能够更加明确研究对象的物理本质，以利于问题的顺利解决．
高中物理中我们经常遇到此类问题，如运动学中的逆向思维、电荷在电场和磁场中的匀速圆周运动、
平均值和有效值等．
③物理过程等效： 对于有些复杂的物理过程，我们可以用一种或几种简单的物理过程来替代，这样
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能够简化、转换、分解复杂问题，能够更加明确研究对象的物理本质，以利于问题的顺利解决．
高中物理中我们经常遇到此类问题，如运动学中的逆向思维、电荷在电场和磁场中的匀速圆周运动、
平均值和有效值等．
3. 极端法
通常情况下，由于物理问题涉及的因素众多、过程复杂，很难直接把握其变化规律进而对其做出准确
的判断．但我们若将问题推到极端状态、极端条件或特殊状态下进行分析，却可以很快得出结论．像这样
将问题从一般状态推到特殊状态进行分析处理的解题方法就是极端法．极端法在进行某些物理过程的分析
时，具有独特作用，恰当应用极端法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确．
用极端法分析问题，关键在于是将问题推向什么极端，采用什么方法处理．具体来说，首先要求待分
析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态出发，回过头来再去分析待分析问题的变化规律．其实质是
将物理过程的变化推到极端，使其变化关系变得明显，以实现对问题的快速判断．通常可采用极端值、极
端过程、特殊值、函数求极值等方法．
①极端值法：对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小
值代入相应的表达式，从而得到所需的结论．
②极端过程法：有些问题，对一般的过程分析求解难度很大，甚至中学阶段暂时无法求出，可以把研
究过程推向极端情况来加以考察分析，往往能很快得出结论．
③特殊值法：有些问题直接计算可能非常繁琐，但由于物理过程变化的有规律性，此时若取一个特殊
值代入，得到的结论也应该是满足的，这种方法尤其适用于选择题的快速求解．
④函数求极值法：高考中对运用数学工具解决物理问题的要求越来越高，其中运用函数知识解决极值
问题是常常遇到的．数学上求极值的方法通常有：利用二次函数求极值、利用不等式求极值、利用判别式
求极值、利用三角函数求极值等．
4. 对称法
由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各
种物理现象和物理规律中．应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也
能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法.物理中对称现象比比皆是，
对称的结构、对称的作用、对称的电路、对称的物像等等．一般情况下，对称表现为研究对象在结构上的
对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．用对称
性解题的关键是敏锐地抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径,利用对称法分
析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问
题．
5. 全过程法
全过程法又称为过程整体法，它是相对于程序法而言的。它是将研究对象所经历的各个不同物理过程
合并成一个整体过程来研究分析。经全过程整体分析后，可以对全过程一步列式求解。这样减少了解题步
骤，减少了所列的方程数，大大简化了解题过程，使多过程的综合题的求解变的简捷方便。
动能定理、动量定理都是状态变化的定理，过程量等于状态量的变化。状态量的变化只取决于始末状态，
不涉及中间状态。同样，机械能守恒定律、动量守恒定律是状态量守恒定律，只要全过程符合守恒条件，
就有初状态的状态量和末状态的状态量守恒，也不必考虑中间状态量。因此，对有关状态量的计算，只要
各过程遵循上述定理、定律，就有可能将几个过程合并起来，用全过程都适用的物理规一次列出方程，直
接求得结果。
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6. 逆向思维法
所谓“逆向思维”，简单来说就是“倒过来想一想”．这种方法用于解物理题，特别是某些难题，很
有好处．下面通过去年高考物理试卷中的几道题的解法分析，谈谈逆向思维解题法的应用的几种情况
7. 递推法
递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问题的一种方法，即当问题中涉及相互联系的物体
或过程较多，相互作用或过程具有一定的重复性并且有规律时，应根据题目特点应用归纳的数学思想将所
研究的问题归类，然后求出通式。 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论；再根据多次作用的
重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次
作用的递推关系式。
1.题型特训
考向一 图像法的应用
1. 在光滑的水平面上有一静止的物体，现以水平恒力甲推这一物体，作用一段时间后，换成相反方向的水
平恒力乙推这一物体．当恒力乙作用时间与恒力甲作用时间相同时，物体恰好回到原处，此时物体的动能
为32 J．则在整个过程中，恒力甲做功等于多少?恒力乙做功等于多少?
