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专题 02 复数及其应用
目录
01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系.
02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分.
【知能解读01】复数的概念
【知能解读02】复数的四则运算
【知能解读03】复数的三角表示式
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分.
【重难点突破01】对复数概念的理解
【重难点突破02】利用复数相等求解
【重难点突破03】利用复数的几何意义解题
【重难点突破04】复数模的求解
【重难点突破05】复数的四则运算
【重难点突破06】in(n∈R)的周期性及其应用
【重难点突破07】关于共轭复数的几个常用结论
【重难点突破08】|Z-Z |(z，z ∈C)的几何意义
0 0
【重难点突破09】n个复数乘法的三角表示(棣莫弗定理)(拓展)
04 辨·易混：辨析易混知识点，夯实基础.
【易混001】虚部概念混淆
【易混002】复数的分类及辨析
【易混003】复数的坐标表示
【易混004】判断复数对应的点所在的象限
【易混005】已知复数的类型求参数
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】复数加减法的代数运算
【方法技巧02】复数代数形式的乘法运算
【方法技巧03】复数的乘方
【方法技巧04】复数的除法运算
【方法技巧05】复数范围内方程的根【方法技巧06】根据相等条件求参数
【方法技巧07】在各象限内点对应复数的特征
【方法技巧08】根据复数的坐标写出对应的复数
【方法技巧09】与复数模相关的轨迹(图形)问题01 复数的概念
1.复数的引入
为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题，引入一个新数 ，规定： ，即 是方程
的根.
2.复数的相关概念
（1）复数的相关概念
形如 （ ）的数叫做复数，复数通常用字母 表示，即 （ ）.其中 叫做
实部， 叫做虚部， 叫做虚数单位， （ ）叫复数的代数形式.
全体复数构成的集合 叫做复数集.
【真题演练】（2025·河北保定·一模） 的虚部为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部
【分析】利用复数的周期性规律，将复数化为 的形式，则复数的虚部可求.
【详解】因为 ，所以 ，
其虚部为 .
故选：A.
（2）复数的分类
复数 （ ）
3.两个复数相等与 （ ）相等当且仅当 且 .
特别地， 时， .
【真题演练1】（2025·河北邢台·三模）若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】复数的相等
【分析】根据复数相等的概念可得.
【详解】由题意得， ，解得 ，所以 .
故选：C
【真题演练2】（2025·福建福州·模拟预测）已知复数 （ ，i为虚数单位）是纯虚
数，则 ．
【答案】
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解.
【详解】由复数 是纯虚数，可得 ，解得 ．
故答案为： .
4.复数的几何意义
（1）复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.实轴上的
点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
（2）复数与复平面内点的关系：每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应，反之，复平面内的每
一个点有唯一的一个复数和它对应，因此复数 （ ）与复平面内的点 是一一对应
的关系.
（3）复数与向量的关系：复平面内的点 与以原点 为起点、 为终点的向量 一一对应，所以复数 （ ）与复平面内的向量 是一一对应的关系.
5.复数的模
（1）概念：复数 （ ）对应的向量为 ，则 的模叫做复数 的模或绝对值，
记作 或 ，即 .如果 ，那么 是实数 ，它的模就等于 （即
的绝对值）.
（2）几何意义： 即点 与原点 的距离.一般地， 即为复平面内点 与 之间
的距离.
【真题演练1】（2025·广西南宁·模拟预测）在复平面内，复数 对应的点为 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、求复数的模
【分析】首先根据复数的坐标写出复数 的表达式，然后求复数的模即可.
【详解】因为复数 对应的点为 ，所以 .
.
故选：D.
【真题演练2】（2025·广东佛山·三模）复平面上 两点对应的复数分别是 ，向量 对应的
复数为 ，则 （ ）
A．17 B． C．13 D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数的向量表示
【分析】根据复数的几何意义求出 坐标即可得出复数 ，进而求出模.【详解】由题意可得， ，则 ，
所以 ，得 ．
故选：D
6.共轭复数
（1）定义及表示：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
虚部不等于 的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数 的共轭复数用 表示，即如果 （
），那么 .
（2）几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭
复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.
（3）共轭复数的性质：
①实数的共轭复数是它本身，即 .
② .
③ .
④ .
【真题演练1】（2025·浙江宁波·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】先根据复数的乘法求复数 ，再根据共轭复数的概念求 .
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A.
【真题演练2】（2025·湖北武汉·模拟预测）若复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【知识点】求复数的模
【分析】化简式子，然后根据复数的模公式计算即可.
【详解】由题可知： ，所以 .
故选：D
【真题演练3】（2025·河南鹤壁·二模）已知复数 ， ，则实数a的值为（ ）
A．-4 B．2
C．3 D．-4或2
【答案】D
【知识点】由复数模求参数
【分析】利用复数的运算即可求得结果.
【详解】 ， 或 .
故选：D.
02 复数的四则运算
1.复数的加法
（1）加法法则：设 ， （ ）是任意两个复数，那么它们的和
.
（2）加法的运算律：对任意 ，有
交换律： ；
结合律： .
