文档内容
几何-直线型几何-毕克定理-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
毕克定理 B 1.了解格点图形的概念。 少考
2.熟悉毕克定理并且能够应用毕克
定理解决相关的格点面积。
知识提要
毕克定理
概念
格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上．
正方形格点和毕克定理
一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”．
水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”．
L
毕克定理： S=N+ -1
2
其中，N 表示多边形内部格点数，L 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．
三角形毕克定理
L 1
S=(N+ -1)×2=2N+L-
2 2
其中，N 表示多边形内部格点数，L 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．
精选例题
毕克定理
1. 图中由 16 个 1×1 的小正方形组成，图中 △ABC 的面积是 ．【答案】 7
【分析】 法一：毕克定理．
由正方形格点下的毕克定理可知：
面积=内点数+边点数÷2-1.
那么 △ABC 的面积为：
6+4÷2-1=7.
法二：图形分割．
△ABC 和另外三个边外的三角形恰好组成一个正方形；
因此 △ABC 的面积为：
4×4-(4×2÷2)-(2×3÷2)-(4×1÷2)=7.
2. 如图，计算各个格点多边形的面积是多少？（水平方向或竖直方向的两个相邻格点距离是
1）．【答案】 16；15；10；15；12
【分析】 图（1），是正方形数格点距离边长是 4，所以面积为
4×4=16(单位面积)；
图（2），长方形长是 5，宽是 3，所以面积为 5×3=15(单位面积)；
图（3），三角形的面积是 5×4÷2=10(单位面积)；
图（4），平行四边形面积是 5×3=15(单位面积)；
图（5），梯形面积是 (3+5)×3÷2=12(单位面积)．
3. 如图，相邻两个格点的距离都是 1，“乡村小屋”的面积是多少？
【答案】 18【分析】 方法一：利用割补，图形是由 18 个单位正方形组成的，所以面积是 18．
20
方法二：利用毕克定理，N:9 个，L:20 个，S=9+ -1=18．
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4. 下图是由 8 个边长为 1 厘米的正方形所组成，共有 15 个格点．请以这 15 个格点中的
3 个为顶点作一个面积为 3.5 平方厘米的三角形．
【答案】
【分析】 方法一：总面积为 1×1×8=8（平方厘米），所以需要去掉 8-3.5=4.5
（平方厘米），如上图所示，图中三角形 ABC 的面积是 3.5 平方厘米．
方法二：根据格点图形面积的计算公式，三角形的面积是 3.5 平方厘米，则三角形的边上和
内部应该各有三个格点，同样能作出如图所示图形．
5. 已知相邻两个格点距离为 1，分别计算图中两个格点多边形的面积是多少？【答案】 9；10
【分析】 方法一：利用割补．左图包含在 3×4 的长方形中，所以利用整体减部分，
所以左图面积是 3×4-1×3÷2-1×3÷2=9；右图包含在 4×4 的正方形中，所以右图的
面积是 4×4-2×1÷2-1×1÷2-3×3÷2=10．
8
方法二：利用毕克定理，在左图中 N:6 个，L:8 个，左图的面积是 S=6+ -1=9；在右
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10
图中 N:6 个，L:8 个，右图的面积是 S=6+ -1=10．
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6. 如图，已知相邻两个格点距离为 1，计算这个格点多边形的面积是多少？
【答案】 10
【分析】 方法一：利用割补．三角形包含在 4×6 的长方形中，所以利用整体减部
分，所以图中三角形面积是 4×6-2×4÷2-2×4÷2-2×6÷2=10．
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方法二：利用毕克定理，N:8 个，L:6 个，S=8+ -1=10．
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