【答案】8J，24J
【解析】这是一道较好的力学综合题，涉及运动、力、功能关系的问题．粗看物理情景并不复杂，但题意
直接给的条件不多，只能深挖题中隐含的条件．下图表达出了整个物理过程，可以从牛顿运动定律、运动
学、图像等多个角度解出，应用图像方法，简单、直观．
作出速度一时间图像(如图a 所示)，位移为速度图线与时间轴所夹的面积，依题意，总位移为零，即△0AE
的面积与△EBC 面积相等，由几何知识可知△ADC 的面积与△ADB 面积相等，故△0AB 的面积与△DCB
面积相等(如图b 所示)．
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即：
解得：v2=2v1
由题意知,
,故
,
根据动能定理有
,
2. 地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A，相隔△t 时间后又以初速度v0从地面上竖直上抛另一物体B，要
使A、B 能在空中相遇，则△t 应满足什么条件?
【答案】2v0/g<△t<4v0/g
【解析】在同一坐标系中作两物体做竖直上抛运动的s-t 图像，如图．
要A、B 在空中相遇，必须使两者相对于抛出点的位移相等，即要求A、B 图线必须相交，据此可从
图中很快看出：物体B 最早抛出时的临界情形是物体B 落地时恰好与A 相遇；物体B 最迟抛出时的临界情
形是物体B 抛出时恰好与A 相遇．故要使A、B 能在空中相遇，△t 应满足的条件为：2v0/g<△t<4v0/g
通过以上讨论可以看到，图像的内涵丰富，综合性比较强，而表达却非常简明，是物理学习中数、形、
意的完美统一，体现着对物理问题的深刻理解．运用图像解题不仅仅是一种解题方法，也是一个感悟物理
的简洁美的过程．
考向二 等效法的应用
3. 如图所示，倾角θ=30°、宽度L=1m 的足够长的“U”形平行光滑金属导轨固定在磁感应强度B=1T，范围
足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下。用平行于轨道的牵引力拉一根质量m=0.2kg、电阻R=1Ω
的垂直放在导轨上的金属棒ab，使之由静止开始沿轨道向上运动。牵引力做功的功率恒为6W，当金属棒
沿斜面移动2.8m 时，获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为5.8J，不计导轨电阻及一切摩擦，取
g=10m/s 。求：
（1）金属棒达到稳定时速度是多大？
（2）金属棒从静止达到稳定速度时所需的时间多长？
【答案】（1）2m/s；（2）1.5s
【解析】此题只要将汽车以恒定功率运动的模型，用于电磁感应现象中，将思维转换过来，问题就不难求
解．
(1)金属棒在功率恒定的牵引力作用下沿导轨向上运动，金属棒切割磁感线产生感应电动势，回路中有
感应电流，ab 棒受安培力方向沿导轨向下，由P=Fv 可知，随着棒速度增加，牵引力将减小，安培力增大，
棒的加速度减小，稳定时有：牵引力等于安培力和棒重力沿导轨向下的分力之和，在导轨平面内，有
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又P=Fv，
联立解得v=2m/s
（2）根据功能关系可知
联立解得t=1.5s
考向三 极端法的应用
4. 两个光滑斜面，高度和斜面的总长度都相等，如图所示，两个相同的小球，同时由两个斜面顶端由静止
开始释放，不计拐角处能量损失，则两球谁先到达底端？
【答案】乙图中小球先到达斜面底端
【解析】甲图中小球滑到斜面底端的时间很容易求出．设斜面高度为h，长度为L，斜面的倾角为
．则由
、
解得
乙图中小球滑到斜面底端的时间很难直接计算．可将乙图做极端处理：先让小球竖直向下运动，然后再水
平运动，易解得这种运动过程中小球运动的时间为
所以，乙图中小球先到达斜面底端．
当然本题也可以用v-t 图像法判断出二者的时间关系．
5. 如图所示，质量为M 的气球载有质量为m 的沙袋，以加速度a 上升，当将体积可忽略的沙袋抛出后，
气球上升的加速度将变为（ ）
A.