（3）复数加法的几何意义：设 ， 分别与复数 ， （ ）对应，且 ，
不共线（如图），以 ， 为邻边画平行四边形 ，则其对角线$OZ$所表示的向量 就是复数 对应的向量.因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几
何意义.
2.复数的减法
（1）减法法则：设 ， （ ），则 .
（2）复数减法的几何意义：设 ， 分别与复数 ， （ ）对应，且 ，
不共线（如图），则 与向量 （等于 ）对应，因此，复数的减法可以
按照向量的减法来进行，这就是复数减法的几何意义.
（3）两点间的距离公式：设 ， （ ）在复平面内对应的点分别为
， ，则
.
3.复数的乘法
（1）乘法法则：设 ， （ ）是任意两个复数，那么它们的积
.
（2）复数乘法的运算律：对于任意 ，有
交换律： ；
结合律： ；
分配律： .
【真题演练】（2025·湖南·三模）若复数 满足 ，则 的实部为（ ）A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】根据复数乘法运算结果求复数的特征
【分析】首先根据已知条件求出复数 ，然后根据复数的概念识别该复数的实部.
【详解】由已知条件知： .
所以 .
所以该复数的实部为-1.
故选：A.
4.复数的除法
复数除法的运算法则： （ ， ）.在进行复
数除法运算时，通常先把 写成 的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数
，使分母“实数化”.
【真题演练】（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数 满足 ，则复数 在复平面对应的点位
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出 ，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可.
【详解】由题意可得 ，
所以 在复平面对应点 ，在第一象限，
故选：A
5.在复数范围内实系数一元二次方程的根
在复数范围内，实系数一元二次方程 （ ）的求根公式为：（1）当 时，方程有两个实根 ；
（2）当 时，方程有两个虚根 ，且这两个虚数根互为共轭复数.
【真题演练】（2025·山东青岛·三模）若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则 ，
的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】复数范围内方程的根
【分析】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出 、 的值.
【详解】已知 是实系数方程 的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对出现的性质，
可知方程的另一个根为 .
对于方程 ，由韦达定理可得两根之和 ，其中 ， ，则
，即 ，解得 .
由韦达定理可知两根之积 ，则 .
可得： ，即 .
的值为 ， 的值为 .
故选：A.
03 复数的三角表示式
1.复数的三角表示式
复数的三角表示式
一般地，任何一个复数 （ ）都可以表示成 的形式，其中， 是复数的模， ， ， ； 是以 轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线
OZ）为终边的角，叫做复数 的辐角. 叫做复数 的三角表示式，简称
三角形式，该式的结构特征是模非负，角相同，余弦前，加号连.
辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍.规定在 范围内的辐角
的值为辐角的主值.通常记作 ，即 .
三角形式下的复数相等
每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零
复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
特殊复数的辐角
1. 复数 的辐角是 ， ，复数 的辐角是任意的.
2. ， ， ， .
2.复数乘法运算的三角表示及其几何意义
复数乘法运算的三角表示
已知复数 ， 的三角形式为 ， ，
则 ，即两个复数相乘，积的模等
于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
.
复数乘法的几何意义
如图，复数 ， 对应的向量分别为 ， ，把向量 绕点 按逆时针方向旋转角 （如果，就要把 绕点 按顺时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 倍，得到向量 ，
表示的复数就是积 .
3.复数除法运算的三角表示及其几何意义
复数除法运算的三角表示
设 ， ，且 ，
则 ，即两个复数相除，商的模等于被除数的模
除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
复数除法的几何意义
如图，复数 ， 对应的向量分别为 ， ，把 绕点 按顺时针方向旋转角 （如果 ，
就要把 绕点 按逆时针方向旋转角 ），再把它的模变为原来的 ，得到向量 ， 表示的
复数就是商 .复数三角形式的乘除法公式记忆口诀
积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和，商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
【真题演练1】（2025·江西萍乡·一模）已知复数 ， （ ）在复平面内对应的向量分别为 ，
（其中 为原点），则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 的最小值为3
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AB
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义
【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A；设 ，则
，再根据 的范围可判断B；根据 可得 ，再举反
例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小可判断D.
【详解】对于A，若 ，则复平面内以有向线段 和 为邻边的平行四边形是矩形，
根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确；
对于B，若 ，则点 的轨迹是以 为圆心，以5为半径的圆，
设 ，
则 ，
因为 ，可得 ，故B正确；对于C，
，取 ，显然 ，但 ，故C错误；
对于D，两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小，故D错误.
故选：AB.
【真题演练2】（2025·海南·模拟预测）已知复数 （ 为虚数单位），则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数乘、除运算的三角表示
【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】因为复数 ，
根据复数的运算法则，可得 .
故选：C.
01 对复数概念的理解
处理复数的相关概念的问题时，首先要把复数化为 （ ）的形式，进而确定复数的实部
和虚部，再根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件构造关系式求解.
【典例1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知 ， ，下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】由复数不能比较大小，即可判断A，B；求出 ， ，即可判断C，D．
【详解】解：因为虚数不能比较大小，故A，B错误；因为 ， ，
所以 ，故C正确，D错误.
