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2025 年高考数学第三次模拟考试
高三数学·参考答案
一、选择题：本题共10 小题，每小题4 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
C
D
A
A
D
B
C
A
二、填空题：本题共5 小题，每小题5 分，共25 分．
11．
12．
13．
14． 10 52
15．①③④
三、解答题：本题共6 小题，共85 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（满分13 分）
【答案】（1）
取
中点
，连接
，
因为
，所以
，
为
的中点，所以
为
的中位线，所以
，
又
，所以四边形
为平行四边形，有
，
又因为
平面
平面
，则
，
由于
平面
，所以
平面
，
又因为
，所以
平面
．......................6 分
（2）解法一：由（1）可知：
两两垂直，如图，以
为坐标原点，以
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
在
中，由余弦定理可得：
，则
，
于是
，
则
，
设
平面
，
于是
，即
，
令
，则
，
设直线
与平面
所成角为
，
那么
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
．......................13 分
解法二：在
中，由余弦定理可得：
，则
，
如图，连接
，由（1），
平面
平面
，则
，
又因为
，四边形
为正方形，
为
的中点，
，
由于
平面
，则
平面
，
如图，记
，过点
作
，连接
，
由于
平面
平面
，则
，
又因为
平面
，则
平面
，
所以
即为直线
与平面
所成角，由于
，
则
，
由于
，则
为
的三等分点，则
，
于是
，
即直线
与平面
所成角的正弦值为
．......................13 分
解法三：设直线
与平面
所成角为
，点
到平面
的距离为，则
，
在
中，
，则
，
过
作
交
的延长线于
，易得
，
且易证
平面
，
由于
，则
，
在
中，
，且
，
又
，则
．......................13 分
17．（满分13 分）
【答案】（1）由山上试验田4 株古茶树产茶量数据，
得样本平均数
，
则山上试验田
株古茶树产茶量估算为
；.....................3 分
（2）山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4 和
，
故方差
，
，
故
；......................7 分
（3）依题意，随机变量
可以取
，
随机变量
的分布列为
9
8
7
6
5
4
随机变量
的期望
.......................13 分
18．（满分14 分）
【答案】（1）
．
（1）若选条件①，直线
是函数
图象的任意两条对称轴，
且
的最小值为
，则
，解得
，则
．
若选条件②，则
，则
．
因此
．又
，所以
，则
．
若选条件③，对任意的
，
则有
，解得
，
又
，所以
，则
．......................5 分
（2）将函数
的图象向右平移
个单位，得到
的图象，
再将
的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍，
纵坐标不变，得到
图象．
由
，得
．
即函数
的单调递增区间为
，
又
，所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
因为
，
因为关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数解，
所以函数
的图象与直线
在区间
上有且只有一个交点，
则
或
．......................14 分
19．（满分15 分）
【答案】（1）将
代入函数中，
，由
，所以
，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增；
当
时，
，所以函数
在
上单调递减；
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.......................6 分
（2）任意
都有
成立，
即
，即
，
令
，则
，
令
，
，
在
上
恒成立，即
在
上单调递增．......................9 分
又
，
，故
在
内有零点，设零点为
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
且
，则
，所以
，
设
，
，
，所以
在
单调递增，
所以
，
，
，即
，所以
，
所以
最小值
，所以
，即实数a 的取值范围是
．......................15 分
20．（满分15 分）
【答案】（1）设椭圆
的半焦距为c，则
，
而点
到
的距离的取值范围为
，
因此
，解得
，
，
所以
的标准方程为
.....................4 分
（2）①由（1）知点
，设直线的方程为
，
，
由
消去
得
，
，
，
则
，线段
的中点
，
直线
的斜率
，直线
交直线
于点
，
因此直线
的斜率
，即
，则直线
与直线
垂直，
所以
.......................9 分
②由①知，
，
直线
的方程为
，同理得
，
因此四边形
的面积
，
而
，当且仅当
，即
时取等号，
则
，
所以四边形
面积的最小值为3.......................15 分
21．（满分15 分）
【答案】（1）
，
.......................4 分
（2）采用数学归纳法证明，
当
时，
，显然存在，
假设当
时，都存在一个或若干个互不相邻互不相同的正整数
，使得
，
当
时，设
是满足
的最大正整数，则
，
因为
（若
，则与
是满足
的最大正整数矛盾），
且由归纳假设
可以表示成的
形式，
其中
互不相邻且与
也不相邻（因为
，
所以
也可以表示成若干个互不相邻互不相同的
的和；......................7 分
再证明唯一性：假设
，
不妨设
，
设
，
根据
数列的增长性质，得
单调递增且增长速度由递推关系决定，
从最大项开始分析，若
，不妨设
，则
，
因为
的增长使得前面项的和小于较大的项，故矛盾，所以
，
去掉这一项后继续比较剩下的和，以此类推可得
且
；......................9 分
（3）首先构造集合
，设
是以1，2 为首项的
数列构成的集合，
根据
－数列的递推公式
，
则
，
，
，
,
，
以此类推可得
，
然后构造集合
，为了保证
，从正整数集中去掉
的元素后，取最小的正整数4 作为
的首
项，再取一个不同于
中元素的数作为第二项，不妨取6，则
，
，
，
，依此类推，
则
是以4 为首项的
数列构成的集合，即
，
再构造集合
，在正整数集中去掉
的元素，此时最小的正整数为7，取7 作为
的首项，再取一个
合适的数如9 作为第二项，则
，
，
，
,
，
那么
是以7 为首项的
数列构成的集合，即
，
按照上述方法，不断地在正整数集中去掉前面以构造集合的元素，然后取剩余最小正整数作新集合的首项，
再选取一个合适的数作为第二项，依据
数列的递推公式生成新的集合，由于每次构造新集合时，都是
从前面集合未包含的正整数中选取元素，所以对于任意
都有
，
因为是按照正整数从小到大的顺序，依次将正整数分配到不同的集合中，所以
，在构造每个集合
时，都是根据
－数列的递推公式
来生成集合内的元素，所以每个集合的数从小到大
排列之后都是
数列，......................14 分
综上，能将正整数集
拆成若干个集合
（可以是无穷个集合），使得对于任意
，都有
，这些集合的并集为正整数集，且将每个集合的数从小到大排列之后都是
－数
列......................15 分