B.
C．
D．
【答案】A
【解析】本题可以根据牛顿运动定律列方程求解．但如果我们考虑极端情况，将抛出的沙袋质量m 认为是
零，代入四个选项之中，得到的加速度应该为a，而满足这一情况的只有A 选项．所以本题的正确答案是
A．
考向四 对称法的应用
6．如图，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝
、
、和
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，外筒的外半径为
，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为
B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场，一质量为
、带电量为
的粒子，
从紧靠内筒且正对狭缝
的S 点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点
S，不计重力，整个装置在直空中。试分析：
（1）加在两电极之间的电压U 应是多少？
（2）若不考虑粒子在电场中运动的时间，在该粒子从出发到返回出发点S 所用的时间是多少？
【答案】（1）
；（2）
【详解】本题的关键在于头脑中要建立粒子运动的对称图景
粒子在两电极间加速，由动能定理得qU=
mv2-0
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB=m
粒子从S 点出发，经过一段时间后再回到S 点，粒子的运动轨迹如图所示，
由几何知识可知，粒子从a 到d 必经过
圆周，粒子轨道半径R=r0
解得
（2）粒子在磁场中运动的周期
该粒子从出发到返回出发点S 所用的时间
考向五 全过程法的应用
7. 如图甲所示为一款“反重力”磁性轨道车玩具，轨道造型可以自由调节，小车内装有发条，可储存弹性
势能。小宋同学将轨道简化为图乙所示模型：竖直圆周轨道与水平直轨道AM 相切（B、D 两切点略微错
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开），两个半径均为r 的四分之一圆弧轨道在N 处平滑连接，它们的圆心（O2、O3位于同一高度，现将质
量为m=100g 的小车从A 点由静止释放，它恰好能通过圆周轨道的最高点C，且vC=1m/s。小车在轨道
BCD 段、MNP 段所受磁吸力大小分别为其重力的0.5 倍、1.5 倍（磁吸引力始终垂直轨道面），摩擦力忽
略不计；长为
=1.375m 的直轨道DM 段无磁吸力，与小车间的动摩擦因数
。小车可视为质点，
且小车在到达B 点前发条的弹性势能已完全释放。求：
（1）竖直圆周轨道的半径R；
（2）小车经过圆周轨道最低点B 时所受支持力FN的大小；
（3）同时调节r，其他条件不变，要求小车不脱离轨道，r 应满足的条件。
【答案】（1）0.2m；（2）6N；（3）r≥0.1m
【详解】（1）小车恰好通过最高点，由牛顿第二定律有
解得
（2）从B 点到C 点的过程中，只有重力做功，小车的机械能守恒，由机械能守恒定律有
解得
在B 点由牛顿第二定律有
解得
（3）要保证小车不离开轨道，则在N 点时，需满足
小车由C 点到N 点，由动能定理有
解得
假设小车能运动到P 点，小车由N 点到P 点，由动能定理有
解得
则假设不成立，小车不能到达P 点。假设小车能运动到竖直圆轨道BCD 的圆心
等高的轨道左侧的Q 点，
小车由N 点到Q 点，由动能定理有
解得
则假设不成立，小车不能到达Q 点。则可调半径r 的范围为
。
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考向六 逆向思维法的应用
8．子弹垂直射入叠在一起的完全相同的木板，穿过第5 块木板后速度恰好变为0。把子弹视为质点，如果
子弹在木板中做匀变速直线运动的总时间是t，那么子弹穿过第5 块木板所用的时间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】逆向思维，认为子弹做初速度为零的匀加速直线运动，根据
，
，解得
故选B。
考向七 递推法的应用
9. 如图所示，均可视为质点的两个小球A 和B，静置于足够大的光滑绝缘水平面上，小球A 带正电，电荷