故选：C.
【典例2】（2025·河北秦皇岛·三模）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数 的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数 ，则 是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数 满足 ，则 均为实数
【答案】D
【知识点】已知复数的类型求参数、复数的基本概念、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A中，由虚数单位 ，可得A错误；
对于B中，若 ，那么 ，所以B错误；
对于C中，虚轴上的点 对应复数 ，所以C错误；
对于D中，若复数 满足 ，虚数不能比较大小，则 均为实数，D正确.
故选：D.
【典例3】（2025·河北·模拟预测）已知 ， 为z的共轭复数，则下列条件可判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】设 ，代入选项中的各条件，判断 是否成立.
【详解】已知 ，设 ，则 ，对于A，若 ，即 ，得 ，即 ，
所以 ，有 ，正确；
对于B，若 ，则有 ，显然 ，得 ，有 ，正确；
对于C，若 ，即 ，有 ，得 ，
其中当 时， ，错误；
对于D，若 ，有 ，两个复数能比较大小，则 ， ，
有 ，正确.
故选：ABD.
02 利用复数相等求解
利用复数相等的充要条件求参数的步骤：
1) 分别确定复数的实部与虚部；
2) 利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程（组）求解；
3) 写出结果.
【典例1】（2025·辽宁辽阳·一模）已知 ，其中 为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等
【分析】根据复数相等求参数的值.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选:B.【典例2】（2025·湖北·模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】设 ，则 ，代入已知条件，利用复数相等的条件即可求解.
【详解】设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 .
故选：A.
【典例3】（2025·辽宁·模拟预测）已知复数 ，若集合 ，则 的
子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、判断集合的子集（真子集）的个数
【分析】方法一：利用代入法，由复数相等的条件得到关于实数 的方程组求解，得到集合 的元素；
方法二：直接利用求根公式解方程 得到集合 的元素；方法三：利用判别式直接得到方程得
根的个数.最后根式集合 的元素个数，利用集合的子集个数计算公式得到答案.
【详解】方法一：由 ，复数 ，
，即 ，
，解得 ，
所以 ，
所以集合 ，含有两个元素，所以A的子集有 个；方法二： ，所以由求根公式得 ，
所以集合 ，含有两个元素，所以A的子集有 个；
方法三：因为 ，∴ 有且仅有2个虚数根，
所以 含有两个元素，所以A的子集有 个.
故选：C.
03 利用复数的几何意义解题
当遇到已知复数在复平面内的坐标，求复数中参数的问题时：
1．先对给定复数进行化简，利用复数的运算法则（如除法运算中分母实数化），将其化为 （
的标准形式.
2．再根据复数 与复平面内坐标 的一一对应关系，结合已知坐标，列出关于参数的方程，
进而求解参数的值.
【典例1】（2025·山东日照·二模）已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则实数a=
（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案.
【详解】因为 ，
所以复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，
所以 .
故选：D.
【典例2】（2025·北京石景山·一模）在复平面内，复数 对应的点坐标为 ，则实数 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数【分析】根据复数代数形式的除法运算化简 ，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为 ，则复数 在复平面内对应的点为 ，
又复数 对应的点坐标为 ，所以 .
故选：D
【典例3】（2025·河南·模拟预测）已知 ， 为虚数单位， ， 是 的共轭复数，则下列说
法正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则
B．若 在复平面内所对应的点位于第一象限，则
C． 的最小值为
D． 为定值
【答案】ABC
【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】根据复数运算化简可求得 ，根据纯虚数定义可知A正确；根据复数对应点坐标可构造不等式求
得B正确；由复数模长运算和求得C正确；由共轭复数定义和复数乘法运算可求得D错误.
【详解】 ；
对于A， 为纯虚数， ，解得： ，A正确；
对于B， 在复平面内对应的点位于第一象限， ，解得： ，
即 ，所以 ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ，不是定值，D错误.
故选：ABC.04 复数模的求解
1. 求解复数模的问题的常用方法
根据复数模的计算公式 （ ）可把复数模的问题转化为实数问题解决.
根据复数模的几何意义，即复数 （ ）的模就是复数 在复平面内对应的点
到坐标原点的距离，可以把复数模的问题转化为距离问题解决.
2. 重要结论
复数 在复平面内对应的点为 ， 表示大于 的常数，则 （ ）表示点 的轨迹是以原点为
圆心， 为半径的圆， 表示圆的内部， 表示圆的外部.
【典例1】（2025·山东烟台·一模）已知复数 ，其中 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、由复数模求参数
【分析】应用复数模的求法及 得 或 ，再由充分、必要性定义即可得答案.
【详解】由 ，则 ，可得 或 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
【典例2】（2025·安徽·三模）已知复数 满足 ，则 （ ）
A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值
【答案】C
【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题、由复数模求参数
【分析】设 ，根据复数的模得到 ，再计算 ，即可得解.
【详解】设 ，由 ，
则 ，所以 ，解得 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 有最小值 ，无最大值．
故选：C
【典例3】（2025·上海浦东新·二模）若关于 的方程 的一个虚根的模为 ，则实数 的值为
．
【答案】4
【知识点】复数范围内方程的根、由复数模求参数
【分析】设关于 的方程的两根虚根为 ，则 且 ，即可求出 的值，再代入检验.
【详解】设关于 的方程 的两根虚根为 ，则 且 ，
所以 ，又 ，所以 ，
当 时， ，所以关于 的方程 有两个不相等实数根，不符合题
意；
当 时， ，所以关于 的方程 有两个虚根，符合题意；
所以 .
故答案为：
05 复数的四则运算
复数的四则运算类似于多项式的四则运算，含有虚数单位 的看成一类同类项，不含 的看成另一类同类项，
分别合并即可.
1. 复数常见运算小结论
；
；
； ；；
2. 常用公式
；
；
（其中 ）；
3. .
4．常见结论：
在复平面内， 对应的点分别为 ， 对应的点为 为坐标原点（点 不共
线）.
1）四边形 为平行四边形；
2）若 ，则四边形 为矩形；
3）若 ，则四边形 为菱形；
4）若 且 ，则四边形 为正方形．
【典例1】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、共轭复数的概念及计算、求复数的模
【分析】设 ，根据复数代数形式的加减运算化简 ，再根据复数相等的充要条件求
出 、 的值，最后计算模即可.
【详解】设 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，所以 ，
则 ，则 .
故选：A.【典例2】（2025·山东济南·一模）设复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案.
【详解】 .
故选：A.
【典例3】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C.
【典例4】（2025·吉林长春·二模）复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】根据复数的除法运算结合共轭复数的概念可得结果.
【详解】由题意得， ，
∴ .
故选：B.
06 in(n∈R)的周期性及其应用
虚数单位 的幂的周期性：- ， ， ， （ ）.其中 ， （ ）.
【典例1】（2025·山东德州·三模）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】利用复数的除法运算求得 ，然后利用共轭复数的概念及乘方运算求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C
【典例2】（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数 为纯虚数，（ 为虚数单位），则
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、虚数单位i及其性质、复数的除法运算
【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求 .
【详解】 ，
因为复数 为纯虚数，故 ，
故 ，故 ，
故选：B.
【典例3】（2025·河北石家庄·一模）已知 为虚数单位，以下选项正确的是（ ）
A．若 ，则 的充要条件是
B．若复数 满足 ，则C．
D．若复数 满足 ，则 的最大值为6
【答案】ACD
【知识点】虚数单位i及其性质、复数的相等、与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数代数形式的乘法
运算
【分析】对于A，利用复数的相等易得；对于B，通过举反例排除即可；对于C，利用 的乘方的周期性计
算即得；对于D，利用复数的几何意义结合动点轨迹知识易得.
【详解】对于A，因 ，则 等价于 ，
等价于 ，即 ，故A正确；
对于B，由 可得 ，
当 时，等式成立，但 与 不一定相等，故B错误；
对于C，因对于 ， ，
则 ，
于是 ，故C正确；
对于D，由 可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，
而 可看成点 到该圆上点的距离，
易得 的最大值即 ，故D正确.
故选：ACD.
07 关于共轭复数的几个常用结论
1. 若 （ ），则 .利用此结论，可以在复数集中将 分解
为 .
2. ；对于非零复数 ， 是纯虚数 .3. 若 （ ），则 ， .
4. ， .
5. （ ）.
6. .
7. .
8. .
【典例1】（2025·广东·一模）记复数 的共轭复数为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】先求出共轭复数，再根据复数除法及乘法运算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 .
故选：D.
【典例2】（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案.
【详解】设 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以 .
故选：D.【典例3】（2024·北京·三模）已知复数 ，则 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据条件，利用复数的运算法则及共轭复数的定义得到 ，即可求出结果.
【详解】由 ，得到 ，
所以 ，其对应点为 ，位于第三象限.
故选：C.
【典例4】（2025·福建·模拟预测）已知复数 ， 为 的共轭复数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算
【分析】结合复数的除法求出 ,即可得到 ，再用复数的模长公式求解 .
【详解】因为 ,
所以 ,
则 .
故答案为：C.
08 丨Z-Z 丨(z，z ∈C)的几何意义
0 0
一、设复数 ， （ ）在复平面内对应的点分别是 ， ，
则 ，复数 ，则 .故
，即 表示复数 在复平面内对应的点之间的距离.二、 （ ）的几何意义的应用：
- （ ）表示复数 在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的点为圆心， 为
半径的圆.
- （ ）表示复数 在复平面内对应的点组成的集合是以复数 对应的点
为端点的线段的垂直平分线.
三、复数模的性质
设 都是复数， 是大于1的正整数.
1. ；
2. ；
3. （可推广到 个复数）， （ ）；
4. ；
5. ，等号成立的条件：
- 当 时， 所对应的向量同向；
- 当 时， 所对应的向量反向.
6. ，等号成立的条件：
- 当 时， 所对应的向量反向；
- 当 时， 所对应的向量同向.
7. .
【典例1】（2025·广东·一模）已知 （i为虚数单位），则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】求复数的模、复数的除法运算
【分析】利用复数除法求出 ，进而求出其模.