量为q，小球B 不带电．现在水平面附近空间加水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为
E，然后A 球与B 球发生多次碰撞，每次碰撞过程时间极短且不计能量损失，碰撞过程中无电荷转移．已
知小球A、B 的质量分别为
和m，开始时两小球相距为
．
（1）求A 与B 第一次碰前的瞬间A 球的速率；
（2）若
，求从A 开始运动到两球第2 次相碰时B 球的运动位移大小；
（3）若
，求第n 次碰撞到第
次碰撞经历的时间；
（4）若
，求从开始到第n 次碰撞时A 球电势能的改变量。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）根据动能定理，有
解得A 与B 第一次碰前的瞬间A 球的速率为
（2）根据弹性碰撞规律有
得
若
，即
时
，
即每次碰撞后瞬间A、B 球速度发生交换。
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A、B 球第一次碰撞后瞬间，A 球速度
，B 球速度
如图1 所示，碰撞后，B 球保持匀速直线运动，A 球初速度为零的匀加速直线运动，直至它们发生第2 次
碰撞．
A 球的加速度
从第1 次碰撞到第2 次碰撞经历时间
此过程中B 球做匀速直线运动通过位移
（3）由第（2）问弹性碰撞末速度公式不难得出，每次碰撞前后两球的相对速度等大反向，即
如图2 所示，由A、B 球追及相遇的
图像也不难得出，每次碰撞前瞬间的相对速度与前一次碰撞后瞬
间的相对速度等大反向，即
由此可得，两球每次碰撞前瞬间的相对速度是常量，即有
A 球的加速度
每相邻两次相撞时间间隔相等
（4）由第（2）问弹性碰撞末速度公式不难得出，每次碰撞B 球速度增量相等，即
由此可得，第1 次碰撞后B 球速度
第2 次碰撞后B 球速度
第3 次碰撞后B 球速度
……
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第
次碰撞后B 球速度
由于每相邻两次碰撞时间间隔不变，均为
由此可得，从第1 次碰撞到第2 次碰撞B 球通过位移
从第2 次碰撞到第3 次碰撞B 球通过位移
……
从第
次碰撞到第n 次碰撞B 球通过位移
所以，从开始到第n 次碰撞时，B 运动的总位移
所以，A 运动总位移
电场力对A 做正功，A 的电势能减小
2.专项测试
一、单选题
1．（2024·山东日照·日照一中校联考一模）某物理学习兴趣小组研究公交车的运动，公交车进站过程认为
做匀减速直线运动直至停下。公交车在最初6s 内通过的位移与最后6s 内通过的位移之比为21：9，若公交
车运动的加速度大小为1m/s2，则（ ）
A．公交车运动的总位移为60m
B．公交车在最初6s 内通过的位移与最后6s 内通过的位移之差为36m
C．公交车的初速度为12m/s
D．公交车运动的时间为10s
【答案】D
【详解】设公交车开始减速的速度为
，运动总时间为t，则公交车在最初减速6s 内通过的位移为
,把物体运动看成反向的初速度为0 的匀加速直线运动，最后6s 内通过的位
移为
,由于公交车在最初6s 内通过的位移与最后6s 内通过的位移之比为21：9，则由以上
有
,又有
,代入数据解得
，
,则公交车的总位移为
,公交车在最初6s 内通过的位移与最后6s 内通过的位移
之差为
，故ABC 错误，D 正确。
故选D。
2．（2024·贵州贵阳·贵阳一中校考一模）两个质点a、b 在同一直线上从同一点开始出发做直线运动，质
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点a、b 的速度一时间图像分别如图中a、b 所示，由图像可知（ ）
A．t2时刻质点a、b 相遇
B．t1时刻质点a 的加速度为零
C．在0~t1时间内质点a、b 的距离逐渐变小
D．在t1∼t3时间内质点b 运动的平均速度大于
【答案】D
【详解】A．由图可知t2 时刻两质点速度相等，根据图像与坐标轴围成的面积代表位移可知，a、b 此时相
距最远，故A 错误；B．图像的斜率代表加速度，可知t1 时刻质点a 的加速度不为零，故B 错误；C．根
据图像与坐标轴围成的面积代表位移可知，在0~t1 时间内质点a、b 的距离逐渐变大，故C 错误；