【详解】依题意， ，所以 .
故选：A【典例2】（2025·广西柳州·三模）在复平面内，复数 对应的向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求复数的模、复数的向量表示
【分析】根据给定条件，求出复数 ，进而求出模.
【详解】由复数 对应的向量 ，则 ，
所以 .
故选：A
【典例3】（2025·浙江金华·二模）已知复数 ， 互为共轭复数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据共轭复数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设 ，则 ，
A选项， ，所以A选项正确.
B选项， ，所以B选项正确.
C选项， ， ，
所以C选项正确.
D选项，设 ，则 ，则 ，所以D选项错误.
故选：ABC
09 n个复数乘法的三角表示（棣莫弗定理）（拓展）
两个复数乘法运算的三角表示及几何意义，可以推广到 （ ，且 ）个复数相乘的情况，即
.
特别地，当 时， ，这个结
论叫做棣莫弗定理.
【典例1】已知 为虚数单位，根据棣莫弗定理，可判断下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ， ，则
D. 若 ， ，则
【解析】对于A， ，正确；
对于B， ，错误；
对于C， ，错误；
对于D， ，则 ，错误.故选A.
答案 A01：虚部概念混淆
1．对虚部概念理解不清：
易错点：误将虚部认为是含 的部分，比如把 的虚部当成 ，而实际上虚部是 （实数）。
纠正：牢记虚部的定义，对于复数的代数形式 ，虚部是 ，是一个实数，不包含
2．复数运算错误：
易错点：在对复数方程进行变形求解时，运算出错。比如在求解 求 时，需要将 的系数化为
1 ，即 ，此时若分母实数化操作错误，会得到错误的 形式，进而导致虚部判断错误。
纠正：熟练掌握复数的除法运算法则，分母实数化时，给分子分母同时乘以分母的共轭复数。对于
，分子分母同乘 ，得到 ，这样就能正确得到 的
标准形式，进而准确判断虚部.
【典例1】（2025·广东广州·一模）若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】B
【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算
【分析】先求出 ，结合虚部的概念可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的虚部为1.
故选：B
【典例2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．i
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算
【分析】利用复数的运算求得复数 ，可求复数 的虚部.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，所以 ，
所以 的虚部为 .
故选：A.【典例3】（2025·浙江温州·三模）已知 是复数 的共轭复数， （ 为虚数单位），则 的虚部是
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】由复数除法运算及共轭复数概念即可求解.
【详解】由 ，
可得： ，故 的虚部为1．
故选：C
02：复数的分类及辨析
1.对于复数 ，当 时， 为实数；当 时， 为虚数；当 且 时，
为纯虚数。
2.复数的模 ，共轭复数 。
3.欧拉公式 ，可用于将指数形式的复数转化为三角形式分析.
【典例1】（2025·辽宁·二模）使复数 为纯虚数的最小自然数 是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的分类及辨析
【分析】化简 、 ，结合复数的概念可得出结论.
【详解】因为 ， ，
因此使得复数 为纯虚数的最小自然数 是 .
故选：C.
【典例2】（2024·宁夏银川·模拟预测）欧拉公式 建立起了复数、三角函数和指数函数的桥
梁，在解析几何中具有重大意义，在复变函数论中占有重要的地位．根据欧拉公式，以下命题正确的个数
是（ ）命题1： 命题2：
命题3： 的共轭复数为 命题4： 为实数
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】复数的基本概念、共轭复数的概念及计算、复数的分类及辨析
【分析】利用欧拉公式 ，分别代入计算并根据复数的相关概念可得命题2和命题3正确，
可得结论.
【详解】易知 ，因此命题1错误；
，即可得 ，所以命题2正确，
又 ，所以 的共轭复数为 ，即命题3正确；
显然 ，为纯虚数，即命题4错误；
因此正确的个数为2个.
故选：B
【典例3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知复数 （ ， 为虚数单位），则下列选项正确
的是（ ）
A．若 ， ，则 为纯虚数
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 且 ，则 在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ABC
【知识点】共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数的分类及辨析、判断复数对应的点所在的象限【分析】对于A，若 为纯虚数即可判断；对于B，求复数的模即可计算；对于C，若 ，则 ，根
据共轭复数定义即可判断；对于D，复数 在复平面内对应的点 即可判断.
【详解】当 时， 为纯虚数，故A正确；
当 时， ，故B正确；
当 时， ，所以 ，则 ，故C正确；
复数 在复平面内对应的点 ，若 且 ，
所以 在复平面内对应的点位于第二象限，故D错误.
故选：ABC.
03：复数的坐标表示
1．复数化简与对称点
易错：化简 时，分母实数化算错；或忘＂关于实轴对称，虚部变相反数＂。
避坑：分母实数化 分子分母同乘分母共轭（如 ）；对称点直接＂实部不变，虚部取反＂。
2．模的几何意义
易错：误判图形（实际是椭圆，长轴4、焦距2）；分析 或 时漏情况。
避坑：记＂ 是椭圆（和为定值 ）＂； 时虚部为 时虚部为 0
（分 实、纯虚数讨论）.
【典例1】（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的坐标表示、复数的除法运算
【分析】先计算复数 ，得到复数 对应的点，由对称性即可得复数 对应的点，进而得复数 .【详解】 ，所以复数 对应的点为 ，
因为复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，所以复数 对应的点为 ，
所以 ，
故选：D.
【典例2】（2025·江苏南通·一模）在复平面内，复数 （i为虚数单位）
与点 对应，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、复数的坐标表示、三角函数的化简、求值——同角三角
函数基本关系
【分析】根据复数的几何意义得到方程组，然后相加，结合同角三角函数关系式和两角差的余弦公式计算
即可.
【详解】 ，
， ， ，
故选：C．
【典例3】（2025·河南郑州·二模）已知复数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、复数的坐标表示、求复数的模、利用椭圆定义求方程【分析】设 ，得到其在复平面的点坐标，设 ，证明 ，从
而得到点 的轨迹为椭圆，然后得到椭圆方程.结合椭圆中线段分别计算各个选择中的结果即可.
【详解】设 ，则复数 在复平面内对应点 ，设 ，
则 ，同理 ，
∴ ，即点 的轨迹为椭圆，且椭圆长半轴 ，焦半径 ，
∴短半轴 ，∴点 的轨迹方程为： ，
A选项： ，A选项正确；
B选项： ，B选项正确；
C选项：若 ，即 ，令 ，则 ，∴ ，C选项正确；
D选项： ，若 ，则 或 ，当 时， ，此时 ；当
时， ，此时 ，D选项错误.
故选：ABC.
04：判断复数对应的点所在的象限
在复平面内，复数 与点 ——对应，根据 （实部，对应横坐标）和 （虚部，
对应纵坐标）的正负可判断点所在象限：
第一象限： 且
第二象限： 且
第三象限： 且
第四象限： 且
【典例1】（2025·北京平谷·一模）在复平面内，复数 满足 ，则复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限【答案】B
【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解.
【详解】由 可得 ，
故复数z对应的点为 ，位于第二象限.
故选：B
【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·一模）复数 ，则 在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】利用复数的除法化简复数 ，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论.
【详解】因为 ，则 ，
所以，复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，位于第二象限.
故选：B.
【典例3】（2025·湖北黄冈·二模）复数 的共轭复数在复平面内对应的点位（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】先化简，再得到共轭复数，最后得到点对应象限.
【详解】 ，则共轭复数为 ，对应的点 ，在第二象限.
故选：B.
05：已知复数的类型求参数对于复数 ，有以下分类：
实数：
虚数：
纯虚数： 且
已知复数类型求参数时，需根据上述定义，结合复数运算（如乘法、除法等），列出关于参数的方程
（组）求解，同时要注意对参数取值的检验，避免出现增根.
【典例1】（2025·山东泰安·一模）已知 为虚数单位，若 是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算
【分析】利用复数的乘法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案；
【详解】因为 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
【典例2】（2025·浙江·二模）已知 为虚数单位，复数 （ ）是纯虚数，则
（ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】由纯虚数的概念，列得方程组，从而可求出 的值.
【详解】因为复数 （ ）是纯虚数，
所以 ，
由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
所以 .故选：D.
【典例3】（2024·上海·高考真题）已知虚数 ，其实部为1，且 ，则实数 为 ．
【答案】2
【知识点】已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、由复数模求参数
【分析】设 且 ，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设 ， 且 .
则 ，
， ，解得 ，
故答案为：2.
一：复数加减法的代数运算
对于复数 ，其共轭复数 。
复数的加减运算，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，即 。
在涉及 与 的运算问题中，通常设 ，将其代入等式，利用复数相等的条件（实部相等、虚
部相等）列方程求解.
【典例1】（2025·安徽·二模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算、复数的除法运算
【分析】先利用 ， 化简，再利用复数的除法运算求 ，再求出 ，最后利用复数的加法运算即
可.
【详解】因 ， ，则 ，则 ， .
故选：D.
【典例2】（2025·广西·三模）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、共轭复数的概念及计算
【分析】设复数 ，根据定义得到其共轭复数，再根据复数相等的充要条件列方程求解.
【详解】设复数 ，则其共轭复数 ，
所以 ，
则 ，解得 .所以 .
故选：C.
二：复数代数形式的乘法运算
复数代数形式的乘法运算，遵循多项式乘法法则，即对于复数 ，
，再根据 ，整理为 的形式，
实部为 ，虚部为 。
【典例1】（2025·广东广州·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算
【分析】根据复数的乘法以及共轭复数的定义，可得答案.
【详解】由题意可得 ，则 .
故选：D.
【典例2】（2025·安徽·模拟预测）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算
【分析】设 ，则 ，即可求出 ，即可求解．
【详解】设 ，
则 ，
则 ．
故选：D.
三：复数的乘方
复数乘方运算可通过两种方式解决：
1．代数形式直接展开：利用多项式乘法法则反复运算（适用于低次幂），结合 的周期性
， ，周期为 4）化简。
2．三角形式 + 棣莫弗定理：若复数为三角形式 ，则
，适用于高次幂运算。
【典例1】（2025·山东济南·三模）设复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数的除法运算
【分析】利用复数的运算化简复数 ，结合共轭复数的定义可得结果.