D．假设在t1∼t3 时间内质点b 做匀减速直线运动，则有
，由图可知t1∼t3 时间内质点b 的位移比
匀减速直线运动的位移要大，则平均速度大于
，故D 正确；
故选D。
3．（2024·安徽蚌埠·统考三模）如图甲所示，某工人在流水线上切割玻璃，在水平工作台面建立平面直角
坐标系
，玻璃沿
轴运行的速度
恒定不变，切割时刀头的初速度
沿
轴方向，运动过程中刀头相
对玻璃的速度方向保持不变且逐渐减小，经过
时间刀头运动到
点，如图乙所示，经过2T、3T 时间刀
头运动到
、
点，则刀头的轨迹可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【详解】由题知，切割时刀头的初速度
沿
轴方向，运动过程中刀头相对玻璃的速度方向保持不变且逐
渐减小，其
图像如图所示
由图像知，图像围成的面积表示位移，在相等的时间内
逐渐减小，则
图像斜率逐渐变小，其图像
为
由题知，玻璃沿
轴运行的速度
恒定不变，则
图像可由
图像时间轴乘以速度
得到，其图像为
故选D。
4．（2024 下·吉林·高一梅河口市第五中学校联考开学考试）如图所示，有直角三角形光滑轨道框架
，
其中AB 竖直。
，光滑圆弧轨道CB 为
的外接圆上的一部分。小球1、2 分别沿轨道AB、AC
从A 点由静止开始运动，到B、C 点对应的时间分别为
、
，小球3 沿轨道CB 从C 点由静止开始运动，
到B 点的时间为
；小球4 在圆弧轨道CB 上某一点（对应的圆心角很小）由静止开始运动，到B 点的时
间为
。则下列时间的关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【详解】设AB 为2R，小球1 做自由落体运动，则有
，解得
，设
，根据几何
关系可知AC 为2R
，根据牛顿第二定律可知
，则有
，解得
，
同理可知小球3 的位移为
，加速度为
，则有
，解得
，小球
4 的运动可看作是单摆运动，则时间为
，综上分析可知
=
。
故选C。
5．（2024·福建福州·统考二模）滑块以一定的初速度沿倾角为
，动摩擦因数为
的粗糙斜面从底端上滑，
到达最高点B 后返回到底端，A 点为途中的一点。利用频闪仪分别对上滑和下滑过程进行拍摄，频闪照片
示意图分别如图甲、乙所示。若滑块与斜面间动摩擦因数处处相同，不计空气阻力。对比甲、乙两图，下
列说法正确的是（ ）
A．滑块上滑和返回过程的运动时间相等
B．滑块运动加速度大小之比为
C．滑块过A 点时的速度大小之比为
D．
【答案】B
【详解】A．根据牛顿第二定律可知，上滑过程和下滑过程分别满足
，
，
设频闪时间间隔为T，上滑过程加速度较大，相同位移大小时运动时间较短，故A 错误；B．甲图表示上
滑过程，时间间隔为3T，乙图表示下滑过程，时间间隔为4T，把上滑过程逆向看成初速度为零的匀加速
直线运动，由
，可知，加速度大小之比为
，故B 正确；C．利用逆向思维，滑块在A、B 两
点间运动，根据位移公式有
，结合上述解得
，即图甲与图乙中滑块在A、B
两点间运动时间之比为
，故由
，知
，故C 错误；D．根据加速度比有
，解得
，故D 错误。
故选B。
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6．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）如图，虚线圆形区域内、外均分布着垂直于纸面的匀强磁场（图中未
画出），磁感应强度大小相同、方向相反，一带电粒子从圆上的
点正对圆心入射。仅改变带电粒子的入
射速率，可分别得到图甲和图乙中实线所示的运动轨迹。则甲、乙两图中粒子的入射速率之比为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】A
【详解】如图
设虚线圆形区域半径为，根据几何关系，可得
，
，
，根据
，
可得
，
。
故选A。
二、多选题
7．（2023 下·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）质量为
的物体在水平面上沿直线运动，
受阻力大小恒定。经某点开始沿运动方向的水平拉力F 与运动距离x 的关系如图所示，
物体做匀速
直线运动。下列对图示过程的说法正确的是（ ）
A．在
处物体加速度大小为
B．