【详解】因为 ，故 .
故选：B.
【典例2】（2025·湖北·二模）复数 是 成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】复数的乘方、判断命题的充分不必要条件、复数的除法运算【分析】先判断当 时， 是否等于 ，以确定充分性是否成立；再判断当 时，
是否一定等于 ，以确定必要性是否成立，进而确定条件类型.
【详解】当 时，
再计算 ：
，
所以当 时， 成立，充分性成立.
由 ，则： ，
即 或 ，所以当 时， 不一定等于 ，必要性不成立.
因为充分性成立，必要性不成立，所以复数 是 成立的充分不必要条件，
故选：A.
【典例3】（2025·山西临汾·二模） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的乘方、复数的除法运算
【分析】根据复数的周期性以及复数的除法运算化简即可求解.【详解】 ，
故选：B
四：复数的除法运算
对于复数除法 ，设 ，运算步骤：
1．分子分母同乘分母的共轭复数：分母 的共轭复数为 ，即
2．化简分母：利用平方差公式 （实数），即分母=分母实部的平方+分母虚部
的平方
3．展开分子：按多项式乘法展开，再用 化简，最后合并实部和虚部。
注意：
若分母为纯虚数 如 , 可直接乘 化简(因 ：
若分母为 ，乘其共轭 后分母为 2 ，可简化计算：
【典例1】（2025·江西·一模）设i为虚数单位，复数z的共轭复数为 ，若 ，则z在复平面内对
应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】A
【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】由复数的运算性质化简得 ，则 ，即答案可求.
【详解】由题意得 ，
所以 ，则z在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.【典例2】（2025·河北·一模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的除法运算
【分析】利用复数除法法则，结合条件,直接解出复数 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
五：复数范围内方程的根
1．判别式法（实系数一元二次方程）
当 时，先计算判别式 。
时：方程有两个实根，根据求根公式 求解。
时：方程有两个共轭虚根，同样使用求根公式
2．配方法与公式法（复系数一元二次方程）
对于复系数一元二次方程，判别式法不再适用，可采用配方法或直接使用公式
（这里 是对复数开方，要考虑复数的多值性）。
3．韦达定理的应用
无论方程的根是实数还是复数，韦达定理始终成立，即若 是方程 的两根，则
【典例1】（2025·山东济宁·二模）已知 是关于 的方程 的一个根，则
（ ）
A．2 B．3 C．5 D．
【答案】D
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模
【分析】将 代入 化简整理有 ，即 解出 ，最后求复数的模即可.
【详解】将 代入 有： ，
化简整理有 ，即 ，解得 ，
所以 ，
故选：D.
【典例2】（多选）（2025·吉林长春·一模）在复数范围内，方程 的两个根分别为 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的模
【分析】根据韦达定理和复数范围内一元二次方程两根的特点一一分析即可.
【详解】对A，根据韦达定理知 ，故A错误；
对B，根据韦达定理知 ，故B正确；
对C，解出两根分别为 ，显然两根互为共轭复数，则 ，故C正确；
对D，因为 ，则 ，故D正确.
故选：BCD.
【典例3】（2025·山东·模拟预测）已知z是方程 的一个复数根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【知识点】复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、求复数的模
【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合复数模的公式进行求解即可.
【详解】由题，因为 ，所以z和 是方程 的两个根，
所以 ，即 ，所以 .
故选：B.
六：根据相等条件求参数
1．复数运算化简：
对含复数的表达式（如 、 幂运算、方程根），先通过复数运算法则（除法分母实数化、 周期
性）化简，转化为 形式。
2．应用＂复数相等＂条件：
若两个复数 ，则实部相等 且虚部相等 ，据此列方程求解
参数。
3．结合共轭复数／方程根性质：
实系数方程虚根成对（共轭虚根）；
共轭复数 与 实部相同、虚部相反。
【典例1】（2025·安徽·模拟预测）若复数 ，实数 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】D
【知识点】复数范围内方程的根、根据相等条件求参数、复数的除法运算
【分析】法一：利用复数运算法则得到 ，从而得到方程组，求出 ，得
到答案；
法二：变形得到 ， 是 的根，故 是方程的另一个根，由韦达定理得
到 ，求出答案.
【详解】法一：因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，故 ；
法二： ，故 ，
因为 是 的根，故 是方程的另一个根，
由韦达定理得 ， ，
故 ，所以 .
故选：D
【典例2】（2025·陕西宝鸡·二模）已知关于 的实系数方程 的一个虚根为 ，则另外一个
根的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数范围内方程的根、求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数
【分析】将虚数根代入可得 ，即可求解方程的虚数根，利用虚部的定义求解即可.
【详解】将 代入 中可得 ，解得 ，
故 ，故 ，
因此另一个虚数根为 ，故其虚部为1，
故选：A
【典例3】（2025·湖南长沙·二模）若 ，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．i
【答案】A
【知识点】求复数的实部与虚部、根据相等条件求参数、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方
【分析】根据复数的运算法则，结合复数相等的条件求出 ，再根据共轭复数的定义求出 ，最后确定
的虚部.