拉力对物体做功为40J
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C．
物体克服阻力做功为28J
D．
合力对物体做功为68J
【答案】BC
【详解】A．根据题意可知，
物体做匀速直线运动，结合图可得，阻力为
，由于阻力不变，由图
可知，在
水平拉了
与
的关系式为
，则在
处
，由牛顿第二定律有
，故A 错误；B．由公式
可知，
图像的面积表示做功，由图可
得，
拉力对物体做功为
，故B 正确；C．根据题意，由公式可
得，
物体克服阻力做功为
，故C 正确；D．根据题意可知，合力对物体做功等于所有力
做功之和，则
，又有
，则
，故D 错误。
故选BC。
8．（2024·河南·统考二模）如图甲所示，一质量为m 的小物块，从位置O 以速度v0沿粗糙水平地面向右
运动。小物块与右方一竖直墙壁第一次碰撞后，反向向左运动。当小物块水平向左运动至距竖直墙壁最远
处的P1（坐标为x1）位置时，立即对其施加一个水平向右的推力F，当小物块运动到P2（坐标为x2）位置
时，撤去推力F，使其与竖直墙壁第二次碰撞后，恰好反向运动至位置O 处静止不动。取位置O 为坐标原
点，水平向右为正方向。已知推力F 随小物块水平位移的变化如图乙所示，小物块每次和竖直墙壁碰撞不
计能量损失。则下列说法正确的是（ ）
A．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块的冲量大小为0
B．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块做的功为0
C．在小物块从位置O 开始运动到第一次返回到P1的过程中，摩擦力对小物块做的功为
D．在推力F 对小物块作用的过程中，推力F 对小物块做的功为
【答案】BCD
【详解】A．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中，墙壁对小物块的作用力不为零，根据I=Ft 可知，墙壁
对小物块的冲量大小不为0，选项A 错误；B．小物块每次和竖直墙壁碰撞的过程中墙壁与物块作用点没
有位移，故墙壁对小物块做的功为零，选项B 正确；C．由题意可知，P1 点是物块与墙壁碰后反向运动到
达的最远点，则物块在到达P1 位置时速度为零，则从在小物块从位置O 开始运动到第一次返回到P1 的过
程中，由动能定理可知，摩擦力对小物块做的功为
，选项C 正确；D．因F-x 图像的面积等于
力F 的功，则在推力F 对小物块作用的过程中，推力F 对小物块做的功为
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，选项D 正确。
故选BCD。
三、解答题
9．（2024·陕西咸阳·咸阳市实验中学校考一模）雨过天晴，人们常常看到天空中出现彩虹，它是由太阳光
照射到空气中的小水珠上时出现的奇观现象。若将小水珠视为一个半径为R 的小球，O 为球心，其截面如
图所示，一束光从空中（看作真空）平行直径
射到C 点，入射角
，该光射入小球内经过一次
反射后从D 点再次平行
折射向空中。求：
（1）小水珠对该光的折射率n；
（2）该光从C 点射入到从D 点射出所经过的时间t。（光在真空中的传播速度为c）
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）根据对称及光路可逆性，作出光路如图所示
由几何关系可得
，
根据折射定律得
（2）由几何关系
光在液滴中的传播速度
光在液滴中的传播时间
10．（2024·重庆·统考一模）如图，光滑圆槽的半径L 远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三小球（均可
视为质点）同时由静止释放，开始时乙球的位置B 低于甲球位置A，甲球与圆偿圆心连线和竖直方向夹角
为θ，丙球释放位置C 为圆槽的圆心，Q 为圆槽最低点；重力加速度为g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：
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（1）求甲球运动到O 点速度大小；
（2）通过计算分析，甲乙丙三球谁先第一次到达O 点；