【详解】设 ，则由已知得 ，∴ ．∴ 解得 ，∴ ，∴ ，∴ 的虚部为 ．
故选：A．
七：在各象限内点对应复数的特征
1．共轭复数的象限特征
共轭复数 与 的实部相同、虚部相反，因此象限关于实轴对称：
若 在第一象限 ，则 在第四象限 ；
若 在第二象限 ，则 在第三象限 。
2．复数运算后的象限判断
若涉及复数加减乘除后的象限，需先计算结果的实部和虚部，再按上述步骤分析。
【典例1】（2025·福建厦门·一模）在复平面内， 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数代数形式的乘法运算、判断复数对应的点所在的象限
【分析】根据已知化简复数得出对应点的坐标进而判断选项.
【详解】 ，所以 对应的点为 ，位于第二象限，
故选：B．
【典例2】（多选）（2025·广东·模拟预测）已知 为虚数单位，复数 满足 ，则（ ）
A． 的实部为3
B． 的虚部为
C．
D． 在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、共轭复数的概念及计算、求复数的模、根据除法运算结果求复
数特征
【分析】先根据复数除法法则化简 ，即可判断A,B；再计算复数的模以及共轭复数定义，结合复数几何
意义判断C,D.
【详解】由于 ，则 的实部为 的虚部为2，不是 ，所以A正确，B错误；
由于 在复平面内对应的点 在第四象限，所以CD都
正确，
故选：ACD.
【典例3】（多选）（2025·湖南·二模）若 ， 均为复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，
D．若 ， 在复平面内对应的点在第一象限，则实数n的范围是
【答案】AC
【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的坐标表示、求复数的模、复数代数形式的乘法运算
【分析】设 ， ，求出复数的模判断A；利用特值法判断B；利用复数的运
算以及复数的分类判断C；化简复数后求出对应点坐标判断D.
【详解】 ， ，则 ，
，
，故A正确
设 ， ，则 ，而 ，故B错误
设 ， ，则 ，则 ，故C正确
因为 ，因此 ，所对应点为
该点在第一象限，说明 ，即 ，故D错误.故选：AC.
八：根据复数的坐标写出对应的复数
在复平面中，复数与坐标——对应，已知坐标写复数的关键是明确实部（横坐标）、虚部（纵坐标）
与复数的关系，直接构建 形式，以下是具体解题技巧：
复平面内，点 唯一对应复数 ，其中：
是实部，对应点的横坐标；
是虚部，对应点的纵坐标；
是虚数单位 。
【典例1】（2025·黑龙江大庆·三模）在复平面内，点 对应的复数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、求复数的模、复数的除法运算
【分析】根据给定条件，求出复数 ，再利用复数除法及模的运算求解.
【详解】点 对应的复数 ，
则 ，
所以 .
故选：D
【典例2】（2025·山东枣庄·二模）已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A． B． C．1+i D．
【答案】C
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数的除法运算
【分析】根据给定条件，求出复数 ，再利用复数的除法求解.
【详解】由复数 在复平面内对应的点为 ，得 ，
所以 .
故选：C【典例3】（2025·广西·模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据复数的坐标写出对应的复数、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算
【分析】结合复数的几何意义，以及复数的四则运算法则，即可求解．
【详解】因为复数z在复平面内对应的点为 ，
则 ，
故
故选：
九：与复数模相关的轨迹（图形）问题
1.对于 ，表示复平面内以原点为圆心， 为半径的圆。
对于 ，表示复平面内以 为圆心， 为半径的圆。
对于 ，表示复平面内以 对应的点为焦点，长轴长为$2 a$的椭
圆（当 时，轨迹是线段；当 时，无轨迹）。
2．转化问题：将复数模的等式转化为几何图形（圆、椭圆等），利用图形的性质（如圆心、半径、焦
点、长轴短轴等）求解距离的取值范围、最值、离心率等。
【典例1】（2025·河南·三模）若复数z满足 ，则 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】共轭复数的概念及计算、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据已知有 ，确定 对应点的轨迹，再应用圆上点到定点距离范围的求法得到
的范围.
【详解】由 ，即 对应点在以复平面的原点为圆心，1为半径的圆上，
由 表示上述圆上点到点 的距离，结合圆的性质，易知 .故选：D
【典例2】（2025·上海杨浦·二模）已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 的最小值为
.
【答案】
【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值.
【详解】在复平面内， 表示复数 对应的点 与复数 对应点 的距离为1，
因此点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
表示点 到原点 的距离，所以 的最小值为 .
故答案为：
【典例3】（2025·辽宁·一模）若复数 满足 ，则复数 在复平面内对应点的轨迹的离心率
为 .
【答案】
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、与复数模相关的轨迹（图形）问题
【分析】由椭圆的定义和离心率的定义可得.
【详解】由 可得复数 在复平面内对应点的轨迹是以 为焦点，长轴长为6的椭
圆，
所以 ，
所以离心率为 .
故答案为：