（3）若单独释放甲球从降放到第15 次经过O 点所经历的时间。
【答案】（1）
；（2）丙球最先到达；（3）
【详解】（1）设甲球质量为m 根据题意可知甲球静止释放，运动到O 点过程，由动能定理
解得甲球运动到O 点速度大小为
（2）对于丙球，根据自由落体运动规律有
解得
对于甲乙两球可看成类似单摆的简谐运动，其运动周期为
甲乙两球第一次到达点O 时运动
周期，则
丙球最先到达，甲乙同时到达。
（3）根据题意可知甲球做简谐运动，运动一个周期经过两次O 点，第15 次经过O 点所经历的时间为
已知周期
联立解得
11．（2024·陕西咸阳·统考一模）现代科技可以利用电场、磁场对带电粒子的作用来控制其运动轨迹，让
其到达所需的位置，在现代科学技术、生产生活、仪器电器等方、面有广泛的应用。如图所示是此种仪器
中电磁场的简化示意图。以竖直向上为y 轴正方向建立直角坐标系，该真空中存在方向沿x 轴正方向、电
场强度大小
的匀强电场和方向垂直xOy 平面向外、磁感应强度大小B=0.5T 的匀强磁场。原点
O 处的粒子源连续不断地发射速度大小和方向一定、质量
、电荷量q=2×10⁻6 C 的带正电的粒子
束，粒子恰能在
平面内做直线运动，重力加速度为
，不计粒子间的相互作用。
（1）求粒子发射的速度大小和方向；
（2）若保持粒子束的初速度不变，在粒子从O 点射出时立即撤去磁场，求粒子从O 点射出后再次运动到y
轴过程中，重力所做的功（不考虑磁场变化产生的影响）；
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（3）若保持E、B 初始状态和粒子束的初速度不变，在粒子束运动过程中，突然将电场变为竖直向上、场
强大小变为
，求从O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围（不考虑电场变化产生的
影响）。
【答案】（1）20m/s，方向与y 轴负方向夹角30°；（2）
；（3）
【详解】（1）粒子做匀速直线运动，如下图
则
解得
设粒子出射的速度方向与
轴负方向夹角为
，则
解得
（2）撤去磁场后，粒子做平抛运动，如下图
根据牛顿第二定律有
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解得
重力所做的功
（3）由题意可得
粒子做匀速圆周运动，如下图。
根据洛伦兹力提供向心力
解得
由几何关系可知，当粒子在O 点时就改变电场，打在x 轴上的横坐标距O 点最近的点的坐标
当改变电场时粒子所在处与粒子打在x 轴上的位置之间的距离为2R 时，打在x 轴上的横坐标最远距离的坐
标
从O 点射出的所有粒子第一次打在x 轴上的坐标范围为
12．（2024 上·河南·高三校联考期末）如图所示，空间中有三个同心圆L、M、N，半径分别为R、3R、
图中区域Ⅰ、Ⅲ中有垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅱ中有沿圆心向外的辐向电场，AOB 为电场中
的一条电场线，AO 和OB 间电压大小均为U，a、b 两个粒子带电量分别为
、
，质量均为m，从O 点
先后由静止释放，经电场加速后进入磁场，加速时间分别为t1、t2，a 进入Ⅰ区域后从距入射点四分之一圆
弧的位置第一次离开磁场，b 进入Ⅲ区域后恰好未从外边界离开磁场，不计粒子重力，求：
（1）a 粒子进入磁场时的速度v 的大小；
（2）Ⅰ区域中磁感应强度
的大小；
（3）Ⅰ、Ⅲ磁感应强度的比值
；
（4）为使两个粒子尽快相遇，两个粒子释放的时间间隔
为多少。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）带电粒子沿电场线加速，由动能定理
可得
（2）如图所示
由几何关系可知，
在区域Ⅰ中做圆周运动的轨道半径为
，根据洛伦兹力提供向心力
可得
（2）设
在区域Ⅲ中做圆周运动的轨迹半径为
，根据几何关系
解得
根据洛伦兹力提供向心力
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联立可得
（4）有图可得，
粒子的运动时间为
又
粒子的运动时间为
又
则
联立可得
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